均值不等式和柯西不等式

中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家PAGE1PAGE3中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專家龍文教育·教育是一項(xiàng)良心工程武漢龍文教育學(xué)科輔導(dǎo)講義授課對(duì)象孫嘉鈺授課教師楊鵬授課時(shí)間5-5授課題目不等式（二）課型復(fù)習(xí)使用教具講義、白紙教學(xué)目標(biāo)靈活的運(yùn)用均值不等式和柯西不等式求最值教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)和難點(diǎn)在于如何用有效的方法去解決最值問(wèn)題參考教材網(wǎng)資教學(xué)流程及授課詳案柯西不等式和均值不等式1、柯西不等式：二維形式的柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.三維形式的柯西不等式：一般形式的柯西不等式：2、均值不等式及使用條件：均值不等式，若，則（1）是正數(shù)；（2）和（）或（）為定值；（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)。在運(yùn)用均值不等式解題時(shí)，必須滿足“一正、二定、三相等”的條件。但有的題目不能直接利用均值不等式，因此要作一些技巧性轉(zhuǎn)化、變形，才能求得正確的最值。二例題：柯西不等式向量求最值1、設(shè)，試求的最大值與最小值。答：根據(jù)柯西不等式即而有故的最大值為15，最小值為–15。2、設(shè)，試求之最小值。答案：考慮以下兩組向量=(2,–1,–2)=(x,y,z)根據(jù)柯西不等式，就有即將代入其中，得而有故之最小值為4。3、設(shè)，，求的最小值m，并求此時(shí)x、y、z之值。Ans：4設(shè)x，y，zR，2x2yz80，則(x1)2(y2)2(z3)2之最小值為解：2x2yz802(x1)2(y2)(z3)9，考慮以下兩組向量=(,,)，=(,,)

[2(x1)2(y2)(z3)]2[(x1)2(y2)2(z3)2]．(222212)

(x1)2(y2)2(z3)295設(shè)x,y,zR，若，則之最小值為_(kāi)_______，又此時(shí)________。解：2x3(y1)z()，考慮以下兩組向量=(,,)，=(,,)解析：∴最小值∴∴因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)樗裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。上面兩式同時(shí)取等號(hào)，故。評(píng)注：錯(cuò)解中取不到等號(hào)成立的條件是當(dāng)時(shí)，，則，這是不可能的。本例也告訴我們，在用均值不等式求三角函數(shù)最值時(shí)，既要考慮等號(hào)，又要考慮三角函數(shù)的有界性，使等號(hào)成立的條件與三角函數(shù)的有界性保持一致。四、綜合變換例5求函數(shù)的最小值，下列解法是否正確？為什么？解法1：，所以。解法2：當(dāng)，即時(shí)，。評(píng)注：所給兩種解法均有錯(cuò)誤。解法1錯(cuò)在取不到“等”，即不存在x使，解法2錯(cuò)在不是定值。正解：對(duì)原函數(shù)合理拆（添）項(xiàng)，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，。通過(guò)以上幾例我們體會(huì)到：均值定理真重要，用于最值有訣竅，正確理解“正、定、等”，合理進(jìn)行拆、拼、湊。練習(xí)：1.已知x>0，y>0，且，求的最小值。2.若a>0，b>0，且，求ab的最小值。3.求的最大值。答案與提示：1.由（定值），又知x>1，y>9，故當(dāng)且僅當(dāng)x－1=y－9=3，即x=4，y=12時(shí)，。2.由，得3.，此時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，。一、配湊1.湊系數(shù)例1.當(dāng)時(shí)，求的最大值。2.湊項(xiàng)例2.已知，求函數(shù)的最大值。3.分離例3.求的值域。二、整體代換例4.已知，求的最小值。三、換元例5.求函數(shù)的最大值。四、取平方例6.求函數(shù)的最大值。［練一練］若，求的最大值。求函數(shù)的最小值。求函數(shù)的最小值。已知，且，求的最小值。5設(shè)是滿足的正數(shù)，則的最大值是()6若，且恒成立，則a的最小值是()78已知函數(shù)f(x)=,x∈［1,+∞(1)當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值(2)若對(duì)任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍9已知，且，則的最大值為10設(shè)且，求的最大值11求的最小值。12、設(shè)x，y，zR且，求xyz之最大值，最小值。13、已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范圍.14、設(shè)a,b,c,x