空間幾何解答題（理科）（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型歸納與練習(xí)（全國(guó)通用）

專題19空間幾何解答題（理科）

考擁要求與命題規(guī)律

立體幾何（理科）解答題是高考全國(guó)卷必考題，難度中等，一般分2問(wèn)，第1問(wèn)大多考查平行或垂直

的證明，第2問(wèn)主要考查空間向量求二面角、線面角、線線角的大小，考查利用空間向量探索存在性問(wèn)題

及位置關(guān)系等，難度中等偏上。預(yù)計(jì)2023年高考新課標(biāo)全國(guó)卷第19題會(huì)考查立體幾何問(wèn)題，以平行（垂

直）關(guān)系、空間角為主線進(jìn)行考查.

專導(dǎo)航

一、熱點(diǎn)題型歸納

題型1.直線與平面所成角問(wèn)題

題型2.二面角問(wèn)題

題型3.距離（體積）問(wèn)題

題型4.折疊（翻折）問(wèn)題

題型5.已知二面角（線面角）求參數(shù)

題型6.求二面角（線面角）最值

題型7.求長(zhǎng)度（體積）最值

題型8.探究（猜想）類(lèi)問(wèn)題

題型9.空間幾何中的數(shù)學(xué)文化與新定義問(wèn)題

二、最新?？碱}組練

三、十年高考真題練

拉克觀型歸的

【題型1】直線與平面所成角問(wèn)題

【解題技巧】利用向量法求線面角的方法：（1）分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為

求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）；（2）通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾

的銳角（鈍角時(shí)取其補(bǔ)角），取其余角就是斜線和平面所成的角.

【典例分析】

1.（2022?重慶高三二模）如圖，在三棱柱ABC-4MG中，ACLBC,AC=BC,四邊形ABgΛ1是

9

菱形，ZΛ4,β,=-τr,平面AB旦A，平面A8C,點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)尸是AC上靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn).

（1）證明：4。LAB；（2）求直線A/與平面AE尸所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）叵.

29

【解析】證明：（1）取AB中點(diǎn)O,連結(jié)A。，OC

在,ASC中，AClBC,AC=BC,ΛOC±AB-

2

在菱形ABgA中，由/然4=§乃可知-4418為等邊三角形，，4。，48,

又?.?Λ1O?OCO，AoU平面A℃,OCU平面AoC,

.?.ΛB±ΞP≡40C,ACU平面AOCAC,AB.

（2）?；平面AB44J.平面ABC,平面ABB/c平面ABC=AB,

由（1）可知AO?LOC,，OA,OC,。4兩兩垂直，

如圖，以。為原點(diǎn)，OA,OC,OAl所在宜線分別為X軸，＞軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)，

不妨設(shè)Ae=2,則A。,。,。），A（0,0,百），C（0,l,0）,B（-1,O,O）,FQ,∣,O^,AB=（T，°，一6}

山A41=8B],得片卜2,0,、/^）,則的中點(diǎn)E—?,θ,-?,

(3

-

從而AE=-,θ,——,A1F

A∣E?"=O

設(shè)平面AE/7的法向量為〃=（x,y,z）,則

AiF?n=O

上一旦=0x=-l

即<

22不妨?。?-1得<y=5,即〃=(-1,5,?/j).

—+—γ-?∣3z=0Z=下)

133

n-AB__-2_√29

則t

cos(n,HlA^r2√29^^^

所以直線4B與平面4所成角的正弦值為上

29

2.（2022.遼寧高三模擬）如圖所示，平面五邊形可分割成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC和一個(gè)直角梯形

ACDE,其中AE//CD,AE=-CD=-AC,ZEAC=90o,現(xiàn)將直角梯形ACDE沿邊AC折起，使得AE

22

±AB,連接BE、BD,設(shè)線段Be的中點(diǎn)為尸.(1)求證：4尸//平面8。民(2)求直線E尸與平面BDE所

成角的正弦值.

【解析】證明：(1)取8。的中點(diǎn)G,連接EG、FG,由F為BC的中點(diǎn)，則FGHDC且FG=?CD,

因?yàn)?^//。。且。=???,所以AE//FG且4E=FG,所以四邊形AFGE為平行四邊形，則4F//EG,

又因?yàn)镋GU平面BDE,AF(Z平面BDE,所以A尸//平面BDE；

(2)'：AELAB,AELAC,ABcAC=A,48,4。匚平面48。，；.4￡：_1平面48(7.

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AF為X軸，在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線為)，軸，AE為Z軸建立空間

直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),F(√3,0,0),β(√3,-l,0),C(√3,l,0),￡(0,0,1),D(√3,1,2),

EF=(√3,0,-1),BE=(-√3,1,1),ED=(6,1,1),設(shè)平面BDE的法向量為〃=(x,y,z)，

n?βE=0-?∕3x+y+z=0

則《即《令y=l,則z=-l,無(wú)=0,所以〃=(0,1,-1),

nED=0s∣3x+y+z=0

1ULSl

設(shè)宜線EF與平面BDE所成角為氏所以Sine=ICoS〈7,容〉I=音僚=去=停.

【變式演練】

1.（2023?福建三明市?高三模擬）如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PAB_L平面ABCr），平面~4。_1_平

面ABCD,四邊形ABCf）為直角梯形,其中AB，BC,BCHAD,8。=48=24）,后是4￡）的中點(diǎn).（1）

2

求證：PCLCD（2）若NPBA=45°,求直線PC與平面PBE所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）?

3

【解析】（1）連接EC,

由己知BC幺LA。，E為中點(diǎn)，又ABLBC,故四邊形ABCE為正方形，所以知EC_LAD

2

：面RW_L面ABCo又面PABC面ASCD=AS，BCLAB-BCU平面ABCz)

.?.BC，平面Q48，故BC_LP4.同理可證CELQ4

又BCCE=C,故尸AJ_平面ABCD連接AC,可知AC_LBE

又PALBE,PAAC=A.?.可知BEI平面PAC又尸。(=平面膽。二ɑ。，3￡

由已知Z)E幺BC,故四邊形BCDE為平行四邊形故CDHBE；.可知PCA.CD

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A%,Ab,y?的正方向?yàn)閄,y,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

由NPA4=45。，知Λ4=AB,不妨設(shè)A3=1則可知8。,0,0),P(0,0,l),￡(0,1,0)

—>—>—>

PB=(1,0,-1)×PE=(0,1,-1)設(shè)平面PBE的法向量為“=(χ,y,z)

∏PB=Qx-z=0

則=>令z=1,則X=y=1.?.〃=(LLl)

nPE=Qy-z=0

又C(LLO)故元=(IJT)設(shè)PC與平面PBE所成的角為"貝I]

—>—>

→→PC?n1

sinθ=|cos<PC,〃〉|=|——-1=-.

?PC?-?n?3

2.(2023?河北高三模擬)如圖，在四棱錐尸-ABCo中，底面ABCo為正方形,

AP=DP=1,AD=&CP=6，F(xiàn)為線段產(chǎn)。的中點(diǎn).

(1)求證：CDlAF(2)求直線PB與平面CFB所成角的正弦值.

【答案】（D證明見(jiàn)解析；（2）X*.

51

【解析】（1）在一PCZ）中，因?yàn)镻C=C,DP=1,CD=AD=6,

所以CTy+op2=cp2,所以CD上DP,

因?yàn)镃QAOcOP=O,所以CD_L平面PAD，因?yàn)锳EU平面附》所以CDLAb.

（2）由（1）知CDLOP,以。P,。C所在直線分別為X軸，V軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

。一個(gè)z.在△"￡）中，因?yàn)锳P=OP=1,AO=√Σ,所以Ap2+Dp2=Aβ2,

所以AP_LO尸：因?yàn)镃D_L平面PAD，F(xiàn)AU平面PA。，所以Cz）J_AP.

因?yàn)镃ODP=D,所以W平面PCD可得O（0,0,0）,P（l,0,0）,q（）,"0），dg,0,0],A（l,0,l）.

因?yàn)閞>5=r>c+θA=（ι,√Σ,ι）,所以B（I,√Σ,I）,

所以FC=（一;,√IO）,FC=?,l）,Pβ=（θ,√2,l）.

J

n?FC-O

設(shè)平面CFB的?個(gè)法向量為〃=（X,y,z）,則V

n?FB=Q

—X÷λ∕2y=O

所以V?2,令χ=4,則y=√∑,z=—4,所以〃=（4,及,一4）.

—x+V∑y+z=O

、2

n-PB2102

設(shè)直線尸8與平面C9所成的角為e,貝IJSine

HH√3×√34^51'

【題型2】二面角問(wèn)題

【解題技巧】利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法

（1）找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到

二面角的大小.但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.

（2）找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則

這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.

【典例分析】

1.（2022.福建?三模）如圖，在三棱錐V-ABC中，V?6和AeC均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.P是棱V?上

2

的點(diǎn)，VP=^VAf過(guò)尸的平面。與直線VC垂直，且平面e平面%3=/.

JT

（1）在圖中畫(huà)出/,寫(xiě)出畫(huà)法并說(shuō)明理由；（2）若直線VC與平面ABC所成角的大小為三，求過(guò)/及點(diǎn)C的平面

與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

【答案】（1）圖象見(jiàn)解析，畫(huà)法見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析（2）偵

14

【分析】（1）結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理來(lái)畫(huà)出直線/.

（2）作出過(guò)/及點(diǎn)C的平面與平面ABC所成的銳二面角，利用余弦定理求得其余弦值.

【解析】（1）如圖，在V?B內(nèi)過(guò)戶作PΛWAB,交VB于N,則直線PN即為直線/.

理由如下：取VC的中點(diǎn)。，連結(jié)AQ,BQ,

因?yàn)楹虯BC均為等邊二角形，所以V?=AC,VB=BC,所以KCJ_AQ,VClBQ,

又因?yàn)锳Q「BQ=Q,所以VCL平面ABQ,又因?yàn)閂CL平面α,所以平面α〃平面A8Q,

又因?yàn)槠矫姒痢善矫?3=/，平面ABQn平面03=AB,所以AB〃/,所以直線PN即為直線/.

22

（2）由（1）知，PN//AB,因?yàn)閅P=1憶4,所以VW=1V8.

設(shè)AB的中點(diǎn)為O,連結(jié)VD,交PN于G,連結(jié)CG,

因?yàn)镋AB和ΛBC均為等邊三角形，所以V4=VB,AC=BC,所以Afi_LV?,ABVCD,

又因?yàn)閂T>CD=D,所以ABL平面YcO,ABI平面ABC,所以平面ABCj_平面VCO.

在LVCD中，作VO?L8,垂足為。，因?yàn)槠矫鍭8C∣∣平面VCD=CD,W9u平面VCD,所以Vo_L平面A8C,

Tr

所以NVCD是直線VC與平面ABC所成的角，所以NyC￡>=§,

因?yàn)樾B和14BC均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以VD=OC=2√i,NVDC=

因?yàn)锳B//EN,所以O(shè)G=IQV=亞.山（1）知，過(guò)/及點(diǎn)C的平面為平面aw,

33

因?yàn)锳Ba平面C∕>N,PNU平面CPN,所以AB〃平面CPN,

設(shè)平面CPN.平面45C=/',因?yàn)锳Bi平面ABC,所以AB〃/',

因?yàn)锳BL平面VC。，CGU平面VCD,CDU平面Va),所以AB_LCG,ABlCD,

所以CG_L/',CD±l,,又因?yàn)镃GU平面CRV,CQU平面ABC,

所以ZGCD為平面CPN與平面ABC所成的銳：面角的平面角，

在.GCD中，由余弦定理得，CGl=DG?DC2-2DG?DC?cosNGDC,CG=空?,

3

所以8SNG3型生=辿，

2CGDC14

所以過(guò)/及點(diǎn)C的平面與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為區(qū).

14

2.(2022?成都市?高三專題練習(xí)(理))如圖，在三棱錐D—A3C中，G是AABC的重心，E,尸分別在

BC,CQ上，且BE=^EC,QF=^FC.(1)證明：平面GEF〃平面ABD；(2)若CDL平面ABC,ABlBC,

AC=C。=2,BC=},P是線段EF上一點(diǎn)，當(dāng)線段GP長(zhǎng)度取最小值時(shí)，求二面角P-AO-C的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）%更

31

（1）BE=^EC,DF=；FC,:.EF//BD

又EFa平面ABO,BoU平面ABQ,.?.EF〃平面

又G是AABC的重心，..GEAB乂GECZ平面A8O,ABi平面48/）,.?.GE//平面A8。,

又EFGE=E,GEu平面GE/所以平面GEr〃平面ABD

(2)由AB_LBC,AC=CD=2,BC=I,可得AB=√5又GE//AB,GELBC

又CoI.平面ABC,GEl平面ABC,.?GEA.CD

又BCeCD=C,8(7,8<=平面8(力，..6￡：1.平面8。。，又EFU平面Ba),..GELM

P是線段E尸上一點(diǎn)，當(dāng)線段G尸長(zhǎng)度取最小值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合.

如圖，作C4L5C,以C為原點(diǎn)，<^8,?！?8為不丫,2軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則41,一6,0),C(0,0,0),O(0,0,2),《I，。，。)

所以AP=(-]?/j,θ),DP=(―,0,—2),CA=(1,-73,0),CD=(0,0,2)

設(shè)平面ADP的一個(gè)法向量為質(zhì)=(%,%,z∣)則

設(shè)平面ADP的一個(gè)法向量為〃=(X2,%,z?)則，令……后。)

5而r-

m`n

cos<m,n>=---------~3Γ,所以二面角P-AO-C的余弦值為亞衛(wèi)

?m???n31

【變式演練】

L(2022?安徽?高三開(kāi)學(xué)考試)如圖，在三棱柱ABC-ABg中，BC=B8∣,BCJ80=0,40，平面BB1C1C.

(1)求證:A8_LBC；(2)若NSBC=60,直線AB與平面BBCC所成的角為30°,求二面角A-四6-A的正

弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析⑵生3

7

(1)證明：因?yàn)锳OL平面BB1QC,BCU平面BBCC，所以4。，第7,

因?yàn)锽C=B用，四邊形BBCC是平行四邊形，所以四邊形BBCC是菱形，所以BG_LBC，

又因?yàn)锳oCBG=O,AoU平面A8C∣,8C∣u平面A8C∣,所以8(，平面A8C∣,

因?yàn)锳Bi平面A8￡,所以A8,BC.

(2)解：因?yàn)锳B與平面BBCC所成角為30",AoI平面8BCC，所以NA8O=30°,

因?yàn)镹4BC=60°,所以aBCB∣是正三角形，設(shè)3C=2,則8。=2,80=6,04=1,

以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)B,OBt,OA所在直線為％%Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則5(石,0,0),4(0,l,0),A(0,0,l),G(-√5,0,0),

所以蝴=(0,1,-1),C1B1=(√5,l,0),A4=AB=(Goi)，

設(shè)平面世￡的一個(gè)法向量為Wl=(X,%z),則"''廠，

n1?C1B1=√3x+y=0

取X=I,可得y=-6,z=—6,所以4=(l,-g,-Λ∕5),

tv,?A.B,=√3xl-z,=0

設(shè)平面BIClA的一個(gè)法向量為%=(XQl,Z]),則＜-r，

n1C1B1=√3xl+jl=0

取Xl=1,可得X=-G,z=g,所以“=(1,—,設(shè)二面角A-B∣G-4的大小為e,

（L一6G）?（i,一百,百）

因?yàn)镃oS（4,%）_nl?n2

同向√7×√7

所以二面角A-BCl-A的正弦值為華.

2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，ABCZ)為圓柱O。'的軸截面，E尸是圓柱上異于A。，BC的母線.

(1)證明：BEI平面。ER(2)若ΛB=8C=2,當(dāng)三棱錐3-。瓦'的體積最大時(shí)，求二面角8-。F-E的余

弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)立

3

(1)證明：如右圖，連接AE,由題意知42為二。的直徑，所以M_L8E.

因?yàn)锳dE尸是圓柱的母線，所以4)〃￡/L且4)=EF.

所以四邊形AEFD是平行四邊形.所以北〃OF,所以BElDF.

因?yàn)镋尸是圓柱的母線，所以E/，平面又因?yàn)锽Eu平面A8E,所以EFLBE.

又因?yàn)镈FEF=F,DF,EF?jPffiDEF,所以BEJ■平面DEF.

(2)由(I)知8E是三棱錐5-?！陸舻酌妗?￡：產(chǎn)上的高，

由(1)知防_LAE,AE〃DF,所以EFLDF,即底面三角形OEF是直角三角形.

11111r2+V2?

設(shè)。F=AE=X，BE=y,則/+9=4,所以%_詆=.S△曲?BE=,x(jxχx2)xy=axy,,-=-

當(dāng)且僅當(dāng)X=y=√∑時(shí)等號(hào)成立，即點(diǎn)E,尸分別是AB，Co的中點(diǎn)時(shí)，

三棱錐B-DEF的體積最大,下面求二面角5-OF-E的余弦值：由(1)知E4,EB,EF兩兩相互垂直,

如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，EA,EB,所所在直線為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系E-盯z,

則8(0,√2,0),￡>(√2,0,2),￡(0,0,0),F(0,0,2).

山(1)知BEI平面。EF,故平面DEF的法向量可取為EB=(0,0,0).

設(shè)平面Bz)F的法向量為"=(x,y,z),由。F=(-√Σ,0,0),BF=(O,-√2,2),

n?DF—O-√2x=0即IA一°,取Z=I,得"=（0,忘,1）.

,

n?BF=OΛ∕2>+IZ=y=√2z

n`EB√2×√2_√6

設(shè)二面角B-DF-E的平面角為。,則ICOSq=卜os(",EB∣=

n?-?EB√3×√2^3

由圖可知。為銳角，所以二面角B-DF-E的余弦值為逅.

3

【題型3】距離(體積)問(wèn)題

【解題技巧】利用法向量求解空間線面角、面面角、距離等問(wèn)題，關(guān)鍵在于“四破”：①破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰

當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；③破“求法向量關(guān)“，求出平面的法向量;

④破“應(yīng)用公式關(guān)

【典例分析】

1.（2022?北京門(mén)頭溝?一模）如圖，在正三棱柱ABC-AIC中，AB=AA=2,D,P分別是BC,CG的

中點(diǎn).（1）在側(cè)棱B用上作出點(diǎn)F,滿足〃平面ABf,并給出證明；（2）求二面角4-AP-G的余弦值及

點(diǎn)B到平面ABf的距離.

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析（2）如，√2

4

【分析】（1）由線面平行的判定定理證明（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解

【解析】⑴設(shè)BA的中點(diǎn)為K,BE的中點(diǎn)為尸，則EC∕∕8∣P,DFHEC,則DF∕∕B,P,

DFB平面AB/,BIPU平面AS7,DF〃平面AB/.

（2）設(shè)。是邊AC的中點(diǎn)，Z是AG的中點(diǎn)，則OZL平面A8C,ABC為正三角形，

所以，OBLAC,OB.0C,OZ兩兩垂直，建立如圖所示坐標(biāo)系O-XyZ.

B

則A(O,-1,O),β,(√3,O,2),P(O,L1),AP=(0,2,1),

AB1=(^,1,2),設(shè)平面ABZ的法向量為加=(X,y,z),

n-AP2y+z=0-

x=O則111Vr

所以r=>n,=(√3,l,-2),

n1AB1=0yJ3x+y+2z=0

Ui"/-F-

平面G"的法向量為〃2“,。,。)，…麒＞=睛4,所以二面角……的余弦值為當(dāng)

UUUU

BB1=(0,0,2),設(shè)點(diǎn)B到平面ABF的距離為"，則"=牛把=夜.

∣w∣I

2.(2023?江西高三專題練習(xí))如下圖，在四棱錐P—ABCD中，已知，平面ABC。，且四邊形ABCo

為直角梯形，NABC=ZBAD=巴TT,PA=AD=2,AB=BC=L(1)求平面245與平面PCO夾角的

2

余弦值；(2)定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值，

利用此定義求異面直線PB與CO之間的距離.

【解析】以卜5AD,4。｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系出Z,

則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B(1,0,0),C(l,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2)

(1)因?yàn)锽4，平面ABCr),且4)U面ABCD，

.?.PA±AD^又AβJ_4),且Q4∩AB=A,。，平面以8,

所以Azj是平面附B的一個(gè)法向量，Ao=(0,2,0)

因?yàn)镻C=(1,1,-2),PD=(0,2,—2).設(shè)平面PCD的法向量為In=(x,y,z),

x+y-2z=0

則”P(pán)C=°'^PD0即￡一2z=。'令X'解得Z"E?

,nADm√3

所以“=α,l,D是平面PCO的一個(gè)法向量’從而SSARm=同=?

所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為

(2)因?yàn)?P=(T,(),2),設(shè)。為直線P8上一點(diǎn)，且豆。=Jl豆P=(—2,0,22),

又CD=(T,1,0),CB=((),-1,0)則CQ=CB+BQ=(-4,-1,24),

則點(diǎn)。到直線CD的距離d=^cρ2-(∣cβ∣cos(cβ,cr>)j2=CQ2-C^*C,D

919

1Y4422

2-2-2-λ+-+->-.?d≥-所以異面直線P8與CD之間的距離為一.

9)9933

【變式演練】

1.(2023?浙江高三專題練習(xí))如圖，在正方體ABS-AgGA中，E為Bg的中點(diǎn).

(1)證明：BCl//平面A￡)E；(2)求直線BG到平面AnE的距離；(3)求平面AQE與平面ABCD夾

角的余弦值.

22

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)-；(3)

33

【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2

則A(0,0,0),8(0,2,0),D1(2,0,2),C,(2,2,2),E(0,2,l),

Uπ?AZ)l=012%+2z=0

(1)設(shè)平面ADIE的法向量為n=(%,y,Z])

}H-AE=O,[2y+z=Q

令x=l,則Z=-1,>=；,.?.nl=1,；,一1),BCI=(2,0,2),

BC1-Ti1=(2,0,2)?(1,?,-Ij=2-2=0,/.BClInl.GBZ面ARE:.BC∣〃平面AAE.

(2)QBCi//平面直線BG到平面AAE的距離即為點(diǎn)3到平面A，E的距離,

?AB-nl?∣0×l+2×∣+0×(-l)

AB=(0,2,0),HI=(IT2

3

2

.??直線BCl到平面ARE的距離為I.

(3)平面ABeD的個(gè)法向量為〃=(0,0,2),設(shè)平面AAE與平面ABe。夾角為氏

=fl,?,-l1,CoSe=COS

2

所以平面ARE與平面ABcD夾角的余弦值§.

2.(2022.江蘇?沐陽(yáng)高三階段練習(xí))如圖，已知四棱臺(tái)ABCZ)-ABCA的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4

的正方形，AA=4,且A/,底面ABC。，點(diǎn)P,。分別在棱。。I、BC上?(1)若「是力。的中點(diǎn)，證明：

AB1rPQi(2)若P。//平面4880,二面角「-。。-A的余弦值為］,求四面體的體積.

(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AA所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),4(2,0,4),O(0,4,0),D1(0,2,4),設(shè)。(4,〃?,0),其中加=8Q,0≤w<4,

若P是?？诘闹悬c(diǎn),則尸(0,3,2),AB1=(2,0,4),PQ=(4,m-3,-2),

于是AB∣?PQ=8-8=0,ΛAB1±PQ,BPABt?PQ.

（2）由題設(shè)知，。。=（4即-4,0）,DD1≈（0,-2,4）.是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.

設(shè)/=（χ,y,z）是平面P。。的-一個(gè)法向量,

則!"SQ=On∣4x+(,"4)y=0,

取y=4,得4=(4-∕n,4,2).

,[ntDDt=O[-2y+4z=0,

LU2

又平面AQO的一個(gè)法向量是n2=（0,0,1）,2

yJ(4-m)+20

42479

而二面角尸-8-A的余弦值為因此［"I+20=5，解得MW或加=捺（舍去），此時(shí)。卜巧，。J.

設(shè)。P=∕ωq（0"≤l）,而皿=（0,—2,4）,由此得點(diǎn)尸（0,4—244孫PQ=（4,24-；,-42）,

TPQ〃平面ABB小，且平面AB8∣A的一個(gè)法向量是〃3KO』，。），

.??P°a=O,BP2Λ-^=0,解得；1=（,從而尸?,1）.

將四面體A。PQ視為以AAOQ為底面的三棱錐P-A。。，則其高a=1,

111Q

故四面體AOP。的體積V=§SΛ∕X>?Λ=?×-×4×4×1=--

【題型4】折疊（翻折）問(wèn)題

【解題技巧】解決空間圖形的翻折問(wèn)題時(shí).，要從如下幾個(gè)角度掌握變化規(guī)律:

l——1:①過(guò)程是連續(xù)漸變；

變k>i②點(diǎn)和線的變化；

1——J:③角度、長(zhǎng)度等幾何量度的變化.

CO:①翻折前后，仍然在一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生改變；i

LLzJ:②翻折過(guò)程中，直線和平面的位置關(guān)系可能不變?i

II

注意：翻折過(guò)程中的特殊位置①翻折的起始位置；②翻折過(guò)程中，直線和平面的平行和垂直的特殊位置.

【典例分析】

1.(2022?云南昆明?一模(理))如圖1,在4A∕Mt中，AA11AB,點(diǎn)2，。是AA的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G，C

是48的三等分點(diǎn).分別沿DG和。C將；AoC和3AqG翻折，使平面AICq〃平面A8CD,且。2,平

面48C￡>,得到幾何體ABC。-ACA,作OELCa于￡連接AE,AiD,如圖2.

ΛΓ)7

(1)證明：圖2中，AELCCt.,(2)在圖2中，若絲=：,求直線DA與平面A。E所成角的正弦值.

AB3

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)典

5

【分析】(I)通過(guò)證明CcJ平面ADE來(lái)證得AE1CC1.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來(lái)求得直線與平面AOE所成角的正弦值.

【解析】⑴因?yàn)镺RJ-平面ABCZλAoU平面ABC。，所以O(shè)B_L4。，在翻折前，點(diǎn)ZλC分別是A4,

AR的三等分點(diǎn)，所以。C〃AB,在四邊形A8C。中，ADA.AB,所以AZ>_La),

因?yàn)?。CCQR=￡>,所以A。，平面AC∣8,又CGU平面CDDG,所以AOJ.CG，

乂因?yàn)镺E_LCG,DEoAD=D,所以CC∣?L平面40E,由AEu平面ADE得AE_LCC∣.

(2)以。為原點(diǎn)，DA,DC,。，所在直線分別為X,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

AΓ)O

如圖，由第=：，不妨設(shè)鉆=3，Az)=2,則A(2,0,2),C,(0,1,2),C(0,2,0),ZMI=⑵。，2)，

又由(1)知，平面4)E的一個(gè)法向量為CG=(O,-1,2),

f>A?CC∣l2x2M

則

設(shè)直線與平面ADE所成的角為凡SinO=gs<DAl,Cc4=

DAl∣?∣CCl∣~2√2×√55

所以直線DAt與平面AOE所成角的正弦值為萼.

2.(2022?山西太原?一模(理))已知一圓形紙片的圓心為。，直徑A3=2,圓周上有C、D兩點(diǎn).如圖，OCJ_AB,

π

440。=二，點(diǎn)P是BD上的動(dòng)點(diǎn).沿AB將紙片折為直二面角，并連結(jié)P。，PD,PC,CD.

O

(1)當(dāng)AB//平面PCD時(shí)，求PZ)的長(zhǎng)；(2)當(dāng)三棱錐尸-C8的體積最大時(shí)，求二面角O-Po-C的余弦值.

【答案】⑴5⑵乎,

【分析】（I）利用線面平行可得AB∕∕PD,進(jìn)而求出等腰，POQ的底角即可計(jì)算作答.（2）由已知證明。CI

平面尸OD,再由體積最大可得OP_LQD,然后作出二面角。-叨-C的平面角，借助直角三角形求解作答.

【解析】⑴因AB〃平面Pa),ABi平面PoD內(nèi)，平面PCZ)平面尸OD=Pr),貝IJ有AB//PZ),

因此，ZPDO=ZAOD=-,而OD=OP=LM∣JPD=2ODcosZPDO=2cos?=√3,所以PQ的長(zhǎng)是由.

66

(2)因OC_L48,平面ABCj■平面PoD,平面ABC平面PQr)=A3,OCU平面ABC,則OCL平面PO

三棱錐P—COD的體積Vp_8D=~^-OC=--ODOPsmZPOD-OC=-sinZPOD,

3pod326

因此，三棱錐P—C8的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)sin/PO。=1,即OPj.0。，

取尸。中點(diǎn)M,連接。M,CM,由OD=QP=1,OCJ_OROCL。P可得CD=CP,如圖，

于是得OM_LPD,CMVPD,即ZCMO是二面角O-PD—C的平面角，

而OM=包,在Rt/ICMO中，OC=I,則CM=JOM'+必=",cosZCMO=—=—,

22CM3

所以二面角。-PO-C的余弦值是走.

3

【變式演練】

1.（2023?重慶八中高三月考）如圖1,C,。是以AB為直徑的圓上兩點(diǎn)，S-AB=2AD,AC=BC,將ABC

所在的半圓沿直徑A8折起，使得點(diǎn)C在平面ABO上的正投影E在線段BO上，如圖2.

（1）求證：BCL平面ACQ；（2）已知。為AB中點(diǎn)，在線段CE上是否存在點(diǎn)F,使得OF〃平面AC。？

若存在，求出工的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

BAB

圖l圖2

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.

【解析】（1）先證明n￡>_1_面88,進(jìn)而得出ADIBC,再由BCLAC證明BCJ_平面ADC

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)F（l,O,r）,re[θ,√5）,利用向量法證明即可.

【詳解】（1）因?yàn)镃E_L平面ΛBD,Ai）U平面AB￡>,所以Af）_LCE

因?yàn)?￡>J.￡>5,CEDB=E,所以45_L平面BCD,因?yàn)锽Cu平面BC。，所以AO_LBC

又BCJ_AC,ACAD=A,所以BCj_平面AQC.

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于AB的方向?yàn)閄軸正方向，為y軸正方向，垂直于面AQ8的方向?yàn)閆軸

正方向不妨設(shè)圓的半徑為6,￡為點(diǎn)C在平面ABe上的正投影，所以E在X軸正方向上.

?[?AB=2AD,知ZABO=30。，BE=2,BC=瓜'CE=√2

所以E(1,0,0),β(0,√3,0),C(l,0,√2).?F(l,0,0,r∈[θ,√2)

山(1)知覺(jué)即為平面Aa)的法向量，BC=Q,-瓜回,。尸=(1,0/)

若OF〃平面CAO,則0尸.BC=O，即l+√5r=0,r=-4，

所以線段CE上不存在點(diǎn)F,使得。尸〃;平面CAD.

2.(2022?綿陽(yáng)市.高二專題練習(xí))如圖1所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形44NM中，點(diǎn)B,C在線段AA，上，且

AB=3,BC=4,作8BJ/AA，分別交A4、Av于點(diǎn)片、P,作CG//A^,分別交A耳、AA'于點(diǎn)G、Q,

將該正方形沿BM，CC∣折疊，使得A'4與HA重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱A8C—44G?

(1)在三棱柱A8C—ABC中，求證：AB_L平面BCG用；

(2)試判斷直線AQ是否與平面ACf平行，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)直線AQ與平面AGP不平行，理由見(jiàn)解析.

(I)AB=3,BC=4,.?.AC=12-3-4=5,AKrTffWAC2=AB2+BC2,ABVBC,又

ABLBBt,BCCBBI=B,.?.AB,平面BCGB∣.

(2)直線A。與平面ACP不平行.

理由如下：以8為原點(diǎn)，明為X軸，BC為y軸，8片為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A(3,0,0).Q(0,4,7),Λ,(3,O,⑵，C1(0,4,12)，HO,0,3),AQ=(—3,4,7),PA=(3,0,9),PG=(0,4,9),設(shè)平

〃,P∕?.=3x+9z-OQ

面AlelP的一個(gè)法向量〃=(劉yfz),則｛:，取x=3,得〃=(3,二,一1),

〃PC|=4y+9z=04

AQ)=—9+9-7=-7≠0,「?直線AQ與平面AGP不平行.

3.(2022.湖南?高三專題練習(xí))如圖甲，等腰梯形ABCD中，AB//CD,DELAB于點(diǎn)E,且OC=OE=3EB,

將梯形沿著。E翻折，如圖乙，使得A到尸點(diǎn)，且EP,P8?

(1)求直線PO與平面EBC。所成角的正弦值；(2)若VCjMJ=竽，求三棱錐C-Pr用的表面積.

【答案】(1)包(2)S=衣+√7+2指+2

4

(1)如圖,

作PMj_￡B于M點(diǎn)，?.?OE?LPE,OE?LE8,PEU平面P8E,BEu平面P8E,PECBE=E

/.DEL平面PEB,ΛDE±PM.

義,：PM工EB,?！?lt;=平面8。/)￡8￡<=平面8。。。DECBE=E

/.PM±平面EBCD,二ZPDM為尸。與平面EBCD所成角,

設(shè)OC=α,則Po=Ao=√5α,PB=?∣EB2-PE2=√3α>

6

因?yàn)?B?PE=.?PM所以PM=曾=嚕罟a

所以…潑2√6.

?∣2a4

(2)如圖，過(guò)M作MNJ.EB交DCTN點(diǎn)，：.MN"D.

由(1)知，PMJ_平面￡BCQ,易知M3、MN、MP兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系例-??yz,

因?yàn)樨?皿=%BCD=gg∣CQ∣∣QEMMl=等α=竽，得α=2

EMPE

△PEB為直角三角形,且PMl.破，所以一PEBs.MEP,所以

PEEB

得EM=I,所以M3=3,.'N為。C的中點(diǎn)，.?.M(0,0,0),B(3,0,0),C(1,2,0),D(-1,2,0),P(0,0,√5).

BC=(-2,2,0),DC=(2,0,0),DB=(4,-2,0),PC=(l,2,-√3),PB=(3,0,-√3),MP=(0,0,√3)

設(shè)4=(X,χ,Z]),%=(七,丫2*2),%=(0%,4)分別為平面P4C平面尸C￡>,平面P3。的法向量,

廠

n1?BC--2x1+2yl=Otι2?DC-2x2=On3DB=4x3-2y3=O

[―>[―>[—>取4=1,M=v??&=1

H1?PC=xl+2y1-√3z1=O[n2?PC=x2÷2γ2-√3z2=O[∕ι3?PB=3x3-√3z3=O

得〃I=(I,l,g),∏2=(0,6,2),%=(1,2,G),

記二面角P-BC-M,：面角2-。。-^,二面角尸一如一”的平面角分別為外小人易知名夕,/均為銳角,

n∣?MP&?MP

_3_β-.n2MP2√32√73__√6

則cosa="√5×√3^5'co