第三章 傅里葉變換1-1-7418-1741-20110320195601

第三章傅里葉變換3.1、引言3.2、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析3.3、典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)3.4、非周期信號(hào)的傅里葉變換3.5、典型非周期信號(hào)的傅里葉變換3.6、沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換3.7、傅里葉變換的基本性質(zhì)3.8、卷積特性（卷積定理）3.9、周期信號(hào)的傅里葉變換3.10、抽樣信號(hào)的傅里葉變換3.11、抽樣定理重點(diǎn)：周期信號(hào)和非周期信號(hào)頻譜的概念及特點(diǎn)；非周期信號(hào)的傅里葉變換的計(jì)算；常見非周期信號(hào)的頻譜；掌握傅里葉變換的性質(zhì)，并能靈活利用性質(zhì)求非周期信號(hào)的傅里葉變換。抽樣定理。難點(diǎn)：信號(hào)頻譜概念的建立；靈活利用性質(zhì)求非周期信號(hào)的傅里葉變換；抽樣定理。

重點(diǎn)和難點(diǎn)傅里葉級(jí)數(shù)分析3.2典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)3.3周期信號(hào)的傅里葉變換3.9非周期信號(hào)的頻域分析周期信號(hào)的頻域分析傅里葉變換3.4典型非周期信號(hào)的傅里葉變換3.5抽樣定理3.11抽樣信號(hào)的傅里葉變換3.10卷積特性3.8傅里葉變換的性質(zhì)3.7抽樣信號(hào)的頻域分析沖激和階躍信號(hào)的傅里葉變換3.6光譜傅里葉分析頻譜1822年,法國數(shù)學(xué)家傅里葉指出一個(gè)任意的周期函數(shù)都可以分解為無窮多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)的和，這就是傅里葉級(jí)數(shù)。求解傅里葉系數(shù)的過程就稱做傅里葉變換。傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換統(tǒng)稱為傅里葉分析或諧波分析。傅里葉分析方法相當(dāng)于光譜分析中的三棱鏡，而信號(hào)相當(dāng)于一束白光，將信號(hào)通過傅里葉分析可得到信號(hào)的頻譜，頻譜作傅里葉反變換又可得到原信號(hào)。傅里葉分析技術(shù)已廣泛應(yīng)用于電學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、機(jī)械學(xué)、生物醫(yī)學(xué)工程等眾多領(lǐng)域。

音箱的一個(gè)重要指標(biāo)-系統(tǒng)的頻率特性信號(hào)的頻譜56Hz-20kHz的工作范圍內(nèi)達(dá)到了±3dB信號(hào)的頻譜信號(hào)的頻譜詳細(xì)描述了信號(hào)所包含的頻率分量。濾波器的頻率特性－系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（第四章）；信號(hào)的頻率特性－信號(hào)的頻譜（本章）。正弦波僅含單一頻率，而白噪聲包含所有頻率分量。信號(hào)的平穩(wěn)變化源于它的低頻分量，陡峭邊緣和急劇變化則源于它的高頻分量。要用揚(yáng)聲器忠實(shí)地再現(xiàn)音樂，那么音樂的頻率分量就決定了揚(yáng)聲器的頻率特性。如果要預(yù)測(cè)濾波器對(duì)信號(hào)的作用，那么不僅要知道濾波器的特性，還要知道信號(hào)的頻譜。

高頻噪聲嚴(yán)重影響了歌曲的錄音?？梢允褂猛◣н吘夘l率為2kHz的低通濾波器來濾波。noisy.wavfiltered.wav§3.1

引言時(shí)域分析－>變換域分析頻域分析：傅里葉變換，變量為頻率（本章）周期信號(hào)：傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換非周期信號(hào)：傅里葉變換抽樣信號(hào)：傅里葉變換信號(hào)頻譜分析：分析信號(hào)所包含的頻率分量，包括幅度頻譜和相位頻譜。復(fù)頻域分析：拉氏變換,變量為復(fù)頻率（第四章）§3.2

周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析一、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)將周期信號(hào)表示為不同頻率正弦信號(hào)的線性組合

從信號(hào)分析的角度，為不同信號(hào)之間進(jìn)行比較提供了途徑。

從系統(tǒng)分析角度，已知單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)，利用疊加特性可求得多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)同時(shí)激勵(lì)下的總響應(yīng)及每個(gè)正弦分量通過系統(tǒng)后的變化。物理含義：直流分量：余弦分量系數(shù)：正弦分量系數(shù)：1、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)通常積分區(qū)間取為：將同頻率項(xiàng)加以合并2、純余弦形式的傅里葉級(jí)數(shù)3、周期信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的條件周期信號(hào)f(t)應(yīng)滿足“狄利克雷(Dirichlet)條件”：在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)間斷點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)可積，即

通常遇到的周期信號(hào)都滿足這些條件，以后一般不再考慮這一條件。4、基波、諧波通常把頻率為的分量稱為基波。可見，直流分量的大小以及基波與各次諧波的幅度、相位取決于周期信號(hào)的波形。任何信號(hào)可以分解成直流分量和許多正弦、余弦分量。頻率為的分量稱為二次諧波。頻率為的分量稱為三次諧波。5、幅度譜、相位譜周期信號(hào)頻譜的主要特點(diǎn)：譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。直觀看出：各分量的大小和各分量的相位。二、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)由歐拉公式引入了負(fù)頻率1、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)與三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的關(guān)系:

周期信號(hào)f

(t)可以分解為不同頻率周期復(fù)指數(shù)信號(hào)之和物理含義：2、指數(shù)形式表示的信號(hào)頻譜--復(fù)數(shù)頻譜Fn一般是復(fù)函數(shù)，所以稱這種頻譜為復(fù)數(shù)頻譜。幅度譜與相位譜合并正、負(fù)頻率相應(yīng)項(xiàng)成對(duì)合并，才是實(shí)際頻譜函數(shù)。周期信號(hào)的功率特性周期信號(hào)的平均功率P：在一個(gè)周期內(nèi)求平方再求積分。帕塞瓦爾定理四、函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對(duì)稱性將信號(hào)f(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，如果f(t)是實(shí)函數(shù)且波形滿足某種對(duì)稱性，則在其傅里葉級(jí)數(shù)中某些項(xiàng)將不出現(xiàn)，可以簡化傅里葉系數(shù)的計(jì)算。波形對(duì)稱性有兩類：（1）對(duì)整周期對(duì)稱。即偶函數(shù)和奇函數(shù)。（2）對(duì)半周期對(duì)稱。即奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)。1、偶函數(shù)周期三角波信號(hào)2、奇函數(shù)周期鋸齒波信號(hào)3、奇諧函數(shù)（半波對(duì)稱函數(shù)）奇諧函數(shù)：若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形并不發(fā)生變化，即滿足：奇諧函數(shù)舉例積分存在積分為零利用傅里葉級(jí)數(shù)的對(duì)稱性判斷所含有的頻率分量周期偶函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次諧波的余弦分量周期奇函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次次諧波的正弦分量含有直流分量和偶次諧波的正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量四、傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差誤差函數(shù)方均誤差例如:對(duì)稱方波,既是偶函數(shù)又是奇諧函數(shù)只有奇次諧波的余弦項(xiàng)N=1N=3N=5N越大，越接近方波由上面例子可以看出：快變信號(hào)，高頻分量，主要影響跳變沿；慢變信號(hào)，低頻分量，主要影響頂部；任一分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，波形將會(huì)失真有吉布斯現(xiàn)象發(fā)生吉布斯現(xiàn)象當(dāng)選取傅里葉有限級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)N很大時(shí)，峰起值越靠近不連續(xù)點(diǎn)，該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，它大約等于總跳變值的9%，并從不連續(xù)點(diǎn)開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。§3.3

典型周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)1、周期矩形脈沖信號(hào)（重點(diǎn)介紹）2、周期鋸齒脈沖信號(hào)3、周期三角脈沖信號(hào)4、周期半波余弦信號(hào)5、周期全波余弦信號(hào)（自己看書）一、周期矩形脈沖信號(hào)1、周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)周期矩形脈沖：脈寬為

，脈沖幅度為E，周期為T1。偶函數(shù)三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)2、周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜復(fù)數(shù)頻譜頻譜分析表明各譜線的幅度按包絡(luò)線變化。過零點(diǎn)為：離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密。各分量的大小與脈幅、脈寬成正比，與周期成反比。主要能量在第一過零點(diǎn)內(nèi)。頻帶寬度，記作B為：不同T1值下周期矩形信號(hào)的頻譜不同

值下周期矩形信號(hào)的頻譜3、特例：周期對(duì)稱方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)稱方波信號(hào)有兩個(gè)特點(diǎn)：(1)是正負(fù)交替的信號(hào)，其直流分量a0等于零。(2)它的脈寬恰等于周期的一半，即t=T1/2既是偶函數(shù)又是奇次諧波，只含有基波和奇次諧波的余弦分量。§3.4

傅里葉變換非周期信號(hào)的頻譜：傅里葉變換當(dāng)周期T1→∞,周期信號(hào)變成了非周期性的單脈沖信號(hào)。譜線間隔→0，離散譜變成連續(xù)譜。譜線高度→0，失去意義。但能量仍存在，頻譜分布也就存在，需要引入新的量“頻譜密度函數(shù)”。頻譜密度函數(shù)同樣，譜線間隔幅度譜相位譜F(

)是一個(gè)密度函數(shù)的概念，即單位頻帶的頻譜值。F(

)是一個(gè)連續(xù)譜。F(

)包含了從零到無限高的所有頻率分量。各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系。非周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)§3.5

典型非周期信號(hào)的傅里葉變換1、單邊指數(shù)信號(hào)2、雙邊指數(shù)信號(hào)3、矩形脈沖信號(hào)4、符號(hào)函數(shù)5、升余弦脈沖信號(hào)一、單邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換

二、雙邊指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換

時(shí)域波形三、矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換

分析：2.周期信號(hào)的離散頻譜可以通過對(duì)非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜等間隔取樣求得。信號(hào)在時(shí)域有限，在頻域則是無限的。脈沖寬度

越窄，有效帶寬越寬，傳送信號(hào)所占用的頻帶越寬。1.非周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀與周期矩形脈沖信號(hào)離散頻譜的包絡(luò)線相似。3.

信號(hào)的頻譜分量主要集中在零頻到第一個(gè)過零點(diǎn)之間，常將此范圍作為有效帶寬。f1(t)四、符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換

不滿足絕對(duì)可積條件，借助與雙邊指數(shù)衰減函數(shù)相乘，先求此乘積信號(hào)的頻譜，然后取極限求f(t)的頻譜指數(shù)信號(hào)f1(t)的傅里葉變換符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換§3.6

沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換一、沖激函數(shù)的傅里葉變換

1、沖激函數(shù)的傅里葉變換在時(shí)域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量。稱此頻譜為“均勻譜”或“白色譜”。2、沖激函數(shù)的傅里葉逆變換直流信