高考數(shù)學(xué)理北師大版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練9-1空間幾何體

核心考點·精準(zhǔn)研析考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1.以下命題:①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐;②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺;③以矩形的任意一邊所在直線為軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓柱;④一個平面截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺.其中正確命題的個數(shù)為 ()A.0 B.1 C.2 D.32.以下四個命題中真命題為 ()A.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐B.底面是矩形的平行六面體是長方體C.直四棱柱是直平行六面體D.棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點3.下列結(jié)論:①在圓柱的上、下兩底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線;②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線;③在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓臺的母線;④圓柱的任意兩條母線相互平行.其中正確的是 ()A.①② B.②③ C.①③ D.②④4.若四面體的三對相對棱分別相等,則稱之為等腰四面體,若四面體的一個頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直,則稱之為直角四面體,以長方體ABCDA1B1C1D1的頂點為四面體的頂點,可以得到等腰四面體、直角四面體的個數(shù)分別為A.2,8 B.4,12 C.2,12 D.12,8【解析】1.選B.由圓錐、圓臺、圓柱的定義可知①②錯誤,③正確.對于命題④,只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,才能得到一個圓錐和一個圓臺,④不正確.2.選D.對于A,對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明(如圖),故A是假命題;底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直,故B是假命題;因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形,故C是假命題;由棱臺的定義知D是真命題.3.選D.①所取的兩點的連線與圓柱的軸所構(gòu)成的四邊形不一定是矩形,若不是矩形,則與圓柱母線定義不符.③所取兩點連線的延長線不一定與軸交于一點,不符合圓臺母線的定義.②④符合圓錐、圓柱母線的定義及性質(zhì).4.選A.因為矩形的對角線相等,所以長方體的六個面的對角線構(gòu)成2個等腰四面體.因為長方體的每個頂點出發(fā)的三條棱都是兩兩垂直的,所以長方體中有8個直角四面體.解決空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法:緊扣定義,由已知構(gòu)建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素,根據(jù)定義進行判定.(2)反例法:通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析.【秒殺絕招】優(yōu)選法解T2,根據(jù)棱臺的概念知,所有側(cè)棱交于一點,故D正確,A,B,C可以不予考慮.考點二空間幾何體的三視圖與直觀圖

【典例】1.(2018·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來,構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()2.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示,其中三個視圖都是直角三角形,則在該三棱錐的四個面中,直角三角形的個數(shù)為 導(dǎo)學(xué)號()A.1 B.2 C.3 D.4【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由直觀圖及俯視方向聯(lián)想俯視圖的形狀2由三視圖,想到還原為直觀圖后加以判斷【解析】1.選A.由直觀圖可知選A.2.選D.由題意可知,幾何體是三棱錐,其放置在長方體中形狀如圖所示(圖中陰影部分),利用長方體模型可知,此三棱錐的四個面全部是直角三角形.1.由幾何體的直觀圖求三視圖需要注意的兩個問題(1)注意主視圖、左視圖和俯視圖的觀察方向.(2)注意看到的部分用實線表示,不能看到的部分用虛線表示.2.根據(jù)三視圖還原幾何體實物的基本思想(1)仔細(xì)分析和認(rèn)真觀察三視圖,進行充分的空間想象.(2)結(jié)合三視圖的形狀,從不同的角度去還原.1.(2020·蕪湖模擬)某超市貨架上擺放著某品牌紅燒牛肉方便面,如圖是它們的三視圖,則貨架上的紅燒牛肉方便面至少有 ()A.8桶 B.9桶 C.10桶 D.11桶【解析】選B.易得第一層有4桶,第二層最少有3桶,第三層最少有2桶,所以至少有9桶,故選B.2.(2018·全國卷I)某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點M在主視圖上的對應(yīng)點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為 ()A.2QUOTE B.2QUOTEC.3 D.2【解析】選B.將三視圖還原為圓柱,M,N的位置如圖1所示,將側(cè)面展開,最短路徑為M,N連線的距離,所以MN=QUOTE=2QUOTE.考點三空間幾何體的表面積與體積

命題精解讀1.考什么:(1)考查求幾何體的表面積與體積.(2)考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).2.怎么考:(1)由三視圖還原幾何體形狀,再求表面積或體積.(2)與平行、垂直的性質(zhì)、判定相結(jié)合考查.3.新趨勢:以柱、錐、臺、球為載體,結(jié)合線面垂直等知識考查.學(xué)霸好方法空間幾何體表面積、體積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理.(3)體積可用公式法、轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等求解.求空間幾何體的表面積或側(cè)面積【典例】(2018·全國卷I)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為()導(dǎo)學(xué)號A.12QUOTEπ B.12π C.8QUOTEπ D.10π【解析】選B.截面面積為8,所以高h=2QUOTE,底面半徑r=QUOTE,所以該圓柱表面積S=π·(QUOTE)2·2+2π·QUOTE·2QUOTE=12π.面積為8的正方形截面的邊長與圓柱的高及底面半徑有何關(guān)系?提示:正方形邊長與圓柱高相等,是底面半徑的2倍.求空間幾何體的體積【典例】(2019·全國卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長方體ABCDA1B1C1D1挖去四棱錐OEFGH后所得幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6cm,AA1=4cm,3D打印所用原料密度為0.9g/cm3,【解析】S四邊形EFGH=4×64×QUOTE×2×3=12(cm2),V=6×6×4QUOTE×12×3=132(cm3).m=ρV=0.9×132=118.8(g).答案:118.8(1)求制作該模型所需原料的質(zhì)量實際是求面積還是體積問題?提示:體積問題.(2)模型的體積與長方體體積和四棱錐體積之間有何關(guān)系?提示:模型的體積是長方體體積和四棱錐體積之差.1.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為.

【解析】根據(jù)三視圖可知幾何體是一個長方體挖去一個圓柱,所以S=2×(4+3+12)+2π2π=38.答案:382.若正方體的棱長為QUOTE,則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由題意知,以正方體各個面的中心為頂點的凸多面體為正八面體(即兩個同底同高同棱長的正四棱錐),所有棱長均為1,其中每個正四棱錐的高均為QUOTE,故正八面體的體積為V=2V正四棱錐=2×QUOTE×12×QUOTE=QUOTE.3.(2020·吉安模擬)已知三棱錐PABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=PB=PC=1,則三棱錐PABC外接球的表面積為 ()A.π B.QUOTEπ C.2π D.3π【解析】選D.三棱錐PABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)外接球半徑為r,則2r=QUOTE=QUOTE,r=QUOTE,外接球的表面積S=4πr2=3π.1.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為 ()A.π B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.如圖,畫出圓柱的軸截面,r=BC=QUOTE,那么圓柱的體積V=πr2h=π×QUOTE×1=QUOTEπ.2.(2020·合肥模擬)陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一,但陀螺這個名詞,直到明朝劉侗、于奕正合撰的《京地景物略》一書中才正式出現(xiàn),如圖所示的網(wǎng)格紙中小正方形的邊長均為1,粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖,則該陀螺模型的表面積為 ()A.(8QUOTE+8QUOTE+16)π B.(8QUOTE+4QUOTE+16)πC.(8QUOTE+8QUOTE+4)π D.(8QUOTE+4QUOTE+4)π【解析】選B.由三視圖知,該幾何體是上部為圓錐,中部為圓柱,下部為圓錐的組合體,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),計算該陀螺的表面積為S=QUOTE×4π×2QUOTE+1×4π+42·π22·π+QUOTE×8π×QUOTE=(8QUOTE+4QUOTE+16)π.3.圓錐的全面積為15πcm2,側(cè)面展開圖