數(shù)字信號(hào)處理課件

數(shù)字濾波器的基本概念

及一些特殊濾波器5.3簡(jiǎn)單濾波器的設(shè)計(jì)5.2理想數(shù)字濾波器5.4數(shù)字諧振器5.8梳狀濾波器5.9正弦波發(fā)生器5.5數(shù)字陷波器5.7最小相位濾波器5.6全通濾波器特殊濾波器5.1數(shù)字濾波器的基本概念5.1數(shù)字濾波器的基本概念1.數(shù)字濾波器與數(shù)字濾波濾波的涵義：將輸入信號(hào)的某些頻率成分或某個(gè)頻帶進(jìn)行壓縮、放大;對(duì)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè);對(duì)參數(shù)估計(jì);數(shù)字濾波器：通過(guò)對(duì)輸入信號(hào)的進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波模擬濾波器：用電阻、電容、電感及有源器件等構(gòu)成濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波2.數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)方法

用軟件在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)用專用的數(shù)字信號(hào)處理芯片用硬件返回3.數(shù)字濾波器的可實(shí)現(xiàn)性要求系統(tǒng)因果穩(wěn)定設(shè)計(jì)的系統(tǒng)極點(diǎn)全部集中在單位圓內(nèi)。要求系統(tǒng)的差分方程的系數(shù)或者系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)為實(shí)數(shù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)必須共軛成對(duì)出現(xiàn)，或者是實(shí)數(shù)。4.數(shù)字濾波器的種類現(xiàn)代濾波器經(jīng)典濾波器濾波特性——數(shù)字高通、數(shù)字低通、數(shù)字帶通、數(shù)字帶阻；返回實(shí)現(xiàn)方法——無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器，簡(jiǎn)稱IIR(InfiniteImpulseResponse)，它的單位脈沖響應(yīng)為無(wú)限長(zhǎng)，網(wǎng)絡(luò)中有反饋回路。其系統(tǒng)函數(shù)為：——有限脈沖響應(yīng)濾波器，簡(jiǎn)稱FIR(FiniteImpulse Response)它的單位脈沖響應(yīng)為有限長(zhǎng)，網(wǎng)絡(luò)中沒(méi)有反饋回路。其系統(tǒng)函數(shù)為：返回理想濾波器是一類很重要的濾波器，對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波能夠達(dá)到理想的效果，但是他只能近似實(shí)現(xiàn)。設(shè)計(jì)的時(shí)候可以把理想濾波器作為逼近標(biāo)準(zhǔn)用。本節(jié)主要講述：5.2理想數(shù)字濾波器5.2.1理想數(shù)字濾波器的特點(diǎn)及分類5.2.2理想濾波器的可實(shí)現(xiàn)性返回理想濾波器的特點(diǎn)：

在濾波器的通帶內(nèi)幅度為常數(shù)（非零），在阻帶中 幅度為零；具有線性相位；單位脈沖響應(yīng)是非因果無(wú)限長(zhǎng)序列。理想濾波器的傳輸函數(shù)：5.2.1理想數(shù)字濾波器的特點(diǎn)及分類返回回到本節(jié)幅度放大了C倍時(shí)間延遲 幅度特性為： 相位特性為： 群時(shí)延為：則信號(hào)通過(guò)濾波器輸出的頻率響應(yīng)為：其時(shí)域表達(dá)式：輸入信號(hào)輸出信號(hào)，

表示輸出信號(hào)相對(duì)輸入信號(hào)沒(méi)有發(fā)生失真。返回回到本節(jié)假設(shè)低通濾波器的頻率響應(yīng)為式中，是一個(gè)正整數(shù)，稱為通帶截止頻率。其幅度特性和相位特性圖形如下：cw-cwOw)(jwH1Owcwcw-()wj返回回到本節(jié)濾波器的單位脈沖響應(yīng)為：舉例：假設(shè)由此圖看出此理想低通物理不可實(shí)現(xiàn)返回回到本節(jié)理想濾波器可以分為低通、高通、帶通及帶阻濾波器。它們的幅度特性如下：低通高通帶通帶阻返回回到本節(jié)5.2.2理想濾波器的可實(shí)現(xiàn)性非因果序列不能物理實(shí)現(xiàn)近似實(shí)現(xiàn)辦法：1）的波形向右移動(dòng)，忽略的部分成為因果序列2）截取中間幅度最大的部分，以保持濾波器有線性相位

理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)理想低通的近似實(shí)現(xiàn)返回回到本節(jié)處理以后濾波器的傳輸函數(shù)與理想低通的傳輸函數(shù)的不同是：1）通帶中的幅度產(chǎn)生了波動(dòng)，不再是常數(shù)；2）阻帶的幅度不再是零；3）原來(lái)沒(méi)有過(guò)渡帶，現(xiàn)在產(chǎn)生了過(guò)渡帶。返回回到本節(jié)5.3簡(jiǎn)單濾波器的設(shè)計(jì)用Z平面零極點(diǎn)放置法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單濾波器的基本原理：極點(diǎn)放置在要加強(qiáng)的頻率點(diǎn)附近（單位圓內(nèi)），極點(diǎn)越靠近單位圓頻率響應(yīng)的峰值越高；零點(diǎn)放置在將要減弱的頻率附近，零點(diǎn)越靠近單位圓頻率響應(yīng)的谷值越小，如放在單位圓上幅度為零。返回5.3.1一階數(shù)字濾波器5.3.2一階低通濾波器帶寬的計(jì)算5.3.3二階數(shù)字濾波器5.3.4低通到高通的簡(jiǎn)單變換5.3.1一階數(shù)字濾波器

特點(diǎn)：具有一個(gè)極點(diǎn)，

零點(diǎn)可以有一個(gè)也可以沒(méi)有。返回回到本節(jié)以上是低通濾波，以下是高通濾波：返回回到本節(jié)零極點(diǎn)的作用結(jié)合起來(lái)考慮：假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為

式中，以保證系統(tǒng)因果穩(wěn)定；幅度特性用下圖討論：

結(jié)論:設(shè)計(jì)單極點(diǎn)單零點(diǎn)低通濾波器應(yīng)該讓零點(diǎn)遠(yuǎn)離級(jí)點(diǎn)。返回回到本節(jié)5.3.2一階低通濾波器帶寬的計(jì)算一階低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)設(shè)，幅度降到-3,則

因?yàn)闉V波器系數(shù)是實(shí)數(shù)，因此返回回到本節(jié)將其系統(tǒng)函數(shù)帶入上式，可推出：一般極點(diǎn)很靠近單位圓，上式可以近似表示為式中，稱為帶寬。推導(dǎo)方法：

返回回到本節(jié)一階低通濾波器的帶寬返回回到本節(jié)例5.1

假設(shè)模擬信號(hào)，設(shè)計(jì)一個(gè)低通數(shù)字濾波器將信號(hào)中的高頻分量濾除。解:

確定采樣間隔T：顯然要選擇T<

/200=0.0157，確定T=0.015。低通濾波器：低頻分量高頻分量選擇帶寬利用計(jì)算出a=0.8數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為返回回到本節(jié)輸入波形(b)實(shí)際輸出波形及理論波形sin7t（虛線）返回回到本節(jié)5.3.3二階數(shù)字濾波器特點(diǎn)：2個(gè)極點(diǎn)，零點(diǎn)可以有1個(gè)或2個(gè)，也可以沒(méi)有且濾波器的零點(diǎn)和極點(diǎn)是共軛成對(duì)出現(xiàn)的適當(dāng)?shù)胤胖昧慵?jí)點(diǎn)可得到各種濾波器：返回回到本節(jié)二階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)一般表示式為式中：G是常數(shù)，一般取G使幅度特性的最大值為1；為共軛極點(diǎn)；為共軛零點(diǎn)。返回回到本節(jié)例5.2

假設(shè)二階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試確G和p使幅度特性滿足：幅度下降到最大幅度的，即解：在處，幅度為1，得到在處，幅度為，得到返回回到本節(jié)上式解出p=0.32，則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為例5.3

設(shè)計(jì)一個(gè)二階帶通濾波器，是通帶中心，在兩點(diǎn)，頻率響應(yīng)為零，在處，幅度為解：極點(diǎn)設(shè)計(jì)在通帶中心，極點(diǎn)零點(diǎn)在處，即和得系統(tǒng)函數(shù)返回回到本節(jié)幅度最大處幅度為1，因此上式中r的值由在的幅度值確定，因此返回回到本節(jié)最后得到帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為它的幅度特性和相位特性如下圖：二階帶通濾波器的幅度特性和相位特性返回回到本節(jié) 先設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器轉(zhuǎn)換成高通濾波器

是高通濾波器的傳輸函數(shù)是低通濾波器的傳輸函數(shù)

對(duì)上式進(jìn)行傅里葉反變換，得到

也可寫成5.3.4低通到高通的簡(jiǎn)單變換返回回到本節(jié)低通濾波器的差分方程為得到低通濾波器的傳輸函數(shù)為

將的用代替，得到高通濾波器的傳輸函數(shù)返回回到本節(jié)由所得傳輸函數(shù)得到高通濾波器的差分方程為例5.4

已知低通濾波器的差分方程為將低通濾波器裝換成相應(yīng)的高通濾波器，寫出高通濾波器的差分方程。解：高通濾波器的差分方程為相應(yīng)的傳輸函數(shù)為返回回到本節(jié)5.4數(shù)字諧振器特點(diǎn)：是一個(gè)二階濾波器，也是一個(gè)特殊雙極點(diǎn)帶通濾波器；它有一對(duì)共軛極點(diǎn)，r接近于1，幅度特性在附近最大，相當(dāng)于在該頻率發(fā)生了諧振。應(yīng)用：適合作帶通濾波器，以及語(yǔ)音發(fā)生器。數(shù)字諧波器根據(jù)零點(diǎn)放置的位置分為兩種：1.零點(diǎn)在原點(diǎn)，一對(duì)共軛極點(diǎn)為的數(shù)字諧波器其系統(tǒng)函數(shù)為返回幅度特性為：

對(duì)任意r，可以推導(dǎo)出的乘積在處取最小值，即幅度取最大值：同樣為諧振器精確的諧振頻率。返回如果兩個(gè)極點(diǎn)非常接近單位圓，則可以證明它的3dB帶寬為。舉例，r=0.8和0.95，零極點(diǎn)分布及幅度特性如下

(a)零極點(diǎn)分布

(b)幅度特性返回 2.兩個(gè)零點(diǎn)分別放置在z=1和z=-1處，一對(duì)共軛極點(diǎn)為的數(shù)字濾波器

系統(tǒng)函數(shù)為

傳輸函數(shù)為 它的幅度特性為 式中 上式中是兩個(gè)零點(diǎn)z=1和z=-1到點(diǎn)w的矢量長(zhǎng)度之積。返回舉例，r=0.8,0.95，畫(huà)出零極點(diǎn)分布和幅度特性如下圖：

(a)零極點(diǎn)分布

(b)幅度特性返回 例5.5

模擬信號(hào)，設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字 諧振器，以濾除模擬信號(hào)中的低頻分量sin7t。 解:

諧振器的諧振頻率放在200采樣間隔 模擬頻率200對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率是:模擬頻率7對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率是:選擇帶寬0.02，則2(1-a)=0.02，

a=0.99。得到系統(tǒng)函數(shù)為：返回為選擇系數(shù)，使峰值幅度等于1，將代入上式，得到。該濾波器的輸出波形如圖：

返回5.5數(shù)字陷波器特性：一個(gè)二階濾波器，它的幅度特性在處為零，在其他頻率上接近于常數(shù)，是一個(gè)濾除單頻干擾的濾波器。用途：一般儀器或設(shè)備都用50Hz的交流電源供電，因而信號(hào)中時(shí)常帶有50Hz的干擾，希望將它濾除，又不影響該信號(hào)。系統(tǒng)函數(shù)：式中，0≤a<1。

返回a=0，濾波器變成FIR濾波器，缺少極點(diǎn)的作用。a比較小，缺口將比較大，對(duì)近鄰頻率分量影響顯著缺口的寬度和a之間的關(guān)系：返回對(duì)上圖分析得出結(jié)論：陷波器的3dB帶寬為例5.6

假設(shè)信號(hào)，式中是低于50Hz的低頻信號(hào)，試設(shè)計(jì)一個(gè)陷波器將50Hz干擾濾除。解:50Hz的周期是0.02s，采樣周期T應(yīng)小于0.01s，選擇T=0.002s。50Hz對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率是:選擇a=0.95，陷波器的系統(tǒng)函數(shù)為返回為測(cè)試陷波器的特性，令，由

可得數(shù)字陷波器的輸入信號(hào)波形如下圖。

返回

(a)輸入信號(hào)波形

(b)陷波器輸出波形返回5.6全通濾波器定義：濾波器的幅度特性在整個(gè)頻帶[0～2π]上均等于常數(shù)，或者等于1，即則該濾波器稱為全通濾波器。特點(diǎn)：信號(hào)通過(guò)全通濾波器后，其輸出的幅度特性保持不變，僅相位發(fā)生變化。全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的一般形式為：返回全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的幅度特性為1因?yàn)樯鲜街邢禂?shù)是實(shí)數(shù)，因此全通濾波器的零級(jí)點(diǎn)分布特性－－倒易關(guān)系因?yàn)楹偷南禂?shù)是實(shí)數(shù)，零點(diǎn)和極點(diǎn)均以共軛對(duì)形式出現(xiàn)。返回全通濾波器的零極點(diǎn)分布是零點(diǎn)，也是零點(diǎn)，是極點(diǎn)，也是極點(diǎn)，形成四個(gè)極零點(diǎn)一組的形式。返回如果將零點(diǎn)和極點(diǎn)組成一對(duì)，零點(diǎn)和極點(diǎn)組成一對(duì)，則全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以表示成式中的N稱為階數(shù)。舉例：當(dāng)N=1時(shí)，零極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)為應(yīng)用：一般作為相位校正。

返回5.7最小相位濾波器

定義：對(duì)于全部零點(diǎn)位于單位圓內(nèi)的因果穩(wěn)定濾波器，稱為最小相位濾波器。最小相位濾波器的性質(zhì)：1）任何一個(gè)因果穩(wěn)定的濾波器均可以用一個(gè)最小相位濾波器和一個(gè)全通濾波器級(jí)聯(lián)構(gòu)成，即2）對(duì)同一系統(tǒng)函數(shù)幅度特性相同的所有因果穩(wěn)定系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相位延遲最小。3）最小相位系統(tǒng)保證它的逆系統(tǒng)因果穩(wěn)定。返回例5.7

確定下面FIR系統(tǒng)的零點(diǎn)，并指出系統(tǒng)是最小，最大相位系統(tǒng)還是混合相位系統(tǒng)。解：將各系統(tǒng)函數(shù)因數(shù)分解，可得到它們的零點(diǎn)并進(jìn)而判定系統(tǒng)的性質(zhì)。返回5.8梳狀濾波器梳狀濾波器的原理：

例5.8

已知，利用該系數(shù)函數(shù)形成N=8的梳狀濾波器。解：的零點(diǎn)是1，極點(diǎn)是a，是一個(gè)高通濾波器，畫(huà)出它的零極點(diǎn)分布和幅度特性曲線如下：系統(tǒng)函數(shù)傳輸函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)傳輸函數(shù)周期周期返回上例中梳狀濾波器零極點(diǎn)分布和幅度特性曲線返回將的變量z用代替，得到式中，N=8，零點(diǎn)極點(diǎn)為畫(huà)出它的零極點(diǎn)分布和幅度特性曲線如上頁(yè)圖：注意：此時(shí)的幅度特性的過(guò)渡帶比較窄，或者說(shuō)比較陡峭，有利于消除點(diǎn)頻信號(hào)而又不損傷其它信號(hào)。返回例5.9

設(shè)計(jì)一個(gè)梳狀濾波器，用于濾出心電信號(hào)中的50Hz及其諧波100Hz干擾，設(shè)采樣頻率為200Hz。解：系統(tǒng)函數(shù)為N的大小決定于要濾除的點(diǎn)頻的位置，a要盡量靠近1。由采樣頻率算出50Hz及其諧波100Hz所對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率分別為：零點(diǎn)頻率為由，求出N=4。a=0.9時(shí)的幅頻特性返回5.9正弦波發(fā)生器定義：濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)在單位圓上，則可以形成一個(gè)正弦濾波器。基本原理:假設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，即令，得到返回經(jīng)變換得時(shí)域信號(hào)分別為：說(shuō)明系統(tǒng)函數(shù)和在的激勵(lì)下可以分別產(chǎn)生正弦波和余弦波。實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)1.數(shù)字正弦波發(fā)生器（如下圖1）2.數(shù)字正弦波、余弦波發(fā)生器（如下圖2）3.軟件查表發(fā)返回++++-+圖（１）圖（２）+++++-2-1返回

時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析2.1引言信號(hào)、系統(tǒng)分析信號(hào)在時(shí)間分布上的特性和運(yùn)算：直觀，物理概念會(huì)比較的清楚。分析信號(hào)在頻率分布上的特性和運(yùn)算：這給了我們換個(gè)視角觀察信號(hào)的機(jī)會(huì)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)許多在時(shí)間域上得不到的特性和運(yùn)算。時(shí)間域頻率域FT、ZTIFT、IZT返回2.2時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換返回2.2.1時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換的定義2.2.2周期信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)2.2.3周期信號(hào)的傅里葉變換2.2.4時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)2.2.1時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換的定義定義為時(shí)域離散信號(hào)x(n)的傅里葉變換，簡(jiǎn)稱FT(FourierTransform)。上式成立的條件是序列絕對(duì)可和，或者說(shuō)序列的能量有限，即滿足下面的公式：對(duì)于不滿足上式的信號(hào)，可以引入奇異函數(shù)，使之能夠用傅里葉變換表示出來(lái)。(2.2.1)回到本節(jié)返回離散信號(hào)FT和模擬信號(hào)FT的比較：離散信號(hào)FT

模擬信號(hào)FT可以發(fā)現(xiàn)二者的實(shí)質(zhì)是一樣的，都是完成時(shí)間域頻域的轉(zhuǎn)換，不同處：時(shí)間變量：n取整數(shù)，求和運(yùn)算；t取連續(xù)變量，積分運(yùn)算。頻域變量：ω是數(shù)字頻率的連續(xù)變量，以2π為周期；Ω是模擬頻率的連續(xù)變量，無(wú)周期性。回到本節(jié)返回2.2.2周期信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是以N為周期的周期序列，具有周期性，能夠展成傅里葉級(jí)數(shù)，即：式中，ak是離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。為求系數(shù)ak，將上式兩邊乘以，并對(duì)n在一個(gè)周期N中求和，得到：(2.2.5)回到本節(jié)返回將上式右邊的兩個(gè)求和號(hào)交換位置，得到：式中回到本節(jié)返回因此得到上式中,k和n均取整數(shù)，當(dāng)k變化時(shí)，是周期為N的周期函數(shù)，所以ak是以N為周期的周期序列，即

ak=ak+ln令將式(2.2.7)代入上式，得到這里是以N為周期的周期序列。一般簡(jiǎn)稱為的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)，用DFS(DiscreteFrourierSeries)表示，即。(2.2.7)(2.2.10)(2.2.9)回到本節(jié)返回由式(2.2.5)和式(2.2.9)，我們能夠得到將式(2.2.7)和式(2.2.10)寫在一起，成為離散傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)。這里和均是周期為N的序列。(2.2.11)返回回到本節(jié)2.2.3周期信號(hào)的傅里葉變換復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換表達(dá)式在模擬系統(tǒng)中，的傅里葉變換是在處的一個(gè)沖激，強(qiáng)度為2π，即對(duì)于時(shí)域離散系統(tǒng)中的復(fù)指數(shù)序列，仍假設(shè)它的傅里葉變換是在處的一個(gè)沖激，強(qiáng)度為2π，考慮到時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的周期性，因此的傅里葉變換應(yīng)寫為：回到本節(jié)返回一般周期序列的傅里葉變換假設(shè)的周期為N，將它用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，即上式的求和號(hào)中的每一項(xiàng)都是復(fù)指數(shù)序列，其中第K項(xiàng)即為第K次諧波的傅里葉變換根據(jù)其周期性能夠表示為：返回回到本節(jié)周期序列由N次諧波組成，因此它的傅里葉變換可以表示成式中，k=0,1,2,…,N-1,r=-3,-2,-1,0,1,2,…

以N為周期，而r變化時(shí)，δ函數(shù)變化2πr，因此如果讓k在(-∞,∞)變化，上式可以簡(jiǎn)化為上式就是一般周期序列的傅里葉變換表達(dá)式。教材中表2.2.1列舉了基本序列的傅里葉變換對(duì)。返回回到本節(jié)例2.1：令，為有理數(shù)，求其傅里葉變換。解:

將用歐拉公式展開(kāi)為由得余弦序列的傅里葉變換為返回回到本節(jié)上式表明，余弦信號(hào)的傅里葉變換是在處的沖激函數(shù)，強(qiáng)度為

，同時(shí)以2

為周期進(jìn)行周期性延拓，如下圖所示。對(duì)于正弦序列，為有理數(shù)，它的傅里葉變換為回到本節(jié)返回2.2.4時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換有很多重要的性質(zhì)，其中一些性質(zhì)和模擬信號(hào)的傅里葉變換性質(zhì)類似，參考教材中表2.2.2。本小節(jié)重點(diǎn)介紹：傅里葉變換的周期性頻域卷積定理傅里葉變換的對(duì)稱性回到本節(jié)返回傅里葉變換的周期性：頻域卷積定理：假設(shè)，，則交換積分的求和次序，我們同樣能夠得到該定理表明在時(shí)域兩序列相乘，轉(zhuǎn)換到頻域服從卷積關(guān)系。此定理亦稱為調(diào)制定理回到本節(jié)返回傅里葉變換的對(duì)稱性：一般不做特殊說(shuō)明，序列x(n)就是復(fù)序列。用下標(biāo)r表示它的實(shí)部，用下標(biāo)i表示它的虛部：復(fù)序列中有共軛對(duì)稱序列和反共軛對(duì)稱序列，分別用下標(biāo)e和o表示共軛對(duì)稱序列滿足復(fù)反共軛對(duì)稱序列滿足回到本節(jié)返回一般序列傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)一般序列可以表示為其實(shí)部的傅里葉變換可以用下式來(lái)表示將上式右面的ω加負(fù)號(hào)，在將右邊取共軛，右邊表達(dá)式不變，這說(shuō)明實(shí)序列的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性質(zhì)，可以用表示。很容易證明，將j乘以實(shí)數(shù)序列

的傅里葉變換具有共軛反對(duì)稱性質(zhì)，用表示。返回回到本節(jié)這樣式中這樣我們能夠得到結(jié)論：一般序列的傅里葉變換分成共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量?jī)刹糠?，其中共軛?duì)稱分量對(duì)應(yīng)序列的實(shí)部，而共軛反對(duì)稱分量對(duì)應(yīng)這序列的虛部（包括j）。返回回到本節(jié)如果將序列分為共軛對(duì)稱和共軛反對(duì)稱兩部分，即由我們得到對(duì)上面兩式分別求傅里葉變換，得到返回回到本節(jié)這樣我們能夠得到結(jié)論:傅里葉變換的實(shí)部對(duì)應(yīng)序列的共軛對(duì)稱部分，而它的虛部(包括j)對(duì)應(yīng)序列的共軛反對(duì)稱部分。值得注意：在一般實(shí)際應(yīng)用中，我們常常遇到的序列是實(shí)序列，實(shí)序列相當(dāng)于一般的序列中只有實(shí)部，沒(méi)有虛部，因此實(shí)序列的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性質(zhì)，它的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。如果實(shí)序列還是偶對(duì)稱的，其傅里葉變換應(yīng)該是實(shí)偶對(duì)稱函數(shù)；如果實(shí)序列是奇對(duì)稱的，那么其傅里葉變換是虛對(duì)稱的，且是純虛函數(shù)。返回回到本節(jié)2.3時(shí)域離散信號(hào)的Z變換在模擬系統(tǒng)中，用傅里葉變換進(jìn)行頻域分析，而拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，用于對(duì)信號(hào)在復(fù)頻域的分析。在數(shù)字域中，用序列傅里葉變換進(jìn)行頻域分析，Z變換是其推廣，用于對(duì)信號(hào)在復(fù)頻域中的分析。本節(jié)主要講述:返回2.3.1時(shí)域離散信號(hào)的Z變換的定義及其與傅里葉變換的關(guān)系2.3.2Z變換的收斂域與序列特性之間的關(guān)系2.3.3逆Z變換2.3.4Z變換的性質(zhì)和定理2.3.1時(shí)域離散信號(hào)的Z變換的定義及其與傅里葉變換的關(guān)系Z變換的定義定義序列X(n)的Z變換為式中，Z是復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為Z平面。這里求和極限為-∞～+∞，故亦稱為雙邊Z變換，當(dāng)求和極限為0～+∞時(shí)，為單邊Z變換，不做說(shuō)明時(shí)均為雙邊Z變換。Z變換存在的充分條件為

返回回到本節(jié)Z變換的收斂域?yàn)槭筞變換存在的的取值域，稱為X(z)的收斂域。收斂域一般用環(huán)狀域表示，即Rx-<|z|<Rx+，Rx-和Rx+分別稱為收斂域的最小收斂半徑和最大收斂半徑。上圖所示的陰影部分即為收斂半徑。最小半徑可以達(dá)到0，而最大半徑可以達(dá)到+∞。收斂域是Z變換非常重要不可缺少的一部分回到本節(jié)返回Z變換和傅里葉變換之間的關(guān)系Z變換令上式中的，得到式中，r是z的模，ω是它的相位，也就是數(shù)字頻率。這樣，就是序列x(n)乘以實(shí)指數(shù)序列r-n后的傅里葉變換。回到本節(jié)返回如果r==1，Z變換就變成了傅里葉變換了，即r=1指的是Z平面上的單位圓，因此傅里葉變換就是Z平面單位圓上的Z變換。單位圓必須包含在收斂域中，否則單位圓上的Z變換不存在，傅里葉變換也就不存在?；氐奖竟?jié)返回2.3.2Z變換的收斂域與序列特性之間的關(guān)系序列可以分為有限長(zhǎng)序列、右序列、左序列以及雙邊序列等四種情況，它們的收斂域各有特點(diǎn)，掌握這些特點(diǎn)對(duì)分析和應(yīng)用Z變換很有幫助。有限長(zhǎng)序列Z變換的收斂域有限長(zhǎng)序列Z變換為

收斂域?yàn)榛氐奖竟?jié)返回右序列Z變換的收斂域右序列是指x(n)只在n≥n1序列值不全為零，在其他的區(qū)間均為零的序列。右序列的Z變換式中n1≤-1。回到本節(jié)返回上式右邊：第一項(xiàng)是有限序列的Z變換，收斂域?yàn)?≤|z|<∞。第二項(xiàng)為因果序列的Z變換，其收斂域?yàn)镽x-<|z|≤∞。將兩個(gè)收斂域相與，得到它的收斂域?yàn)镽x-<|z|<∞。如果x(n)是因果序列，即設(shè)n1≥0，它的收斂域?yàn)镽x-<|z|≤∞?；氐奖竟?jié)返回左序列Z變換的收斂域與右序列類似，左序列是指x(n)只在n≤n1序列值不全為零，在其他的區(qū)間均為零的序列。左序列的Z變換為式中，n1≥0。回到本節(jié)返回上式右邊：第一項(xiàng)的收斂域?yàn)?≤|z|<Rx+，第二項(xiàng)的收斂域?yàn)?<|z|≤∞，將兩個(gè)收斂域相與，得到左序列的收斂域?yàn)?<|z|<Rx+。如果n1<0，則收斂域?yàn)?≤|z|<Rx+?；氐奖竟?jié)返回雙邊序列Z變換的收斂域雙邊序列就是在-∞～+∞之間均有非零值的序列。雙邊序列的Z變換回到本節(jié)返回上式中：右邊第一項(xiàng)是左序列的Z變換，收斂域是0≤|z|<Rx+，第二項(xiàng)是右序列的Z變換，收斂域?yàn)镽x-<|z|≤∞，將兩個(gè)域相與，得到雙邊序列的收斂域?yàn)镽x-<|z|<Rx+。這幾種序列的收斂域?qū)Ρ瓤梢砸?jiàn)書(shū)中表2.3.1?；氐奖竟?jié)返回例2.2：設(shè)，求它的Z變換，并確定收斂域。解:

為使X(z)收斂，要求，即，解得，這樣得到就是該Z變換的收斂域?；氐奖竟?jié)返回例2.3：求的Z變換及其收斂域。解:

這是一個(gè)左序列，當(dāng)時(shí)，序列值為零。如果X(z)存在，則要求，得到收斂域?yàn)?。在收斂域中，該Z變換為我們將例2.2和例2.3進(jìn)行比較，兩者Z變換的函數(shù)表達(dá)式一樣，但收斂域卻不相同，對(duì)應(yīng)的原序列也不同，因此正確地確定收斂域是很重要?；氐奖竟?jié)返回2.3.3逆Z變換已知序列的Z變換及其收斂域，求原序列，稱為逆Z變換(IZT)。求逆Z變換有三種方法:部分分式展開(kāi)法：有理分式展成簡(jiǎn)單部分分式，查表。圍線積分法：常用方法，重點(diǎn)介紹冪級(jí)數(shù)法：原理簡(jiǎn)單，使用不便，本書(shū)不介紹回到本節(jié)返回部分分式法原理是將Z變換的有理分式展成簡(jiǎn)單的部分分式，通過(guò)查表得到原序列。假設(shè)X(z)有一個(gè)一階極點(diǎn)，可展開(kāi)如下的部分分式：觀察上式，X(z)/z在z=0的極點(diǎn)，留數(shù)等于系數(shù)A0，在z=zm的極點(diǎn)，留數(shù)等于系數(shù)Am，即見(jiàn)書(shū)中表2.3.3回到本節(jié)返回這樣，將上面的兩式帶入由X(z)展開(kāi)得到的部分分式中去，在通過(guò)查表（書(shū)中表2.3.2）就能夠得到原序列。但我們知道收斂域不同，即使同一個(gè)z函數(shù)也可以有不同的原序列對(duì)應(yīng)，因此根據(jù)給定的收斂域，應(yīng)正確地確定每個(gè)分式的收斂域，這樣才能得到正確的原序列?；氐奖竟?jié)返回圍線積分法已知序列大的Z變換和收斂域，求原序列的公式為式中，c是X(z)的收斂域中的一條包含原點(diǎn)的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的封閉曲線，如下圖所示?；氐奖竟?jié)返回直接計(jì)算圍線積分比較麻煩，下面介紹用留數(shù)定理求逆Z變換的方法：令，F(xiàn)(z)在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用表示，假設(shè)有M個(gè)極點(diǎn)。根據(jù)留數(shù)定理式中，表示被積函數(shù)F(z)在極點(diǎn)的留數(shù)。求逆Z變換就是求圍線c內(nèi)所有極點(diǎn)的留數(shù)之和。如果極點(diǎn)是單階極點(diǎn)，根據(jù)留數(shù)定理，極點(diǎn)的留數(shù)用下式計(jì)算回到本節(jié)返回如果極點(diǎn)是N階極點(diǎn)，根據(jù)留數(shù)定理，極點(diǎn)的留數(shù)用下式計(jì)算上式表明求多階極點(diǎn)的留數(shù)比較麻煩，可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求圍線c以外的極點(diǎn)的留數(shù)之和，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。如果F(z)在Z平面上有N個(gè)極點(diǎn)，圍線c內(nèi)有個(gè)極點(diǎn)，用表示，圍線c外有個(gè)極點(diǎn)，用表示，。根據(jù)留數(shù)輔助定理下式成立回到本節(jié)返回上式成立的條件是原序列公式中，被積函數(shù)分母的階次比分子的階次高二階或二階以上。假設(shè)，P(z)和Q(z)分別是z的N階和M階多項(xiàng)式，那么上式成立的條件是或者這樣，在求逆Z變換時(shí)，如果上面條件滿足，圍線c內(nèi)有多階極點(diǎn)，可以利用上式，改求圍線c外的極點(diǎn)的留數(shù)之和?；氐奖竟?jié)返回例2.4：，求Z反變換回到本節(jié)返回回到本節(jié)返回回到本節(jié)返回回到本節(jié)返回2.3.4Z變換的性質(zhì)和定理Z變換的性質(zhì)

線性序列移位時(shí)間反轉(zhuǎn)乘以指數(shù)序列Z域微分共軛序列

Z變換的定理

時(shí)域卷積定理復(fù)卷積定理初值定理終值定理巴塞伐爾定理

這些性質(zhì)和定理在書(shū)中表2.3.3里都已經(jīng)列出?；氐奖竟?jié)返回2.4利用Z變換對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)進(jìn)行分析傅里葉變換和Z變換都是對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)進(jìn)行分析的重要數(shù)學(xué)工具。信號(hào)的頻域分析指的是信號(hào)的傅里葉變換，Z變換則是分析域更為擴(kuò)大的一種變換，Z變換比傅里葉變換的應(yīng)用更廣泛。本節(jié)主要講述2.4.1系統(tǒng)的傳輸函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)2.4.2根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性2.4.3用Z變換求解系統(tǒng)的輸出相應(yīng)2.4.4系統(tǒng)穩(wěn)定性的測(cè)定及穩(wěn)定時(shí)間的計(jì)算2.4.5根據(jù)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性返回2.4.1系統(tǒng)的傳輸函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的時(shí)域特性用單位脈沖響應(yīng)表示，對(duì)進(jìn)行傅里葉變換，得到稱為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，所以又稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。將進(jìn)行Z變換，得到一般稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征系統(tǒng)的復(fù)頻域特性?；氐奖竟?jié)返回如果的收斂域包含單位圓=1，則和之間的關(guān)系為因此系統(tǒng)的傳輸函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)在單位圓上的Z變換。它們之間有區(qū)別，但有時(shí)為了簡(jiǎn)單，也可以都稱為傳輸函數(shù)。設(shè)系統(tǒng)的輸入x(n)=，對(duì)于因果穩(wěn)定系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)輸出為式中上式中稱為幅頻特性，稱為相頻特性。回到本節(jié)返回2.4.2根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性如果系統(tǒng)用N階差分方程表示，即將上式進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)回到本節(jié)返回將上式進(jìn)行因式分解，得到式中，是的零點(diǎn)，是它的極點(diǎn)，A是常數(shù)。A僅決定幅度大小，不影響頻率特性的實(shí)質(zhì)。系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布都會(huì)影響系統(tǒng)的頻率特性，而影響系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性的只是極點(diǎn)分布?；氐奖竟?jié)返回系統(tǒng)的因果性指的是系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性，如果系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)，它的單位脈沖響應(yīng)一定是因果序列。而因果序列Z變換的極點(diǎn)均集中在以為半經(jīng)的圓內(nèi)。因此得到結(jié)論，因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)均在某個(gè)圓內(nèi)，收斂域包含∞點(diǎn)。

回到本節(jié)返回如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求，按照Z(yǔ)變換的定義

因此得到結(jié)論:系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域一定包含單位圓，或者說(shuō)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)不能位于單位圓上。綜上所述，得出系統(tǒng)因果穩(wěn)定的條件:的極點(diǎn)應(yīng)集中在單位圓內(nèi)?；氐奖竟?jié)返回例2.5：，分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性解：系統(tǒng)的極點(diǎn)為（1）收斂域取收斂域包含，故是因果系統(tǒng)收斂域不包含單位圓，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定單位脈沖響應(yīng)為回到本節(jié)返回（2）收斂域取收斂域不包含，不是因果系統(tǒng)收斂域包含單位圓，系統(tǒng)穩(wěn)定單位脈沖響應(yīng)為（3）收斂域取收斂域不包含，不是因果系統(tǒng)收斂域不包含單位圓，系統(tǒng)不穩(wěn)定單位脈沖響應(yīng)為回到本節(jié)返回2.4.3用Z變換求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)上一章中曾用遞推法求解出系統(tǒng)的輸出，本節(jié)介紹利用Z變換求解系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，包括零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)，以及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和暫態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)：系統(tǒng)的N階差分方程為式輸入信號(hào)x(n)是因果序列，即當(dāng)n<0時(shí)，x(n)=0，系統(tǒng)初始條件為?；氐奖竟?jié)返回對(duì)上式進(jìn)行Z變換時(shí)，注意對(duì)于移位因果序列的Z變換要用單邊Z變換，公式為按照上式對(duì)系統(tǒng)的N階差分方程進(jìn)行Z變換，得到回到本節(jié)返回上式中等號(hào)右邊第一項(xiàng)與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，只與輸入信號(hào)有關(guān)系，稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)；而第二部分與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，只與系統(tǒng)初始狀態(tài)有關(guān)系，則稱為零輸入響應(yīng)。Y(z)包括零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)，所以稱為全響應(yīng)。系統(tǒng)輸出響應(yīng)一般指全響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)就是對(duì)上式的雙邊Z變換求解。返回回到本節(jié)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和暫態(tài)響應(yīng)：假設(shè)系統(tǒng)處于零狀態(tài)，或者說(shuō)在全響應(yīng)公式中只考慮零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)輸出為令式中，稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，將會(huì)無(wú)限制增長(zhǎng)，而和輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。如果系統(tǒng)穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)取決于輸入信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性。回到本節(jié)返回2.4.4系統(tǒng)穩(wěn)定性的測(cè)定及穩(wěn)定時(shí)間的計(jì)算實(shí)際中系統(tǒng)的穩(wěn)定是一個(gè)很重要的問(wèn)題，設(shè)計(jì)中要保證系統(tǒng)穩(wěn)定，工程實(shí)際中要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性測(cè)試。當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)始工作時(shí)，系統(tǒng)的輸出中可能存在暫態(tài)效應(yīng)，如何確定系統(tǒng)已進(jìn)入穩(wěn)態(tài)工作，也是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。判斷極點(diǎn)是否在單位圓內(nèi)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果已知系統(tǒng)函數(shù)，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性的一種方法是檢查它的極點(diǎn)是否在單位圓內(nèi)?；氐奖竟?jié)返回例2.6：已知系統(tǒng)函數(shù)如下式，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解:

求出四個(gè)極點(diǎn)為:，其中兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)明顯在單位圓內(nèi)，兩個(gè)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的模為，也在單位圓內(nèi)，因此該系統(tǒng)是穩(wěn)定的?；氐奖竟?jié)返回用單位階躍信號(hào)進(jìn)行測(cè)試在系統(tǒng)的輸入端加入單位階躍序列如果系統(tǒng)穩(wěn)定，隨著n的增大，輸出接近一個(gè)常數(shù)；如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，隨著n的增大，輸出幅度會(huì)無(wú)限制增大或者保持振蕩。系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間的確定

如果系統(tǒng)穩(wěn)定，輸入是一個(gè)階躍序列，從數(shù)學(xué)上講，只有當(dāng)n→∞時(shí)，才能結(jié)束暫態(tài)響應(yīng)。但工程上只要系統(tǒng)輸出中暫態(tài)響應(yīng)幅度減小到最大值的1％，即可以認(rèn)為系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。回到本節(jié)返回2.4.5根據(jù)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)用N階差分方程描述，系統(tǒng)函數(shù)如下式所示式中，和分別是系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，共有M個(gè)點(diǎn)和N個(gè)極點(diǎn)。系統(tǒng)的頻響特性主要取決于系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布，系數(shù)A只影響幅度大小?；氐奖竟?jié)返回下面介紹用幾何方法分析研究零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的影響。將系統(tǒng)函數(shù)分子、分母同乘以，得到上式中如果，表示延時(shí)(N-M)個(gè)單位，，則表示超前(N-M)個(gè)單位?；氐奖竟?jié)返回設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將代入上式，得到

對(duì)于，在Z平面上可以用坐標(biāo)原點(diǎn)O到單位圓上B點(diǎn)的失量OB來(lái)表示，該矢量的長(zhǎng)度是1，相角ω就是和水平坐標(biāo)之間的夾角。(2.4.20)回到本節(jié)返回當(dāng)頻率ω由0連續(xù)增大，經(jīng)過(guò)

再到2

時(shí)，矢量OB便圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈，如下圖(a)所示。對(duì)于極點(diǎn)z=，在Z平面上則用坐標(biāo)原點(diǎn)O到的矢量表示。相應(yīng)的零點(diǎn)用表示?；氐奖竟?jié)返回對(duì)于，則用從極點(diǎn)到單位圓上一點(diǎn)B的矢量表示，該矢量稱為極點(diǎn)矢量。極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度用表示，矢量的相位，就是矢量和水平坐標(biāo)之間的夾角，用表示。對(duì)于零點(diǎn)，有零點(diǎn)矢量，用表示，零點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度用表示，相位用表示。零極點(diǎn)矢量如下圖(b)所示?；氐奖竟?jié)返回將零極點(diǎn)矢量用下式表示，用上面兩式表示，得到回到本節(jié)返回式(2.4.22)說(shuō)明，系統(tǒng)的幅頻特性等于系統(tǒng)零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度之積除以極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度之積。式(2.4.23)說(shuō)明，相頻特性等于與零點(diǎn)矢量的相角之和減去極點(diǎn)矢量的相角之和（設(shè)A>0）。(2.4.22)(2.4.23)幅頻特性：相頻特性：回到本節(jié)返回當(dāng)頻率ω由0變化到2

時(shí)，這些零、極點(diǎn)矢量的終點(diǎn)B沿單位圓旋轉(zhuǎn)一周，零、極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度和相角不斷變化，按照式(2.4.22)和式(2.4.23)可以計(jì)算出幅頻特性和相頻特性。但工程中用的最多的是，利用式(2.4.22)定性分析估計(jì)幅頻特性?；氐奖竟?jié)返回零極點(diǎn)分布對(duì)幅頻特性的影響極點(diǎn)影響幅頻特性的峰值，峰值頻率在極點(diǎn)的附近；極點(diǎn)越靠近單位圓，峰值越高，越尖銳；極點(diǎn)在單位圓上，峰值幅度為無(wú)窮，系統(tǒng)不穩(wěn)定。零點(diǎn)影響幅頻特性的谷值，谷值頻率在零點(diǎn)的附近；零點(diǎn)越靠近單位圓，谷值越接近零；零點(diǎn)在單位圓上，谷值為零；處于坐標(biāo)原點(diǎn)的零極點(diǎn)不影響幅頻特性。該方法適于低階系統(tǒng)回到本節(jié)返回

IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波：

對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，讓輸入信號(hào)中的有用頻率成分以較高的保真度通過(guò)，濾除（阻止）某些無(wú)用的頻率成分，實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)的選頻處理。優(yōu)點(diǎn)：處理精度高，穩(wěn)定性好，體積小，實(shí)現(xiàn)方法靈活，不存在阻抗匹配問(wèn)題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無(wú)法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。

濾波器分類

經(jīng)典濾波器（一般濾波器）

線性系統(tǒng)構(gòu)成的濾波器，信號(hào)和干擾的頻帶互不重疊時(shí)采用。分類（功能）：高通、低通、帶通、帶阻；分類（結(jié)構(gòu)）：遞歸系統(tǒng)、非遞歸系統(tǒng)；分類（實(shí)現(xiàn)方法）：無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器IIR（本章介紹）有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器FIR

現(xiàn)代濾波器

隨機(jī)信號(hào)統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)構(gòu)成的濾波器，信號(hào)和干擾的頻帶相互重疊時(shí)采用（例如：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等）IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法間接設(shè)計(jì)法根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)計(jì)相應(yīng)的過(guò)渡模擬濾波器將過(guò)渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。直接設(shè)計(jì)法

在時(shí)域或頻域直接設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。本章主要講述：（間接法）6.1模擬濾波器設(shè)計(jì)6.2IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)6.1模擬濾波器設(shè)計(jì)模擬濾波器（AF）的一般設(shè)計(jì)過(guò)程：（1）根據(jù)信號(hào)處理要求確定設(shè)計(jì)指標(biāo)（選頻）（2）選擇濾波器類型（3）計(jì)算濾波器階數(shù)（4）通過(guò)查表或計(jì)算確定濾波器系統(tǒng)函數(shù)（5）綜合實(shí)現(xiàn)并調(diào)試幅頻特性體現(xiàn)了各頻率成分幅度的衰減,而相頻特性體現(xiàn)的是不同成分在時(shí)間的的延時(shí)。選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對(duì)相頻特性不作要求。對(duì)輸出波形有要求時(shí)，則需考慮線性相位問(wèn)題。返回本節(jié)主要講述：6.1.1模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)6.1.2巴特沃思模擬低通濾波器設(shè)計(jì)6.1.3切比雪夫（Chebyshev）濾波器設(shè)計(jì)6.1.4橢圓濾波器6.1.5貝塞爾（Bessel）濾波器設(shè)計(jì)6.1.7五種類型模擬濾波器的比較返回6.1.8頻率變換與高通、帶通及帶阻濾波器設(shè)計(jì)6.1.1模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)

圖6.1.1典型模擬低通濾波器幅頻特性及其指標(biāo)描述返回回到本節(jié)

通帶邊界頻率，阻帶邊界頻率，3db截止頻率

系統(tǒng)通帶的誤差要求

阻帶[

s,∞]幅度以最大誤差1/A逼近于零，即要求

ε：通帶波紋幅度參數(shù)

A：阻帶波紋幅度參數(shù)

設(shè)計(jì)指標(biāo)返回回到本節(jié)用

表示通帶最大衰減（或稱為通帶峰值波紋）用

表示阻帶最小衰減（以分貝(dB)表示波紋）求解返回回到本節(jié)

損耗函數(shù)（或稱為衰減函數(shù)）

(

)來(lái)描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性。即

當(dāng)時(shí)的邊界頻率稱為3dB截止頻率，通常用

c表示，返回回到本節(jié)兩個(gè)附加參數(shù)：

a.過(guò)渡比或選擇性參數(shù),通常用k表示反應(yīng)過(guò)渡帶的性能，過(guò)渡帶越窄，k值趨近于1低通濾波器

b.偏離參數(shù)，用k1表示

越小，通帶、阻帶的紋波越小返回回到本節(jié)模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供選擇。這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。典型濾波器巴特沃斯（Butterworth）濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫（Chebyshev）濾波器：幅頻特性在通帶或阻帶有波動(dòng)，可提高選擇性；貝塞爾（Bessel）濾波器：通帶內(nèi)較好的線性相位；橢圓（Ellipse）濾波器：過(guò)渡帶最窄。返回回到本節(jié)6.1.2巴特沃思模擬低通濾波器設(shè)計(jì)N階巴特沃思模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)為N為濾波器的階次，為3dB截頻。返回回到本節(jié)特點(diǎn)：在點(diǎn)，的n(n<2N)階導(dǎo)數(shù)等于零，因此濾波器在點(diǎn)具有最大平坦幅度濾波器幅頻響應(yīng)隨的增大而單調(diào)下降，因?yàn)榉绕椒胶瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)小于零損耗函數(shù)21|)(|WjHacWWN=80N=4N=21返回回到本節(jié)濾波器的特性由3dB截止頻率和階數(shù)N確定濾波器的給定指標(biāo)為通帶邊界頻率阻帶邊界頻率通帶最小幅度阻帶最大波紋21|)(|WjHacWWN=80N=4N=21返回回到本節(jié)截止頻率與階數(shù)如何確定？濾波器幅頻響應(yīng)隨頻率的增大而單調(diào)下降于是滿足通帶指標(biāo)，阻帶指標(biāo)有富裕滿足阻帶指標(biāo)，通帶指標(biāo)有富裕階數(shù)截止頻率返回回到本節(jié)濾波器的給定指標(biāo)為通帶最大衰減阻帶最小衰減先求確定截止頻率與階數(shù)返回回到本節(jié)巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：

（由3dB截止頻率和階數(shù)N確定）式中，分母稱為N階巴特沃思多項(xiàng)式。返回回到本節(jié)三種形式:因式分解共軛對(duì)相乘返回回到本節(jié)歸一化討論：對(duì)于得：由于N較大時(shí)，計(jì)算量太大，為了方便，歸一化的N階巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù)已制成表格供查閱：返回回到本節(jié)極點(diǎn)位置階數(shù)N

1-1.00002-0.7071±j0.70713-0.5000±j0.8660-1.00004-0.3827±j0.9239-0.9239±j0.38275-0.3090±j0.9511-0.8090±j0.5878-1.000060.2588±j0.9659-0.7071±j0.7071-0.9659±j0.25887-0.2225±j0.9749-0.6235±j0.7818-0.9010±j0.4339-1.000080.1951±j0.98080.5556±j0.8315-0.9010±j0.4339-0.9808±j0.19519-0.1736±j0.9848-0.5000±j0.8660-0.8315±j0.5556-0.9397±j0.3420-1.0000N：濾波器階數(shù)---：極點(diǎn)位置表示返回回到本節(jié)分母多項(xiàng)式階數(shù)N

b0b1b2b3b4b5b6b7b81-1.00002-1.00001.41423-1.00002.00002.0000

4-1.00002.61313.4142

5-1.00003.23615.2361

5.2361

3.2361

6-1.00003.86377.4641

9.1416

7.46413.8637

7-1.00004.494010.0978

14.5918

14.5918

10.09784.49408-1.0000-5.125813.1371

21.8462

25.6884

21.8642

13.1371

5.1258

9-1.00005.7588

16.5817

31.1634

41.986441.986431.1634

16.5817

5.7588

N：濾波器階數(shù)---：多項(xiàng)式表示返回回到本節(jié)分母因式階數(shù)N

1(p+1)2(p2+1.4142p+1)3(p2+p+1)(p+1)4(p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1)5(p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1)6(p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1)7(p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1)8(p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9616p+1)9(p2+0.3473p+1)(p2+p+1)(p2+1.5321p+1)(p2+1.8794p+1)(p+1)N：濾波器階數(shù)---：共軛極點(diǎn)因式返回回到本節(jié)去歸一化歸一化查表得得到返回回到本節(jié)

低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟：由，求濾波器階次N由N查表，求出歸一化極點(diǎn)和歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)令代入G(p)，得實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。（去歸一）返回回到本節(jié)

例：

設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。要求幅頻特性單調(diào)下降，通帶邊界頻率fp=1kHz，通帶最大衰減

p=1dB，阻帶邊界頻率fs=5kHz，阻帶最小衰減

s=40dB。解:（1）根據(jù)幅頻特性單調(diào)下降要求，應(yīng)選擇巴特沃思濾波器。（2）計(jì)算階數(shù)N和3dB截止頻率

c。首先用求出波紋幅度參數(shù)為

再求出過(guò)渡比和偏離參數(shù)從而得到

取整數(shù)N=4

返回回到本節(jié)（3）求系統(tǒng)函數(shù)。查表6.1.1得到歸一化4階巴特沃思多項(xiàng)式為將和

c代入，得到系統(tǒng)函數(shù)返回回到本節(jié)6.1.3切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)兩種類型：

切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅頻特性在通帶為等波紋，在阻帶為單調(diào)下降。

切比雪夫Ⅱ型的幅頻特性在阻帶為等波紋，在通帶為單調(diào)下降。返回回到本節(jié)1.切比雪夫Ⅰ型濾波器N階切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器Ha(s)的幅度平方函數(shù)為

為小于1的正數(shù)，表示通帶波紋幅度參數(shù)。CN(

)是N階切比雪夫多項(xiàng)式返回回到本節(jié)圖6.1.4典型切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅頻響應(yīng)特性曲線

返回回到本節(jié)2．切比雪夫Ⅱ型逼近切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶呈現(xiàn)單調(diào)下降特性，而且在

=0點(diǎn)具有最大平坦響應(yīng)，在阻帶呈現(xiàn)等波紋特性。其幅度平方函數(shù)為返回回到本節(jié)圖6.1.5典型切比雪夫Ⅱ型低通濾波器的幅頻響應(yīng)特性曲線返回回到本節(jié)巴特沃茲濾波器與切比雪夫?yàn)V波器特點(diǎn)比較：巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，在靠近截止頻率處，幅度下降很多。所以為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次（N）很高。切比雪夫Ⅰ型濾波器的紋波在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，在靠近截止頻率處，幅度下降很少。同樣的通帶衰減，其所需階數(shù)N較巴特沃茲濾波器要小。特點(diǎn)比較回到本節(jié)返回6.1.4橢圓濾波器(a)

p=1dB,

s=20dB,N=3,4,6(b)N=4,

p=1,0.1,0.05dB,

s=10,20,40dB圖6.1.6橢圓濾波器幅頻響應(yīng)特性曲線返回回到本節(jié)橢圓濾波器振幅平方函數(shù)為：RN（Ω，L）：雅可比橢圓函數(shù)L：表示波紋性質(zhì)的參量橢圓濾波器特點(diǎn)：

幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的。對(duì)于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過(guò)渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。通帶和阻帶內(nèi)波紋固定時(shí)，階數(shù)越高，過(guò)渡帶越窄；階數(shù)固定，通帶和阻帶紋波越小，過(guò)渡帶越寬；特點(diǎn)回到本節(jié)返回6.1.5貝塞爾（Bessel）濾波器設(shè)計(jì)

(a)幅頻響應(yīng)特性(b)相頻響應(yīng)特性圖6.1.7典型貝塞爾低通濾波器的頻響特性曲線返回回到本節(jié)貝塞爾低通濾波器特點(diǎn)

貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)逼近線性相位特性。是巴特沃茲濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、橢圓濾波器濾波器所沒(méi)有的。

貝塞爾濾波器的過(guò)渡帶較寬，在階數(shù)N相同時(shí)選擇性比巴特沃茲濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、橢圓濾波器差。回到本節(jié)返回6.1.7模擬濾波器的比較巴特沃思濾波器幅頻特性單調(diào)下降。切比雪夫Ⅰ濾波器通帶內(nèi)等波紋幅頻特性，過(guò)渡帶、阻帶單調(diào)下降。切比雪夫Ⅱ?yàn)V波器阻帶內(nèi)等波紋幅頻特性，通帶、過(guò)渡帶單調(diào)下降。橢圓濾波器通帶、阻帶內(nèi)均等波紋幅頻特性，過(guò)渡帶單調(diào)下降。貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)逼近線性相位特性。★在相同階數(shù)N，相同通帶最大衰減、阻帶最小衰減要求下，巴特沃思濾波器的過(guò)渡帶最寬；橢圓濾波器過(guò)渡帶最窄；兩種類型的切比雪夫?yàn)V波器的過(guò)渡帶寬度相等，介于巴特沃思濾波器和橢圓濾波器?！镌谙嗤笜?biāo)要求下，橢圓濾波器所需的階次N最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反?；氐奖竟?jié)返回★巴特沃思和切比雪夫?yàn)V波器在大約四分之三的通帶上非常接近線性相位特性；橢圓濾波器僅在大約半個(gè)通帶上非常接近線性相位特性；貝塞爾濾波器在整個(gè)通帶逼近線性相位特性。上面討論了5種常用的模擬低通濾波器的特性和設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)時(shí)按照所給指標(biāo)及對(duì)濾波器階數(shù)（階數(shù)影響處理速度和實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性）和相位特性的具體要求，合理選用。巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器主要是考慮逼近幅度響應(yīng)指標(biāo)的濾波器，其中橢圓濾波器的性能價(jià)格比最高，應(yīng)用廣泛。貝塞爾濾波器主要是考慮逼近線性相位特性的濾波器使用。返回回到本節(jié)6.1.8頻率變換與高通、帶通及

帶阻濾波器設(shè)計(jì)

高通、帶通及帶阻濾波器的幅頻特性曲線及邊界頻率示意圖

(a)高通濾波器(b)帶通濾波器(c)帶阻濾波器返回回到本節(jié)設(shè)計(jì)高通、帶通和帶阻濾波器的一般過(guò)程是:①通過(guò)頻率變換公式，先將希望設(shè)計(jì)的濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的歸一化低通原型濾波器指標(biāo)；②設(shè)計(jì)相應(yīng)的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)G(p)；③對(duì)G(p)進(jìn)行頻率變換得到希望設(shè)計(jì)的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。

返回回到本節(jié)符號(hào)規(guī)定歸一化低通濾波器原型邊界頻率希望模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)頻率變換公式于是返回回到本節(jié)1.模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)低通原型到高通濾波器的頻率變換在虛軸上高通濾波器通帶邊界頻率映射關(guān)系低通高通11返回回到本節(jié)例設(shè)計(jì)巴特沃思模擬高通濾波器,通帶邊界頻率為fp=4kHz，阻帶邊界頻率為fs=1kHz，通帶最大衰減為0.1dB（fp處），阻帶最小衰減αs=40dB。解：高通濾波器指標(biāo)1）確定相應(yīng)低通原型濾波器的指標(biāo)返回回到本節(jié)2)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。確定階次N：可得N按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。返回回到本節(jié)歸一化的5階濾波器的系統(tǒng)函數(shù)3）高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)返回回到本節(jié)MATLABwp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40;%設(shè)置濾波器指標(biāo)參數(shù)[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,‘s’);%濾波器G(p)階數(shù)N和3dB 截止頻率[B,A]=butter(N,wc,‘s’);%計(jì)算低通濾波器G(p) 系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù)wph=2*pi*4000;%高通模擬濾波器通帶邊界頻率[BH,AH]=lp2hp(B,A,wph)%低通到高通轉(zhuǎn)換返回回到本節(jié)2.低通到帶通的頻率變換:低通原型到帶通濾波器的頻率變換在虛軸上通帶邊界頻率：上邊界頻率下邊界頻率高通濾波器的帶寬帶通濾波器的中心頻率返回回到本節(jié)映射關(guān)系返回回到本節(jié)減少，或增加減少，或增加帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以證明：如給定邊界頻率不滿足改條件，改變參數(shù)，提高指標(biāo)返回回到本節(jié)例：設(shè)計(jì)巴特沃思模擬帶通濾波器，通帶上下邊界頻率分別為4kHz和7kHz，阻帶上、下邊界頻率分別為2kHz和9kHz，通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶最小衰減αs=20dB。解：1）高通濾波器指標(biāo) 增大2）低通原型濾波器指標(biāo)返回回到本節(jié)3）設(shè)計(jì)低通原型濾波器4）求模擬帶通H(s)：返回回到本節(jié)3.低通到帶阻的頻率變換:低通原型到帶阻濾波器的頻率變換在虛軸上阻帶邊界頻率：上邊界頻率下邊界頻率帶阻濾波器的帶寬帶阻濾波器的中心頻率返回回到本節(jié)減少，或增加減少，或增加帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以證明：如給定邊界頻率不滿足改條件，改變參數(shù)，提高指標(biāo)返回回到本節(jié)6.2IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)目標(biāo)：滿足給定頻率響應(yīng)指標(biāo)、因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)間接法設(shè)計(jì)過(guò)程確定數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成過(guò)渡模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)過(guò)渡模擬濾波器將過(guò)渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換返回過(guò)渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的要求保證因果穩(wěn)定性，Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射成H（z）后保持不變，即S平面的左半平面Re{S}＜0應(yīng)映射到Z平面的單位圓以內(nèi)|Z|<1。

H（z）的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即S平面的虛軸應(yīng)映射到Z平面的單位圓上。設(shè)計(jì)模擬Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字H(z)返回本節(jié)主要講述：6.2.1用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器6.2.2用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器6.2.3高通、帶通和帶阻IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)返回6.2.4IIR數(shù)字濾波器的頻率變換6.2.1脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

基本思想使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波的特性；從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)正好等于模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的采樣值，即

方法回到本節(jié)返回（1）濾波器系統(tǒng)函數(shù)（單極點(diǎn)、分母階次高于分子階次部分分式）（2）模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)（3）采樣（4）Z變換回到本節(jié)返回下面分析脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換性能：

s平面到z平面的極點(diǎn)映射關(guān)系:，用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)時(shí)，整個(gè)s平面到z平面的映射關(guān)系為

設(shè)

則

所以

ω=

T

回到本節(jié)返回其中，式ω=

T

表明：

數(shù)字頻率與模擬頻率之間是線性關(guān)系，這是脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)之一。由式可知：

=0時(shí)，r=1，s平面的虛軸映射為z平面的單位圓；

<0時(shí)，r<1，s平面的左半平面映射為z平面的單位圓內(nèi)；

>0時(shí)，r>1，s平面的右半平面映射為z平面的單位圓外。優(yōu)點(diǎn)返回回到本節(jié)模擬系統(tǒng)因果穩(wěn)定，其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的所有極點(diǎn)位于s平面的左半平面，按照上述結(jié)論，這些極點(diǎn)全部映射到z平面單位圓內(nèi)，因此，數(shù)字濾波器H(z)也因果穩(wěn)定。因?yàn)閔(n)=ha(nT)，根據(jù)時(shí)域采樣理論得到代入ω=

T得到

上面兩式說(shuō)明，數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓函數(shù)。

返回回到本節(jié)所以，如果模擬濾波器具有帶限特性，而且T滿足采樣定理，則數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)完全模仿了模擬濾波器頻率響應(yīng)。這是脈沖響應(yīng)不變法的最大優(yōu)點(diǎn)。但是，一般模擬濾波器不是帶限的，所以實(shí)際上總是存在頻譜混疊失真返回回到本節(jié)由上圖可見(jiàn)，頻譜混疊失真會(huì)使數(shù)字濾波器在ω=

附近的頻率響應(yīng)偏離模擬濾波器頻響特性曲線，混疊嚴(yán)重時(shí)可使數(shù)字濾波器不滿足阻帶衰減指標(biāo)。所以，脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器，這是脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)。為了減小頻譜混疊失真，通常采取以下措施:①選用具有銳截止特性的模擬濾波器；②提高采樣頻率Fs（Fs=1/T）。

缺點(diǎn)返回回到本節(jié)與模擬濾波器頻率響應(yīng)增益相比，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)增益增加了常數(shù)因子1/T。所以，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)增益會(huì)隨采樣周期T變化，特別是T很小時(shí)增益很大，容易造成數(shù)字濾波器溢出。所以，工程實(shí)際中采用以下實(shí)用公式這時(shí)

使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)增益與模擬濾波器頻響增益相同，符合實(shí)際應(yīng)用要求。返回回到本節(jié)增益補(bǔ)償例：

二階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

試用脈沖響應(yīng)不變法將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)，并對(duì)不同的采樣周期T，觀察頻譜混疊失真現(xiàn)象。解:

采用待定系數(shù)法將Ha(s)部分分式展開(kāi)。Ha(s)的極點(diǎn)為因此解得返回回到本節(jié)按實(shí)用公式，即式（6.2.12）得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為式中返回回到本節(jié)當(dāng)T分別取0.2s,0.1s和0.05s時(shí)，模擬濾波器和數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線如下圖所示模擬頻率（Hz）數(shù)字頻率（rad）(a)模擬濾波器頻響曲線(b)數(shù)字濾波器頻響曲線顯然，采樣周期T越大，頻譜混疊失真越嚴(yán)重，與差別越大。所以，脈沖響應(yīng)不變法不能用于將模擬高通和帶阻濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通和帶阻濾波器。返回回到本節(jié)例

用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，要求通帶和阻帶具有單調(diào)下降特性，指標(biāo)參數(shù)如下:解:

根據(jù)間接設(shè)計(jì)法的基本步驟求解。（1）將數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)模擬濾波器指標(biāo)。設(shè)采樣周期為T，得到（2）設(shè)計(jì)相應(yīng)的模擬濾波器，得到模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。根據(jù)單調(diào)下降要求，選擇巴特沃思濾波器。求出波紋幅度參數(shù)為返回回到本節(jié)從而得到再將k和k1代入，計(jì)算得到 取整數(shù)N=4取T=1s時(shí)查表6.1.1得到歸一化4階巴特沃思多項(xiàng)式為得到歸一化系統(tǒng)函數(shù)為返回回到本節(jié)將

c帶入去歸一化，得到希望設(shè)計(jì)的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為其中（3）將T=1s代入，將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)，即返回回到本節(jié)如果取T=0.1s，可得到近似相同的H(z)。這說(shuō)明當(dāng)給定數(shù)字濾波器指標(biāo)時(shí)，采樣周期的取值對(duì)頻譜混疊程度影響很小。所以，一般取T=1s使設(shè)計(jì)運(yùn)算最簡(jiǎn)單。T=1s時(shí)，T=0.1s時(shí)，如下圖6.2.3圖中數(shù)字濾波器滿足指標(biāo)要求，但是，由于頻譜混疊失真，使數(shù)字濾波器在ω=

（對(duì)應(yīng)模擬頻率Fs/2Hz）附近的衰減明顯小于模擬濾波器在f=Fs/2附近的衰減。返回回到本節(jié)例6.2.2設(shè)計(jì)的模擬和數(shù)字濾波器的損耗函數(shù)

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