2023中考數(shù)學(xué)練習(xí) 07 五大最值問(wèn)題模型（學(xué)生版+解析版）

專題07五大最值問(wèn)題模型

一、【知識(shí)回顧】

(1)將軍飲馬模型:

①一定兩動(dòng)

(2)費(fèi)馬點(diǎn)模型：(如圖：求PA+PB+PC最小值，圖3CD為所求最小值)

(3)阿氏圓模型：

如圖，點(diǎn)P是GQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求尸4+的最小值.

①連接OPOB,計(jì)算囂=m(一般情況下)

:②≡蟒上找一點(diǎn)C,使得黑=囂=m

/

B、、飛&、③連接PC,貝!J維=m,即PC=mPB

C^-D

B

④連接4C,即為所求的最小值

（4）胡不歸模型:

［模型建立】如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MV外的運(yùn)動(dòng)速度為在直線MNI：運(yùn)動(dòng)的速度為F2，F(xiàn)lΠ<P2,

A.B為定點(diǎn)，點(diǎn),C在直線MN1:.確定點(diǎn)C的位置使江+空的值最小.I

匕乂

［問(wèn)題分析］—+—=1［BC+^-^CL記*=匕?，即求BC+??C的最小值.

v

V1IJ匕----

【問(wèn)題解次】構(gòu)造射線4。使得SinNzUΛMR,即匚”=彳，CH=kAC.

3

m-

M--------------------/--------------N

CH

Sina=---=k、、

AC、、、D

、

'、、D

CH=kAC、

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BOCH最小值,過(guò)B點(diǎn)作BHLAD交于點(diǎn)、C,交4D千H點(diǎn),此時(shí)BC+CH取到最小

值，即BC+??C最小.

（5）隱圓最值模型：

①四點(diǎn)共圓：②動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)等定長(zhǎng)：

OIi

③直角所對(duì)的是直徑：

D

“邑rB彳「一----

、/

、一」

④定弦對(duì)定角:

定弦對(duì)定角（銳角）定弦對(duì)定角（鈍角）

二、【考點(diǎn)類型】

考點(diǎn)1：將軍飲馬模型

典例1:（2022春?全國(guó)?九年級(jí)期末）如圖，回。是血18C的外接圓，為直徑，弦/。平分魴/C,過(guò)點(diǎn)。作

射線NC的垂線，垂足為M,點(diǎn)E為線段/8上的動(dòng)點(diǎn).

⑴求證：MD是團(tuán)。的切線；

（2）若回8=30。，4B=8,在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在,

說(shuō)明理由；

⑶若點(diǎn)E恰好運(yùn)動(dòng)到a4C8的角平分線上，連接CE并延長(zhǎng)，交團(tuán)。于點(diǎn)尸，交ZO于點(diǎn)P,連接Z尸，CP=3,

EF=4,求/廠的長(zhǎng).

【變式1】(2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，在等邊A3C中，AC于O,AE>=3cm.點(diǎn)AQ分別為

AB,AA上的兩個(gè)定點(diǎn)且BP=A0=1cm,點(diǎn)M為線段5。上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM,QM,則PM+QM的最小值

【變式2】(2023春?山東青島?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，點(diǎn)P是/498內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=3cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N

分別是射線。4和射線。8上的動(dòng)點(diǎn)，/408=30。，則,PMN周長(zhǎng)的最小值是

【變式31(2022春?貴州銅仁?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，已知一次函數(shù)y=?r+6的圖像經(jīng)過(guò)“(1,4),B(4,

1)兩點(diǎn)，并且交X軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)力.

⑴求該一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若夕軸存在一點(diǎn)P使PA+PB的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA+PB的最小值；

⑶在X軸上是否存在一點(diǎn)使0Λ∕Q1的面積等于EWo8的面積；若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A/的坐標(biāo)，若不存在

請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)2：費(fèi)馬點(diǎn)模型

典例2：（2021秋?四川成都?九年級(jí)成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）如圖，在.ABC中，ZCAB=90o,AB=AC=I,

P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，求A4+PB+PC的最小值為.

【變式1］（2022秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn),

AB=2√2;

（1）如圖1,將AADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ADCF,連接EF；

①把圖形補(bǔ)充完整（無(wú)需寫畫法）；②求E尸的取值范圍；

（2）如圖2,求BE+AE+DE的最小值.

【變式2](2022春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，正方形ABa)的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求

PA+2PB+芯Pe的最小值.

【變式3](2022春?江蘇?九年級(jí)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)。在X軸

的正半軸上，Na>8=30。，OE為回Be)D的中線，過(guò)B、E兩點(diǎn)的拋物線y=ɑ?+走聲,與X軸相交于A、

(2)等邊回OMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及40的長(zhǎng)：

(3)點(diǎn)戶為WAB。內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)帆=PA+P8+PO,請(qǐng)直接寫出加的最小值,以及m取得最小值時(shí)，線

段AP的長(zhǎng).

考點(diǎn)3：阿氏圓模型

典例3：（2023春?江蘇?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCe）的邊長(zhǎng)為4,B的半徑為2,P為：B上

的動(dòng)點(diǎn)，則-JlPC-PD的最大值是.

【變式1］（2022春?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為回O,尸是回。上一動(dòng)點(diǎn),

則√2PA+PB的最小值為

【變式2］（2023秋?重慶九龍坡?九年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？计谀┮阎狢DE與二ΛBC有公共頂點(diǎn)C,CDE

為等邊三角形，在ABC中，NBAC=I20。.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合時(shí)，連接己知四邊形48。C的面積為2√5,求AB+AC的值;

⑵如圖2,AB=AC,4E、。三點(diǎn)共線，連接AE、BE,取BE中點(diǎn)"，連接A”,求證：AD=IAM

(3)如圖3,AB=AC=4,CE=2,將..CDE以C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，取OE中點(diǎn)尸，當(dāng)BF+巫AF的值最小

4

時(shí)，求tanNABF的值.

【變式3](2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖1,在R70/8C中，0ACB=9Q?>,CB=4,CA=6,圓C的半

2

@2AP+BP,

③3尸+80，

④AP+3BP的最小值.

考點(diǎn)4：胡不歸模型

典例4：（2023秋?四川樂(lè)山?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在一45C中，NBAC=90。,NB=60。,AB=4,若。是BC

邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

【變式1】（2022春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=χ2-Zt+c的圖象與X

軸交于“、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)5（0,-3）,若P是X軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。（0,1）在y軸上，連接尸。，

則&PD+PC的最小值是（）

A.4B.2+2√2C.2√2D.∣+∣√2

【變式2］（2022?湖北武漢?校聯(lián)考一模）如圖，在ZMCE中，CA=CE,NC4￡=30。，半徑為5的。經(jīng)過(guò)

點(diǎn)C,CE是圓。的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點(diǎn)。是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則

OD+^CD的最小值為.

【變式3］（2022秋?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形NBCQ是菱形，AB=S,且胡BC=60。，M為對(duì)角

線BD（不含8點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則的最小值為.

考點(diǎn)5：隱圓最值模型

典例5：（2023秋?浙江金華?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCo的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)尸是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，ELZEAB=ZEBC.連結(jié)AE,BE,PD,PE,則Pr）+PE的最小值為（）

A.2√13-2B.4√5-2C.4√3-2D.2√15-2

【變式1】（2022?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCZ）為矩形，AB=3,BC=4.點(diǎn)P是線段BC

上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn).ZADM=NBAP,則BM的最小值為（）

A.-B.—C.?/l?—D.?∕↑3—2

252

【變式2］（2023秋?廣東廣州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形438中，ABCD,AClBC,ZDAB=60,

Ar）=C￡）=4,點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足NAMo=90,則MBC面積的最小值為

【變式3】（2022春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）SWBC中，AB=AC=5,BC=6,。是8C的中點(diǎn)，E為AB上一

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于。E的對(duì)稱點(diǎn)8'在IaJBC內(nèi)（不含S48C的邊上），則8E長(zhǎng)的范圍為

BDC

鞏固訓(xùn)練

一、單選題

1.（2022秋?安徽池州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，RLABC中，ZC=90o,AC=4,BC=3,點(diǎn)P為ZC邊上

的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDLAB于點(diǎn)。，則PB+PD的最小值為（）

2.（2022秋?重慶沙坪壩?八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，E為正方形ABCl）邊AO上一點(diǎn),

AE=I,DE=3,P為對(duì)角線8。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則B4+PE的最小值為（）

A.5B.4√2C.2√WD.10

3.（2022秋?浙江杭州?九年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)

y=-d+法+3的圖像與X軸交于4c兩點(diǎn),與X軸交于點(diǎn)C（3,（））,若P是X軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-1）,

連接P。，則√∑PQ+PC的最小值是（）

Lr~32/7；

A.4B.2+2√2C.2√2D.—+—Λ∕2

?河南?校聯(lián)考三模)如圖正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

4.(20221,ABCoJE3CPAC

設(shè)AP=X,PB+PE=yf當(dāng)點(diǎn)P從A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，》與大的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，其中點(diǎn)M是函數(shù)圖象

的最低點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是()

A.(4√2,3√5)B.(2√2,3√5)C.(3√5,2√2)D.(3√5,4√2)

5.(2022秋?河北邢臺(tái)?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，。的半徑是"，尸是O上一動(dòng)點(diǎn)，/是，。內(nèi)部一點(diǎn),

且Ao=石，則下列說(shuō)法正確的是()

①RI的最小值為G-TL②Rl的最大值為#+G；③當(dāng)NOAP=90°時(shí)，曲。是等腰直角三角形；

3

④ELR40面積最大為—.

A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④

7.(2022秋?北京海淀?九年級(jí)校考期中)如圖，如圖，"的半徑為2,圓心M的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)尸是M

上的任意一點(diǎn)，PA±PB,PA,PB與X軸分別交于48兩點(diǎn)，若點(diǎn)/、點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則AB的

A.3B.4C.5D.6

o

8.（2023春,九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rz酎8C中，^ACB=90fCB=7,AC=9f以。為圓心、3為半徑

作倒C,尸為EIC上一動(dòng)點(diǎn)，連接/P、BP,則g∕P+8P的最小值為（）

A.7B.5√2C.4+√10D.2√13

3

9.（2022?福建廈門?福建省廈門集美中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=Jx-3分別與X

軸、N軸相交于點(diǎn)4B,點(diǎn)、E、F分別是正方形。ICO的邊NC上的動(dòng)點(diǎn)，且。E=4R,過(guò)原點(diǎn)。作

OHlEF,垂足為H,連接H4、HB,貝ILH48面積的最大值為（）

A.6+5√2B.12C.6+3后D.-??

2

10.（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在ΔA8C中，NA=90。，/8=60。，AB=I,若D是BC邊上

的動(dòng)點(diǎn)，則2AO+OC的最小值（）

A.2√3+6B.6C.√3+3D.4

二、填空題

11.（2022秋?山東荷澤?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在周長(zhǎng)為12的菱形ABa）中，DE=I,DF=2,若P

為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+FP的最小值為.

12.（2023秋?山東東營(yíng)?九年級(jí)校考期末）如圖，AB是回。的弦，點(diǎn)C在回。內(nèi)，ZACB=90。,ZABC=30。，連

接OC,若回。的半徑是4,則OC長(zhǎng)的最小值為.

13.（2022春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在BL48C中，0C=9Oo,AC=8,AB=IO,。是ZC上一點(diǎn)，且

CD=3,E是8C邊上一點(diǎn)，將團(tuán)QCE沿。E折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，連接"，則BF的最小值為

A

14.（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/分別交X、夕軸于8、C兩點(diǎn)，點(diǎn)/、

C的坐標(biāo)分別為（3,0）、（0,-3）,且回。CB=60。，點(diǎn)P是直線/上一動(dòng)點(diǎn)，連接/P,貝∣JAP+H?PC的最小

2

值是.

15.(2022秋?浙江?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，直線y=χ-3分別交X軸、y軸于8、/兩點(diǎn)，點(diǎn)C(0,1)在

y軸上，點(diǎn)尸在X軸上運(yùn)動(dòng)，則√∑PC+P8的最小值為一.

三、解答題

16.(2023秋?江西宜春?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在；ABC中，AB=AC,ZR4C=120。,AB邊的垂直平分線OE

交AB于點(diǎn)。，若AE=3,

(2)若點(diǎn)P是直線OE上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出R4+PC的最小值為

17.（2022秋?河北保定?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在ABC中，?B90?,。為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AC,

Co的垂直平分線的交點(diǎn)，連接E4,EC,ED.

⑴如圖1,當(dāng)NBAC=40。時(shí)，則NAED=°；

（2）當(dāng)ZBAC=60。時(shí)，

①如圖2,連接AO,判斷的形狀，并證明；

②如圖3,直線C尸與Eo交于點(diǎn)F,滿足NCFn=NC4￡.P為直線CF上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)PE-PD的值最大時(shí),

用等式表示PE,尸D與AB之間的數(shù)量關(guān)系為，并證明.

411

18.（2022春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系，41,1）,直線/：y=§x+l經(jīng)過(guò)8（加片），點(diǎn)〃在直

4

線/上運(yùn)動(dòng)，求AH+gB，最小值.

19.（2021春?江蘇蘇州?八年級(jí)?？计谥校┒x：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1,在

RtZVlBC中，ZA=90o,AB=AC,點(diǎn)O、E分別在邊AB、ACl.,AD^AE,連接。E、DC,點(diǎn)M、

P、N分別為、DC,3C的中點(diǎn)，且連接PM、PN.

N

圖2

⑴觀察猜想

線段PM與PN填（"是"或"不是"）"等垂線段

⑵VAQE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2所示的位置,連接CE,試判斷PM與PN是否為“等垂線段",

并說(shuō)明理由.

⑶拓展延伸

把VAOE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若DE=2,BC=4,請(qǐng)直接寫出PM與PN的積的最大值.

20.(2022秋?山東濟(jì)南?九年級(jí)山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)校考階段練習(xí))如圖1,拋物線

y=ax1+(a+3)x+3(αwθ)與X軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,在X軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m,0)(0<m<4),

過(guò)點(diǎn)E作X軸的垂線交直線48于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作尸Am48于點(diǎn)

⑴求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：

(2)設(shè)團(tuán)PMN的周長(zhǎng)為C∣,EUEN的周長(zhǎng)為G，若"L=■!求，"的值.

⑶如圖2,在(2)的條件下，將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到0￡,旋轉(zhuǎn)角為α(0o<α<90o),連接￡4、

2

EB,求肥4+§￡8的最小值.

21.（2022?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線y=*-20x-3”（α為常數(shù)，”<0）與X軸分別交于Z,B兩

點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè)），與夕軸交于點(diǎn)C,且OB=OC

⑴求α的值；

（2）點(diǎn)。是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)尸（m,〃）是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，分別連接8。、BC、CD、BP,

當(dāng)SIPBN=I3C8。時(shí)，求機(jī)的值：

⑶點(diǎn)K為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，OK=2,點(diǎn)M為線段BK的中點(diǎn)，連接當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)K的坐標(biāo).

22.(2022秋?江蘇?九年級(jí)期中)問(wèn)題情境：如圖1,尸是ElO外的一點(diǎn)，直線Po分別交回。于點(diǎn)4B,則

PA是點(diǎn)P至幅。上的點(diǎn)的最短距離.

(1)探究證明：如圖2,在回。上任取一點(diǎn)C(不與點(diǎn)48重合)，連接PC,OC.求證：PA<PC.

(2)直接應(yīng)用：如圖3,在RtEL43C中，S4C5=90o,AC=BC=3,以BC為直徑的半圓交/8于。，P是

弧S上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ZP,則43的最小值是.

(3)構(gòu)造運(yùn)用：如圖4,在邊長(zhǎng)為2的菱形488中，EW=60。，M是NZ)邊的中點(diǎn)，N是/8邊上一動(dòng)點(diǎn)，

將EWMN沿MN所在的直線翻折得到0∕bAW,連接45,則長(zhǎng)度的最小值為.

(4)綜合應(yīng)用：如圖5,平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)/(-2,3),B(4,5)為圓心，以1,2為半徑作

≡W,魴，M,N分別是0/1,勖上的動(dòng)點(diǎn)，尸為X軸上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出PM+PN的最小值為.

NOp

圖4

23.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，EWBC中，C=45o,AB=6,∕C=4,尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，求

2同尸+&AP+3PC最小值

專題07五大最值問(wèn)題模型

一、【知識(shí)回顧】

(1)將軍飲馬模型:

①一定兩動(dòng)

(2)費(fèi)馬點(diǎn)模型：(如圖：求PA+PB+PC最小值，圖3CD為所求最小值)

(3)阿氏圓模型：

如圖，點(diǎn)P是GQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求尸4+的最小值.

①連接OPOB,計(jì)算囂=m(一般情況下)

:②≡蟒上找一點(diǎn)C,使得黑=囂=m

/

B、、飛&、③連接PC,貝!J維=m,即PC=mPB

C^-D

B

④連接4C,即為所求的最小值

（4）胡不歸模型:

［模型建立】如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MV外的運(yùn)動(dòng)速度為在直線MNI：運(yùn)動(dòng)的速度為F2，F(xiàn)lΠ<P2,

A.B為定點(diǎn)，點(diǎn),C在直線MN1:.確定點(diǎn)C的位置使江+空的值最小.I

匕乂

［問(wèn)題分析］—+—=1［BC+^-^CL記*=匕?，即求BC+??C的最小值.

v

V1IJ匕----

【問(wèn)題解次】構(gòu)造射線4。使得SinNzUΛMR,即匚”=彳，CH=kAC.

3

m-

M--------------------/--------------N

CH

Sina=---=k、、

AC、、、D

、

'、、D

CH=kAC、

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BOCH最小值,過(guò)B點(diǎn)作BHLAD交于點(diǎn)、C,交4D千H點(diǎn),此時(shí)BC+CH取到最小

值，即BC+??C最小.

（5）隱圓最值模型：

①四點(diǎn)共圓：②動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)等定長(zhǎng)：

OIi

③直角所對(duì)的是直徑：

D

“邑rB彳「一----

、/

、一」

④定弦對(duì)定角:

C

定弦對(duì)定角（銳角）定弦對(duì)定角（鈍角）

二、【考點(diǎn)類型】

考點(diǎn)1：將軍飲馬模型

典例1:（2022春?全國(guó)?九年級(jí)期末）如圖，回。是血18C的外接圓，為直徑，弦/。平分魴/C,過(guò)點(diǎn)。作

射線NC的垂線，垂足為M,點(diǎn)E為線段/8上的動(dòng)點(diǎn).

⑴求證：MD是團(tuán)。的切線；

（2）若回8=30。，4B=8,在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在,

說(shuō)明理由；

⑶若點(diǎn)E恰好運(yùn)動(dòng)到a4C8的角平分線上，連接CE并延長(zhǎng)，交團(tuán)。于點(diǎn)尸，交ZO于點(diǎn)P,連接Z尸，CP=3,

EF=4,求/廠的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）存在，￡C+EN的最小值為2M，理山見(jiàn)解析

(3)6

【分析】（1）連接8,交BC于點(diǎn)M通過(guò)證明四邊形CNOM為矩形得出ODLMD,利用切線的判定定

理即可得出結(jié)論.

（2）過(guò)點(diǎn)C作CFlAB,并延長(zhǎng)交回。于點(diǎn)尸，連接交4B于點(diǎn)、E,連接EC,利用將軍飲馬模型可知

此時(shí)EC+EM的值最小，由題意可得FZ）為圓的直徑，在府ΔF0M中，利用勾股定理即可求得結(jié)論.

（3）利用角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)可以判定W為等腰三角形，證明ΔMEAFCA.,m

相似三角形的性質(zhì)得出比例式，解關(guān)于AF的方程即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖，連接O。，交8C于點(diǎn)M

4B為直徑

.-.ZACB=90°.

.?.ZBCM=90\

弦/。平分加C,

:.CD=BD

:.0NLBe

DM?AC,

四邊形CNDM為矩形

.?.OD±MD.

為圓的半徑

加。是團(tuán)。的切線

（2）解：在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EC+EM存在最小值，理由如下：

過(guò)點(diǎn)C作CFJAB,并延長(zhǎng)交回。于點(diǎn)尸，連接MR交AB于點(diǎn)、E,連接EC,則此時(shí)EC+￡M的值最小

ZB=30°,ZACB=90°,

.?.NC48=60".

.弦40平分I3A4C,

.?.NCAo=NDA8=30°.

CD與BD的度數(shù)為60。

48是直徑

.?.AC=CD=BD

ABlCD,48是直徑

.?.AC=AF.

.?.AF+AC÷CD=180o

.?.FA。為半圓

.?.尸。為圓的直徑

由（1）知：M。是團(tuán)O的切線

FDlMD.

由題意得：力8垂直平分FC

.?EC=EF.

.EC+EM=EF+EM=FM

ZCFD=NDAB,ZDAB=30°

/.ZCFD=30°.

AB=8,

,?FD=8.

由（1）知：四邊形CNOM為矩形

:.MD=NC.

ONLBC

.?CN=-BC.

2

在RtAACB中

sinZCAB=-,

AB

n

BC=ΛB?sin600=8×-=4√3.

2

..MD=CN=LBC=2瓜

2

在RtAFDM中

MF=yjDF2+MD2=√82+（2√3）2=2√19

???EC+EM的最小值為M尸=2加.

M

F

（3）解：如圖

“平分NAC8,ZAC3=90°,

/.ZACF=ZBCF=45°

.?.ZBAF=ZBCF=45°

.力。平分/A4C,

ZCAD=ZBAD

ZPAF=ZBAD+/BAF,AAPF=ZACF+ZCAD,

.?.APAF=ZAPF,

???AF=FP.

..FC=FP+CP=AF-h3,

.ZFAB=ZACF=45°,ZF=ZF,

/.ΔE4EAFCA.

.FAFE

'~FC~~FA'

.?.FA2=FE?FC=4（AF÷3）.

.?.AF2-4AF-12=0.

解得AF=6或AF=-2（不合題意，舍去）

??.AF=6.

【點(diǎn)睛】本題是一道圓的綜合題，此題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理及其推論，軸對(duì)稱的性

質(zhì)，角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，連接半徑OD和利

用軸對(duì)稱中的將軍飲馬模型找出EC+EM存在最小值是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊中，Bo_LAC于。，AO=3cm.點(diǎn)P,。分別為

AB,A。上的兩個(gè)定點(diǎn)旦3P=A。=1cm,點(diǎn)M為線段3。上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM,QM,貝IJPM+QM的最小值

為cm.

A

Q

【答案】5

【分析】如圖所示，作點(diǎn)P關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)P',且點(diǎn)P'在5C上，則尸M+QM=P0W+QM,當(dāng)PCM,Q

在同一條直線上時(shí)，有最小值，證明四邊形PP3是平行四邊形，P￠Q=AP=AB-BP,由此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)P關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)P',

0ABe是等邊三角形，BDLAC,

12?ABD2DBC-IABC1窗60=30?,

22

回點(diǎn)P，在BC上，

0∕W=PM1則尸M+QM=P啊+QM,當(dāng)Q在同一條直線上時(shí)，有最小值,

SI點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F,ZABD=ZDBC=30°,

0PPtZBM，BP=BPC=Icm，

SINBPP=60°,

SLBP尸是等邊三角形，即？BP中2C60?，

回PPMAC,且PP￠=AQ=Icm,

團(tuán)四邊形PP￠QA是平行四邊形，

0P0ρ=AP=AB-BP.

在RlA4BZ）中，ZABD=30°,AD=3,

13AB=2AD=2×3=6.

^AP=PTQ=PM+QM=PM+QM=AB-BP=6-1=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)與等邊三角形，對(duì)稱一最短路徑，平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合，理解并掌握

等邊三角形得性質(zhì)，對(duì)稱一最短路徑的計(jì)算方法，平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023春?山東青島?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)尸是NAoB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=3cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N

分別是射線。4和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，ZAoB=30。，則PMN周長(zhǎng)的最小值是.

【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于。4、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D,連接CO,分別交O408于點(diǎn)A/、N,連接

OP,OC、OD,PM、PN,當(dāng)點(diǎn)M、'在CD上時(shí)，PMN的周長(zhǎng)最小.

【詳解】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于。4、08的對(duì)稱點(diǎn)C、D,連接CD,分別交OA、OB于點(diǎn)M、M連接

回點(diǎn)P關(guān)于04的對(duì)稱點(diǎn)為C,關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D,

⑦PM=CM,OP=OC,NeOA=NPQ4；

EI點(diǎn)尸關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為，

田PN=DN,OP=OD,NDOB=NPoB*

SloC=OD=OP=3cm,NCOD=ZCOA+ZPOA+ZPOB+NDoB=IAPOA+2乙PoB=IZAOB=60°,

Ia△<:”>是等邊.角形，

EIcr>=OC=Or>=3(Cm).

HPMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+MN+PN=CM+ΛW+Z)N≥ɑ)=3cm.

故答案為：女m.

【點(diǎn)睛】本題生要考查最短路徑問(wèn)題和等邊三角形的判定.作點(diǎn)P關(guān)于OA.OB的對(duì)稱點(diǎn)C、。是解題的

關(guān)鍵所在.

【變式3】(2022春?貴州銅仁?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,已知一次函數(shù)y=λx+6的圖像經(jīng)過(guò)4(1,4),8(4,

1)兩點(diǎn)，并且交X軸于點(diǎn)C,交N軸于點(diǎn)∕λ

(2)若y軸存在一點(diǎn)P使PA+PB的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA+PB的最小值；

⑶在X軸上是否存在一點(diǎn)Λ/,使0MO4的面積等于豳。8的面積；若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=-x+5

⑵，(吟)；扃

(3)存在,卜或

【分析】(1)把力(1,4),8(4,1)代入y=Ax+人中，求出左、b的值，即可寫出一次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)先作出41,4)關(guān)于)，軸的對(duì)稱點(diǎn)4(-1,4),連接ZB與y軸的交點(diǎn)即為尸點(diǎn).求出直線45的函數(shù)表達(dá)

式，即可求出尸點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出45的長(zhǎng)，即以+尸8的最小值.

⑶先求出血1。3的面積，再根據(jù)團(tuán)MeM的面積等于HL4O8的面積列方程求出Λ/點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出M點(diǎn)的

坐標(biāo).

(1)

把/(1,4),5(4,1)代入y=b+b中,得

4=k+b,k=-l

1=3。解得

b=5

國(guó)一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-x+5;

(2)

作41,4)關(guān)于歹軸的對(duì)稱點(diǎn)4卜1,4),連接45交y軸于尸點(diǎn)，連接B4,此時(shí)為+尸8的值最小，且

PA+PB=PA'+PB=A'B,

設(shè)力B的表達(dá)式為y=mx+nf則

3

m=——

4=-m+n5

，，解得

1=4加+〃17

n=一

5

團(tuán)直線Z5的表達(dá)式為y=—(2χ+157，

17

當(dāng)X=O時(shí)，?=-

17

0P(O,—),

f22

且AB=λ∕(-l-4)+(4-l)

=y/34>

胡"P8的最小值為國(guó);

(3)

由y=x+5得C(5,0),

國(guó)

SAAoB=SδAoC-SABOC

=J?x5x4-Jχ5xl

22

15

~2

設(shè)MXMyM，

^SΔMOA=SΔAOB[J

15

回XM=W或%=一了，

IW（-,0）或,0）,

44

團(tuán)存在一點(diǎn)M,使回MoA的面積等于幽。8的面積，且M點(diǎn)的坐標(biāo)為（與，0）或（-與，0）.

44

【點(diǎn)睛】本題主要考查J'利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式，求兩條線段之和的最小值（即將軍飲馬），兩

點(diǎn)之間距離公式，以及利用面積法求點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)2：費(fèi)馬點(diǎn)模型

典例2：（2021秋?四川成都?九年級(jí)成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）如圖，在.ABC中，ZCAB=90°,AB^AC=↑,

P是ΛSC內(nèi)一點(diǎn)，求P4+P3+PC的最小值為.

【分析】將包4尸。繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得回。"1,可得PC=PF,DF=AP,PA+PB+PC轉(zhuǎn)化為FD+BP+PF,

此時(shí)當(dāng)8、P、F、。四點(diǎn)共線時(shí)，P4+P3+PC的值最小，最小值為8。的長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：將EWPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得回QFC,連接尸尸、AD.DB,過(guò)點(diǎn)。作?！?8/1,交歷I的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E；

SiAP=DF,ISPCf=EWCP=60o,PC=FC,AC=CD,

EBPC下、12Wa＞是等邊三角形，

BlPC=PF,AD=AC=I,ElZMC=60°

田PA+PB+PC=FD+BP+PF,

回當(dāng)8、P、F、。四點(diǎn)共線時(shí)，P4+P8+PC的值最小，最小值為8。的長(zhǎng)：

0ZC4B=9Oo,0CJZ）=6Oo,

WEAD=300,

0DE=—Λ,D=一,

22

^AE=?∣AD2-ED2=—,

0BE=1+-,

2

0βD=√BE2+DE2="+?,

2

0M+PB+PC的值最小值為6+3.

2

故答案為：XiM1.

2

【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于將a4PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得回。尸C,將三條線段的反轉(zhuǎn)

化到一條直線上.

【變式1］（2022秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，

AB=2√2;

（1）如圖1,將AADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ADCF,連接EF；

①把圖形補(bǔ)充完整（無(wú)需寫畫法）；②求E產(chǎn)的取值范圍；

（2）如圖2,求BE+AE+DE的最小值.

【答案】（1）①補(bǔ)圖見(jiàn)解析；②8≤E∕2≤16;（2）2√3+2

【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖形即可；

②首先證明IaECF=90。，設(shè)AE=CF=X,EF2=y,則EC=4-x,在RtlaECF中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題；

（2）如圖2中，將ElABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到回AFG,連接EG,DF.作FH1Σ1AD于H.根據(jù)兩點(diǎn)之間線

段最短可得DF≤FG+EG+DE,BE=FG,推出AE+BE+DE的最小值為線段DF的長(zhǎng)；

【詳解】（1）①如圖團(tuán)DCF即為所求:

②回四邊形ABCD是正方形，

OBC=AB=20,回B=90°,≡1DAE=EIADC=45°,

EIAC=AB-+BC-=√2AB=4，

甌ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到回DCF,

00DCF=0DAE=45o,AE=CF,

SBECF=I3ACD+I3DCF=9O°,

設(shè)AE=CF=X,EF2=y,則EC=4-x,

0y=(4-×)2+×2=2×2-8x÷160(0<×≤4).

即y=2(x-2)2+8,

02>0,

回x=2時(shí)，y有最小值，最小值為8,

當(dāng)x=4時(shí)，y最大值=16,

08≤EF2≤16.

(2)如圖中，將EIABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到ISAFG,連接EG,DF.作FH團(tuán)AD于H.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，回AEG是等邊三角形，

ElAE=EG,

0DF≤FG+EG+DE,BE=FG,

0AE+BE+DE的最小值為線段DF的長(zhǎng).

在RtaAFH中，回FAH=30°,AB=2√2=AF,

E)FH=3AF=五，AH='AF?-FH2=瓜，

222

在RtBIDFH中，DF=y∣FH+DH=J(2√2+√6)+=2百+2,

0BE+AE+ED的最小值為2百+2.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)

會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考

題型.

【變式2］（2022春?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求

PA+2PB+@C的最小值.

【答案】4√10

［分析］延長(zhǎng)DC到H,使得C"=2BC=8,則BH=4有，在NCBH的內(nèi)部作射線BJ,使得ZPBJ=NCBH,

使得BJ=小BP，連接/V,JH,AH.先證明△//爐sΔWBC,可得PJ=2PB,再證明△/>5csA75H,可

得：HJ=亞PC,從而得到PA+2PB+石尸C=PA+R∕+H∕≥A”,計(jì)算出AW的長(zhǎng)度即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)Z）C到“，使得CH=2BC=8,則BH=46，在NCBH的內(nèi)部作射線即，使得

NPBJ=NCBH,使得BJ=小BP，連接PJ，JH,AH.

/PBJ=ZCBH,理二生=在，

BJBH5

?PBBJ

一~BC~~BH'

JBPSHBC,

:./BPJ=NBCH=90。,

2222

：.pj=√BJ-PB=y∣(y∕5PB)-PB=2PB,

「PBBC

"BC=ZJBH,—=—,

BJBH

PBCSJBH,

.PCPB

?.，='=—,

JHBJ5

；.HJ=小PC

.?.PA+2PB+MC=PA+PJ+HJ,

PA+PJ+JHNAH,

PA+2PB+√5PC>√42+122=4√10，

.?.PA+2P8+有PC的值最小，最小值為4√iU.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，正方形的性質(zhì)，，正確理解費(fèi)

馬點(diǎn)問(wèn)題，利用相似構(gòu)造2依與逐PC,根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形是解決問(wèn)題的關(guān)犍.

【變式3](2022春?江蘇?九年級(jí)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)。在X軸

的正半軸上，ZODB=30o,OE為OBOD的中線，過(guò)B、E兩點(diǎn)的拋物線y=”小+也工+。與X軸相交于A、

(2)等邊l≡O(shè)MN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)P為⑦A80內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)帆=PA+P8+PO,請(qǐng)直接寫出W的最小值,以及，”取得最小值時(shí)，線

段AP的長(zhǎng).

【答案】(1)y=-'χ2+Ylχ+2(2)AE=Ji5；AM=MI或AM=MI(3)機(jī)可以取到的最小值為

261313

√B?當(dāng)〃?取得最小值時(shí)，線段AP的長(zhǎng)為生叵

13

【分析】(1)己知點(diǎn)B的坐標(biāo)，可求出OB的長(zhǎng)；在RtAOBD中，已知了Elc)DB=30。，通過(guò)解直角三角形即可

求得OD的長(zhǎng)，也就得到了點(diǎn)D的坐標(biāo)；由于E是線段BD的中點(diǎn)，根