2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（附答案解析）

2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一.選擇題（共8小題）

1.（2021秋?湖北期中）若/（x）=ex?bιx,則/（x）的切線的傾斜角α滿足（）

A.一定為銳角B.一定為鈍角C.可能為直角D.可能為0°

2.（2021秋?運城期末）已知f(x)=sin則/(X)=()

A.cos%B.-cosxC.sinxD.-sirυc

3.（2021秋?新化縣期末）若函數(shù)∕G）,g（X）滿足/（x）+xg（x）=x2-1,且/(1)

則/（1）+g,（1）=（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2021秋?懷仁市校級期末）已知/（x）=CoS2x+e汽則/（χ）=()

A.-2sin2x+2e2τB.sin2x+e2γ

C.2sin2x+2e2vD.-sin2%÷βlv

5.（2021春?番禺區(qū)校級期中）函數(shù)y=cos（l+x2）的導(dǎo)數(shù)是（)

A.2xsin(l÷x2)B.-sin(l÷x2)

C.-2XSin(l+x2)D.2cos(l+x2)

6.（2020?南充模擬）設(shè)α∈R,函數(shù)/（x）=爐+〃?/”的導(dǎo)函數(shù)是/（x）,且，（x）是奇

函數(shù).若曲線y=/（%）的一條切線的斜率是3,則切點的橫坐標(biāo)為（）

2

A.In2B.-ln2C.ln2D.~ln2

22

7.（2019春?南開區(qū)校級期中）下列式子不正確的是（）

A.（3X2+COSX）,=6;V-SinX

B.Clnx-2x）'=l--2x∣n2

X

C.（2sin2x）'=2cos2r

D（sinx）,=XCoSX-SinX

xXX2

8.（2015春?鄭州期末）若函數(shù)/（x）=/sin2x+sinx，則，G）是（）

A.僅有最小值的奇函數(shù)

B.僅有最大值的偶函數(shù)

C.既有最大值又有最小值的偶函數(shù)

第1頁（共12頁）

D.非奇非偶函數(shù)

二.填空題(共4小題)

9.(2021秋?三明期末)函數(shù)/(x)=x∕"x的導(dǎo)函數(shù)/(x)=.

10.(2021秋?紅橋區(qū)期末)函數(shù)/(x)=ax3+3x2+2,若，(-1)=6,則a的值等于

11.(2021秋?涇陽縣期中)若函數(shù)f(χ)=_?—,則f，(工)=.

12.(2021春?運城期中)已知函數(shù)/(x)=e2xM(0)In(x+2),則/(0)=

三.解答題(共4小題)

13.(2021春?武功縣期中)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=3χ2+χcos;

⑵y^Vχ-sin^∣^cos^^+ex'

14.(2021春?金臺區(qū)期中)求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：

(1)y=excosx-r2(f為常數(shù))：

(2)y=l∏(4X+5)*.

X

15.(2021?海原縣校級二模)設(shè)/(x)=Inx,g(x)=/(x)+fl(x).

(1)求g(X)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

(2)討論g(X)與g(?)的大小關(guān)系.

X

16.(2020春?河南期末)已知函數(shù)/(x)—sinx+cosXj

Sinx-Cosx

(I)若/(x)=3,求tanx；

(H)證明：/(X)=—2——

sin2x-l

第2頁(共12頁)

2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

1.(2021秋?湖北期中)若/(x)=ex?bvc,則/(x)的切線的傾斜角α滿足()

A.一定為銳角B.一定為鈍角C.可能為直角D.可能為0°

【考點】導(dǎo)數(shù)及其幾何意義.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，為此引入新函數(shù)(部分函數(shù))，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)

性極值后得正負(fù)，從而得出結(jié)論.

【解答】解：:/CO=∕?∕NX,(X>O)

??//X_x,ex_ex(xlnx+l)

??f(X)=e1Inx+—=------------------,

XX

設(shè)g(X)=XbvC+1,則g'(x)=歷工+1,

當(dāng)OVXV工時，g,(x)<0,g(x)遞減，當(dāng)寸，g,(x)>0,g(x)遞增，

ee

而g(?i)=—∣rr^+∣=?-?>Q,所以x>0時?，g(x)》gd)〉0,所以，(X)

eeeee

>0,

切線斜率均為正數(shù)，傾斜角為銳角.

故選：A.

【點評】切線的斜率等于導(dǎo)數(shù)在該點的值，求傾斜角的范圍就是求切線斜率的范圍，屬

于基礎(chǔ)題.

2.(2021秋?運城期末)已知f(χ)=sin4-X)，則，(X)=()

A.CosxB.-CoSXC.SinXD.-SinX

【考點】導(dǎo)數(shù)的運算.

【專題】函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】先化簡/(X),然后由常見函數(shù)的求導(dǎo)公式求解即可.

【解答】解：因為f(X)=sin—X)=cosx,

則，(x)=-sinx.

第3頁(共12頁)

故選：D.

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的理解與應(yīng)用，要掌握常見函數(shù)的

求導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2021秋?新化縣期末)若函數(shù)/(x),g(x)滿足/(x)+xg(x)-X2-1,且/⑴=1,

則/⑴+g'⑴=()

A.1B.2C.3D.4

【考點】導(dǎo)數(shù)的運算.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)f(l)=1即可求出g(1)=-1,然后對函數(shù)/(x)+xg(x)=χ2-1求

導(dǎo)即可得出，(x)+g(x)+xg'(x)=2x,然后即可求出/⑴+g'⑴的值.

【解答】解：：/(1)=1,.V(I)+g(1)=0,g(1)=-1,

V/(x)+xg(x)-X2-1.:.f(X)+g(x)+xg'(X)—2x,

：.f(1)+g(1)+g,(1)=2,

：.f(1)+g'⑴=2-(-1)=3.

故選：C.

【點評】本題考查了已知函數(shù)求值的方法，基本初等函數(shù)和積的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，考查

了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2021秋?懷仁市校級期末)已知/(x)=cos2x+e2v,則/(x)=()

A.-2sinZv+2e2xB.sin2x+e2x

C.2sin2x+2e2xD.-Sin2x+e2x

【考點】導(dǎo)數(shù)的運算.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)即可.

【解答】解：V/(x)=COS2x+e2?v,

：./(x)=-2sin2x+2e2v.

故選：A.

【點評】本題考查了基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

5.(2021春?番禺區(qū)校級期中)函數(shù)y=cos(l+x2)的導(dǎo)數(shù)是()

第4頁(共12頁)

A.2xsin(l+x2)B.-sin(l+x2)

C.-2xsin(?+x2)D.2cos(l+x2)

【考點】簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【專題】計算題.

【分析】因為函數(shù)y=cos(l+x2)為復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出函數(shù)y=cos

(l+x2)的導(dǎo)數(shù).

【解答】解：y'=~sin(l+x2)?(l+x2)'=-2xsin(1+x2)

故選：C.

【點評】求一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，應(yīng)該先判斷出函數(shù)的形式，然后選擇合適的導(dǎo)數(shù)運算法

則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求值.

6.(2020?南充模擬)設(shè)αCR,函數(shù)/(x)=/+0*/*的導(dǎo)函數(shù)是.廣(x),且/(x)是奇

函數(shù).若曲線y=/(X)的一條切線的斜率是?∣,則切點的橫坐標(biāo)為()

A.InlB.-InlC.1^-D.-In2

22

【考點】簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【專題】壓軸題.

【分析】已知切線的斜率，要求切點的橫坐標(biāo)必須先求出切線的方程，我們可從奇函數(shù)

入手求出切線的方程.

【解答】解：對/(x)=er+α?e'求導(dǎo)得

/(x)=ex-ae'x

又/(X)是奇函數(shù)，故

f(0)=1-a=0

解得a=?,

故有，(?)="--匕

設(shè)切點為(Xo,yo)，

xx

則f'(x0)=e°-e^°^

得e*o=2或/°=-衣(舍去)，

zT導(dǎo)XO=/〃2.

故選：A.

第5頁(共12頁)

【點評】熟悉奇函數(shù)的性質(zhì)是求解此題的關(guān)鍵，奇函數(shù)定義域若包含x=0,則一定過原

點.

7.（2019春?南開區(qū)校級期中）下列式子不正確的是（）

A.(3X2÷COSX)'=6X-SiIIX

x

B.Unχ-2)'=2一2*/"2

X

C.(2sin2x),=2cos2x

D.(sinx)r—xcosx-sinx

2

X

【考點】簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【專題】計算題.

【分析】觀察四個選項，是四個復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的問題，故依據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的法則依次

對四個選項的正誤進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

對于選項Z,(3X2÷COSX)'=6x-SinJV成立，故A正確

對于選項B,（InX-2，'』-2.n2成立，故B正確

X

對于選項C,(2sin2x)'=4cos2x≠2cos2x,故C不正確

對于選項D,(SinX),XCoSX-SinX成立，故。正確

XX2

故選：C.

【點評】本題考查了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，求解中要特別注意復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

（2sin2x）,=2cos2x?（2x）'=4cos2x,對函數(shù)的求導(dǎo)法則要求熟練記憶，本題屬于基

礎(chǔ)題.

8.（2015春?鄭州期末）若函數(shù)/（x）—ygi∏2χ+sinx,則/（X）是（）

A.僅有最小值的奇函數(shù)

B.僅有最大值的偶函數(shù)

C.既有最大值又有最小值的偶函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)

【考點】簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

【分析】先求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型的函數(shù)并利用三角函數(shù)的單調(diào)性求其最值，再利用

第6頁（共12頁）

函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷其奇偶性即可.

【解答】解：函數(shù)./(χ)~-^^sin2x+sinx,

".f(x)=cos2x+cosx=2cos2χ+cosχ-l=2(cosx+~^)2-^-'?cosx->f(X)

取得最小值.?;當(dāng)coax=1時，/(X)取得最大值2.

8

且/(-X)=/(X).即/(X)是既有最大值，又有最小值的偶函數(shù).

故選：C.

【點評】熟練掌握復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)型的函數(shù)的最值、三角函數(shù)的單調(diào)性及函

數(shù)的奇偶性是解題的關(guān)鍵.

二.填空題(共4小題)

9.(2021秋?三明期末)函數(shù)/(x)=x/〃x的導(dǎo)函數(shù)，(x)=2x+l.

【考點】導(dǎo)數(shù)的運算.

【專題】計算題；函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則計算即可

【解答】解：f(X)=(X)'lnx+x(歷X)'-Inx+1,

故答案為：lnx+\

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題

10.(2021秋?紅橋區(qū)期末)函數(shù)/(x)=ax3+3x2+2,若，(-1)=6,則α的值等于

4.

【考點】導(dǎo)數(shù)的運算.

【專題】計算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題意，對函數(shù)/G)求導(dǎo)可得/(X)=3辦2+6x,令X=-I可得/(-1)

=3<∕-6=6,解可得α的值，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，/(x)-ax3+3x2+2,

f(x)-3ax2+6x,

若/(-1)=6,

則有/'(-1)—3a-6—6,解可得α=4

故答案為：4.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，關(guān)鍵掌握導(dǎo)數(shù)的計算公式.

第7頁(共12頁)

2√3

11.(2021秋?涇陽縣期中)若函數(shù)f(X)=_?—,貝Uf，(—)=—■

?'X'2+cosx?'3'~25^

【考點】導(dǎo)數(shù)的運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算法則，即可求解.

【解答】解：?.?f(x)=~?—,

2+cosx

???f，(X)=-力IX2'

(2+cosx)

√3

.Ix.2,2√3

C/'W"-

故答案為：2√3

25

【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算法則，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2021春?運城期中)已知函數(shù)/(x)=e2x+f(0)In(x+2),則，(0)=4.

【考點】導(dǎo)數(shù)的運算.

【專題】計算題；方程思想；演繹法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】求出/(x),令x=0,列方程求解.

【解答】解：/(x)=2e%"(；),令x=0,得/(0)=2+1『),解得/(0)

=4.

故答案為：4.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的公式，屬于基礎(chǔ)題.

三.解答題(共4小題)

13.(2021春?武功縣期中)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=3x2+xcosx;

(2)y=Vx-si∏^∣^cos^^+eX;

【考點】導(dǎo)數(shù)的運算.

【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則直接求導(dǎo).

第8頁(共12頁)

【解答】解：(l)y'=(3X2),+(xco&r),=6x+x,cosx+x(cosx)'=6x+cosx-xsinx；

(2)"Y^Vx蔣SinX+ex,

_]]-X.

??yFHCOSX-巳'

??_125_1_-2L-3

(3)?y=-一2^+~T=X^2x+5X,

xX'X,

=-X'2-2×(-2)X*3+5×(-3)x^4=

234

XXX

【點評】本題考查求導(dǎo)，先化簡再求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2021春?金臺區(qū)期中)求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù):

(1)y=excosx-t2(E為常數(shù))；

(2)y=ln(4x÷5)°÷???X,

X

【考點】導(dǎo)數(shù)的運算.

【專題】函數(shù)思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】直接利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，四則運算的導(dǎo)數(shù)公式，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式求

解即可.

【解答】解：(1)y'=excosx-exsixυc=ex(CoSX-Sinx)；

12I-Inx

(2)y=------十一—.

4x+5X2

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算，主要考查了常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，四則運算的導(dǎo)數(shù)公

式，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.(2021?海原縣校級二模)設(shè)/(x)=Inx,g(x)=/(x)+f(X).

(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

(2)討論g(x)與g(?)的大小關(guān)系.

X

【考點】導(dǎo)數(shù)的運算.

【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性極值最值即可得出.

(2)令/;(x)=g(x)-g(-L)=2∕"x+~k-X(x>0).UJ得h'(x)=—(X1)—≤0>

X'X/

函數(shù)人(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.由于/?(1)=0,即可得出大小關(guān)系.

第9頁(共12頁)

【解答】解：(I)f'(X)=L(X>0).

X

:?g(x)=Inx+-(x>0).

令g'(X)=0,解得X=L

當(dāng)OVXVl時，g,(χ)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)IVX時，g,(x)>0,函數(shù)g

(%)單調(diào)遞增.

???當(dāng)x=l時，函數(shù)g(x)取得極小值即最小值，g(1)=1.

綜上可得：函數(shù)g(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)；函數(shù)g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+8),

最小值為1?

(2)g(x)(X>0),gd^)=-仇x+x.