第七章 方差分析

樣本平均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)u檢驗(yàn)t檢驗(yàn)?zāi)乘a(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對(duì)魚的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚20尾，投喂不同的飼料，經(jīng)1個(gè)月以后，各組魚的增重(g)結(jié)果列于下表。重復(fù)飼料A1A2A3A413192482212702279257236308331826827329042842792492455359262258286311.8262.8247.4279.8表6-1不同飼料飼喂魚增重的數(shù)據(jù)(g)20個(gè)樣本4個(gè)平均數(shù)(2)試驗(yàn)誤差不統(tǒng)一，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低。t檢驗(yàn)：C42

＝6次6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誤(1)檢驗(yàn)過(guò)程煩瑣。判斷兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的差異顯著性6次都接受Hoα錯(cuò)誤(3)推斷的可靠性低，檢驗(yàn)時(shí)犯α錯(cuò)誤概率大。t檢驗(yàn)自由度較小P=(0.95)6＝0.735P＝1-0.735＝0.265將所有這些組數(shù)據(jù)放在一起，一次比較就對(duì)所有各組平均數(shù)間是否有差異作出判斷。方差分析，又稱為變量分析，是英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的。方差分析是對(duì)兩個(gè)或多個(gè)樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的方法。方差分析(Analysisofvariance，ANOVA)方差分析的基本原理1單因素方差分析2二因素方差分析3方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換4第六章方差分析三、數(shù)學(xué)模型一、相關(guān)術(shù)語(yǔ)四、平方和與自由度的分解五、統(tǒng)計(jì)假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)-----F檢驗(yàn)六、多重比較二、方差分析的基本原理第一節(jié)方差分析的基本原理一、相關(guān)術(shù)語(yǔ)（一）試驗(yàn)因素試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的原因或原因組合稱為試驗(yàn)因素。試驗(yàn)因素也稱為處理因素，簡(jiǎn)稱為因素或因子。為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞和處理效應(yīng)的高低，在實(shí)驗(yàn)中具體測(cè)定的性狀或觀測(cè)的項(xiàng)目稱為試驗(yàn)指標(biāo)。例如日增重、酶活性、產(chǎn)量等。（一）試驗(yàn)因素在試驗(yàn)中可以人為調(diào)控的因素在試驗(yàn)中不能人為調(diào)控的因素可控因素（固定因素）非控因素（隨機(jī)因素）試驗(yàn)因素常用大寫字母A、B、C、…等來(lái)表示。因素的水平不能嚴(yán)格控制，或水平能控制，其效應(yīng)為隨機(jī)變量；重復(fù)時(shí)可得到相同的結(jié)果。因素的水平可準(zhǔn)確控制，且水平固定后，其效應(yīng)也固定；重復(fù)時(shí)不易得到相同的結(jié)果。每個(gè)試驗(yàn)因素的不同狀態(tài)（處理的某種特定狀態(tài)或數(shù)量上的差別）稱為因素水平，簡(jiǎn)稱為水平。（二）因素水平因素是一個(gè)抽象的概念，水平是一個(gè)較為具體的概念。溫度酶活性15℃、20℃、25℃、30℃水平用代表該因素的字母加下標(biāo)1、2、3、…等來(lái)表示。如A1、A2、A3、…，B1、B2、B3、…等。一、相關(guān)術(shù)語(yǔ)（三）試驗(yàn)處理試驗(yàn)處理常稱為處理，指對(duì)受試對(duì)象給予的某種外部干預(yù)（或措施），是試驗(yàn)中實(shí)施的因子水平的一個(gè)組合。單因素處理多因素處理一、相關(guān)術(shù)語(yǔ)一個(gè)4種不同配合飼料對(duì)魚的飼喂試驗(yàn)，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目就是飼喂某一種飼料。試驗(yàn)因素的一個(gè)水平考察在該因素不同水平值上性狀量值的變化規(guī)律，找出最佳水平或估計(jì)其總體變異。兩個(gè)或兩個(gè)試驗(yàn)因素的一個(gè)水平組合考察反應(yīng)量在各因素不同水平、水平組合上的變化規(guī)律，找出水平的最佳組合或估計(jì)總體變異。因素處理目的舉例3種播種密度對(duì)4個(gè)小麥品種的產(chǎn)量的影響研究，試驗(yàn)共有3×4=12個(gè)水平組合。其它單因素處理多因素處理可以同時(shí)研究主效應(yīng)、交互作用

（四）試驗(yàn)誤差試驗(yàn)誤差是指試驗(yàn)中由于無(wú)法控制的因素所引起的差異，簡(jiǎn)稱為誤差。一、相關(guān)術(shù)語(yǔ)（五）試驗(yàn)單位（六）重復(fù)在實(shí)驗(yàn)中能接受不同試驗(yàn)處理的獨(dú)立的試驗(yàn)載體，即根據(jù)研究目的而確定的觀測(cè)總體。在試驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上。處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)即處理的重復(fù)數(shù)。重復(fù)飼料A1A2A3A413192482212702279257236308331826827329042842792492455359262258286311.8262.8247.4279.8表-1不同飼料飼喂魚增重的數(shù)據(jù)(g)試驗(yàn)指標(biāo)單因素水平重復(fù)觀測(cè)值差異基本思想：將測(cè)量數(shù)據(jù)的總變異按照變異原因不同分解為處理效應(yīng)和試驗(yàn)誤差，并作出其數(shù)量估計(jì)。

處理效應(yīng)誤差效應(yīng)二、方差分析基本思想比較處理效應(yīng)和誤差效應(yīng)在總變異中所占的比例。處理效應(yīng)試驗(yàn)誤差相差不大，說(shuō)明試驗(yàn)處理對(duì)指標(biāo)影響不大。相差較大，即處理效應(yīng)比試驗(yàn)誤差大得多，說(shuō)明試驗(yàn)處理影響是很大的，不可忽視。表-2每組具n個(gè)觀測(cè)值的k組樣本符號(hào)表三、數(shù)學(xué)模型處理A1A2…Ai…Ak重復(fù)x11x21…xi1…xk1x12x22…xi2…xk2………………x1jx2j…xij…xkj………………x1nx2n…xin…xkn總和Ti.T1.T2.…Ti.…Tk.T..=∑xij平均xi.x1.x2.xi.xk.x..第i個(gè)處理的第j個(gè)觀測(cè)值第i個(gè)處理n個(gè)觀測(cè)值的和全部觀測(cè)值的和第i個(gè)處理的平均數(shù)全部觀測(cè)值的總平均數(shù)表-2每組具n個(gè)觀測(cè)值的k組樣本符號(hào)表三、數(shù)學(xué)模型處理A1A2…Ai…Ak重復(fù)x11x21…xi1…xk1x12x22…xi2…xk2………………x1jx2j…xij…xkj………………x1nx2n…xin…xkn總和Ti.T1.T2.…Ti.…Tk.T..=∑xij平均xi.x1.x2.xi.xk.x..第i個(gè)處理觀測(cè)值總體平均數(shù)試驗(yàn)誤差三、數(shù)學(xué)模型第i個(gè)處理的效應(yīng)，即處理i對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響固定模型隨機(jī)模型混合模型固定模型各處理的效應(yīng)值τi

是固定值，它是由固定因素所引起的效應(yīng)。實(shí)驗(yàn)因素的各水平是根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康氖孪戎饔^選定的而不是隨機(jī)選定的。在固定模型中，除去隨機(jī)誤差之后的每個(gè)處理所產(chǎn)生的效應(yīng)是固定的，試驗(yàn)重復(fù)時(shí)會(huì)得到相同的結(jié)果。方差分析所得到的結(jié)論只適合于選定的那幾個(gè)水平，并不能將其結(jié)論擴(kuò)展到未加考慮的其它水平上。各處理的效應(yīng)值τi不是固定的數(shù)值，而是由隨機(jī)因素所引起的效應(yīng)。τi

是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體中的隨機(jī)變量。選取4窩動(dòng)物，每窩均有4只幼仔，分析不同窩出生的幼仔體重是否顯著。從美國(guó)經(jīng)進(jìn)的黑核桃品種在不同緯度生態(tài)條件下試種，觀察該品種對(duì)不同地理?xiàng)l件的適應(yīng)情況。隨機(jī)模型在隨機(jī)模型中，水平確定之后其處理所產(chǎn)生的效應(yīng)并不是固定的，試驗(yàn)重復(fù)時(shí)也很難得到相同的結(jié)果。方差分析所得到的結(jié)論，可以推廣到這個(gè)因素的所有水平上。隨機(jī)模型在多因素試驗(yàn)中，既有固定效應(yīng)的試驗(yàn)因素，又有隨機(jī)效應(yīng)的試驗(yàn)因素，則屬于混合模型．混合模型為推斷全國(guó)6～7歲孩的身長(zhǎng)發(fā)育狀況，隨機(jī)抽取3個(gè)省，每個(gè)省分為城市和農(nóng)村兩類地區(qū)，各抽取20例數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。這其中城市與農(nóng)村兩個(gè)水平組成的地區(qū)屬于固定效應(yīng)型，由于省份的三個(gè)水平是通過(guò)抽樣確定的，屬于隨機(jī)效應(yīng)型。在實(shí)際應(yīng)用中，固定模型應(yīng)用最多，隨機(jī)模型和混合模型相對(duì)較少。觀測(cè)值變異處理間的變異處理內(nèi)的變異方差總平方和總自由度處理間處理內(nèi)處理間處理內(nèi)四、平方和與自由度的分解四、平方和與自由度的分解（一）平方和分解0每一處理n個(gè)觀測(cè)值離均差平方和累加k個(gè)處理的離均差平方和累加總平方和SST處理內(nèi)平方和SSe處理間平方和SStC（矯正數(shù)）四、平方和與自由度的分解（二）自由度分解重復(fù)飼料A1A2A3A413192482212702279257236308331826827329042842792492455359262258286總和1559131412371399平均數(shù)311.8262.8247.4279.8表-1不同飼料飼喂魚增重的數(shù)據(jù)(g)k=4n=5nk=20(1)平方和計(jì)算(2)自由度計(jì)算(3)方差計(jì)算五、顯著性檢驗(yàn)－－－F檢驗(yàn)1提出假設(shè)2確定顯著性水平3計(jì)算統(tǒng)計(jì)量4統(tǒng)計(jì)推斷否定Ho，接受HA,說(shuō)明不同飼料飼喂魚的增重差異是極顯著的，用不同的飼料飼喂，增重是不同的。在方差分析中，通常將變異來(lái)源、平方和、自由度、均方和F值整理成一張方差分析表。在實(shí)際進(jìn)行方差分析時(shí)，只須計(jì)算出各項(xiàng)平方和與自由度，各項(xiàng)均方的計(jì)算及F檢驗(yàn)可在方差分析表上進(jìn)行。變異來(lái)源dfSSs2FF0.05F0.01飼料間311435.353811.7837.1323.245.29飼料內(nèi)168551.60534.475總變異1919986.95**表中的F值應(yīng)與相應(yīng)的被檢驗(yàn)因素齊行。表-3不同飼料飼喂魚增重的方差分析表統(tǒng)計(jì)上把多個(gè)平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。六、多重比較最小顯著差數(shù)法(LSD法)最小顯著極差法(LSR法)LSD法(leastsignificantdifference)在F檢驗(yàn)顯著的前提下，先計(jì)算出顯著水平為α的最小顯著差數(shù)LSDα，然后將任意兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對(duì)值與其比較。在α水平上差異顯著在α水平上差異不顯著LSD檢驗(yàn)均數(shù)差值標(biāo)準(zhǔn)誤誤差方差兩組數(shù)據(jù)誤差均方的自由度tα自由度被比較的兩個(gè)均數(shù)t檢驗(yàn)LSD法(1)計(jì)算最小顯著差數(shù)

LSDα；(2)列出平均數(shù)的多重比較表，比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列；(3)將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與LSDα

比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。方法步驟(xi)飼料平均數(shù)差異顯著性(xi.-247.4)(xi.-262.8)(xi.-279.8)A1311.864.4**49.0**32.0*A4279.832.4*17.0A2262.815.4A3247.4表-44種飼料飼喂魚增重差異顯著性表梯形表示法（三角形法）飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8A4279.8A2262.8A3247.4字母標(biāo)記法(1)全部平均數(shù)從大到小依次排列;abbcABAB(2)在最大的平均數(shù)上標(biāo)字母a，將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)相比，凡相差不顯著的標(biāo)a，直至某個(gè)與之相差顯著的則標(biāo)以字母b;(3)以該標(biāo)有b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與各個(gè)比它大的平均數(shù)比較，凡差數(shù)差異不顯著的在字母a的右邊加標(biāo)字母b;(4)以標(biāo)b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)與以下未曾標(biāo)有字母的平均數(shù)比較，凡差數(shù)不顯著的繼續(xù)標(biāo)以字母b，直至差異顯著的平均數(shù)標(biāo)以字母c，再與上面的平均數(shù)比較;(5)重復(fù)進(jìn)行，直至最小的平均數(shù)有了標(biāo)記字母，并與上面的平均數(shù)比較后為止。(6)差異極顯著標(biāo)記方法同上，用大寫字母標(biāo)記。cB(xi)飼料平均數(shù)差異顯著性(xi.-247.4)(xi.-262.8)(xi.-279.8)A1311.864.4**49.0**32.0*A4279.832.4*17.0A2262.815.4A3247.4飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8aAA4279.8bABA2262.8bcBA3247.4cB平均數(shù)間有一個(gè)相同字母的即為差異不顯著，凡無(wú)相同字母的即為差異顯著。小寫拉丁字母表示顯著水平α=0.05，大寫拉丁字母表示顯著水平α=0.01。LSR法(leastsignificantranges)LSR法采用不同平均數(shù)間用不同的顯著差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)據(jù)(秩次距)k的不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度。這種在顯著水平α上依秩次距k的不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度的顯著性檢驗(yàn)方法稱為最小顯著極差法。SSR檢驗(yàn)q檢驗(yàn)新復(fù)極差檢驗(yàn)(newmultiplerangetest)SSR檢驗(yàn)(theshortestsignificantranges)鄧肯(Duncan)法Duncan多范圍檢驗(yàn)法（Duncanmultiplerangetest）(1)按相比較的樣本容量計(jì)算平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤(2)查SSR表，自由度dfe，所含平均數(shù)個(gè)數(shù)M(3)將各平均數(shù)按大小順序排列，用各個(gè)M值的LSRα進(jìn)行檢驗(yàn)。附表6(P268)新復(fù)極差檢驗(yàn)SSR值表dfM（檢驗(yàn)極差的平均數(shù)個(gè)數(shù)）2345616(0.05)3.003.143.243.303.3416(0.01)4.134.314.424.514.57表-64種飼料飼喂魚增重試驗(yàn)LSR值（SSR檢驗(yàn)）M234LSR0.0531.0232.4733.50LSR0.0142.7044.5745.70表-64種飼料飼喂魚增重試驗(yàn)LSR值（SSR檢驗(yàn)）M234LSR0.0531.0232.4733.50LSR0.0142.7044.5745.70飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8A4279.8A2262.8A3247.4abbcABABcB表-54種飼料飼喂魚增重試驗(yàn)(LSD檢驗(yàn)）飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8A4279.8A2262.8A3247.4abbbABABB表-74種飼料飼喂魚增重試驗(yàn)(SSR檢驗(yàn)）q檢驗(yàn)q檢驗(yàn)法也稱為Student-Newman-Keuls(SNK)檢驗(yàn)，是以統(tǒng)計(jì)量q的概率分布為基礎(chǔ)的。附表7(P269)q值表dfM（檢驗(yàn)極差的平均數(shù)個(gè)數(shù)）2345616(0.05)3.003.654.054.344.5616(0.01)4.134.785.195.495.72表-84種飼料飼喂魚增重試驗(yàn)LSR值（q檢驗(yàn)）M234LSR0.0531.0237.7441.88LSR0.0142.7049.4353.66飼料平均數(shù)差異顯著性

0.050.01A1311.8A4279.8A2262.8A3247.4abbbAAABB表-94種飼料飼喂魚增重試驗(yàn)(q檢驗(yàn)）BLSR值（q檢驗(yàn)）M234LSR0.0531.0237.7441.88LSR0.0142.7049.4353.66LSR值（SSR檢驗(yàn)）M234LSR0.0531.0232.4733.50LSR0.0142.7044.5745.70k=2,三種方法顯著尺度是相同的。k>2,三種方法顯著尺度不相同。精度要求高的試驗(yàn)精度要求一般的試驗(yàn)各個(gè)處理平均數(shù)與對(duì)照相比的試驗(yàn)q檢驗(yàn)SSR檢驗(yàn)LSD檢驗(yàn)犯α錯(cuò)誤的概率LSD檢驗(yàn)SSR檢驗(yàn)q檢驗(yàn)>>方差分析步驟定義總平方和與自由度的分解；(2)列方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)；(3)若F檢驗(yàn)顯著，進(jìn)行多重比較（注明方法）方差分析是對(duì)兩個(gè)或多個(gè)樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的方法。它是將測(cè)量數(shù)據(jù)的總變異按照變異來(lái)源分解為處理效應(yīng)和試驗(yàn)誤差，并作出其數(shù)量估計(jì)。例7.2

測(cè)定東北、內(nèi)蒙古、河北、安徽、貴州5個(gè)地區(qū)黃鼬冬季針毛的長(zhǎng)度，每個(gè)地區(qū)隨機(jī)抽取4個(gè)樣本，測(cè)定的結(jié)果如下表所示，比較其差異顯著性。地區(qū)東北內(nèi)蒙古河北安徽貴州132.029.225.523.322.3232.827.426.125.122.5331.226.325.825.122.9430.426.726.725.523.7表-10不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長(zhǎng)度(mm)第二節(jié)單因素方差分析(1)平方和計(jì)算(2)自由度計(jì)算(3)方差計(jì)算(4)F檢驗(yàn)變異來(lái)源dfSSs2FF0.05F0.01地區(qū)間4173.7143.42850.1483.064.89地區(qū)內(nèi)1512.990.866總變異19186.70**表-11不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長(zhǎng)度方差分析表地區(qū)平均數(shù)差異顯著性

0.050.01東北31.60內(nèi)蒙古27.40河北26.03安徽24.75貴州22.85表-12不同地區(qū)黃鼬冬季針毛長(zhǎng)度顯著性比較(LSD檢驗(yàn)）abbccdABBCCDD第三節(jié)二因素方差分析兩個(gè)因素共同影響試驗(yàn)指標(biāo)的試驗(yàn)處理。主效各試驗(yàn)因素的相對(duì)獨(dú)立作用稱為該因素的主效應(yīng)，簡(jiǎn)稱為主效。它是由于因素水平的改變而造成因素效應(yīng)的改變。互作互作效應(yīng)是由于兩個(gè)或多個(gè)試驗(yàn)因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng)。某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同，則二因素間存在交互作用，簡(jiǎn)稱互作。有重復(fù)觀測(cè)值的二因素方差分析A因素i水平，B因素j水平，第k次重復(fù)觀測(cè)值總平均值A(chǔ)因素i水平的效應(yīng)B因素j水平的效應(yīng)A因素i水平和B因素j水平的交互作用隨機(jī)誤差（1）平方和的分解為：A因素a水平，B因素有b水平，每一重復(fù)都包括ab次實(shí)驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)重復(fù)n次。abnSSt（3）各項(xiàng)的方差分別為（2）自由度的分解為（4）F檢驗(yàn)αi、βj、(αβ)ij

和εijk是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。αi，βj及(αβ)ij

均為固定效應(yīng)。固定模型隨機(jī)模型（以A為固定因素，Ｂ為隨機(jī)因素為例）A和B的效應(yīng)為非可加性，αi

為固定效應(yīng)，βj及(αβ)ij

為隨機(jī)效應(yīng)?；旌夏Ｐ屠?.5

為了研究某種昆蟲滯育期長(zhǎng)短與環(huán)境的關(guān)系，在給定的溫度和光照條件下在實(shí)驗(yàn)室培養(yǎng)，每一處理記錄4只昆蟲的滯育天數(shù)，結(jié)果列于表中，是對(duì)該材料進(jìn)行方差分析。光照（A）溫度（B）250C300C350C5h·d-1143138120107101100808389931017610h·d-1961037891796183598076616715h·d-1798396986071786467587183表-19不同溫度及光照條件下某種昆蟲滯育天數(shù)由于溫度和光照條件都是人為控制的，為固定因素，可依固定因素分析。將表-19中數(shù)字均減去80，整理得下表光照（Ａ）標(biāo)本號(hào)溫度（B）250C300C350C5h·d-112346358402721200391321－4271188443910h·d-112341623－211－1－193－210－4－19－13－2648－38－3615h·d-11234－131618－20－9－2－16－13－22－93－5236－47－41272