2023-2024學(xué)年廣東省湛江市徐聞和安中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2023年廣東省湛江市徐聞和安中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試

卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.若長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為3,4,5,則其外接球的表面積為()

A.504B.25%C.16開D,9開

參考答案：

A

2.若關(guān)于x的方程1+(l+2i)x+3m+:=°有實(shí)根，則實(shí)數(shù)制等于

12_j_

A.12B.12C.12

1.

----1

D.12

參考答案：

A

3.將”‘個(gè)正整數(shù)1、2、3、、(??>2)任意排成n行n列的數(shù)表.對(duì)于某一個(gè)數(shù)

a

表，計(jì)算各行和各列中的任意兩個(gè)數(shù)a、b(a>b)的比值E,稱這些比值中的最小值為這

個(gè)數(shù)表的“特征值”.當(dāng)n=2時(shí)，數(shù)表的所有可能的“特征值”最大值為()

34

一

3223一

A.B.C.D.

參考答案:

C

4.程序框圖如下：如果上述程序運(yùn)行的結(jié)果S的值比2018小，若使輸出的S最大，那么

判斷框中應(yīng)填入()

黜is~/結(jié)束*

__J-----

A.A<10B,A>10c,A<9D,A>9

參考答案：

c

5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的各個(gè)面中，最大的面積是（）

他視圖

近選近

A.2B.1C.2D.4

參考答案：

A

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是直三棱錐，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求出該三棱

錐的4個(gè)面的面積，得出面積最大的三角形的面積.

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；

該幾何體是如圖所示的直三棱錐，

且側(cè)棱PAL底面ABC,

PA=1,AC=2,點(diǎn)B到AC的距離為1；

1

底面4ABC的面積為Si=2x2X1=1,

22

側(cè)面4PAB的面積為S2=2XN1+1X1^~2,

1

側(cè)面APAC的面積為S3=2X2X1=1,

在側(cè)面APBC中,BC=V2,PBXJ+（6）2=近,PC=V12+22=V5,

.,.△PBCMRtA,

1近

.?.△PBC的面積為&=萬(wàn)義后義仁2；

近

三棱錐P-ABC的所有面中，面積最大的是△PBC,為2.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體的三視圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間中的位置關(guān)系與距離

的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目.

6.下表是某廠1?4月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)：

月份X1234

用水量y4.5432.5

由散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份》之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線

方程是=-0.7x+a,則a等于（)ks5u

A.10.5B.5.15C.5.2D.5.25

參考答案:

D

略

7.已知命題PVxfeRsinx41,則，p

是（）

（A）（B）Vxfe/tsinx1

（C）3i€=7?>Mnx>l⑻Vxtsinx>1

參考答案：

C

8.設(shè)a,B,Y是三個(gè)互不重合的平面，m,n是兩條不重合的直線，則下列命題中正確

的是()

(A)若a_L6,m±a,貝ljm〃B(B)若m〃a,n〃B,a_LB,則m±n

(C)若a_LB,B_L丫，貝!JQ_Ly(D)若a〃6,m〃B,m〃a,貝!Jm//B

參考答案：

D

略

9.要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20,要使其體積最大，則其高為()

少且要

A.3B.100C.20D.3

參考答案：

A

【分析】

設(shè)圓錐高為X,利用K表示出底面半徑，從而可構(gòu)造出關(guān)于圓錐體積的函數(shù)關(guān)系式；利用

導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)“―一9一時(shí)，體積最大，從而得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓錐的高為MOvxv20),則圓錐底面半徑：r=v400-x7

5

V=?-x=-*(400-x^7)x=—-J?+

二圓錐體積:33I33

S2*?京雙行

V=-MX4+-------f-X=——

3,令50,解得：3

xeQ-------Ixe-------,20

當(dāng)I3J時(shí)，F(xiàn)>O；當(dāng)I3J時(shí)，y*<o

二當(dāng)3,V取最大值

20百

即體積最大時(shí)，圓錐的高為：3

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)思想來(lái)解決立體幾何中的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出關(guān)于所

求變量的函數(shù)，從而利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解最值.

10.一條光線從點(diǎn)M（5,3）射出，與％軸的正方向成儀角，遇x軸后反射，若

tans=3,則反射光線所在的直線方程為（）

Ay=3x-y2By=-3x-\2Qy=3x+12p/=-3x+12

參考答案:

正解：Do直線MN；3x-y-12=0,與1軸交點(diǎn)M40）,反射光線方

程為＞=-3X+12,選D。

誤解：反射光線的斜率計(jì)算錯(cuò)誤，得3或3。

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知函數(shù)/W-2”的導(dǎo)函數(shù)為/（甘，則/"）=.

參考答案:

心12

【分析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再將工=1代入導(dǎo)函數(shù)，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?（力戶=￡

所以，（力.1=2、2

所以。⑴四2

故答案為8h2

【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.

12.已知一個(gè)五次多項(xiàng)式〃x）=5八2入35#-26/+17/-。8,用秦九韶算法求當(dāng)

x=3時(shí)多項(xiàng)式的值為。

參考答案：

1452.4

13.有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看

了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2"，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與

丙的卡片上相同的數(shù)字不是1"，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5"，則甲的卡片

上的數(shù)字是.

參考答案：

1和3

【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.

【答案】

【解析】

【分析】可先根據(jù)丙的說(shuō)法推出丙的卡片上寫著1和2,或1和3,分別討論這兩種情

況，根據(jù)甲和乙的說(shuō)法可分別推出甲和乙卡片上的數(shù)字，這樣便可判斷出甲卡片上的數(shù)字

是多少.

【解答】解：根據(jù)丙的說(shuō)法知，丙的卡片上寫著1和2,或1和3；

（1）若丙的卡片上寫著1和2,根據(jù)乙的說(shuō)法知，乙的卡片上寫著2和3；

，根據(jù)甲的說(shuō)法知，甲的卡片上寫著1和3；

(2)若丙的卡片上寫著1和3,根據(jù)乙的說(shuō)法知，乙的卡片上寫著2和3；

又甲說(shuō)，“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”；

甲的卡片上寫的數(shù)字不是1和2,這與已知矛盾；

???甲的卡片上的數(shù)字是1和3.

故答案為：1和3.

【點(diǎn)評(píng)】考查進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理的能力，以及分類討論得到解題思想，做這類題注意找

出解題的突破口.

14.已知點(diǎn)和點(diǎn)A(l,2)在直線/3x+2y-E=0的異側(cè)，則X的取值范圍

為______________________

參考答案：

10

(7,+CO)

5x+2_y-18W0

<2x-_yN0

15.設(shè)變量x、尸滿足尸一,若直線辰-y+2=°經(jīng)過(guò)該可行域，則上的最大

值為.

參考答案：

1

略

16用定積分的幾何意義，則L/9一-去

參考答案：

9”

~2

17.設(shè)復(fù)數(shù)ZI=1-2J,Z2=X+;(XWA),若Z]z?為實(shí)數(shù)，則

參考答案:

2

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

Cz~>b

18.已知橢圓ab的離心率為2,A,8分別為橢圓C的左，右頂

點(diǎn)，廠為橢圓C的右焦點(diǎn)，過(guò)下的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,當(dāng)直線/垂直于

x軸時(shí)，四邊形APBQ的面積為6.

(I)求橢圓C的方程；

I"

(II)若直線/的斜率為M&W3,線段尸。的垂直平分線與X軸交于點(diǎn)M求證：1改1為定

值.

參考答案：

(1)43；(II)見解析.

【分析】

?△⑷國(guó)=W=6,

11r1

(I)根據(jù)mr2，可得b=3,再根據(jù)離心率求出a,即可

求出橢圓方程，

(II)由題意可知尸(1°),直線，的方程為，根據(jù)韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出

1月日，再求出直線@的方程可得”的坐標(biāo)，即可求出四司，問(wèn)題得以證明.

H=1y=±-\PQ\=—

【詳解】(I)由：a6,令x=c可得a,貝『a

園==ix2ax—=2ft5=6.?

則X112a，可得占'=3

2

a2,,\a=2cfa

31

橢圓c的方程為43.

證明：（II）由題意可知"0）直線，的方程為'=*/一?,

由可得（止+3），蛭川婕-12）=0

設(shè)儀4鼻），°（一6）,

曲，

僅’-12

.廣,巧二環(huán)「巧=

4k'，3,

-€k

.M+J5-*(^+^)-24-

4iJ+3,

54必-?）

設(shè)校的中點(diǎn)為W,貝ijW+33+31

3無(wú)1

———,---=——

則研的過(guò)程為44+34

M窿+3，°

令，=°,可得

..圖=?+//+巧)'-4^=

火4P+3婕+3

W_1

.....為定值.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查根的判斷式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算求

解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

19.（本題12分）已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S。,若SF12,且2a“a2,則+1成

等比數(shù)列.

⑴求｛aj的通項(xiàng)公式;

⑵記b?=3,的前n項(xiàng)和為T?,求Tn.ks5u

參考答案：

⑴設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,

V2aba2,a3+l成等比數(shù)列，，力=2ai?(a3+l),--------------------------2分

/.(ai+d)2=2ai(ai+2d+l).

(%+d)2=2al(4+為+1)

%+-L=12

則有I2,-----------------------4分

解得aFl,d=3或ai=8,d=-4(舍去),----------------5分

an=ai+(n-l)d=l+(n-l)3=3n-2.---------------------------6分

S_L

(2)b?==(3n-2)?,

111_1_

T?=1X3+4X3：+7X3;+…+(3n-2)X3".①--------------------7分

22iiij_i

①XW得，3T?=l*于"+4*尹+7X尹+…+(3n-5)X3,+(3n-2)X字"，②--------8分

22±±±J_[

2

①-②，得3Tli=3+3X3+3X3‘+3X3*+--+3X3*-(3n-2)X3**1----------------9分

1—1yr一1

?3-3

21￡lx11

=3+3X3-(3n-2)X三H尹-(3n-2)X尹.——10分

5113n-21

...T彳a*尹一―—xr

皿+

一5——5.,1

=443*.------------------12分

20.(本小題滿分12分)(實(shí)驗(yàn)班做)已知X=3是函數(shù).“"2*(1+“+”-：位的一

個(gè)極值點(diǎn)。

(I)求。；

(II)求函數(shù)J卜)的單調(diào)區(qū)間；

(III)若直線>'=匕與函數(shù)丁=/(*)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍。

參考答案：

j(x)=—+2x—10

(I)因?yàn)?+x

/(3)=—+6-10=0

所以‘4

因此4=16

(II)由(I)知，

2

/(x)=161n(l+x)+x-10xFxe(-1,+co)

1+x

當(dāng)xe(-l,l)U(3,4a>)時(shí)/(x)>0

當(dāng)x?L3)時(shí)，/6)<0

所以/(x)的單調(diào)增區(qū)間是(T1)」工同

/卜)的單調(diào)減區(qū)間是(L3)

(III)由(II)知，/(“在(7」)內(nèi)單調(diào)增加，在(L，)內(nèi)單調(diào)減少，在(工用)上單調(diào)

增加，且當(dāng)x=l或x=3時(shí)，/(x)=l)

所以/(*)的極大值為/⑴=16也2-9,極小值為〃3)=321n2-21

因此/(16)=16’-l0xl6>161n2-9=/(1)

/(?-2-1)<-32+11=-21</(3)

所以在〃力的三個(gè)單調(diào)區(qū)間003).(3,4?)直線y=b有了=/(T)的圖象各有一個(gè)

交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)/。)<》</。)

因此，力的取值范圍為(32ln2-21,161n2-9)。

21.已知公差不為0的等差數(shù)列｛an｝中，al+a2+a3+a4=20,al,a2,a4成等比數(shù)列,求集

合A=｛x|x=an,n￡N*且100<x<200｝的元素個(gè)數(shù)及所有這些元素的和.

參考答案：

集合力中元素個(gè)數(shù)100-50-1=49(個(gè))

由求和公式得：5-妙士@X49=7350.

2

略

22.己知。0：x2+y2=6,P為。。上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PMLx軸于M,N為PM上一點(diǎn)，且

(I)求點(diǎn)N的軌跡C的方程；

(II)若A(2,1),B(3,0),過(guò)B的直線與曲線C相交于D、E兩點(diǎn)，則心+總是否

為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由.

參考答案：

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；軌跡方程.

【分析】(I)設(shè)M(x,y),則可設(shè)P(x,y。)，Q(x,0),根據(jù)又西疝，可確

定y0=3y,進(jìn)而可知點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓的方程，求得曲線C的方程.

(II)設(shè)D(xi,y