江蘇省南京市玄武高級中學高三上學期10月檢測數(shù)學試卷

南京市玄武高級中學2020/2021學年度第一學期十月檢測試卷高三數(shù)學一、單選題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.請把答案填在答卷紙相應位置上.1.對于給定的復數(shù)，若滿足的復數(shù)對應的點的軌跡是橢圓，則的取值范圍是（）A．B． C． D．2.若復數(shù)（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．1B．—1C．－D．3.若實數(shù)，滿足，則下列選項正確的是（）A．B．C．D．4.拋物線的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離是，則雙曲線的虛軸長是______．A. B.C.3 D.65.已知雙曲線：的離心率為2，若拋物線：的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程是()A． B.C．D．6.等比數(shù)列的前項和，則的值為()A．3B．1C．－3D．－17.在中，角，，的對邊分別為a，b，c，若，且恒成立，則λ的取值范圍是（）A． B． C． D．8.為了測量某塔的高度，某人在一條水平公路，兩點處進行測量．在點測得塔底在南偏西，塔頂仰角為，此人沿著南偏東方向前進10米到點，測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔的高度為（）A．5米 B．15米 C．10米 二、多選題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答卷紙相應位置上.9.若函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，且在區(qū)間上也是單調(diào)增函數(shù)，則稱是上的“一致遞增函數(shù)”．已知，若函數(shù)是區(qū)間上的“一致遞增函數(shù)”，則區(qū)間可能是（）A． B． C． D．10.已知中，,,,在上，為的角平分線，為中點.下列結(jié)論正確的是（）A.B.的面積為C.D.在的外接圓上，則的最大值為11..已知f(x)＝sin2x，g(x)＝cos2x，下列四個結(jié)論正確的是（）A.f(x)的圖象向左平移個單位長度，即可得到g(x)的圖象B.當x＝時，函數(shù)f(x)－g(x)取得最大值C.y＝f(x)＋g(x)圖象的對稱中心是(，0)，k∈ZD.y＝f(x)·g(x)在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增12、關于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．存在正實數(shù)，使得成立B．是的極大值點C．函數(shù)有且只有1個零點D．對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答卷紙相應位置上.13.新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來，廣大醫(yī)務工作者積極響應黨中央號召，舍小家，為大家，不顧個人安危，生動詮釋了敬佑生命、救死扶傷、甘于奉獻、大愛無疆的崇高精神．某醫(yī)務人員說：“包括我在內(nèi)，我們社區(qū)診所醫(yī)生和護士共有17名．無論是否把我算在內(nèi)，下面說法都是對的．在這些醫(yī)務人員中：醫(yī)生不少于護士；女護士多于男醫(yī)生；男醫(yī)生比女醫(yī)生多；至少有兩名男護士．”請你推斷說話的人的性別與職業(yè)是．14.若函數(shù)的圖象關于對稱，則函數(shù)在上的最小值是．15.已知，若過x軸上的一點可以作一直線與相交于兩點，且滿足，則a的取值范圍為__________．16.對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是______．四、解答題：本大題共6小題，共計70分17．已知中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．求A；若，的面積為，求a．18.如圖，在六面體中，已知從頂點A出發(fā)的三條棱兩兩垂直，且四邊形為矩形．（1）求證：平面ABCD．（2）若,求證:19．已知函數(shù)f(x)＝ex，g(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)．（1）若a≠0，則a、b滿足什么條件時，曲線y＝f(x)與y＝g(x)在x＝0處總有相同的切線？（2）當a＝1時，求函數(shù)h(x)＝的單調(diào)減區(qū)間；（3）當a＝0時，若f(x)≥g(x)對任意的x∈R恒成立，求b的取值的集合．20．成都市現(xiàn)在已是擁有1400多萬人口的城市，機動車保有量已達450多萬輛，成年人中約40%擁有機動車駕駛證．為了解本市成年人的交通安全意識情況，某中學的同學利用國慶假期進行了一次全市成年人安全知識抽樣調(diào)查．先根據(jù)是否擁有駕駛證，用分層抽樣的方法抽取了200名成年人，然后對這200人進行問卷調(diào)查．這200人所得的分數(shù)都分布在[30，100]范圍內(nèi)，規(guī)定分數(shù)在80以上(含80)的為“具有很強安全意識”，所得分數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示．擁有駕駛證沒有駕駛證總計具有很強安全意識不具有很強安全意識58總計200(1)補全上面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有超過95%的把握認為“具有很強安全意識”與擁有駕駛證有關?(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市成年人中隨機抽取4人，記“具有很強安全意識”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．附表及公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．已知橢圓的離心率直線與曲線E交于不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C．(1)求橢圓E的方程；(2)若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求的面積的最大值．22．已知數(shù)列的前n項和滿足（t為常數(shù)，且t＞0，t≠1）．（1）求的通項公式；（2）設，若數(shù)列為等比數(shù)列，求t的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設，數(shù)列的前n項和為，若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．2020/2021學年度第一學期高三數(shù)學檢測試卷選擇題答案0105ABABA0608DDC9.AD10.ACD11.CD12.CD填空題答案13.女醫(yī)生14.15.16.解答題答案17．【答案】解：．

由正弦定理得，即，

，．

，

，結(jié)合，，．

．18．【解析】（1）因為從頂點A出發(fā)的三條棱兩兩垂直,所以因為平面ABCD,且所以平面ABCD.（7分）（2）因為,平面平面，所以平面,因為平面平面平面所以因為四邊形為矩形，所以所以（14分）19．【解析】（1）因為f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1.又f(0)＝1，所以y＝f(x)在x＝0處的切線方程為y＝x＋1.因為g′(x)＝2ax＋b，所以g′(0)＝b.又g(0)＝1，所以y＝g(x)在x＝0處的切線方程為y＝bx＋1.所以當a≠0且b＝1時，曲線y＝f(x)與y＝g(x)在x＝0處總有相同的切線．（4分）（2）由a＝1，h(x)＝，所以h′(x)＝＝－.由h′(x)＝0，得x＝1或x＝1－b.所以當b>0時，函數(shù)y＝h(x)的減區(qū)間為(－∞，1－b)，(1，＋∞)；當b＝0時，函數(shù)y＝h(x)的減區(qū)間為(－∞，＋∞)；當b<0時，函數(shù)y＝h(x)的減區(qū)間為(－∞，1)，(1－b，＋∞)．(10分)（3）由a＝0，則φ(x)＝f(x)－g(x)＝ex－bx－1，所以φ′(x)＝ex－b.①當b≤0時，φ′(x)>0，函數(shù)φ(x)在R上單調(diào)遞增．又φ(0)＝0，所以x∈(－∞，0)時，φ(x)<0，與函數(shù)f(x)≥g(x)矛盾．②當b>0時，由φ′(x)>0，得x>lnb；由φ′(x)<0，得x<lnb，所以函數(shù)φ(x)在(－∞，lnb)上單調(diào)遞減，在(lnb，＋∞)上單調(diào)遞增．當0<b<1時，所以lnb<0.又φ(0)＝0，所以φ(lnb)<0，與函數(shù)f(x)≥g(x)矛盾；當b>1時，同理φ(lnb)<0，與函數(shù)f(x)≥g(x)矛盾；當b＝1時，lnb＝0，所以函數(shù)φ(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．所以φ(x)≥φ(0)＝0，故b＝1滿足題意．綜上所述，b的取值的集合為{1}．（16分）20．解：(1)200人中擁有駕駛證的占40%，有80人，沒有駕駛證的有120人；具有很強安全意識的占20%，有40人，不具有很強安全意識的有160人．補全的2×2列聯(lián)表如表所示：擁有駕駛證沒有駕駛證總計具有很強安全意識221840不具有很強安全意識58102160總計80120200計算得K2＝＝＝4.6875＞3.841，所以有超過95%的把握認為“具有很強安全意識”與擁有駕駛證有關．(2)由頻率分布直方圖中數(shù)據(jù)可知，抽到的每個成年人“具有很強安全意識”的概率為，所以X＝0，1，2，3，4，且X~B．于是P(X＝k)＝C·k·4－k(k＝0，1，2，3，4)，X的分布列為X01234P所以E(X)＝4×＝．答：X的數(shù)學期望為．21．【答案】解：橢圓的離心率，

．

解得．橢圓E的方程為．

解：依題意，圓心為，．

由得．圓C的半徑為．圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，且圓心C到y(tǒng)軸的距離，

，即．弦長．

的面積分）．

當且僅當，即時，等號成立．

的面積的最大值為．22.(1)當n=1時，s1=t(s1-a1當n≥2時，由s1=t(sn-an+1)即(1—t)sn=—t得(1—t)Sn-1=—tan-1+t①②,得(1—t)an=—tan+tan-1即因為a1=t≠0，所以a.≠0,所以a所以{an所以an,