2023高考數(shù)學復習 10　數(shù)列的遞推關系與通項

微專題10數(shù)列的遞推關系與通項

3知識拓展

L求數(shù)列的通項公式是高考的重點內(nèi)容，等差、等比數(shù)列可直接利用其通項公式

求解，但有些數(shù)列是以遞推關系給出的，需要構造新數(shù)列轉為等差或等比數(shù)列，

再利用公式求解.

2.利用數(shù)列的遞推關系求數(shù)列的通項，常見的方法有：(1)累加法，(2)累乘法，(3)

構造法(包括輔助數(shù)列法，取倒數(shù)法，取對數(shù)法等).

題型聚焦分類突破研題型求突破

類型一利用m與S的關系求通項

I核心歸納

1.已知S”求知的步驟

⑴先利用m=Sι求出aι.

(2)用n-?替換S中的“得到一個新的關系，利用z=S"—SAl(〃22)便可求出當

時an的表達式.

(3)對〃=1時的結果進行檢驗，看是否符合〃22時許的表達式，若符合，則數(shù)列

的通項公式合寫；若不符合，則應該分〃=1與〃22兩段來寫.

2.S"與為關系問題的求解思路

根據(jù)所求結果的不同要求，將問題向不同的方向轉化.

(1)利用Z=SLS”一i(〃22)轉化為只含S,S“.i的關系式，再求解.

(2)利用8—SI=4"("22)轉化為只含a”，0J.I的關系式，再求解.

1

例1(1)已知數(shù)列｛z｝為正項數(shù)列，且肅46與+涓4S工?+…+虐4V勺,,=s“求數(shù)列｛m｝

的通項公式；

(2)已知數(shù)列｛m｝的各項均為正數(shù)，且&=//〃+；),求數(shù)列｛小｝的通項公式.

Z?ClnJ

解(1)由題知書+聿+…+-?=s,①

a?+2。2+2a∏+2

則4±T-----1-4S“'=SI(?22,w∈N*),②

αι十2。2十2an-i+2

由①一②可得~?=z,

Q〃十2

即4S"=忌+2而，〃22,n∈N*,

在已知等式中令〃=1,

徨4Sι

%+2^5H

則4Sι=4ι(αι+2),③

滿足上式，所以4S,=屆+2a”，④

則4S-ι=屆一1+2如一i(〃22),⑤

④一⑤可得4‰=αn+2an-(A-?-2a∏-1<=?2(α∏+αn-ι)=αn-α∏-ι.

因為On-6!n-l=(?！?Ωn-l)(βn--Λn-1),

an>0,

所以Cln—Cln-1=2,

所以｛&｝為公差是2的等差數(shù)列,

由③可解得?1=2,

所以為=2+(〃-1)X2=2,("∈N*).

(2)由Sn=

得當〃22時,

S"=,SLSIT占，

所以2S"=S〃_S”_i+s“_S"_J

]

即S"+Sn-1=

Sn—Sn-I

所以SSki=I,

所以｛S%｝為公差是1的等差數(shù)列,

所以S?=S?+(n—1).

在S"4G+J中，

令〃=1可得S=莖⑶+力，

解得Oi=1j

所以麋=〃，所以S"=由,

Sn-Sn-I,〃22,

所以

.Sι,n=1

yjn—yjn—1,n≥2,

1,n=?,

所以a∏=y[n-γ∣n~1(?∈N).

訓練1已知正項數(shù)歹∣J｛z+2"-∣｝的前〃項和為S“且4S”=忌+(2"+2)小+4，門+

2"-3.求數(shù)列｛如｝的通項公式.

解由題知4S"=忌+(2"+2)0,+4"T+2"-3=5"+2"7)2+2伍”+2"一|)—3,

令兒=z+2"∣,

則4S"=啟+2為一3,①

當〃22時，4S”-1=孱-ι+20”-∣—3,②

由①一②，得4/?”=晶一?n-l+2?π—2bn1,

整理得(瓦一瓦-L2)(瓦+bi)=。.

因為b,l>0,所以正一?J-I=2("22).

又4S∣=∕+2歷一3,

即屏一2bi—3=0,

解得歷=3或歷=一1(舍去)，

所以數(shù)列｛加｝是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，

則b=2〃+1,

所以a”=為一2"T=2〃+1—2"T(〃∈N).

類型二構造輔助數(shù)列求通項

I核心歸納

(1)形如an=pan-?+q｛p≠?,q≠0)的形式，通?？蓸嬙斐龅缺葦?shù)列

”(。"_1+/力，進而求出通項公式.

(2)形如Z=即|+/,此類問題可先處理兩邊同時除以得%=p方+1,

進而構造成*=g*?+l,設仇=*,從而變成為=夕?"-ι+l,從而將問題轉化為

ClqqqCl

第(1)個問題.

(3)形如qan-↑-pa=a∏an1,可以考慮兩邊同時除以a∏a∏-1,轉化為多一“一=1

nUn-?

的形式，進而可設d=1，遞推公式變?yōu)閝bn~pbn^=l,從而轉變?yōu)樯厦娴冖?/p>

Un

個問題.

(4)形如z=1產(chǎn)空轉-(其中〃22,"的WO)取倒數(shù)，得到f=5(1+/1=2=

k｛an-↑+b)anm?an-?)an

??j-+?,轉化為(1)中的類型.

InarI-Im

(5)形如tZ"=pαk∣("22,an,p>0)兩邊取常用對數(shù)，得Ig<‰=rlg斯―ι+lgp,轉化

為(1)中的類型.

考向1構造法求通項

例2(1)在數(shù)列｛m｝中，αι=g,z=20,+ι-&("∈N*),求數(shù)列｛z｝的通項公式；

(2)設數(shù)列｛z｝的前〃項和為S”且αι=l,S"+ι-2S"=l,n∈N?求數(shù)列｛為｝的通

項公式.

解(1)由Cl"=Idn+1—GJ，

得2"?！?2"+%”+1—1,

所以數(shù)列｛2"為｝是首項和公差均為1的等差數(shù)列,

于是2?=l+(∏-l)×l=n,

所以tzπ=^(n∈N).

(2)因為S+i—2S”=1,

所以S+ι+1=2(8+1),o∈N*.

因為αι=Sι=l,

所以可推出S,,+l>0,

Snl÷l

故W+Tr=2,

即｛S"+1｝為等比數(shù)列.

因為51+1=2,公比為2,

所以￡+1=2",

即Sn=In-

因為Sl=2"T—1(〃22),

n

所以當〃22時，an=Sn-Sn-ι=2',

又αι=1也滿足此式，

所以α,,=2n^l(M∈N*).

考向2取倒數(shù)法求通項

例3已知數(shù)列｛m｝滿足％+ι=U?,α∣=2,求數(shù)列｛z｝的通項公式.

解對m+ι=-?兩邊取倒數(shù)，可得

a∏+3

Cln+1

,1,1√ι,η

由--

any+1∏2=3-?C+lnnλ.)

??.數(shù)列］士+,是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，

?,?IC?~jT9

an2

2

則z=2?3"-JseN)?

考向3取對數(shù)法求通項

例4設正項數(shù)列｛z｝滿足G=1,z=2晶一(〃22).求數(shù)列｛小｝的通項公式.

解對小=2屆兩邊取對數(shù)得

lθg2‰=1+21θg2t1!∕ιI,

.".Iθg2‰÷1=2(lθg2fln-l÷l),

設?n=lθg2‰÷l,

則｛d｝是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列，所以6=2"-∣,

即IoglfinH-1=2"I,

故a”=22"T一15∈N*).

訓練2(1)若數(shù)列｛z｝中，m=3,且z+1=晶，則以=.

(2)已知數(shù)列｛Cln｝中，41=1,Un=~Z∣，則Un—________.

Zan—1I?1

-11

答案(1)32〃5∈N*)(2)^—j-(π∈N+)

解析(1)易知Clιι>09由Cln+1=忌得

Ig4Zn+l=21ga∏,

故｛lga,｝是以Ig3為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

則Iga"=Igαι?2"∣=lg3?"

即‰=32M^^'(H∈N*).

_Idn-?

⑵z由a∏=~z?r,

2an-?~v1

取倒數(shù)得;=2+—L,

Clnan-?

故13J是以2為公差，1為首項的等差數(shù)列，

所以工=1÷2(n-1)=2?—1,

CLn

即an=r.?Λn∈N*),

2∏-1

(3)在數(shù)列｛“〃｝中，0=1,Z+i=；a〃+l,求數(shù)列｛m｝的通項公式.

解因為加1=%〃+1,

所以小+1—2=；(。?-2),

所以數(shù)列｛&—2｝是以一1為首項，/為公比的等比數(shù)列，

所以a”一2=—1X(；),

所以<‰=2-(g),"∈N*.

高分訓練對接高考重落實迎高考

一、基本技能練

l.(2022?湖北新高考協(xié)作體聯(lián)考)已知數(shù)列｛α,｝的首項0=2,其前n項和為Sn,若

Sn+?~2S+1,則C17=.

答案96

解析因為S〃+i=2S?+l,

所以S〃=2S〃一ι+15+2),

兩式相減得4〃+1=2cbι(jlN2)9

又因為“ι=2,S2=a?+a2=2a?+l,

得α2=3,

所以數(shù)列｛z｝從第二項開始成等比數(shù)列,

2,n~?,

因此其通項公式為Z=,C

[3?2n2,tt≥2,

所以m=3X25=96.

2.已知數(shù)列｛a,｝的前〃項和為S,0=1,S,,=tt?∈N*),則數(shù)列｛斯｝的通項公式

為.

2

答案處=“(〃+1)(心*)

解析由&=序小可得，

當時，Sn-?=(∏-l)?n-l,

22

則an=Sn-Sn-1=nafi—(∏-1)an-1,

即(rr—I)Z=(〃-1)2小_I,

a∏-?

故--n=F7，

an-?〃十1

…、)anan-?an-2aτ>a2n-1n-2n-32

an-↑an-2an-3^2a?n-?-1"n~143∏(〃+1)

、#2

當〃=1時，QI=1)'兩足Cln=z~^11、.

n(〃十1)

故數(shù)列｛〃〃｝的通項公式為

2-

Un-/IX9〃￡N.

n(n+1)

3.已知正項數(shù)列｛z｝滿足αι=2,an+ι=y[an,則a”=.

答案221^^,,(∕Z∈N*)

解析將z+ι=d^兩邊取以2為底的對數(shù)得Iog2βn+ι=∣log20π,

.?.數(shù)列｛i0g2α,｝是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，

(1、〃一1

故lθg24"=lX0=2'~n,

即α,,=22'-n(∕7∈N*).

4.數(shù)列｛<‰｝的首項4ι=2,且α"+ι=3α"+2(∕z∈N*),令4=log3(a〃+l),則bn=

答案n｛n∈N")

解析由a”+i=3a"+2(〃eN*)可知αa+∣+l=3(a"+l),

又αι=2,知z+l≠O,

所以數(shù)歹U｛m+1｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，

因此01+l=3?3"T=3",

故bn~lθg?(tlnH_1)=〃.

Z7

5.(2022?南京調(diào)研)在數(shù)列｛仇｝中,b?=~?,d+ι=拓占，"∈N*,則通項公式包

答案2?-e

解析由b".1=%+2'且歷=—1?

,I2

易知7+3.

bn+lbn

因此a+3=2￡+3)丹3=2,

故［4+3)是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，于是4+3=22門，

可得bn=~~~^,〃￡N二

2〃一3

6.在數(shù)列｛〃〃｝中，0=1,a∏=2a∏-↑+ln3(π≥2),則數(shù)列｛〃〃｝的通項〃”=.

答案(l+ln3)?2〃r—ln3(∕z∈N")

解析由Cln—2,Cln-1H-1∏3得

α∏÷ln3=2(an-ι+lπ3),

貝義如+ln3｝是以l+ln3為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以a"+ln3=(1++3)?2"T,

因此以=(l+ln3)?2π-1-ln3("∈N*).

7.已知數(shù)列｛圓｝滿足:?i=l,z=3,a”+2=a〃+i+2a〃.某同學已經(jīng)證明了數(shù)列

他"+1—2雨｝和數(shù)列｛z+∣+斯｝都是等比數(shù)列，則數(shù)列｛&”｝的通項公式是an=

2,,+'-(―1)n~i

答案-——什一(tt∈N*)

解析因為ti"+2=a”+1+2a∏,

所以當〃=1時，<23=Ω2÷2<71=5.

令瓦=。"+1—2汝,則｛瓦｝為等比數(shù)列.

又從=。2-2。1=1,α=4312。2=—1,

所以等比數(shù)列2”｝的公比q=合一1,

所以d=(-l)"T,

即0+L2勰=(-1)"一L①

令Cn=an+?+an,則｛金｝為等比數(shù)列，

CI=z+ai=4,02=03+02=8,

所以等比數(shù)列｛C"｝的公比0=含=2,

π1n+l

所以cπ=4×2^=2,

即α>+ι+α"=2"+L②

2n+1-(―1)π^,

聯(lián)立①②，解得z=------5--------

1∕7

8.(2022?青島二模)已知數(shù)列｛z｝,｛瓦｝滿足0=5,an+bn=?,b〃+i=不M,則歷

023=.

依空2023

U木2024

b

解析因為a〃+瓦=1,bn+?=]_,

=,

所以]一""+1d-0n)(1+??)

____1_____6】

""十|1+z1+?！ā?/p>

所以」一=；+1,

所以數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為1,首項為;=2,

[ClnJUl

所以，=2+(〃-I)Xl=n+l,

CLn

所以Cln=∣,

〃十1

所以bn=1.,

n~v1

所以在0232024.

9已知數(shù)列｛〃〃｝的前n項和S〃滿足2S〃一〃Z=3"5∈N*),月.S3=15,則Sio=

答案120

解析當n=l時，2S-M=3,

解得“ι=3.

又2Sn-na∏=3n,①

當時，

2Sn-↑-(n-l)ai=3(〃-1),②

所以①一②得

(〃一I)Oi-Q2-2)z=3,③

當時，(H—l)an-2~(n—3)afj-?=3,④

所以④一③得

(H—I)S-1—(n-2)a∏—(π-2)a∏-2—(〃—3)a∏-1,

可得2an-?=a∏+an-2,

所以數(shù)列｛z｝為等差數(shù)列，設其公差為d.

因為防=3,S3=3αι+3d=9+3d=15,

解得d=2,

立,lθ×9

故Slo=IOX3+——X2=120.

10.已知數(shù)列｛z｝滿足z+ι=2Z—〃+1("∈N"),0=3,則數(shù)列｛〃〃｝的通項公式為

答案小=2〃十愉∈N*)

β

解析.'an?-1=2afι~n+1,

：?a∏+?—(n+1)=2(〃〃一〃),

an+?—(n+1)

??=2,

a∏-∏

???數(shù)列｛〃"一〃｝是以m一1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列,

nln

J.an-n=2?2~=2,

a”=2"+"(〃eN)

11.數(shù)列｛“〃｝滿足t?+ι=3m+2"a↑=~?,則數(shù)列｛。,｝的前〃項和S”=,

答案?一2"+2+∣5∈N*)

n+1

解析V‰+ι=3‰+2,

QI3A

-〃+

+1.2一

-〃

2+112

斜+2=騁+2），

.,.數(shù)列根+2］是以段+2=∣為首項，I為公比的等比數(shù)列,

￡3

〃

一+2--×

2n2-

Λ0,,=3π-2n',

Λ5,,=(3I+32+???+3(,)-(22+23+???+2Π+I)=-?-—2H+2+∣

1J1，N乙

("∈N").

12.已知在數(shù)列｛m｝中，αι=l,s=2,t?+ι=2m+3而-1,則｛?。耐椆綖?/p>

答案??=-一LZ-(〃∈N*)

解析,?'‰+ι=2‰+3‰?,

.?.4"+l+。"=3(。"+。"-1),

.?.｛斯+1+廝)是以z+m=3為首項,3為公比的等比數(shù)列，

；?<‰+1+a”=3X3"-∣=3".①

又Ωn+i—3fln=—(‰-3<2∕I-1),

，—3?！保且?2—3α∣=-1為首項，一1為公比的等比數(shù)列，

?'?a∏+i—3cz∏=(—1)×(—l)n^l=(—l)z,,②

由①一②得4m=3"一(-1)”,

3”—(-1)n*

'.an=4(〃GN).

二、創(chuàng)新拓展練

13.(多選)(2022?武漢調(diào)研)已知數(shù)列｛“”｝滿足m=l,‰+ι=τi?-(∕ι∈N*),則下列

ZIJCln

結論正確的是（）

AjA+3）為等比數(shù)列

B.｛a4｝的通項公式為a∏2∏+1_?

C.｛z｝為遞增數(shù)列

D?[5l的前“項和。=2"+2—3〃一4

答案ABD

解析因為一L==到=曰+3,

Un+?ClnCln

所以」÷3=2?+4

Ctn^?1

又A+3=4WO,

所以15+才是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列,

所以W+3=4X2G,貝U『出,

所以｛斯｝為遞減數(shù)列,

的前n項和。=（22—3）+Q3—3）+…+（2產(chǎn)1-3）=22+23+…+2”+1—3〃=

4（l-2π）

3n=2n+2-3n~4,故ABD正確.

1-2

14.（多選）南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀,

后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有

6個球，……，設各層球數(shù)構成一個數(shù)列｛z｝,則（）

A.6f4=12Bs+1=。〃+〃+1

C.6JIOO=5050D.2。"+1=Cln*Cl∏+2

答案BC

解析由題意知，471=1,42=3,473=6,—,an-an^?+∏,

n(〃+1)

故uCln=2'

.4×(4+1)立…

..Q4=2=10,故A4日慶；

=〃〃+〃+1,故B正確；

100×(100+1)包〒4

。1OO=2=5050,故C正確;

2z+ι=(〃+1)5+2),

n(n+1)(〃+2)(九+3)

Z.+2=9

顯然2?！?1故D錯誤.

15.（多選）已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中

第一項是2°,接下來的兩項是2°,21,再接下來的三項是2°,2l,22,依次類推，

第〃項記為小，數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S,則（）

A.O6（）=16B.Si8=128

C,alc±k=2k~xD.Sl^±k=2k-k-?

2