第2講 全稱量詞與存在量詞、充要條件（原卷版）

第2講全稱量詞與存在量詞、充要條件基礎(chǔ)知識(shí)1.全稱量詞與存在量詞(1)一般地,“”“”“”在陳述中表示所述事物的全體,稱為全稱量詞,用符號(hào)“”表示.

(2)“存在”“有”“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分,稱為存在量詞,用符號(hào)“”表示.

(3)含有一個(gè)量詞的命題的否定:全稱量詞命題p:?x∈M,p(x),它的否定是.

存在量詞命題q:?x∈M,q(x),它的否定是.

2.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q,則p是q的條件,q是p的條件

p是q的條件

p?q且q?/pp是q的條件

p?/q且q?pp是q的條件

p?qp是q的條件

p?/q且q?/p常用結(jié)論1.充要條件的兩個(gè)結(jié)論:(1)若p是q的充分不必要條件,q是r的充分不必要條件,則p是r的充分不必要條件;(2)若p是q的充分不必要條件,則?q是?p的充分不必要條件.2.充分、必要條件與集合的關(guān)系使p成立的對(duì)象構(gòu)成的集合為A,使q成立的對(duì)象構(gòu)成的集合為Bp是q的充分條件A?Bp是q的必要條件B?Ap是q的充分不必要條件A?Bp是q的必要不充分條件B?Ap是q的充要條件A=B分類訓(xùn)練探究點(diǎn)一全稱量詞與存在量詞角度1全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷例1(1)(多選題)[2020·重慶模擬]下列命題為真命題的是 ()A.?x∈R,3x>1 B.?x>1,2x+1C.?x∈R,cosx=0 D.?x∈R,lgx>1(2)[2020·?？谀M]能夠說明“?x∈N*,2x≥x2”是假命題的一個(gè)x的值為.

[總結(jié)反思]全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法:命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱量詞命題真所有對(duì)象使命題為真否定為假假存在一個(gè)對(duì)象使命題為假否定為真存在量詞命題真存在一個(gè)對(duì)象使命題為真否定為假角度2含有一個(gè)量詞的命題的否定例2(1)[2020·淄博一模]設(shè)m∈R,命題“存在m>0,使方程x2+x-m=0有實(shí)根”的否定是 ()A.對(duì)任意m>0,方程x2+x-m=0無(wú)實(shí)根B.對(duì)任意m≤0,方程x2+x-m=0有實(shí)根C.存在m>0,使方程x2+x-m=0無(wú)實(shí)根D.存在m≤0,使方程x2+x-m=0有實(shí)根(2)命題“?n∈N,f(n)?N且f(n)≤n”的否定是()A.?n∈N,f(n)∈N且f(n)≤nB.?n∈N,f(n)?N且f(n)>nC.?n∈N,f(n)∈N或f(n)>nD.?n∈N,f(n)∈N且f(n)>n(3)命題“實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是.

[總結(jié)反思]全稱量詞命題與存在量詞命題的否定:①改寫量詞:確定命題所含量詞的類型,省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞,再對(duì)量詞進(jìn)行改寫.②否定結(jié)論:對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.探究點(diǎn)二根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍例3(1)[2020·新余模擬]已知命題p:“?x∈R,ax2+x+1≤0”是假命題,則a的取值范圍為 ()A.a<14 B.a≥C.a>14 D.a>14或(2)[2020·安徽六安一中月考]若存在x∈1e,e,使不等式2xlnx+x2-mx+3≤0成立,則實(shí)數(shù)m的最小值為.

[總結(jié)反思]根據(jù)命題的真假求參數(shù)的一般步驟:(1)根據(jù)題目條件,推出每一個(gè)命題的真假(有時(shí)不一定只有一種情況);(2)求出每個(gè)命題是真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍;(3)根據(jù)每個(gè)命題的真假情況,求出參數(shù)的取值范圍.變式題(1)[2020·衡陽(yáng)一模]若“?x∈R,sinx-3cosx=a”為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.[-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)(2)[2020·云南師大附中月考]命題“?x∈(0,+∞),x2-2x-m≥0”為真命題,則實(shí)數(shù)m的最大值為.

探究點(diǎn)三充分、必要條件的判定1.[2020·天津卷]設(shè)a∈R,則“a>1”是“a2>a”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.[2020·南昌三模]“k=1”是“函數(shù)f(x)=ex-keA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.如果x,y是實(shí)數(shù),那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的 ()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件[總結(jié)反思]充分條件、必要條件的判定方法有定義法、集合法和等價(jià)轉(zhuǎn)化法.三種不同的方法適用于不同的類型:定義法適用于定義、定理的判斷問題;集合法多適用于命題中涉及參數(shù)的取值范圍的推斷問題;等價(jià)轉(zhuǎn)化法適用于條件和結(jié)論中帶有否定性詞語(yǔ)的命題.探究點(diǎn)四充分、必要條件的應(yīng)用例4(1)[2019·全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則α∥β的充要條件是 ()A.α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面(2)[2020·衡陽(yáng)三模]設(shè)條件p:|2x+3|<1,條件q:x2-(2a+2)x+a(a+2)≤0,若q是p的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

[總結(jié)反思]充分條件、必要條件的應(yīng)用一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上,解題時(shí)通常把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.解題過程中要注意檢驗(yàn)區(qū)間的端點(diǎn)值.變式題(1)(多選題)[2020·煙臺(tái)模擬]“關(guān)于x的不等式x2-2ax+a>0對(duì)任意x∈R恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是 ()A.0<a<1 B.0≤a≤1C.0<a<12 D.a(2)已知“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要條件,則k的取值范圍為 (A.(-∞,1] B.[1,+∞)C.[2,+∞) D.(2,+∞)同步作業(yè)1.[2020·開封二模]已知p:?x>0,x-1x≥0,則?p為 (A.?x>0,x-1x<B.?x≤0,x-1x<C.?x>0,x-1x<D.?x≤0,x-1x2.下列命題中為假命題的是 ()A.?x∈R,lnx<0B.?x∈(-∞,0),ex>0C.?x>0,5x>3xD.?x∈(0,+∞),12x<13x3.[2020·安徽淮北一中月考]已知非零向量a,b滿足|a|=|b|,則“|a+2b|=|2a-b|”是“a⊥b”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知a,b都是實(shí)數(shù),那么“a>b”是“l(fā)na>lnb”的 ()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.對(duì)于常數(shù)m,n,“方程mx2+ny2=1表示的曲線是橢圓”是“mn>0”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.設(shè)n∈N*,則一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=.

7.[2020·浙江杭州二中模擬]在△ABC中,“cosA<cosB”是“tanA>tanB”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件8.[2020·廣東茂名模擬]已知p:?x∈[0,+∞),a<12x+1,若p為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-2,2) D.[-2,2]9.[2020·綿陽(yáng)南山中學(xué)模擬]若|x-a|<1成立的充分不必要條件是1<x<32,則a的取值范圍是 (A.12<a<2 B.12≤C.a≤12或a≥2 D.a<12或10.[2020·南昌一模]已知r>0,x,y∈R,p:|x|+|y|2≤1,q:x2+y2≤r2,若p是q的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)r的取值范圍是A.0,255 B.(0,1]C.255,+∞ D.[2,+∞)11.(多選題)[2020·登州模擬]下列命題中是真命題的是 ()A.?x∈R,x-2>lnxB.?x,y∈R,x2+y2>2x-2y-3C.命題“?x>0,x2+x>0”的否定是“?x>0,x2+x≤0”D.“-2≤a≤2”是“實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+1=0無(wú)實(shí)根”的充分不必要條件12.(多選題)[2020·青島模擬]下面四個(gè)說法中正確的是 ()A.“直線a∥直線b”的充要條件是“直線a平行于直線b所在的平面”B.“直線l垂直于平面α內(nèi)的所有直線”的充要條件是“直線l⊥平面α”C.“直線a,b為異面直線”的充分不必要條件是“直線a,b不相交”D.“平面α∥平面β”的必要不充分條件是“α內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到β的距離相等”13.(多選題)[2020·泰州模擬]定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若f'(x)<f(x),則不等式exf(2x)<e4f(3x-4)成立的一個(gè)充分不必要條件是 ()A.-1<x<2 B.2<x<5C.4<x<7 D.