第十九講平行四邊形

第十九講平行四邊形禹城市華奧學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)組一、平行四邊形1.概念：兩組對(duì)邊分別_____的四邊形.2.性質(zhì)與判定平行基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)航性質(zhì)判定邊對(duì)邊___________(1)兩組對(duì)邊分別_____的四邊形(2)兩組對(duì)邊分別_____的四邊形(3)一組對(duì)邊___________的四邊形角對(duì)角_____兩組對(duì)角分別_____的四邊形對(duì)角線對(duì)角線_________對(duì)角線_________的四邊形平行且相等相等平行平行且相等相等相等互相平分互相平分二、三角形的中位線1.三角形的中位線的定義：連接三角形兩邊_____的線段叫做三角形的中位線.2.三角形的中位線的性質(zhì)：三角形的中位線_____于三角形的第三邊，且等于第三邊的_____.中點(diǎn)平行一半考點(diǎn)一：

平行四邊形的性質(zhì)

【例1】如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O且與AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：△AOE≌△COF.【自主解答】∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴AO=CO，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF.∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，【規(guī)律方法】平行四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用1.平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心.2.平行四邊形的每條對(duì)角線，把它分成兩個(gè)全等的三角形，兩條對(duì)角線把平行四邊形分成四組全等的三角形.3.在解決平行四邊形中的線段和角相等的問(wèn)題時(shí)，常利用其性質(zhì)證三角形全等來(lái)解決.注意：平行四邊形不一定是軸對(duì)稱圖形.【真題專練】1.(2014·河南中考)如圖，?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC.若AB=4，AC=6，則BD的長(zhǎng)是()A.8 B.9 C.10 D.11【解析】選C.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，OA=AC=×6=3，AB=4，由勾股定理，得OB=5，∴BD=2OB=2×5=10.2.(2014·福州中考)如圖，在?ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，則?ABCD的周長(zhǎng)是

.【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=6，AB=DC，AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC.又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC，∴∠DEC=∠EDC，∴EC=DC.∵AD=6，BE=2，∴EC=DC=4.∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2×(AD+DC)=20.答案：203.(2014·賀州中考)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的點(diǎn)，∠1=∠2.(1)求證：BE=DF.(2)求證：AF∥CE.【證明】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠5=∠3，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠4，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF.(2)由(1)得△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE.∠AEB=∠4，∠3=∠5，AB=CD，

考點(diǎn)二：平行四邊形的判定

【例2】如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.求證：(1)△AFD≌△CEB.(2)四邊形ABCD是平行四邊形.【自主解答】(1)∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF.又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB.(2)由(1)知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=CB，∴AD∥CB.∴四邊形ABCD是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形).【規(guī)律方法】平行四邊形的三種判定思路1.若已知一組對(duì)邊平行，可以證明這組對(duì)邊相等，或另一組對(duì)邊平行.2.若已知一組對(duì)邊相等，可以證明這組對(duì)邊平行，或另一組對(duì)邊相等.3.若已知條件與對(duì)角線有關(guān)，可以證明對(duì)角線互相平分.注意：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形.【真題專練】1.(2014·益陽(yáng)中考)如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能是()A.AE=CF B.BE=FDC.BF=DE D.∠1=∠2【解析】選A.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.若添加“AE=CF”，則判斷△ABE≌△CDF的方法是“SSA”，∴添加的條件不能是AE=CF.2.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AD∥BC，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：

，使四邊形ABCD為平行四邊形(不添加任何輔助線).【解析】可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，添加AD=BC；或根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，添加AB∥DC.答案：答案不唯一；AD=BC(或者AB∥DC)考點(diǎn)三：三角形的中位線

【例3】(2013·鞍山中考)如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，CD，BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是

.【解題探究】解答本題需要思考兩個(gè)問(wèn)題：(1)四邊形EFGH的邊長(zhǎng)分別是哪個(gè)三角形的中位線？提示：由E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，CD，BD的中點(diǎn)，得到EF，GH，EH，F(xiàn)G分別是△ABC，△BCD，△ABD，△ACD的中位線.(2)怎樣求BC的長(zhǎng)？提示：在Rt△BCD中，由勾股定理即可求出BC的長(zhǎng).【嘗試解答】∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°.在Rt△BCD中，BD=4，CD=3，∴.∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，CD，BD的中點(diǎn)，∴EF，GH，EH，F(xiàn)G分別是△ABC，△BCD，△ABD，△ACD的中位線.∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為EH+HG+GF+FE=AD+BC=6+5=11.答案：11【變式訓(xùn)練】例3中的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？并說(shuō)明理由.【解析】四邊形EFGH是平行四邊形.理由如下：∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，CD，BD的中點(diǎn)，∴EF，GH，EH，F(xiàn)G分別是△ABC，△BCD，△ABD，△ACD的中位線.∴EH∥AD，F(xiàn)G∥AD，∴EH∥FG.同理EF∥GH.∴四邊形EFGH是平行四邊形.【規(guī)律方法】三角形中位線的應(yīng)用1.已知三角形的中位線，求第三邊的長(zhǎng)或已知第三邊的長(zhǎng)求三角形的中位線的長(zhǎng).2.利用三角形的中位線可證明平行.3.三角形的三條中位線圍成的三角形與原三角形周長(zhǎng)的比為1∶2，面積的比為1∶4.4.已知圖形中線段的中點(diǎn)較多時(shí)，常考慮利用三角形中位線的性質(zhì)定理，確定線段間的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系.命題新視角平行四邊形的探索題

【例】(2013·萊蕪中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接DE.(1)證明DE∥CB.(2)探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形.【審題視點(diǎn)】創(chuàng)新點(diǎn)(1)DE∥CB是四邊形DCBE是平行四邊形的一個(gè)條件(2)先探索AC與AB的數(shù)量關(guān)系，再以得到的結(jié)論作條件，證明四邊形DCBE是平行四邊形切入點(diǎn)(1)由角的關(guān)系——∠EDC+∠DCB=180°，證明DE∥CB(2)逆向思維：若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∴∠DCB+∠B=180°.∵∠DCB=150°，∴∠B=30°.在Rt△ABC中，AC=AB【自主解答】(1)連接CE.∵點(diǎn)E為Rt△ACB的斜邊AB的中點(diǎn)，∴CE=AB=AE.∵△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，AD=CD.在△ADE與△CDE中，AD=DC，DE=DE，AE=CE，∴△ADE≌△CDE(S.S.S.)，∴∠ADE=∠CDE=30°.∵∠DCB=∠ACB+∠ACD=90°+60°=150°，∠CDE+∠DCB=180°，∴DE∥CB.(2)當(dāng)AC=AB時(shí)，四邊形DCBE是平行四邊形.理由如下：在Rt△ABC中，∵AC=AB，∴sinB=，∴∠B=30°.∵∠DCB=150°，∴∠DCB+∠B=180°.∴DC∥BE.由(1)知DE∥CB，∴四邊形DCBE是平行四邊形.【規(guī)律方法】逆向思維——執(zhí)果索因1.由結(jié)論探索條件.把結(jié)論當(dāng)作條件，通過(guò)推理得到結(jié)論成立的條件.這就是執(zhí)果索因.2.利用探索得到的條件，證明結(jié)論的正確性.綜合應(yīng)用：在?ABCD中，P是AB邊上的任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PE⊥AB，交AD于E，連接CE，CP，已知∠A＝60°.(1)若BC＝8，AB＝6，當(dāng)AP的長(zhǎng)為多少時(shí)，△CPE的面積最大，并求出面積的最大值；(2)試探究當(dāng)△CPE≌△CPB時(shí)，?ABCD的兩邊AB與BC應(yīng)滿足什么關(guān)系？解：(1)延長(zhǎng)PE交CD的延長(zhǎng)線于F，設(shè)AP＝x，△CPE的面積為y，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝8，∵Rt△APE，∠A＝60°，∴∠PEA＝30°，∴AE＝2x，PE＝3x，∵AB∥CD，PF⊥AB，∴PF⊥CD，在Rt△DEF中，∠DEF＝∠PEA＝30°，DE＝AD－AE＝8－2x，∴DF＝12DE＝4－x，F(xiàn)C＝DC＋DF＝10－x，∴S△CPE＝12PE·CF，即y＝12×3x×(10－x)＝－32x2＋53x，配方得：y＝－32(x－5)2＋2532，當(dāng)x＝5時(shí)，y有最大值2532，即AP的長(zhǎng)為5時(shí)，△CPE的面積最大，最大面積是2532

(2)當(dāng)△CPE≌△CPB時(shí)，有BC＝CE，∠B＝∠PEC＝120°，

∴∠CED＝180°－∠AEP－∠PEC＝30°，∵∠ADC＝120°，

∴∠ECD＝∠CED＝180°－120°－30°＝30°，∴DE＝CD，即△ED