陜西省渭南市2023-2024學(xué)高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)一(一模)文科數(shù)學(xué)試題（教師版）

渭南市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（Ⅰ）數(shù)學(xué)試題（文科）注意事項(xiàng)：1．本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡和答題紙上．3．將選擇題答案填涂在答題卡上，非選擇題按照題號(hào)完成在答題紙上的指定區(qū)域內(nèi)．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算求復(fù)數(shù)z，即可求模.【詳解】由題設(shè)，故.故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次不等式求解集合，再求并集即可.【詳解】∵，∴．故選：D3.如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示單位長(zhǎng)度：，則此幾何體的表面積是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)四棱柱正方體與四棱錐的組合體，分別計(jì)算各個(gè)面的面積，相加可得答案．【詳解】由已知中的三視圖，可知該幾何體是下部一個(gè)四棱柱正方體與上部是四棱錐的組合體，四棱柱正方體的棱長(zhǎng)為1cm，故每個(gè)面的面積為：，四棱錐底面邊長(zhǎng)為1cm，高為，故斜高為：，故每個(gè)側(cè)面的面積為：，；故組合體的表面積；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．4.在ABC中，．則的取值范圍是（）A.（0，] B.[，） C.（0，] D.[，）【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由于，根據(jù)正弦定理可知，故．又，則的范圍為.故本題正確答案為C.考點(diǎn)：三角形中正余弦定理的運(yùn)用.5.已知、、是正數(shù)，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用作差法得出的等價(jià)條件，即可得出結(jié)論.【詳解】由，因?yàn)椤?、是正?shù)，則，可得等價(jià)于，等價(jià)于，所以，“”是“”充要條件.故選：C.6.的值是（）A.105 B.33 C. D.【答案】B【解析】【分析】由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】由題意得：.故選：B.7.設(shè)定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性和周期性的性質(zhì)可求出，代入即可得出答案.【詳解】由得.又為偶函數(shù)，所以.故選：A.8.已知圓的方程為，直線過點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí)，（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可知，當(dāng)最短時(shí)，直線，然后再結(jié)合向量的數(shù)量積，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)最短時(shí)，直線，，.故選：B.9.有詩云：“芍藥承春寵，何曾羨牡丹”，芍藥不僅觀賞性強(qiáng)，且具有藥用價(jià)值，某地以芍藥為主打造了一個(gè)如圖所示的花海大世界，其中大圓半徑為3，大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為1，兩圓之間的圖案是對(duì)稱的.若在其中空白部分種植紅芍.倘若你置身此花海大世界之中，則恰好處在紅芍種植區(qū)中的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圓的面積公式結(jié)合幾何概型的概率公式求解.【詳解】由已知得：大圓的面積為，小圓的面積為.所以空白部分面積為.設(shè)“恰好處在紅芍種植區(qū)中”為事件，則.故選：C10.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】原不等式等價(jià)于，根據(jù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得和的解集，再分情況或解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知：在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為：，故選：D.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由長(zhǎng)度關(guān)系可得，知，在中，利用可構(gòu)造齊次方程求得雙曲線離心率.【詳解】設(shè)，為等邊三角形，，，又，，，，，，，解得：（舍）或，雙曲線的離心率為.故選：C.12.已知，若存在實(shí)數(shù)（），當(dāng)（）時(shí)，滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)性質(zhì)，得，，將問題轉(zhuǎn)化為求的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)值域.【詳解】作出的圖象如圖，由題，，，所以，令（），則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以，且，所以的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】利用正弦型函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)（）的值域，求值域時(shí)，除函數(shù)的單調(diào)性外還要注意函數(shù)的取值特點(diǎn).第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，用最小二乘法得到其線性回歸方程為，若，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可知該組數(shù)據(jù)點(diǎn)，所以，所以，故答案為：14.已知變量，滿足，則最小值為________.【答案】0【解析】【分析】畫出可行域，分析目標(biāo)函數(shù)得，當(dāng)在y軸上截距最小時(shí)，即可求出的最小值.【詳解】作出可行域如圖：聯(lián)立得化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，在y軸上的截距最小,有最小值為，故填.【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，屬于中檔題.15.在中，，則的面積最大值為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)解三角形余弦定理以及基本不等式，求解出的最大值，從而解得的面積最大值.【詳解】根據(jù)題意得：由余弦定理得：，即所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.故答案為：.16.在三棱錐中，底面為等腰三角形，，且，平面平面，點(diǎn)為三棱錐外接球上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離的最大值為，則球的表面積為_______．【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)，設(shè)，設(shè)等腰三角形外接圓的圓心為，半徑為，球的半徑為，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)與判定求得，再根據(jù)垂直關(guān)系可得點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而列式求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋榈妊切?，，所以，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槿切螢榈妊切?，，則，設(shè)，則，設(shè)等腰三角形外接圓的圓心為，半徑為，球的半徑為，連接，則三點(diǎn)共線，由平面得平面，由正弦定理得，故，則，連接，則，由平面，且三角形外接圓的圓心為，可得，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，平面，故平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，又因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離的最大值為，所以，解得，所以，球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等差數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求及；（2）設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)先根據(jù)已知求出，再求及.(2)先根據(jù)已知得到，再利用分組求和求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以，解得，所以?=.（2）由已知得，由（1）知，所以，=.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和求法，考查分組求和和等比數(shù)列的求和公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.這叫分組求和法.18.有五位工人參加技能競(jìng)賽培訓(xùn)．現(xiàn)分別從二人在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次．用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)如下：（1）現(xiàn)要從中選派一人參加技能競(jìng)賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認(rèn)為派哪位工人參加合適?請(qǐng)說明理由；（2）若從參加培訓(xùn)的5位工人中選2人參加技能競(jìng)賽，求二人中至少有一人參加技能競(jìng)賽的概率．【答案】（1）派參加比較合適，理由見解析（2）．【解析】【分析】（1）計(jì)算的平均值和方差，根據(jù)平均值和方差可得答案；（2）利用列舉法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】（1），，，，因?yàn)椋?，所以派參加比較合適（2）從參加培訓(xùn)的5位工人中選2人參加技能競(jìng)賽，所有基本事件為：，，，，，，，，，，共有種，其中二人中至少有一人參加技能競(jìng)賽的有：，，，，，，，共7種，所以二人中至少有一人參加技能競(jìng)賽概率為.19.如圖，是正方形，是正方形的中心，底面是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，交于，連接，證明即可；（2）求出到平面的距離，利用即可求出.【小問1詳解】連接，交于，連接，則在中，分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?詳解】因?yàn)?，是正方形，所以，因?yàn)榈酌?，所?則到平面的距離，則.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，且對(duì)任意恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）根據(jù)題意得對(duì)任意恒成立，進(jìn)而令，求導(dǎo)研究函數(shù)最值即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，函?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；（2）由（1）知，，所以對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以方程在上存在唯一?shí)根，且滿足.當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.所以.故整數(shù)的最大值是3.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．21.已知橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其中也是拋物線的焦點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線（不與軸重合）交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由拋物線性質(zhì)可求焦點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓定義，可求，計(jì)算即可求解；（2）設(shè)，討論直線與軸是否垂直，再根據(jù)直線與橢圓方程聯(lián)立方程組法，結(jié)合韋達(dá)定理，計(jì)算，即可證明.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴，又∵，∴，∴橢圓的方程是：；（2）設(shè)當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易得：或，又，∴，或者，∴，∴當(dāng)直線與不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)方程組，消去整理得：，所以：，又共線，∴，得，同理：，∴，∴又因?yàn)椤?，則綜上，為定值.【點(diǎn)睛】本題考查（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）聯(lián)立方程組法求定值問題，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，綜合性較強(qiáng)，有一定難度.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）P為l上一點(diǎn)，過P作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）把曲線C的方程兩邊平方相加可求曲線C的普通方程,利用兩角和的余弦公式可求直線l的直角坐標(biāo)方程;（2）設(shè)，由題意可得，計(jì)算可求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.【小問1詳解】由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），可得由,得,即,曲線的普通方程為,直線的直角坐標(biāo)方程為【小問2詳解】設(shè),連接，易得，若,則，在中，，,,兩邊平方得,解得,點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為[選修4-5：不等