2023-2024學(xué)年福州三校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二年級(jí)上冊期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年福州三校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若z=2?產(chǎn)，則z的虛部為()

1-2/

11.

A.—B.—I

55

33.

C.—D.—I

55

2.如圖，棱長為1的正方體ABC。-A4GA中，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A.DC11DXP

8.平面2AP，平面AAP

C.NAPR的最大值為90

D.AP+PD,的最小值為，2+J5

3.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為月(-&6,0),F,(A/10,0),河是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足尸2=0,

MF1|.|MF2|=2,則該雙曲線的方程是()

A%之B.x2-^-=l

A.------y=1

99

2222

」-匕=1D.土-乙=1

3773

4.設(shè)尸=2a(a—2)+3,Q=(a-l)(a-3),awR,則有()

A.PNQB.P>Q

c.P<QD.P<Q

5.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，為和為方程犬―10x+16=0的兩根，則小92等于()

A.8B.10

C.16D.32

6.已知函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)尸(x)的圖象可能是()

7.已知數(shù)列｛4,｝滿足％=1,??+1=3??+2"(HGN*),b*=S.設(shè)teZ,若對于V"eN*,都有2〉，恒成立,

an

則t最大值為

A.3B.4

C.7D.9

8.命題“VxeN,e、>sinx”否定是。

A.V%eN,ex<sinxB.X/xeN,eA>sinx

r

C.3x0eN,e'°>sinx0D.3x0eN,e°<sinx0

9.不等式—/+2%+3>0的解集為。

A.(-1,3)B.(-3,l)

C.(3,+co)D.(-<?,-3)1J(1,+OO)

10.已知數(shù)列｛4｝滿足q=l,a“eZ,且一乃』<3"+g,a?->3n+1-1,貝!J%。?】

+2)

22022i32。一

A.-——B.----------

88

a20201D—

C.-——

88

11.設(shè)a,b,c非零實(shí)數(shù)，且。>6,則()

11

A.a+b>0B.—<—

ab

C.a-b>QD.ac>be

12.下面四個(gè)條件中，使a>5成立的充分而不必要的條件是

A.d>b+\B.d>b-l

C.a2>b2D.

二、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分。

13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的5=_.

14.已知"力="—1,則曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程是,

|x-l|,x<0

15.已知函數(shù)〃x)=1，則/(/(一3))=

x2,x>0

22

16.已知雙曲線L-土=1,則圓/+y2—6x+8=0的圓心C到雙曲線漸近線的距離為

45

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)2020年8月，總書記對制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強(qiáng)宣傳教育，切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，

在全社會(huì)營造浪費(fèi)可恥、節(jié)約光榮的氛圍.為貫徹總書記指示，大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣

傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動(dòng).現(xiàn)已有高一63人、高二42人，高三21人報(bào)名參加志愿活動(dòng).根據(jù)活動(dòng)安排，擬采用分層抽

樣的方法，從已報(bào)名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動(dòng)

(1)第一期志愿活動(dòng)需從高一、高二、高三報(bào)名的學(xué)生中各抽取多少人？

(2)現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取2人粘貼宣傳標(biāo)語，求抽出兩人都是高二學(xué)生的概率是多少？

(3)食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩飯的重量(單位：公斤)，以10

天為單位來衡量宣傳節(jié)約糧食的效果.在一個(gè)周期內(nèi)，這組志愿者記錄的數(shù)據(jù)如下：

前10天剩菜剩飯的重量為：24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2

后10天剩菜剩飯的重量為：23.221.520.821.320.419.420.219.320.618.3

借助統(tǒng)計(jì)中的圖、表、數(shù)字特征等知識(shí)，分析宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果(選擇一種方法進(jìn)行說明即可)

2n

18.(12分)已知命題P：?Vxe[l,2],x-a>0，命題染3x0eR,君+2方。+2-°=o”，若“P且q”

為真命題，求實(shí)數(shù)”的取值范圍

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=2x-(x-b)lnx(beR),g(x)="+e-l

(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(e,/(e))處的切線與y=x平行，求的值；

(2)在⑴的條件下證明:Vx>O,f(x)<g(x)

20.(12分)(1)敘述正弦定理；

(2)在△ABC中，應(yīng)用正弦定理判斷“4>5”是“sinA>sin5”成立的什么條件，并加以證明.

21.(12分)已知直三棱柱ABC—A與G中，BA=BC=BB[=2,ABC^90，E、尸分別是AC、的中

點(diǎn)，。為棱瓦G上的點(diǎn).

(1)證明：BF±DE；

（2）當(dāng)4G=44。時(shí)，求直線5歹與平面OEf所成角的正弦值.

22.（10分）如圖，正三棱柱A3C—4與G中，。是的中點(diǎn)，AB=BB[=2.

（1）求點(diǎn)C到平面AG。的距離;

（2）試判斷入也與平面AG。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡，由復(fù)數(shù)概念即可求解.

1+i1+?㈠)一(J)(l+2i)=3+i_3J

【詳解】因?yàn)?=匚r

l-2il-2i(l-2z)(l+2z)555

所以Z的虛部為!,

故選：A

2、C

【解析】,:421DC,,\B±DCX,：.DCi±面A3CR,u面A,BCDI，二DQ1D1P,A正確；二?平面D^P

即為平面D^BC,平面\AP即為平面AABB],且241平面\ABB},

平面243C，平面AABB],.?.平面24P，平面AAP,.?.B正確；

當(dāng)0<AP（等時(shí)，NAP。為鈍角，錯(cuò);將面44,8與面A8C，沿48展成平面圖形，線段即為AP+PD]

的最小值，在A2AA中，/￡>04=135,利用余弦定理解三角形得叫=也二

即AP+PD1之，2+&，，D正確，故選C

考點(diǎn)：立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題

【思路點(diǎn)睛】立體幾何問題的求解策略是通過降維，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，具體方法表現(xiàn)為：

求空間角、距離，歸到三角形中求解；2.對于球的內(nèi)接外切問題，作適當(dāng)?shù)慕孛?，既要能反映出位置關(guān)系，又要反映

出數(shù)量關(guān)系；求曲面上兩點(diǎn)之間的最短距離，通過化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點(diǎn)間的距離

3、A

【解析】由叫=0,可得叫進(jìn)一步求出(|吟|_|9|)2=|岫|2-2|叫卜|加工|+|崢「=36,由此

得到a=3,則該雙曲線的方程可求

【詳解】MF^MF2=0,

即

MF,MFXVMF2,

L2

：.\MFX\+\MF21=40

22

貝！I(\MFi\-\MF21)=\MFt|-2\MFl\.\MF2\+\MF2^=40-2x2=36

:.\MFl\-\MF2\=6=2a.即q=3

c=A/10?b2=c1—a2=1

則該雙曲線的方程是：

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線的方程，常用待定系數(shù)法，先定式(根據(jù)已知確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，設(shè)出曲線的方

程)，再定式(根據(jù)已知建立方程組解方程組得解).

4、A

【解析】利用作差法計(jì)算尸-Q與o比較大小即可求解.

【詳解】因?yàn)槭?2a(i—2)+3,Q=(〃—1)(〃—3),

所以「一0二勿(〃-2)+3-(〃一1)(〃-3)=々2>o,

所以

故選：A.

5、C

【解析】根據(jù)為和％9為方程爐-10x+16=0兩根，得到q?9=16,然后再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.

【詳解】因?yàn)橛珊停?為方程式T0x+16=0的兩根,

所以q-ai9=16,

又因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等比數(shù)列,

所以線.(2=6?(g=16,

故選：C

6、D

【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系可作答

【詳解】原函數(shù)在［-3,3］上先減后增，再減再增，對應(yīng)到導(dǎo)函數(shù)先負(fù)再正，再負(fù)再正，且原函數(shù)在（0,0）處與工軸相

切，故/'（0）=0

可知，導(dǎo)函數(shù)圖象為D

故選：D

7、A

【解析】整理數(shù)列的通項(xiàng)公式有：*+21=3（"+2"）,

結(jié)合％+吸=3可得數(shù)列｛an+2"｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，

則%+2"=3",.?.%=3-2",

3用_2"+13"+2（3"—2"）3"1

b?=------------=--------------=------+2=--------+2

1c

t<-----------F2

原問題即：1-12]恒成立，

1cc1

--------+293--------+2

當(dāng)〃一討時(shí),1-1],即i.||J>3,

綜上可得：，的最大值為3.

本題選擇A選項(xiàng)

點(diǎn)睛：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推

關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；②將已知遞推關(guān)

系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)

8,D

【解析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得出結(jié)論.

【詳解】命題為全稱命題，則命題的否定為：3x0eN,<sinx0.

故選：D.

9、A

【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.

【詳解】-x2+2x+3>0=>(x+l)(x-3)<0=>-1<%<3,

故選：A.

10、A

【解析】由已知兩個(gè)不等式，利用“兩邊夾”思想求得?！?2-4=3用，然后利用累加法可求得4021

【詳解】；。"+1<3"+g，4+2-<3向+；,二3"+1-3<4+2<3"+1+；,又eZ,q=leZ，

M+1

4+2—%eZ，即an+2—an=3,

1011

]_232022_]

???〃2021=4I+(Q3—6)+(Q5—Q3)-I---1-(^2021—々2019)=1+32+34++32()2°二-------二-------

1—98

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式，由遞推式的特征，采用累加法求得數(shù)列的項(xiàng).解題關(guān)鍵是利用“兩邊夾”思想求解

11、C

【解析】對于A、B、D：取特殊值否定結(jié)論；

對于C利用作差法證明.

【詳解】對于A：取。=-11=-2符合已知條件，但是〃+5>0不成立.故A錯(cuò)誤；

對于B：取。=1力=-2符合已知條件，但是工=1,：=一工，所以工不成立.故B錯(cuò)誤；

ab2ab

對于C：因?yàn)閍>6,所以a-b>0.故C正確；

對于D：取a=l力=—2,c=-1符合已知條件，但是ac=—l,bc=2,所以ac>A不成立.故D錯(cuò)誤;

故選：c.

12、A

【解析】由wi：：J型界北與￡"二例:江柳，但無法得出j1，A滿足;由.」1、ab均無法得出》岳不

滿足“充分”；由:#加猾＞詢》菽，不滿足“不必要”.

考點(diǎn)：不等式性質(zhì)、充分必要性.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，即可求解得答案

111

【詳解】解：S=s+---=s+---—

k(k+1)kk+1

第一次循環(huán)，5=1+1-k=2；

第二次循環(huán)，S=l+l-=+=—1,k=3；

223

第三次循環(huán)，5=1+1----1------------1----------，k=4；

22334

1111111

第四次循環(huán)，5=1+1一一+-----+-----+-----，k=5i

2233445

依門11111111111皿-,幺,°11

第五次循環(huán)，5=1+1一一+----+-----+-----+-----=—,k=6,循環(huán)停止，輸出S=一；

22334455666

故答案為：—.

6

14、ex-y-1—G

【解析】求導(dǎo)/'(%)=",得到了'⑴"⑴，寫出切線方程.

【詳解】因?yàn)?(%)="—1,

所以廣(%)=",

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(L/⑴)處的切線方程是y-e+l=e(x-l),

即e%_y_l=O,

故答案為：ex-y-1^0

15、2

【解析】利用函數(shù)/(%)的解析式由內(nèi)到外逐層計(jì)算可得了(/(-3))的值.

|x-l|,x<0]

[詳解][y(x)=<1,.,./(-3)=|-3-1|=4,因此，/(/(_3))=〃4)=43=2.

故答案為：2.

16、2

【解析】求出圓心和雙曲線的漸近線方程，即得解.

【詳解】解：由題得圓爐+由一6%+8=0的圓心為(3,0),

222

雙曲線'—,=1的漸近線方程為>=;方X,即2x—百丁=0.

|6|

所以圓心C到雙曲線漸近線的距離為=2.

V4+5

故答案為：2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17、(1)6,4,2；(2)j；(3)答案見解析.

【解析】(1)先求出抽樣比，然后每次按比例抽取即可求出；

(2)先求出抽出兩人的基本事件，再求出兩人都是高二學(xué)生包含的基本事件，即可求出概率；

(3)可求出平均值進(jìn)行判斷；也可畫出莖葉圖觀察判斷.

122

【詳解】解：(1)報(bào)名的學(xué)生共有126人，抽取的比例為—=二，

12621

222

所以高一抽取63x—=6人，高二抽取42義一=4人，高三抽取21x—=2人.

212121

(2)記高二四個(gè)學(xué)生為1,2,3,4,高三兩個(gè)學(xué)生為5,6,抽出兩人表示為(x,j),

則抽出兩人的基本事件為

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)

共15個(gè)基本事件，

其中高二學(xué)生都在同一組包含(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6個(gè)基本事件.

記抽出兩人都是高二學(xué)生為事件A,則P(A)=2=|，

2

所以高二學(xué)生都在同一組的概率是

(3)法一：(數(shù)字特征)前10天的平均值為23.5,后10天的平均值為20.5,

因?yàn)?0.5<23.5,

所以宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果很好.

法二：(莖葉圖)畫出莖葉圖

前10天行10大

225

51224

8654232

522135

202460

1934

183

因?yàn)榍?0天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近，

所以節(jié)約宣傳后剩飯剩菜明顯減少，宣傳效果很好.

18、。<一2或。=1

【解析】先分別求出q為真時(shí)，。的范圍；再求交集，即可得出結(jié)果.

【詳解】若P是真命題.則a<x~對任意xe[1,4恒成立，二。W1；

若4為真命題，則方程必+2℃+2—a=0有實(shí)根，

AA=4a2-4(2-a)>0,解得或aW—2,

由題意，?真也真，...aW—2或。=1

即實(shí)數(shù)”的取值范圍是aW—2或a=l.

19、(1)b=e；(2)證明見解析.

【解析】(1)由題意可得尸(e)=l,從而可求出b,

(2)先構(gòu)造函數(shù)s(x)=/-x-1,利用導(dǎo)數(shù)可求得s(x)>。對任意x>0恒成立，^>%+1對任意%>0恒成立，

從而將問題轉(zhuǎn)化為只需證x-(x-e)In為，e對任意%>0恒成立，再次構(gòu)造函數(shù)〃(x)=x-(x-e)Inx,利用導(dǎo)數(shù)求

出其最大值小于等于e即可

b

【詳解】(1)解：/(x)=2x-(x-b)Inxj\x)=l-lnx+-

函數(shù)/(尤)的圖象在點(diǎn)(e,/(e))處的切線與丁=%平行，

b

f\e)=1—1H—=1,

e

解得b=ei

證明：(2)由(1)得/(x)=2x-(x-e)lnx

/(x)<g(x)即2x-(x-e)Inx</+e—1對任意尤>0恒成立，

令5(x)=ex-x-1,貝!)s'(x)=e*-1,

?當(dāng)尤>0時(shí)，s'(x)>s'(0)=0,

...函數(shù)s(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

???s(0)=0,.?.5(%)>0對任意x>0恒成立,

即/>x+1對任意%>0恒成立，

,只需證2x-(x-e)In%,x+1+e-1對任意%>0恒成立即可，

即只需證無一(x-e)ln%,e對任意%>0恒成立，

%—ce

令〃(x)=%一(％—e)lnx,貝=1—Inx--------=——In],

xx

由/(九)單調(diào)遞減，且/(e)=0知，

函數(shù)〃(九)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+s)上單調(diào)遞減，

:.”(%)01ax=u(e)=e,：.x-(x-e)InA;,e得證，

故不等式/(x)<g(x)對任意尤>°恒成立

20、(1)正弦定理見解析；(2)充要條件，證明見解析

【解析】(1)用語言描述正弦定理，并用公式表達(dá)正弦定理

(2)利用“大角對大邊”的性質(zhì)，并根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化即可

【詳解】(1)正弦定理：在任意一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦值之比相等且等于這個(gè)三角形外接圓的直徑,

即_^=」_=_^=2R.

sinAsinBsinC

(2)A>5是sinA>sinB充要條件.

證明如下：

充分性：

QA>B,:.a>b

又Q-^—=-^—=2R

sinAsinB

a=27?sinA,b=2RsinB

27?sinA>27?sinB

故有：sinA>sinB

必要性：

Q^-=—^=2R

sinAsinB

.4a.「b

sinA=——,sinB=——

2R2R

又sinA>sinB

ab

,—>—

…2R2R

綜上，A>5是sinA>sin5的充要條件

21、(1)證明見解析

⑵叵

10

【解析】(1)由題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可，

(2)求出平面