第三章電網(wǎng)絡(luò)(張謙)

第三章網(wǎng)絡(luò)函數(shù)3-1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)及其極點和零點由若干獨立電壓源和獨立電流源激勵的線性時不變網(wǎng)絡(luò)，設(shè)網(wǎng)絡(luò)中各電容電壓、電感電流原始值為零。網(wǎng)絡(luò)節(jié)點方程的解為展開寫為以下形式

Δ為節(jié)點導(dǎo)納矩陣的行列式，為節(jié)點導(dǎo)納矩陣的余因子（即代數(shù)余子式）。

節(jié)點k的節(jié)點電壓為任一節(jié)點電壓象函數(shù)可表示為激勵電流、電壓象函數(shù)的線性組合。線性時不變網(wǎng)絡(luò)中任意零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)可以表示為各激勵象函數(shù)的線性組合。用數(shù)學(xué)表達式描述為：3-1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)及其極點和零點網(wǎng)絡(luò)函數(shù)及其應(yīng)用一、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義和分類

網(wǎng)絡(luò)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)R(s)與激勵對象函數(shù)E(s)之比，用H(s)表示，叫網(wǎng)絡(luò)函數(shù).US(s)I1(s)NU1(s)IS(s)N輸入導(dǎo)納輸入阻抗策動點函數(shù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的六種類型:轉(zhuǎn)移電壓比轉(zhuǎn)移電流比US(s)NU2(s)IS(s)NI2(s)轉(zhuǎn)移阻抗IS(s)NU2(s)轉(zhuǎn)移導(dǎo)納US(s)NI2(s)一、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義和分類激勵響應(yīng)激勵與響應(yīng)的位置關(guān)系網(wǎng)絡(luò)函數(shù)類型電流源電壓激勵與響應(yīng)在同一端口策動點阻抗（函數(shù)）電壓源電流激勵與響應(yīng)在同一端口策動點導(dǎo)納（函數(shù)）電流源電壓激勵與響應(yīng)不在同一端口轉(zhuǎn)移阻抗（函數(shù)）電壓源電壓激勵與響應(yīng)不在同一端口轉(zhuǎn)移電壓比（函數(shù)）電流源電流激勵與響應(yīng)不在同一端口轉(zhuǎn)移電流比（函數(shù)）電壓源電流激勵與響應(yīng)不在同一端口轉(zhuǎn)移導(dǎo)納（函數(shù)）驅(qū)動點函數(shù)實質(zhì)上是描述單口網(wǎng)絡(luò)外部特性的量，而轉(zhuǎn)移函數(shù)則是描述雙口網(wǎng)絡(luò)傳輸特性的量。一、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義和分類

圖為低通濾波器電路。若激勵是e(t)，響應(yīng)是i1(t)、u2(t)，試求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。例解：運算電路圖如圖所示。整理后得：又二、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點和零點式中，K＝bm/an，稱為比例因子。

z1、z2、…、zm為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點；

p1、p2、…、pn為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點。給出全部極點、零點及比例因子，就可以完全地確定一個網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。

零點和極點都是復(fù)常數(shù)，均可在復(fù)頻率平面（s平面）上用對應(yīng)的點表示。一般以小叉（×）標注極點，小圈（o）標注零點。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點、零點在復(fù)平面上的分布圖簡稱極零圖

。

二、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點和零點三、零、極點的分布與網(wǎng)絡(luò)的暫態(tài)特性、穩(wěn)態(tài)特性的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)函數(shù)等于沖激響應(yīng)的象函數(shù)；沖激響應(yīng)等于網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)。

1.暫態(tài)特性其中1.暫態(tài)特性可見，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點決定了時域沖激響應(yīng)的變化規(guī)律。極點位于負實軸上，沖激響應(yīng)為衰減的指數(shù)函數(shù)，電路能達到穩(wěn)態(tài)；極點位于虛軸上，則電路出現(xiàn)等幅震蕩，電路不穩(wěn)定。極點位于左半平面，電路是穩(wěn)定的。三、零、極點的分布與網(wǎng)絡(luò)的暫態(tài)特性、穩(wěn)態(tài)特性的關(guān)系0th(t)s=0s=σ1>00th(t)s=σ2<00th(t)0th(t)s=jω3

s=-jω3

σ4s=σ4+jω4s=σ4-jω4jω4-jω40th(t)s=σ5+jω5s=σ5+jω5σ5jω5-jω50th(t)1.暫態(tài)特性可見，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的全部零點、極點以及比例因子k共同決定沖激響應(yīng)每項的系數(shù)Ak?？傊?，極點決定沖激響應(yīng)的波形，而沖激響應(yīng)的幅度大小則由極、零點共同決定，即網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點和零點決定了網(wǎng)絡(luò)的自然暫態(tài)特性。三、零、極點的分布與網(wǎng)絡(luò)的暫態(tài)特性、穩(wěn)態(tài)特性的關(guān)系令網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)中的s=jω，可得頻域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(jω)，它代表在角頻率為ω的正弦電源激勵下，某一正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相量與正弦激勵相量之比。將H(jω)寫為復(fù)數(shù)的指數(shù)型，即幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為頻率響應(yīng)，它表征網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。因此，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)決定了網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。2.穩(wěn)態(tài)特性三、零、極點的分布與網(wǎng)絡(luò)的暫態(tài)特性、穩(wěn)態(tài)特性的關(guān)系1.將網(wǎng)絡(luò)函數(shù)分子、分母寫為因式分解形式繪出其極零圖3.對應(yīng)于上式分子、分母的每一因式，在極零圖上繪出相應(yīng)的零點向量和極點向量。于是可將上式改寫為四、網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

的零、極點之間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻特性和相頻特性可根據(jù)其極零圖直接求得。由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極零圖求頻率響應(yīng)的一般步驟為：2.令式中的s=jω，得4.由此得到用極點向量、零點向量的長度和輻角來表示網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻和相頻特性的表達式5.令ω由0向∞增加，根據(jù)以上兩式便可確定網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻特性和相頻特性。四、網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

的零、極點之間的關(guān)系四、網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

的零、極點之間的關(guān)系四、網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

的零、極點之間的關(guān)系四、網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

的零、極點之間的關(guān)系四、網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

的零、極點之間的關(guān)系四、網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

的零、極點之間的關(guān)系3-2多端口網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)由線性時不變元件構(gòu)成的多端口網(wǎng)絡(luò)N，其中不含獨立源，且所有動態(tài)元件的原始狀態(tài)為零。端口電壓向量

端口電流向量

端口電壓向量和端口電流向量之間的約束關(guān)系有兩種表達形式。一種表達形式為

矩陣Zoc(s)各元為多端口網(wǎng)絡(luò)各端口（除激勵端口外）開路條件下的阻抗參數(shù)。主對角線元為策動點阻抗；非主對角線元為轉(zhuǎn)移阻抗。故稱Zoc(s)為開路阻抗矩陣。3-2多端口網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)另一種表達形式為

矩陣Ysc(s)各元為多端口網(wǎng)絡(luò)各端口（除激勵端口外）短路條件下的導(dǎo)納參數(shù)。主對角線元為策動點導(dǎo)納；非主對角線元為轉(zhuǎn)移導(dǎo)納。故稱Ysc(s)為短路導(dǎo)納矩陣。3-2多端口網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)輸入變量向量為輸出變量向量為

輸入變量與輸出變量間的約束關(guān)系方程為轉(zhuǎn)移函數(shù)矩陣它可以是轉(zhuǎn)移阻抗、轉(zhuǎn)移導(dǎo)納、轉(zhuǎn)移電壓比或轉(zhuǎn)移電流比。3-2多端口網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)3-3多端網(wǎng)絡(luò)的不定導(dǎo)納矩陣

3-3-1不定導(dǎo)納矩陣的定義和特性網(wǎng)絡(luò)N由線性時不變元件構(gòu)成的連通網(wǎng)絡(luò)，其中不含獨立源，且所有動態(tài)元件的原始狀態(tài)為零。并且電位參考點在網(wǎng)絡(luò)N之外的某一任意點處。

不定導(dǎo)納矩陣定義：性質(zhì)1、不定導(dǎo)納矩陣每行諸元之和為零，每列諸元之和也為零——零和特性。根據(jù)基爾霍夫電流定律，多端網(wǎng)絡(luò)各端電流滿足以下方程對n個端子輪流指定某一端電壓不為零而其余各端電壓均為零，例如，令Uk(s)≠0，則性質(zhì)：因為Uk(s)≠0，故必有表明不定導(dǎo)納矩陣任一列諸元之和為零。另選一電位參考點后，網(wǎng)絡(luò)方程變?yōu)槭街袨閚維電壓向量，其中各元均相同，表示參考點的改變使各端電壓都增加一個相同的電壓U0(s)。

性質(zhì)1：零和特性由于U0(s)≠0，故有此式表明，不定導(dǎo)納矩陣任一行諸元之和為零。不定導(dǎo)納矩陣定導(dǎo)納矩陣劃去1

行1

列添加1

行1

列性質(zhì)1：零和特性等余因式導(dǎo)納矩陣同理可得性質(zhì)2：等余因子不定導(dǎo)納矩陣所有的一階代數(shù)余子式均相等____等余因子矩陣

由于不定導(dǎo)納矩陣是奇異的，則3-3-2原始不定導(dǎo)納矩陣的直接形成

設(shè)網(wǎng)絡(luò)N的每一節(jié)點均為可及節(jié)點，并連接有一引出端。這樣的多端網(wǎng)絡(luò)的不定導(dǎo)納矩陣稱為網(wǎng)絡(luò)N的原始不定導(dǎo)納矩陣。

（1）二端導(dǎo)納元件二端元件對不定導(dǎo)納矩陣的a、b行及a、b列元有以下貢獻Yi(s)行對應(yīng)電流，列對應(yīng)電壓(2)電壓控電流源（VCCS）電壓控電流源對不定導(dǎo)納矩陣的c、d行及a、b列元貢獻如下（3）回轉(zhuǎn)器回轉(zhuǎn)器對不定導(dǎo)納矩陣的a、b、c、d行及a、b、c、d列的貢獻

（4）耦合電感元件二端口耦合電感元件對不定導(dǎo)納矩陣的a、b、c、d行及a、b、c、d列的貢獻

（5）理想變壓器含理想變壓器的二端口網(wǎng)絡(luò)對不定導(dǎo)納矩陣的a、b、c、d行及a、b、c、d列元有如下貢獻

對于給定的一個具有nt個節(jié)點的線性多端網(wǎng)絡(luò)，用觀察法寫出其原始不定導(dǎo)納矩陣的規(guī)則如下（1）寫出所有的二端導(dǎo)抗元件對原始不定導(dǎo)納矩陣的貢獻部分，并將位于該矩陣同一元處的各參數(shù)相加。

僅由所有二端導(dǎo)抗元件而構(gòu)成的子網(wǎng)絡(luò)的原始不定導(dǎo)納矩陣參數(shù)為與端點i相聯(lián)接的二端元件的導(dǎo)納聯(lián)接于節(jié)點i、j間的二端元件的導(dǎo)納(i=1,2,…,nt，j=1,2,…,nt)（2）寫出各類二端口元件對原始不定導(dǎo)納矩陣的貢獻。

（3）將由以上步驟所得到的各類元件對原始不定導(dǎo)納矩陣的貢獻相加，即得原始不定導(dǎo)納矩陣。

多端網(wǎng)絡(luò)任二端點k

和j并起來接于外部并端后端點數(shù)減少端口變量的改變的改變3-3-3Yi(s)隨端部處理的變換（1）端子壓縮（合并）減少一個變量、一個方程例：端子1和2壓縮連接在一起

1、2列元素相加1、2行元素相加（1）端子壓縮（合并）

（2）端子消除（收縮）將多端網(wǎng)絡(luò)的某些端子與外電路斷開，使之成為網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部節(jié)點，稱為端子消除。

這些端子的電流為零；這些端子的電壓不再出現(xiàn)在方程中；將原多端網(wǎng)絡(luò)的全部端子按保留端和消除端分類。對應(yīng)于保留端的端電流、端電壓向量用Ia(s)、Ua(s)表示，對應(yīng)于消除端的端電流、端電壓向量用Ib(s)、Ub(s)表示用不定導(dǎo)納矩陣表示的多端網(wǎng)絡(luò)方程可寫為以下形式

（2）端子消除（收縮）如果僅消除編號為k的一個端子，新的不定導(dǎo)納矩陣產(chǎn)生的規(guī)則是，刪去原不定導(dǎo)納矩陣的第k行和第k列，且其余任一元yij(s)變?yōu)椋?）端子消除（收縮）（3）多端網(wǎng)絡(luò)相并聯(lián)由兩個多端網(wǎng)絡(luò)相并聯(lián)而成的多端網(wǎng)絡(luò)的不定導(dǎo)納矩陣,等于原來兩個多端網(wǎng)絡(luò)的不定導(dǎo)納矩陣之和。

兩個端點不等的多端網(wǎng)絡(luò)相并聯(lián)

（4）端子接地令端點n為電位參考點un=0刪去其第n行、第n列的(n–1)階矩陣，稱為原n端網(wǎng)絡(luò)以端子n為接地端時的“定導(dǎo)納矩陣”。(n–1)端口網(wǎng)絡(luò)的短路導(dǎo)納矩陣Ysc(s)例：求圖示二端口網(wǎng)絡(luò)的短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣。G1=1SG2=2SC3=3FC4=4FC5=5F①②③④可分別寫出兩個網(wǎng)絡(luò)的不定導(dǎo)納矩陣G1=1SG2=2SC3=3FC4=4FC5=5F①②③④④②例：求圖示二端口網(wǎng)絡(luò)的短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣。于是消去節(jié)點③，將上式中3行與4行交換、3列與4列交換得例：求圖示二端口網(wǎng)絡(luò)的短路導(dǎo)納參數(shù)矩陣。消去節(jié)點③后，新的不定導(dǎo)納矩陣為節(jié)點4接地，消去最后一行和一列就得到原網(wǎng)絡(luò)的短路導(dǎo)納矩陣。設(shè)VCVS的控制支路和受控支路分別連接于一個n端網(wǎng)絡(luò)的a、b端間和c、d端間：不考慮VCVS接入時網(wǎng)絡(luò)的IAM方程為應(yīng)用用不定導(dǎo)納矩陣分析含運算放大器的有源網(wǎng)絡(luò)

附加以約束條件由于運放接入，網(wǎng)絡(luò)N的端子d已接地，故上式左端的(n–2)階矩陣已成為定導(dǎo)納矩陣。根據(jù)端部未受約束時多端網(wǎng)絡(luò)的IAM寫出運放接入后網(wǎng)絡(luò)的DAM的規(guī)則是：（1）開環(huán)增益A乘以c列（c為運放輸出端）加至a列(a為運放同相輸入端)；(-A)乘以c列加至b列（b為運放反相輸入端）。（2）刪去原c列和c行。（3）刪去原d列和d行（d為運放接地端）。2.

IC不獨立了，劃去c行1.

b列加到a列上，劃去b列.(n–2)階矩陣定導(dǎo)納矩陣。3.

d點接地，劃去d行、d列用不定導(dǎo)納矩陣分析含理想運放的網(wǎng)絡(luò)3-4網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拓撲公式線性無源網(wǎng)絡(luò)原始狀態(tài)為零求Z的問題變?yōu)榱饲螃さ膯栴}網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拓撲公式___直接根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的圖和各支路元件參數(shù)寫出網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

定理3-1比內(nèi)—柯西（BinetCauchy）定理設(shè)C和D分別為p

q和q

p矩陣，且p≤q，則以上二矩陣相乘所得矩陣的行列式式中Cj和Dj分別為矩陣C和矩陣D的第j大子式3-4網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拓撲公式定理3-2一個節(jié)點數(shù)為（N+1）的連通圖G，其關(guān)聯(lián)矩陣為A。矩陣A的的N階子矩陣為非奇異的必要和充分條件是：此子矩陣的列所對應(yīng)支路為圖G的一個樹的樹支。且其行列式等于1或-1。有多少種樹，就有多少個不為零的大子式1.A的大子式各列對應(yīng)一個樹的全部樹支2.A的樹的數(shù)為3-4網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拓撲公式節(jié)點導(dǎo)納行列式Δ的拓撲公式

無源網(wǎng)絡(luò)矩陣結(jié)構(gòu)與A完全相同，只是系數(shù)不同3-4網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拓撲公式節(jié)點導(dǎo)納行列式Δ的拓撲公式

求Z的問題變?yōu)榱饲螃さ膯栴}求Δ的問題變?yōu)榱饲髽涞膯栴}3-4網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拓撲公式樹的個數(shù)——窮舉法124，125，126，134，135，136，145，156，234，235，236，245，246，346，356，456，節(jié)點導(dǎo)納行列式Δ的拓撲公式

3-4網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拓撲公式從節(jié)點導(dǎo)納矩陣中劃去第1行1列元，余下的元素構(gòu)成的行列式稱為元素Y11的余子式。節(jié)點導(dǎo)納矩陣的對稱代數(shù)余子式Δjj的拓撲公式從節(jié)點導(dǎo)納矩陣中劃去第1行1列元，等效1節(jié)點接地由1節(jié)點接地時網(wǎng)絡(luò)的樹,即得3-4網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拓撲公式由2-樹的定義可以得出2-樹的下列性質(zhì)：（1）2-樹包括圖G的全部節(jié)點。（2）2-樹具有Nt–2條支路，不含任何回路。（3）2-樹由兩個分離的子圖組成，每一子圖是一個連通圖，有一個子圖可為孤立節(jié)點。定義2-樹

一個節(jié)點數(shù)為Nt的連通圖G的2-樹是從G的一個樹T中去掉任一樹支而得到的一個子圖。節(jié)點導(dǎo)納矩陣的對稱代數(shù)余子式Δjj的拓撲公式3-4網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拓撲公式1節(jié)點接地時網(wǎng)絡(luò)的樹,與原來網(wǎng)絡(luò)的樹的關(guān)系如何由1節(jié)點接地時網(wǎng)絡(luò)的樹,比原來網(wǎng)絡(luò)的樹的樹支樹少一節(jié)點導(dǎo)納矩陣的對稱代數(shù)余子式Δjj的拓撲公式3-4網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拓撲公式節(jié)點導(dǎo)納矩陣的對稱代數(shù)余子式Δjj的拓撲公式1節(jié)點接地時網(wǎng)絡(luò)的樹,與原來網(wǎng)絡(luò)的樹的關(guān)系如何原來網(wǎng)絡(luò)節(jié)點1與4