中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練(全國通用)第一講 與圓有關(guān)的概念及性質(zhì)-滿分之路（解析版）

第一講與圓有關(guān)的概念及性質(zhì)知識梳理夯實基礎(chǔ)知識點(diǎn)1:與圓有關(guān)的概念1.圓的定義形成的封閉曲線叫做圓，固定的端點(diǎn)0叫做圓心，線段OA的長為r,叫做半徑.以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“⊙0”,讀作“圓0”.注：圓也可以看成到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.2.圓的有關(guān)概念圓心相同、半徑不同的圓叫做同心圓。能夠重合的兩個圓叫做等圓半圓圓的任意一條的兩端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“~”表示。大于半圓的弧叫做,如ABC;小于半圓的弧叫做,如AB.連接圓上任意兩點(diǎn)的叫做弦，如弦AC弓形經(jīng)過的弦叫做直徑，如直徑BC圓心角頂點(diǎn)在的角叫做圓心角，如∠AOB。圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且都與圓還有另一個交點(diǎn)的角叫做圓周角，如∠ACB。3.確定圓的條件不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓。(1)圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，對稱軸是圓所在的平面內(nèi)任意一條過圓心的直線.對稱軸是直徑”,而應(yīng)該說“圓的對稱軸是直徑所在的直線”或“圓的對稱軸是經(jīng)過圓心的每一條直線”.2.圓的對稱軸有無數(shù)條.圓心，圓的這種性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)不變性.知識點(diǎn)2:垂徑分弦1.垂徑定理：垂直于弦的直徑,并且弦所對的兩條弧，2.垂徑定理的逆定理：平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。注意：定理中括號內(nèi)“非直徑”這三個字不能省略，否則定理不成立。知識點(diǎn)3:圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系1.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧,所對的弦相等，所對弦的弦心距相2.推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及這兩個角所對的弧、所對的弦、所對弦的弦心距中，有一組量相等，那么其余各組量都分別相等?？珊営洖椋涸谕瑘A或等圓中，圓心角相等?弧相等?弦相等?弦心距相等。(1)定理(推論)成立的前提條件是“在同圓或等圓中”,缺少這一前提條件定理(推論)不成立。(2)在這個推論中，四組量中只要有一組量“不等”,其余各組量也“不等”。知識點(diǎn)4:圓周角定理及其推論定理常見圖形CCOBC0A0CB推論1.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角,相等的圓周角所2.半圓或直徑所對的圓周角是;90°的圓周角所對的弦是。知識點(diǎn)5:圓內(nèi)接四邊形的概念和定理邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形的外接圓。0BDC角,且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。直擊中考勝券在握1.(2023·長沙中考)如圖，點(diǎn)A,B,C在00上，∠BAC=54°,則∠BOC的度數(shù)為()【分析】【詳解】【點(diǎn)睛】此題考查圓的知識，圓周角定理，垂徑定理，以及勾股定理，熟記圓周角定理及垂徑定理是解題的關(guān)鍵.A.40cm2B.20c【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理得出OE的長，進(jìn)而利用勾股定理得出BC的長，從而得到OC的長，即可求出BBOC的面積，再根據(jù)三線合一定理得到BF=CF,則由此求解即可.【詳解】解：連接OB,BAC是8O的直徑，弦BDaAO于E,BD=8cm,AE=2cm.AA【點(diǎn)睛】12.(2023·山東濱州中考)如圖，0O是ABC的外接圓，CD是○O的直徑.若CD=10,弦AC=6,則cos∠ABC的值為()【詳解】,【分析】如圖，連接BC,設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)D,連接MD交BC與點(diǎn)E,結(jié)合已知條件，則可得BC⊥MD,勾股定理求解EM,進(jìn)而即可求得B的坐標(biāo).【詳解】如圖，連接BC,設(shè)圓與x軸相切于點(diǎn)D,連接MD交BC與點(diǎn)E,則MD⊥x軸，QAB為直徑，則∠ACB=90°,【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.19.(2023·四川德陽中考)如圖，在圓內(nèi)接五邊形ABCDE中，②EABD+2C+3CDE+OE=430°,則口CDA=【答案】70【分析】【詳解】故答案為70.【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的的度數(shù)為【分析】BACB和BADB為弦AB所對的圓周角，連接OA、OB,如圖，過O點(diǎn)作OHΩAB于H,根據(jù)垂徑定理得到AH,則利用余弦的定義可求出EOAH=30°,所以BAOB=120°,然后根據(jù)圓周角定理得到&ACB=【詳解】過0點(diǎn)作OHZAB于H,則【點(diǎn)睛】【分析】h最大，延長AO交BC于H,如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH⊥BC,所以BH=CH=1,OH=√3,則【詳解】∴當(dāng)點(diǎn)A在DE上(不含D、E點(diǎn))時，△ABC為銳角三角形，延長AO交BC于H,如圖，【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等一半.半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.也考查了垂徑定理和勾股定22.(2023·遼寧盤錦中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸【分析】先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到8ABO=60°,再根據(jù)圓周角定理得到AB為aD的直徑，則D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，接著利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OB=2,OA=2√3,所以A(-2√3,0),B(0,2),然后利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到D點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】BD點(diǎn)坐標(biāo)為(-√3,1).故答案為(-√3,1).【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于一半.半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì).23.如圖，BO與@OAB的邊AB相切，切點(diǎn)為B.將@OAB繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到aO'A'B,使點(diǎn)O'落【答案】80【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到aOBA=90°,連接00',如圖，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A=BA'=20°,BABA′=ROBO',BO=BO',則判斷2OO'B為等邊三角形得到@OBO'=60°,所以ABA'=60°,然后利用三角形外角性質(zhì)計算【詳解】解：2ZO與BOAB的邊AB相切B2OBA=90°,連接00',如圖，RRIOAB繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到aO'A'B,BZA=@A'=20°,@ABA'=@OBO',BO=BO',BBOO'B為等邊三角形，,,故答案為：80.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).24.如圖，0O是△ABC的外接圓，CD=1,則DE的長是【答案】【分析】角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得DG,AG,可求AD,再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求DE.【詳解】,,,,在RtZAGO,故答案為：【點(diǎn)睛】考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的難點(diǎn)是求出AD的長.25.(2023·濟(jì)寧中考)如圖，在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過點(diǎn)C,D.AC與BD相交于點(diǎn)【答案】4【分析】連結(jié)OC,設(shè)@0的半徑為r,由DC2=CE·CA和BACD=ZDCE,可判斷BCADEECDE,得到aCAD=BCDE,再根據(jù)圓周角定理得ZCAD=ZCBD,所以ECDB=ZCBD,利用等腰三角形的判定得BC=DC,證明OCRAD,利用平行線分線段成比例定理得到,則PC=2CD=4√2,然后證明△PCB~△PAD,利用相似比得到再利用比例的性質(zhì)可計算出r的值即可.【詳解】解：連結(jié)OC,如圖，設(shè)○O的半徑為r,DC2=CECA∴OC//AD,即.【點(diǎn)睛】相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進(jìn)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨(dú)使用，有時需要綜合運(yùn)用，無論是用，都要具備應(yīng)有的條件方可.也考查了圓周角定理. 【詳解】考點(diǎn)：1、圓周角定理，2、平行線的性質(zhì)，3、圓的性質(zhì)，4、圓心角與弦的關(guān)系定27.(2023·山東臨沂中考)如圖，已知在00中，AB=BC=CD,OC與AD相交于點(diǎn)E.求證：(2)四邊形BCDE為菱形.【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】(2)證明BDEFZBBCF,得到DE=BC,證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)BC=CD得到BC=CD,從而【詳解】解：(1)連接BD,AB=BC=CD(2)連接CD,BC=CDDZDEFZEBCF(ASA),團(tuán)四邊形BCDE是平行四邊形，又BC=CD,【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用垂徑定理得到BF=DF.28.(2023·北京中考)如圖，0O是ABC的外接圓(1)求證：∠BAD=∠CAD;(2)連接BO并延長，交AC于點(diǎn)F,交⊙O于點(diǎn)G,連接GC.若0O的半徑為5,OE=3,求GC和【答案】(1)見詳解；(2)GC=6,【分析】(2)由題意可先作圖，由(1)可得點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，則有,進(jìn)而可得【詳解】②BD=CD(2)解：由題意可得如圖所示：由(1)可得點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，8OO的半徑為5,【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理、三角形中位線及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂F,交○0于點(diǎn)D,連接BD,BE.【分析】(2)通過證明EDBF2EDAB,利用對應(yīng)邊成比例求解即可.【詳解】②DE=DB:BZDBF=BDAB.?DE=DB【點(diǎn)睛】30.(2023·蘇州中考)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于00,∠1=∠2,延長BC到點(diǎn)E,使得CE=AB,連接ED.(1)求證：BD=ED;【答案】(1)見解析；(2)【分析】(1)由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠A+∠BCD=180°,再由∠DCE+∠BCD=180°,即可得出∠A=∠DCE.根據(jù)圓周角定理結(jié)合題意可知AD=CD,即得出AD=CD.由此易證(2)過點(diǎn)D作DM⊥BE,垂足為M.根據(jù)題意可求出BE=10,結(jié)合(1)可知即可求出CM=1.根據(jù)題意又可求出∠2=30°,利用三角函數(shù)即可求出最后再利用三角函數(shù)【詳解】圖AD=CD(2)解：如圖，過點(diǎn)D作DM⊥BE,垂足為M.BC=6,AB=CE=4,由(1)知BD=ED.【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題.考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合的思想并正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.31.(2023·浙江省湖州中考)如圖，已知AB是@O的直徑，∠ACD是AD所對的圓周角，∠ACD=30°.(1)求∠DAB的度數(shù)；(2)過點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E,DE的延長線交團(tuán)O于點(diǎn)F.若AB=4,求DF的長.【分析】(1)連結(jié)BD,根據(jù)圓周角性質(zhì)，得∠B=∠ACD;根據(jù)直徑所對圓周角為直角、直角三角形兩銳角互余可得到答案.【詳解】(1)連結(jié)BD∵∠DAB=60°,DE⊥AB,且AB是直徑【點(diǎn)睛】根據(jù)垂徑定理、特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)計算，即32.(2023·杭州中考)如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于○O,∠BAC的平分線AG交○0于點(diǎn)G,交BC邊于點(diǎn)F,連接BG.(2)已知AB=a,AC=AF=b,求線段FG的長(用含a,b的代數(shù)式表示).∠ABD=∠CBE,求證：BG2=GE·GD.【分析】(1)由題目已知角平分線相等得到兩個相等，同弧所對的兩個圓周角相等，從而證明兩三角形相似；(2)由(1)中的相似可以得到線段成比例，再由FG=AG-AF即可求得；(3)要證BG2=GE·GD即證。DGB∽△BGE,已知條件有一對角相等，利用外角關(guān)系可以證明∠BDG=∠EBG,從而得證.【詳解】所以∠BAG=∠FAC,又因為∠G=∠C,因為AC=AF,所以AG=AB,所以FG=AG-AF=a-b.又因為∠BAG=∠CAG,又因為∠DGB=∠BGE,所以BG2=GE·GD【點(diǎn)睛】本題考查了圓的圓周角概念，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件找到相似的兩個三角形并通過角度的轉(zhuǎn)換從而證明相似.33.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于以BC為直徑的圓，圓心為0,且AB=AD,延長CB、DA交于P,過C點(diǎn)作PD的垂線交PD的延長線于E,且PB=BO,連接OA.(1)求證：OARCD;(2)求線段BC:DC的值；【分析