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文檔簡介
(6)空間向量與立體幾何
B卷
L如圖,在正三棱柱ABC-A5G中,各棱長均為4,M,N分別是8C,CG的中點?
B
(1)求證:BN,平面AMB];
(2)求直線AB與平面AMBl所成角的余弦值.
2.如圖,在四棱錐P—ABO)中,AZ)∕∕8C,Z4BC=ZBPC=90。,6C=CO=2M=2CP=2,平面
PBCl5FffiABCD.
(1)證明:PCJ_PA;
(2)求直線AB與平面PCz)所成角的正弦值.
3.如圖,在直三棱柱ABC-ABC中,AB=A4t=2,E,F分別是A田和8瓦的中點,ACJ,A£P(guān)
⑴求證:PE_LAF;
(II)若CP=2PA,三棱錐P-EFC的體積為1,求PE與平面EFC所成角的正弦值.
4.如圖,四棱錐尸-ABa)的底面為矩形,平面PCr>,平面ΛBCD,?PCO是邊長為2的等邊
三角形,8C=夜,點E為8的中點,點M為PE上一點(與點P,E不重合).
⑴證明:/W_L5r).
(2)當AM為何值時,直線AM與平面BDM所成的角最大?
5.在三棱錐P-ABC中,ZABC=NPAB=60o,PA=I,AB=2,AC=2亞D為棱BC上一點,且
CD=X.
(I)證明:PO_LAB;
(II)若平面BAB,平面A6C,求直線PC與平面ABe所成角的余弦值.
6.如圖,在四棱柱ABa)-P0WN中,PCjL平面ABCO,四邊形ABC。是直角梯形,
AB?AD,ADHCB,AD=2AB=2CB=2,PA=√6,PD和AN交于點E.
⑴求證:平面E4C,平面PDG;
(2)求直線PD與平面AMN所成角的正弦值.
7.如圖,在三棱柱ABC-AAG中,AB^BC=CA=AiA=A1C=2,AiB=y/6,。為AC的中
點,E為CC的中點.
⑴求證:平面班>E,平面ABC;
⑵若尸為AIA的中點,求直線3b與平面ABC所成角的正弦值.
8.如圖,在直三棱柱ABC-ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,A41=4,。是AB的中
點.
A
(1)求證:AClBC1;
(2)求證:AC"平面C£>4;
(3)求三棱錐G-C力片的體積.
9.如圖,四棱錐P-ABcD的底面是正方形,∕?,底面ABC。,E,F,H分別是3C,
PC,P。的中點,Q4=AB=2.
(I)求證:平面E9〃平面PBA;
(II)求四棱錐P-ABCO被平面EF"分成的兩部分的體積比.
10.如圖,在三棱柱ADF-8CE中,四邊形ABCo是菱形,
ZΛBC=120o,ΛF=3,A£>=2DF=2√3,P,Q分別為AD,BE的中點,且平面Ar)EJ■平面
ABCD.
(1)求證:DFlPQ;
(2)求直線P。與平面Br)F所成角的正弦值.
答案以及解析
L答案:(1)見解析
⑵巫
5
解析:(1)因為AB=AC,且M為BC的中點,所以4W_LBC.在正三棱柱A8C-A∣B∣C∣
中,平面BCGM,平面ABc',AWu平面ABC,且平面BCG用5F≡ABC=BC,所以
AWJ"平面BCCtBt.
因為HVU平面BCGB1,所以AMJ
因為M,N分別為BC,CG的中點,所以BM=CN=2.
又因為B8∣=CB=4,NMBBI=NNCB=90°,所以AMBB】HANCB,所以ZBMBi=NCNB,
NBBIM=NCBN,
所以NBMBI+匕CBN=ZCNB+ZCBN=90°,所以BV_LBIM.
又因為AMu平面AMBI,片MU平面AMBAMBIM=M,
所以&V_L平面AMBi.
(2)設(shè).BNBIM=O,連接AO.由(1)可知BoJ_平面4M8∣,所以NBAo為AB與平面
AM8]所成的角.連接AN,由題可知AN=BN=√42+22=2√5,
所以BN為等腰三角形,作NELAB于E,則E為AB的中點,所以
NE=NBN2-BE?=4,所以A。=坐些=與=2.在RtZ?AO3中,ZAOB=90°,所以
BN2√5√5
.AO2√5
cosZ7BlAiOn=-----=-------,
AB5
所以直線AB與平面AMBl所成角的余弦值為半.
2.答案:(1)見解析
⑵]
解析:(1)因為平面PBC_L平面ABCD,平面PBCI平面ABCD=BC,ZABC=90°,
所以AB,平面PBC.
因為PCU平面PBC,所以AB_LPC.
y.ZBPC=90°,ABIPB=3,所以PCJ_平面7?B.
因為Λ4u平面PAB,所以Pe_LΛ4.
(2)如圖,取CB的中點E,連接DE,
因為BC=2AD,ADHBC,所以AD∕∕BE,AD=BE,
所以四邊形ABED為平行四邊形,所以DEHAB,
故直線AB與平面PCD所成的角即直線DE與平面PC。所成的角.
過P作BC的垂線交BC于點M過M作CD的垂線交8于點N,連接M),因為平面PBC1
平面A88,平面PBCX平面ABCD=BC,PM±BC,
所以PMJ"平面ABe£),
因為DCU平面ABcO,
所以PMLDC.
又MNlDC,PM?MN=M,
所以DC,平面PMM
所以平面PMN1平面PCD.
過M作PN的垂線交PN于點”,則MWJ_平面Pc0.
易用ADCB=6G,PB=+,CM=ME=LPM=七里=皂,MN=CMsinΛDCB=-×-=-,
2CB2224
所以PN=?JPM?+MN?=巫,
4
所以MH=PM'N=叵
PNIO
又石C=2MC,所以點E到平面PCo的距離1為點M到平面Pa)的距離的2倍,
所以"=2Λ∕H=乎.
在Rt?CEDΦ,D£=y∣CD2-CE2=√3,
√15
設(shè)直線他與平面PCD所成的角為。,則Sine=W=3=些,
DE√35
所以直線他與平面PCZ)所成角的正弦值為4.
3.答案:⑴見解析
(∏)y
解析:⑴證明:如圖,連接AE,PE,在直三棱柱ABC-A4G中,
所以然J.A4.
因為AB=AAt=2,
所以與產(chǎn)經(jīng)ZVLA1E,
所以NAEA=ZΛ1FBl.
因為幺郎+ZE4tB=90",
所以ZAE4l+NEA1B=90",
即AyF±AE.
X?1F±AC,ACIAE=A,
所以AF,平面ACE.
又PEU平面ACE,
所以PE_LA°
(II)因為AFLAC.
又ACJ_M,A尸IA41=Λl,
所以AC,平面AAl片8.
又ABU平面A4,4B,所以AC_LA8.
連接ΛF,因為CP=2Λ4,
所以Vp-EFC=vE-PFC=AFC=^VC-AEf-'
又S=|,ACJ_平面AAI48,
所以VP^EK=∣K-ΛW-=IXgXl?AC=1,
解得AC=3.
以4為坐標原點,A4,AcI,AA所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則A(0,0,0),E(l,0,0),F(2,0,1),P(0,1,2),C(0,3,2),
UUUULIUUUU
所以PE=(I,T,-2),EF=(l,0,l),EC=(-l,3,2),
設(shè)平面EFC的法向量為n=(x,y,z),
mm
則UiD?Z°取X=I,貝!jy=Lz=—1,即∕ι=(l,l,T),
n?EC=-x+3y+2z=0,
設(shè)PE與平面EFC所成角為。
UUlr-
則sinθ=|cos(PlE,ιλ\="后,〃∣.=顯
\/?PE?-?n?3
所以PE與平面EFC所成角的正弦值為理.
3
4.答案:(1)見解析
(2)30°
解析:(1)證明:如圖,連接AE,交班)于點F因為四邊形ASCO為矩形,8=2,8C=應(yīng),點
E為CD的中點,所以tanNDAE==—,tanZBDC==—,
AD2CD2
所以tanND4£=tanZBDC,
則ZDAE=ΛBDC.
因為NZM£+ZA£?=90。,
所以ZBDC+ZAED=90。,
所以ND莊=90。,則BDYAE.
因為VPS是邊長為2的等邊三角形,點E為CD的中點,所以PE_LCO.
因為平面Pa)J_平面ABCZ),平面PCr)I平面4?CD=CZ),所以PE,平面ABCD.
又打£>u平面ABCD,所以PEJ_就>.
因為PElAE=E,所以BZ)I.平面Λ∕>E.
因為ΛMu平面ApE,所以B9_L40.
⑵取AB的中點H,連接EH,則EHVCD.
以E為坐標原點,E”,ECEP所在的直線分別為X軸、y軸、Z軸建立如圖的空間直角坐
標系,
由已知條件可知,A(√2,-l,0),D(0,-l,0),B(√2,l,0),PE=JP己-CE?=√22-l2=√3.
、_ULlLl_LlLill_UUlMl
設(shè)M(O,O,M(O<m<6),則AM=(-√2,1,m),BD=(-√2,-2,0),DM=(0,1,m).
設(shè)平面BDM的一個法向量為〃=(x,y,z),
IlIun
則盥"=。即卜&x-2y=0,
DM?n=0,[y+mz=0.
令z=l,則y=-m,x=?[2m,
所以〃=(Mn,-AZZ,1).
設(shè)直線AM與平面BDM所成的角為θ,
UUlI
∏∣.,∕*??AM-n?2m
則1isinθz3=|COS(AM,〃)l∣=uuιr=∣一/=
'/?AMHnl√3+W2?√3∕Π2+1
-------------------£,L2=?=:,當且僅當3療=3,即W=I時,等號成立.
M+3。MrQm
UUlH_________
所以直線AM與平面BDM所成的角的最大值為30。,此時AM=∣AM∣=√2+l+l=2.
5.答案:(I)見解析
(H)述
26
解析:⑴證明:在△/<45中,/RW=60。,∕?=1,AB=2,
由余弦定理得PB2=PA2+AB2-!PA-AB-cos60°=3,
所以PB=6.
在?ABC中,NABC=60。,AC=2√3,AB=2,
由正弦定理得AC=ab
sinZABCsinZACB
即辛=一Z—,
√3SinZACB
T
解得SinZACB=L
2
又ΛB<AC,所以ZACB<ZABC=60。,
所以ZAC8=30。,
所以ZBAC=90°,即ZvWC為直角三角形,
22
則由勾股定理得BC=y∣AB+AC=4.
過點。作/)£_LΛ5于點E,則DEHAC,
所以股=匹即3=笠所以BE=?
BCBA422
連接PE,在APEB中,PB=瓜BE=JNPBA=30°,
2
則由余弦定理得PE2=PB1+BE2-2PB-BEcos30°=-,
4
所以PE=無,則PE?+BE2=PB2,
2
所以。E_L3£,即PEYAB.
y.DEYAB,PE↑DE=E,
所以ABL平面PDE.
又u平面P£>E,所以PDj.AB.
(∏)若平面E4S,平面ABC,
由⑴可知PE_LBE.
因為fi?u平面ABC,
所以PE_L平面ABC,連接EC,
則NPCE即為直線PC與平面ABC所成角.
在RtZXAEC中,/E4C=90",AE=LAC=,
2
由勾股定理得EC2=AE2+AC2
所以EC=L
2
在RtAPEC中,
由勾股定理得PC2=PE2+EC2=—=13,
4
則PC=√13,
7
所以c"CE噗卡=嚶
所以直線PC與平面48C所成角的余弦值為M?.
6.答案:(1)證明過程見解析.
(2)正弦值為2.
3
解析:(I)QPC,平面ABC。,ACU平面ABC
.-.ACA-PC.
QAD=2,AB=CB=↑,ABrAD,ADHCB,
AC=DC=-?∕2,
..AC2+CD2^AD2,.?.ACrCD.
又CZ)CPC=C,..AC_L平面PDC.
QACU平面EAC,平面EAC_L平面PDC.
(2)解法一:由(1)知,ACVCD,
QPC_L平面ABa),Cr>u平面ABC。,:.PCLCD,
又ACCPC=C,.?.CE>L平面PAC.
又MNHCD,:.MN±平面PAC,
又初VU平面AMN,.?.平面AAmJL平面PAe
易知平面AWZVc平面7?C=ΛM,過點尸作PH_LAW于點“,則P",平面AMM
連接EH,則ZPEH為直線Po與平面AMN所成的角.
在RtZ?P8中,PPC=y∣PA2-AC2=2,CD=√2,.?.PD=√2+4=√6,則PE=IPO=逅.
22
設(shè)PCCΛM=F,易知產(chǎn)為Pe的中點,PF=I,
連接PM,則PM=AC=應(yīng)四J.PC,
.?.FM=Jl+(揚2=不,
在Rtz?PΛ"中,LXIX夜2χ百χP",PH=-,
223
√6
3
.PH62
:.sinZ7.dPγEHu==-?-=—,
PE23
故直線Po與平面AMN所成角的正弦值為2.
3
解法二:由(1)知,AC±PC,AC=√2,又PA=瓜,所以PC=后五=2.
連接PM,則PM=AC=0,PMLPC.
UCHUULIUU
因為ACLCD,PC,平面ABC0,故以C為坐標原點,S,C4,CP的方向分別為X軸、y
軸、Z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,
則C(0,0,0),A(0,√2,0),D(√2,0,0),P(0,0,2),M(O,-√2,2),
AM=(0,-202),MN=CD=(√2,0,0),PD=(√2,0,-2).
設(shè)平面AMN的法向量為〃=(X,y,z),
uuurr_
π1l∣∕ι?AM=0nπ-2√2y+2z=0m,∣
則《UUir,即r?),貝IJX=0,
ZiMTV=O√2Λ=0
取y=l,則z=L,所以〃=(0,1,夜).
設(shè)直線PO與平面AMN所成的角為θ,
UUSI
則sin<9=|cos(a,n)?=∣"Λ?=-,
InI-IPDI3
故直線PD與平面AMN所成角的正弦值為2.
3
7.答案:(1)證明過程見解析.
(2)正弦值為
解析:(1)由題意可得四邊形ACGA是菱形,連接AG,所以AAC
因為。為AC的中點,E為Ca的中點,
所以。E∕∕4C∣,所以Z)E_LAC.
連接AQ,因為AB=BC=C4=AA=AC=2,
所以3E>_LAC,且AO=BO=G
又AB=瓜,所以人》+/?。?=4),所以AOJ.30.
又ACCAIO=。,所以BO1.平面ACGA,
因為ACU平面ACGA,所以BOLAC.
因為比>CJDE=。,所以ACJ_平面3DE,
因為ACU平面ABC,所以平面跳)E_L平面A8C.
(2)解法一:由(1)知平面班出,平面ABC,
設(shè)ACCoE=M,連接BM,則平面BDEc平面ABC=BM,
過點。作DN,BM于點N,則Z)N,平面ABc
連接。F,因為。,尸分別是AC,A4,的中點,所以。尸〃AC,
所以點P到平面?BC的距離與點D到平面AxBC的距離相等,為DN.
設(shè)直線B尸與平面ABC所成的角為6,則Sine=型.
BF
因為AB=BC=C4=AA=Λ,C=2,所以AC∣=2√5,
所以。W」£>E=LACl=
2412
由(1)易知Q_LZ)£,
所以BM=y!DM2+BD2=.I-+3=—,
所以DN=處也=姮.
BM5
易知BF=√Γ+3=2,
√15
所以Sine="=?=巫,
BF210
即直線BF與平面AiBC所成角的正弦值為號.
解法二:由(1)知BO,AC,Ao兩兩垂直,故以。為坐標原點,直線DC,DA,,
分別為X軸、y軸、Z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則B(√3,0,0),C(0,1,0),A(O,O,√3),FfO,-?,
UlULlUDUUlT
所以BF=,BC=(-√3,l,0),AlB=(√3,O,-√3).
設(shè)平面ABC的法向量為M=(x,y,z),
UUW
n?BC=U,f-?/??+y=0,
則UUir得
小AB=0,?√3x-√3z=0,
取z=l,得"=(1,6,1).
設(shè)直線B尸與平面ABC所成的角為θ,
UllU.-
∏∣../?S,∣n?BF∣√15
W1UlsinΘn=∣cos(∕j,BF)l|=-----ut?-=-----,
?n??BF?10
所以直線與平面ABC所成角的正弦值為零.
8.答案:(1)見解析
(2)見解析
(3)三棱錐G-CD用的體積為4
解析:(1)AB2=AC2+BC2,.-.ACVBC.
55
CC1?FffiABC,ACcFffiABC,
:.AC±CC,.XBCCCl=C,
5
:.AC±¥11BCC1B1.BC1?FffiBCCtBt,:.ACLBCx.
(2)如圖,設(shè)Cs與GB的交點為£,連接。E.
BC=AA1=4,.?.BCC∣B∣為正方形,
:.E是GB的中點.
又。是AB的中點,.?.DEHACx.
DEu平面CDBi,AGC平面CDB∣,
:.AG〃平面CO用.
(3)ACJ_平面BCCg,。為AB的中點,
,點。到平面BCC4的距離等于3AC,
V
C,-CDBI=?5-βlGc=§5陰“《AC=W4X4X]X3=4.
三棱錐C,-CDBt的體積為4.
9.答案:(I)見解析
(II)5:11
解析:(D證明:因為凡H分別是PC,PO的中點,所以FH//CD.
又因為四棱錐戶-ABS的底面是正方形,
所以AB//CD,即ΛB∕∕∕7∕.
又ABU平面「BA,FHU平面ABC,
故FHH平面PBA.
同理可證EFH平面PBA.
因為£Fu平面E"/,FHU平面EFH,EFFH=F,所以平面EFH〃平面PBA
(II)因為平面EFHU平面PBA,延伸平面EFH交AO于點Q,則HQHPA,所以。為
AD的中點,連接FD
設(shè)多面體“'E-"Z)Q的體積為K,剩余部分體積為匕,四棱錐F-Eez)Q的高為人.
因為VFCE-HDQ=匕CDO^,^,
?
YF-BeDQ=?3四邊形ecdq
5
所以K=VFCE-HDQ~^F-ECDQ+^F-DQH
6
=
因為^P-ABCD?S四邊形ABCD,PA=§,
11
所以K=VfHCO
VFCE-HDQ6^
所以V:%=|:^=5:11.
10.答案:(1)證明過程見解析.
(2)正弦值為
解析:⑴連接BP,在菱形ABCD中,易得BD=2瓜BPLAD.
Q平面ΛBCD1,平面ADF,平面ABcDC平面ADF=
二砂,平面ADF.
又*'u平面AOE,.-.BPA.DF.
在AADF中,易知4。2=£>尸+4尸,.df^af-
XAFHBE,..DFA.BE,
連接EP,QBECBP=B,BE,BPu平面BEP,
.?.Of,平面BEP,
又PQU平面BEP,DFVPQ.
(2)解法一:取。R的中點G,連接EG,GP.
QPGH-AF,AFHBE,QE=-BE,:.PGHQE.
=2=2=
.[四邊形PQEG為平行四邊形,,PQHEG.
.?.直線PQ與平面8
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