教案-函數(shù)值域的求題方法

例析求函數(shù)值域的方法01.方法總結(jié)函數(shù)的值域是函數(shù)三要素之一，求函數(shù)的值域是深入學(xué)習(xí)函數(shù)的根底，它常涉及多種知識的綜合應(yīng)用，下面通過例題講解，多方探尋值域的途徑?！饕恢苯臃ǎ骸怖贸Ｒ姾瘮?shù)的值域來求〕一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；反比例函數(shù)的定義域為{x|x0}，值域為{y|y0}；二次函數(shù)的定義域為R，當(dāng)a>0時，值域為{}；當(dāng)a<0時，值域為{}.例1-1．求以下函數(shù)的值域①y=3x+2(-1x1)③〔記住圖像〕解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]③當(dāng)x>0，∴=，當(dāng)x<0時，=－∴值域是[2，+).〔此法也稱為配方法〕函數(shù)的圖像為例1-2求以下函數(shù)的最大值、最小值與值域：①；②；③；④；解：∵，∴頂點為(2,-3)，頂點橫坐標(biāo)為2.①∵拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域R，∴x=2時，ymin=-3,無最大值；函數(shù)的值域是{y|y-3}.②∵頂點橫坐標(biāo)2[3,4]，當(dāng)x=3時，y=-2；x=4時，y=1；∴在[3,4]上，=-2，=1；值域為[-2，1].③∵頂點橫坐標(biāo)2[0,1]，當(dāng)x=0時，y=1；x=1時，y=-2,∴在[0,1]上，=-2，=1；值域為[-2，1].④∵頂點橫坐標(biāo)2[0,5]，當(dāng)x=0時，y=1；x=2時，y=-3,x=5時，y=6,∴在[0,1]上，=-3，=6；值域為[-3，6].注：對于二次函數(shù),⑴假設(shè)定義域為R時，①當(dāng)a>0時，那么當(dāng)時，其最小值；②當(dāng)a<0時，那么當(dāng)時，其最大值.⑵假設(shè)定義域為x[a,b],那么應(yīng)首先判定其頂點橫坐標(biāo)x0是否屬于區(qū)間[a,b].①假設(shè)[a,b],那么是函數(shù)的最小值〔a>0〕時或最大值〔a<0〕時，再比擬的大小決定函數(shù)的最大〔小〕值.②假設(shè)[a,b],那么[a,b]是在的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比擬的大小即可決定函數(shù)的最大〔小〕值.注：①假設(shè)給定區(qū)間不是閉區(qū)間，那么可能得不到最大〔小〕值；②當(dāng)頂點橫坐標(biāo)是字母時，那么應(yīng)根據(jù)其對應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點的位置關(guān)系進行討論.△二、配方法〔是求二次函數(shù)值域的根本方法，如的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法〕例2．求函數(shù)〔〕的值域。解：，因為，所以，所以所以，即所以函數(shù)〔〕的值域為?！魅e離常數(shù)法〔分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用別離常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法〕例3-1．求函數(shù)的值域。解：因為，所以，所以，所以函數(shù)的值域為。例3-2求函數(shù)的值域解法一：〔逆求法〕解法二：〔別離常數(shù)法〕由，可得值域小結(jié)：分式函數(shù)，如果在其自然定義域〔代數(shù)式自身對變量的要求〕內(nèi)，值域為；如果是條件定義域〔對自變量有附加條件〕，采用局部分式法將原函數(shù)化為，用復(fù)合函數(shù)法來求值域。△四、換元法〔運用代數(shù)代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，如〔、、、均為常數(shù)，且〕的函數(shù)常用此法求解。例4-1．求函數(shù)的值域。解：令〔〕，那么，所以因為當(dāng)，即時，，無最小值。所以函數(shù)的值域為。 例4-2求函數(shù)的值域解：〔換元法〕設(shè)，那么原函數(shù)可化為點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法表達換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛?！魑?、函數(shù)的單調(diào)性法〔確定函數(shù)在定義域〔或某個定義域的子集〕上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，形如求函數(shù)的值域〔時為減函數(shù)；時為增函數(shù)〕〕例5-1．求函數(shù)的值域。解：因為當(dāng)增大時，隨的增大而減少，隨的增大而增大，所以函數(shù)在定義域上是增函數(shù)。所以，所以函數(shù)的值域為。例5-2求函數(shù)y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。解：〔單調(diào)性法〕設(shè)f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x在定義域為x≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域為｛y|y≤4/3｝。小結(jié)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進而可確定函數(shù)的值域。△六、利用有界性(利用某些函數(shù)有界性求得原函數(shù)的值域)例6求函數(shù)的值域。解：由函數(shù)的解析式可以知道，函數(shù)的定義域為，對函數(shù)進行變形可得，因為，所以〔，〕，所以，所以，所以函數(shù)的值域為△七、數(shù)型結(jié)合法〔函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，是一種求值域的重要方法〕yxo2yxo21-1解：，，圖像如右圖所示，故原函數(shù)的值域為△八，判別式法10例8-1求函數(shù)的值域105解法一：〔判別式法〕化為51〕時，不成立2〕時，得綜合1〕、2〕值域解法二：〔復(fù)合函數(shù)法〕令，那么所以，值域例8-2函數(shù)的值域〔判別式法〕原式可化為例8-3求函數(shù)的值域〔判別式法〕原式可化為除此之外，還有反函數(shù)法〔即利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域〕。02.例題詳解例1求函數(shù)的值域解：〔平方法〕函數(shù)定義域為：例2求函數(shù)的值域解：〔三角換元法〕設(shè)小結(jié)：〔1〕假設(shè)題目中含有，那么可設(shè)〔2〕假設(shè)題目中含有那么可設(shè)，其中〔3〕假設(shè)題目中含有，那么可設(shè)，其中〔4〕假設(shè)題