6.4.3.3余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

課時(shí)16余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例新授課1.了解實(shí)際問題中常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語，能夠運(yùn)用余弦定理、正弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離、高度、角度的實(shí)際問題.任務(wù)1：利用余弦定理、正弦定理解決不可測(cè)量的距離問題.目標(biāo)：了解實(shí)際問題中常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語，能夠運(yùn)用余弦定理、正弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離、高度、角度的實(shí)際問題.情景1：如圖，A，B兩點(diǎn)都在河對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A，B兩點(diǎn)間距離的方法.并求出A，B間的距離.(1)若在河這邊取一點(diǎn)C，根據(jù)測(cè)角儀可以測(cè)出∠ACB的大小，回顧正弦定理與余弦定理，據(jù)此能求出邊AB的距離嗎？不能，理由：正弦定理適用條件是：①已知兩邊和其中一邊的對(duì)角；②已知兩角和任意一邊.余弦定理適用條件是：①已知兩邊及其夾角；②已知三邊；③已知兩邊及其任意一角.而題中只能測(cè)量出一個(gè)角，其他均不可測(cè)量，故不可以.(2)小組討論：如圖，若在河這邊取兩點(diǎn)C、D，且DC=2km，連接AC、BD，根據(jù)測(cè)角儀測(cè)得∠ACB=45°,∠ACD=60°,∠BDA=∠BDC=30°，此時(shí)根據(jù)正弦定理與余弦定理能求出邊AB的距離嗎？說明理由.可以，將情境問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，畫出其幾何圖象，并通過儀器測(cè)出∠ACB=45°,∠ACD=60°,∠BDA=∠BDC=30°

，DC=2km.解：在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得CD=2,∠BCA=45°,∠ACD=60°，∠CDB=∠ADB=30°，在△ADC，△BDC中，由正弦定理可得

,

，所以在△ABC中,由余弦定理得

.思考：還有其他方法計(jì)算A，B兩點(diǎn)間的距離嗎？1.基線：是指在測(cè)量過程中，我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段，如題中的線段CD.2.性質(zhì)：在測(cè)量過程中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精確度.一般來說，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高.概念生成1.坡度：2.仰角和俯角：

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.斜面與地平面所成的角度任務(wù)2：利用余弦定理、正弦定理解決不可測(cè)量的高度問題.在解決關(guān)于不可測(cè)量的高度問題時(shí)，需要明確以下概念：情景2：如圖，AB是一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法，求出建筑物的高度.(1)若AB的底部可以到達(dá)，那么應(yīng)該如何設(shè)計(jì)方案，使得可以計(jì)算出建筑物的高度？如圖，在地面上隨機(jī)取一點(diǎn)G，然后用測(cè)量?jī)x測(cè)出點(diǎn)C處的仰角，并測(cè)出GB的距離，再利用直角三角形的正切公式求出AB的高度.(2)結(jié)合問題(1)的方案，若AB的底部不可以到達(dá)，那么應(yīng)該如何調(diào)整問題(1)的方案？根據(jù)調(diào)整的方案可以計(jì)算出建筑物的高度是多少？（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）如圖，在地面上取G、H兩點(diǎn)，并使得B，G，H三點(diǎn)共線，然后分別在G、H處，測(cè)得A處的仰角分別為45°,30°，且GH=100m，DH=1.5m.所以，在△ACD中，

.所以，所以，m.練一練

如圖，要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°，并測(cè)得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求電視塔的高度．解：設(shè)電視塔AB高為x，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°,得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝

x.在△BDC中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°，即(

x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40.答：電視塔的高為40m.任務(wù)3：利用余弦定理、正弦定理解決實(shí)際問題中的角度問題.在解決關(guān)于角度測(cè)量的問題時(shí)，需要明確以下概念：1.方位角從某點(diǎn)的指北方向線順時(shí)針方向至目標(biāo)方向線間的水平夾角.從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角.2.方向角北南東西AαBβ情景3：位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救.甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西30°,且與甲船相距7nmile的C處的乙船.問：那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的目標(biāo)方向線（由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線）的方向是北偏東多少度（精確到1°）？需要航行的距離是多少海里（精確到1nmile）解：根據(jù)題意，畫出示意圖，如右圖所示.由余弦定理，得于是由正弦定理，得,于是由于0°<C<90°,所以C

≈46°

因此，乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的方向約是北偏東46°+30°=76°,大約需要航行24nmile.北CBA7nmile20nmile30°思考：結(jié)合任務(wù)1、2、3，小組討論利用正余弦定理解決實(shí)際問題的步驟是怎樣的？運(yùn)用正、余弦定理解決實(shí)際問題的基本步驟：(1)分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖（一個(gè)或幾個(gè)三角形）；(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與待求量盡可能地集中在有關(guān)三角形中，建立一個(gè)解三角形的數(shù)學(xué)模型；(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際問題，從而得出實(shí)際問題的解.歸納總結(jié)任務(wù)：回答下列問題，構(gòu)建知識(shí)