2023年高考數(shù)學理一輪復習教學案第4章4-2同角三角函數(shù)基本關系式及誘導公式

4.2同角三角函數(shù)基本關系式及誘導公式

【考試要求】

1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式sin2α+cos2a=l,曰氏=tanα.

2.掌握誘導公式，并會簡單應用.

【知識梳理】

1.同角三角函數(shù)的基本關系

(1)平方關系：si∏2τ+cos%=1.

(2)商數(shù)關系：~^^=tan(rzfα≠τ+?π,?∈z?

ɑosCtX

2.三角函數(shù)的誘導公式

公式一二三四五六

ππ,

角2?π+cc(fc∈Z)π+ct—aπ-a2-a2+ot

正弦sina一sina一sinasinaCOSaCoSa

余弦cosa一cosaCoSa一cosaSina一sina

予

正切tanatana~tana一tana

口訣奇變偶不變，符號看象限

【常用結論】

同角三角函數(shù)的基本關系式的常見變形

sin2a=1—cos2?=(1÷cosa)(l—cosct)；

cos2α=1—sin2a=(I+sina)(1—sina)；

(sina+cosa)2=l±2sinacosa.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打''J"或“X”)

(1)若a,夕為銳角，則Sin%+cos?夕=1.(X)

Sina

(2)若a∈R,則tana=2------恒成立.(×)

(3)sin(7τ+a)=-sina成立的條件是a為銳角?(×)

(4)若Sin(T-a)=；,則cosa=-1.(√)

【教材題改編】

I.已知a是第二象限角，sina=乎，則COSa的值為

2√5

答案

5

解析Vsin?=5?［是第二象限角，

.?.cosa=-√1-Sin2a=一唔

2.已知普親*?=—5,那么tana的值為________.

3sιna÷5cosa

答案-ft

SinCI—9cn?Cl

解析由T區(qū)差區(qū)—-5,知COSar0,等式左邊分子、分母同時除以CoSa,

3smQ十5cosa

__.tana—2L&23

可/付s荻K=-5,解付tana=一記.

3.?sin(tt—π)?cos(2π—。)的結果為

答案一sida

角窣析原式=］：:'(—sinG>COSa

Sin%.

題型一同角三角函數(shù)基本關系

例1(1)己知cosa=一專，則??sina÷5tana=.

答案0

角翠析Vcosa=—^<0且COSa≠—1,

???。是第二或第三象限角.

①若a是第二象限角，

13×∣∣+5×(-y)=0.

此時13Sina+5tana=

②若a是第三象限角,

12

13,

_12

sina1312

cosa55

~^Γ3

此時，13Sin<x÷5tana=13X(—^βJ+5X"^^=0.

綜上，13Sinα+5tanQ=0.

(2)已知tana=g,則"n"?<°s"=.si/a+sinctcosa+2=

2SIna十CoSa---------

答案-IT

解析已知tanα=1,

rSiriα-3cosaIana-35

sinα+cosatana+13,

sin2α÷sinacos1+2

sirPa+sinαcosɑ`

sin2ct÷cos2a

tan%+tana

2

tan2ɑ÷1

7

(3)已知sin/9+cos。=記，^≡(0,π),則tanθ=.

12

答案-?

760

解析由sin0÷cos。=行,得sin<9cos。=一^

因為8∈(0,π),所以Sin分O,cosθ<0,

所以sin0—cosθ=y∣1—2Sin6cos==近，

sin9+cos0=E，

解得

sin?！猚os。=，

所以tan，=-5.

【教師備選】

1.(2022?平頂山聯(lián)考)已知普士至絲2=5,則cos2α+Jsin2ɑ等于()

3cosɑ-sinaZ

-33

AqB?-5

C.-3D.3

答案A

AnLLsina+3cosaEtana+3

解析由1^--------=5,得「一=5,

3cosa-sinα3—tana

可得tanα=2,

則cos2α÷^sin2α=cos2ot÷sinacosa

cos2α+sinacosa1+tanα

cos2cc+sin2a1+tan2a

=3

=亍

∣2

2.若αW(0,π),sin(π-α)÷cosα=?,則Sina—cosα的值為()

答案C

解析由誘導公式得

.,,,,,也

SIn(TI-Q)十COSQ=SlnQ十COSa二?,

所以(Sinα+cosa)2=1+2sinacosa=§,

7

貝IJ2sinacosa=—ξ<0,

因為α∈(0,π),所以Sina>0,

所以cos6(<0,所以sina—cosa>0,

因為(Sina—cosa)2=1—2sinctcos

4

所以sina—cosɑ??.

思維升華(1)應用公式時注意方程思想的應用：對于Sina+cosa,sinacosa9sin?—cosa

這三個式子，利用(Sina÷cosa)2=l÷2sinacosa,可以知一求二.

(2)注意公式逆用及變形應用：1=sin2a+cos2α,sin2a=1—cos2a,cos?=1—sin?.

跟蹤訓練I（1）（2021?新高考全國I）若tan。-2,則需iJ等于（）

6226

----C-D-

A.5B.555

答案C

解析方法一因為tan。=-2,

所以角。的終邊在第二或第四象限,

sin，

所以j1或

2-忑

斤Sin。(1+sin2Θ)SinO(Sin8+cosOy

sin9+cosθsin9+cosθ

=sin/sin0+cosθ)

=Sin2。+sin0cosθ

_4_2_2

=5-5=5-

方法二(弦化切法)因為tan。=—2,

Sin8(1+Sin2。)

所以Sine+cos0

SinQsin夕+cos史

sin0÷cosθ

=sin6(sin9+cosθ)

Sin汨+Silr6cosΘ

Sin2。+CoS2。

_taMe+tan0_4-2_2

=l+tan20=T+4=5,

(2)已知α是三角形的內(nèi)角，且tana=—g,則Sina+cosa的值為

答案-邛

解析由tana=—g,得Sina=-geosa,

將其代入sin2a+cos2a=1,得與COS2Q=1,

9

所以cos2ct=Ye，易知CoSa<0,

濟N對也.遮

所以COSa=-?θ,sina=?ɑ,

故Sina+cosα=一邛.

題型二誘導公式

例2⑴已知sin（α-：）=；,則CoSe+α）的值為（

)

人萼B.—平

c3d--3

答案D

解析COSe+α）=CoS

=-sin（α-ξ）=-∣.

延伸探究本例⑴改為已知。是第二象限角，且SinM+：）=*則tan（。一：）

3

答案I

解析?.?e是第二象限角，且Sin（j+*,,

??.e+:為第二象限角，

.,.cos(6+：)=一|,

/、Sin(8一日)

π

?.?ta(nngl/=I匕4π√?

COSu-IJ

sin[(嗚)號

CoSj(O+泊-

5

tan(π-α)cos(2π-ɑ)sinl~~a

(2)_3(_0_心皿_兀_團的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

答案B

—tana?cosα?(-cosa)

解析原式=

cos(π+?)?[—sin(π+α)J

tani?cos2(?

—cosɑ-sina

SinaCOSa

cosasina

【備選】

1.已知函數(shù)4x）="L2+2（a>0且a#l）的圖象過定點尸，且角α的始邊與X軸的正半軸重合,

α)Sin0+α)+Sin2a

cos∣

終邊過點P，則一于（)

COS(T+ttJs?n(-π-α)

22

?-?β?-3

「33

C，2D.—2

答案B

解析易知函數(shù)./U）=OVP+2（α>0且QWl）的圖象過定點P（2,3）,

故tanα=∣,

(華-Jsin仔+α)+sin2a

cos∣

則一

Cc>s0+ccjsin(-π-a)

÷sin2a

一sinαcosα+2sinαcos-

—sin?sina

COSa

sina

__1__2

tana3*

2.若sin%=3sin(χ-則cos*cosQ+§等于()

A33

?-?ob?-io

3

D.

c?∣4

答案A

解析易知SinX=-3COSjG

所以IanX=-3,

所以cosXCOSG+為

—sinxcosX

=FinXc。SX=Sin人+cosA

-tanX__3

tan2x÷110,

思維升華(1)誘導公式的兩個應用

①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了；

②化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

(2)誘導公式的應用步驟

任意負角的三南函數(shù)利用莖公毛任意正角的三角函數(shù)刊用承導公式二0~2π內(nèi)的南的三南函數(shù)

二雙一

利用誘導公式三

銳角三角函數(shù).

或四或五或六

跟蹤訓練2⑴已知cos(75t5+α)=/求COS(Io5t5-a)+sin(15tj-α)=,

答案0

解析因為(105。-α)+(750+α)=18(Γ,

(15°—α)+(α+75°)=90°,

所以cos(105o-α)=cos[1800-(75o+Ct)]

=-cos(75o+ct)

=一7

sin(15o-α)=sin[90o-(α+75o)]

=cos(75o+α)=∣.

所以cos(105o-α)+sin(15o-a)=—2+^=0.

Sin(―3π+a)+cos(a-π)

(2)(2022?鹽城南陽中學月考)設tan(5π+ct)=2,則,

(Q-^^π)+Sin軟+a)

Cosl

答案3

解析由已知tan(5π÷α)=tanα=2,

Sin(-3兀+α)+CoS(α一π)

，U、

COSl

sin(兀+α)+cos(兀一α)

α+?+Sinπe+0

COS,2

—sina-cosa

—sin÷cosa

sintt+cosa

sina-cosa

tana+1

tana—\?'

題型三同角三角函數(shù)基本關系式和誘導公式的綜合應用

sin(α—3兀)cos(2τι—α)sin∣~a

例3已知人㈤=

cos(一兀一α)sin(~π~d)

⑴化簡加）;

31π

右求人幻的值;

(2)a=3，

cos(-α-∣3π~

⑶若=5'a∈兀，~2_，求1α）的值.

sin(α—3π)cos(2π—α)sin∣—?

解dW=cos(—π-α)sin(-π-?)

-sinα><cosa><(-cosα)

—cos<z×sina

=-cosa.

31π

⑵若Q

3,

則述0:）=_以出（一半）

π

=-cos

32,

(3)由cos^-ct-^)=∣,

可得sina=—

5,

因為α∈[π,y^∣,

2√6

所以cosa

5,

所以j(a)=—cosa=^^^.

【備選】

2sin(π+α)cos(π~a)~cos(π+a).一八、

設式α)=------------------訪―?-------而―T(l+2smct≠O).

1+sin2α+cos(?+ct)—sin2l?÷?)

⑴化簡∕α);

(2)若。=一等23π，求大㈤的值.

(一2Sina)?(-cosa)-(-cosα)

a1+sin2α+sina-cos2ct

2sinacosa+cosa

2sin2ct÷sina

Cc)Sa(2sina+1)

sina(2sina+1)

cosa1

sinatana

(2)當α=一答時,

Ka)=J(T卜

(23πλ

tanr^τJ

_1

tan(-4π+季

??v?,

tan6當

思維升華(1)利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間

的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形.

(2)注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響.

跟蹤訓練3(1)(2022?聊城模擬)已知α為銳角，且2tan(π—α)-3cos∣S+力+5=0,tan(τc+a)

+6sin(π+?)-1=0,則sina的值是()

A嫗h/Z「皿l

A.5mR7JIOnu?3

答案C

3sin4一2tana÷5=0,

解析由已知得，

tan?—6sinβ-1=0.

消去SinA得tanα=3,

.*.sina=3cosa,代入sin2α÷cos2a=1,

93∕Tθ

化簡得si/ɑ=而，則Sina=rλe一(ɑ為銳角).

,sin2r+2sin*?χ

(2)已知一π<x<O,sin(π÷x)-cosx=—?,則1tLtanX=

答案-?24

解析由已知，得SinX+cosX=上,

兩邊平方得sin?+2sinxcosΛ÷COS2X=^,

整理得2sinXCosX=一焉.

Λ(sinχ-cosx)2=1—2sinXCoS工=芯，

由-π<%<0知,sinx<0,

r.12八

又sinXCosX=—石<0,

cosx>0,.?sinχ-cosΛ<0,

故sinχ-cosx=-7.

.SiS2x+2Sin2χ2sisn(cosx+sisx)

,e1—tanx.?sinx

COSX

2sinXCOSMCoSx+sinx)

cosχ-sinx

-24χl

25524

-7-Γ75?

5

課時精練

1.CoS（一號θ等于（）

1

AB

√3一

.2?一2

1

√23

C_D

2

C

宵

案

解

析/

(--COS

COS\19π3193

=COS(6兀+W匹—L

3=2,

2.若CoSI65°=。，貝Utan1950等于（）

RylLa2

Ay1一序D.

a

a

D.

7]一屋

答案C

解析若cos165。=〃，

則cos150=COS（1800-1650）

=-cos165°=—α

sin15O=Λ∕1-?2,

所以tan195o=tan（180o+l5o）

Sin15?！蘬-tz2

=tan15°=,

cos15°a

3.若CoS（a-^）=得，則Sin借一a）等于（）

512

A???d?13

C星

e,13D13

答案D

7itππ

解析因為一

15a+L52,

所以普一a=；一

所以sin

4.（2022?天津西青區(qū)模擬）已知SinQ+cosa=-g,貝IJtana+9《等于（）

A.2B.^C.~2D.一；

答案A

解析由已知得1÷2sinGCOSa=2,

Λsinacosa=∣,

SinaCOSa

.*.tana

cosasina

sin?÷cos?1

=----------------=-=2

sinacosa?^

2

5.在AABC中，下列結論不正確的是（）

A.Sin（A+8）=SinC

.B+CA

B.sin-2-=CoSg

C.tan(A÷B)=-tanc(c≠S

D.cos(Λ+B)=cosC

答案D

解析在AABC中，有A+8+C=兀,

則Sin(A+3)=sin(7Γ-C)=sinC9A正確.

B+C(πA?A

sin-?-=sin(1-5J=cos5,B正確.

tan(A+θ)=tan(π-Q=—tanC正確.

COS(A+5)=CoS(π-C)=-cosC9D錯誤.

6.已知a￡(0,π),且Sina+cosα=/給出下列結論:

Φ^<α<π;

12

②Sinacosa——病

③COSa=|；

@cos?—sina=--^.

其中所有正確結論的序號是（)

A.①②?B.②?@

C.①②③D.①③④

答案A

解析Vsinɑ+cosa=g,

等式兩邊平方得

1

(sina+cosQ)2=1+2sinacos?=25,

12

解得sinacosa=-故②正確;

12

Vα∈(0,π),SinaCoSa=-石<0,

??αe(2，兀),

.*.cosα<0,故①正確，③錯誤;

cosa—sina<0,

且(COSa-sina)2=1-2sinacosa

49

=l-2×

(導25,

7

解得cosa—sina=—?,故④正確.

7.coslo+cos2o+cos3oH------Fcos177o÷cos178o+cos179°=.

答案O

解析因為CoS(180。-Ct)=-CoSa,于是得

cosl°÷cos2o÷cos3oH------Fcos89o÷cos90o+cos91oH------Fcos177o÷cos178°÷cos179°

=CoSlo÷cos2o÷cos3o÷???÷cos890÷cos90o-cos89o-cos3o-cos2o-cosI0

22

,r.八2cos0+sin0+cosθ~3

解析.型)=2+2c。S

co/e+cos6—2

2cos20÷cosθ+29

又COS手

π1

=cos2=2?

ll-

4+225

-

1.1,0≈^12?

2+2+2

9.(1)已知cosa是方程3x2—%—2=0的根，且a是第三象限角求

(-a+?)eos^?+a^tan2(π一?)

sinl

的值.

2

解??方程3x2-x-2=0的根為XI=1,Xi=—?,

由題知Ce)Sa=—?,

..亞+亞

..sιna——?,tana—?

.-4—cosasinatan』。

??原.

—sinacosa

25

=tan2α=^.

7

(2)已知sinx÷cosx=—y^(0<x<π),求COSX—2Sin尤的值.

7

角星,**sinx+cosx=一石(O<x<π),

/.cosx<0,sinx>0,即Sinx—cosx>0,

7

把sinx÷cosx=—j?,

49

兩邊平方得1+2SinXCoSX=

-.120

即pjπ2sιnxcosx=~~~?βgy

?/.?.289

..(sinχ-cosxλr2=1_2sιnxcosX=Y

PJn.17

即sinχ-cosx=y^,

sinx+cosx=—丘

17

sinx—cosx=丘

日?512

解付SInX=百，cosx=-??,

22

/.cosχ-2sinx=—

10.(2022?衡水模擬)已知角a的終邊經(jīng)過點P(3m,—6m)(w≠0).

sin(α+π)+cos(α-π)

⑴求(?n?(叫的值；

SIn(G(十N十2cos(α-5)

⑵若a是第二象限角，求sin{α+義θ+sin(兀一α)?cosa—cos(]+α)的值.

解(I)YmHO,Λcosa≠0,

即sin(a+ττ)+cos(a-7τ)

sin(a+§+2COS

—sina-cosa

cosa÷2sina

—tana-1

1÷2tana'

又丁角a的終邊經(jīng)過點P(3m,-6∕n)(∕n≠0)f

—67n

tana=3〃？=一2,

sin（α+兀）+cos（α一兀）

故?

sin(α+'

—tang—1

1+2tana

2-1__J

=l+2X(-2)="-3,

(2)?；a是第二象限角，

—6tn

則sina=

7(3/)2+(—6〃?)2

—&n

3√5lwl

2√5

5，

3m

cosC=/-----C丁

y∣(3m)12+(-6〃?)2

3m

-3√5∣∕n∣

=_亞

5，

.`si/(ɑ+:)÷sin(π-α)cosa—cos^÷α

=cos2α÷sinctcos?+sina

=(T)2+羋X(弋+羋

_一1+2小

5.

11.已知角a滿足sinα?cosa≠0,則表達式嗎乎^+嚶工㈣伏《Z）的取值可能為（）

θli?（ALUb（A

A.-2或0B.-1或1

C.2或一2D.-2或2或0

答案C

—sinCLa

解析當火為奇數(shù)時，原式=肅9=(-1)+(-1)=-2;

cosa

COSa

當％為偶數(shù)時，原式=需1+1=2.

cosa

???原表達式的取值可能為-2或2.

12.（2022?河北六校聯(lián)考）若Sina是方程5x2—3*77Λ-6=0的根,則

3π

等于()

Cosllsin(π÷α)

-3「5>5

A.gB.QC.gDa

答案B

解析方程5Λ2-7χ-6=0的兩根為

3E3

Xi=-?,%2=2,則Sina=一亍

卡COSa(-cosα)taι?15

sina(-sin?)(—sin?)sina3,

13.曲線尸。葉/一?∣χ在X=O處的切線的傾斜角為?,則sin(2a+§=

4

答案5

2

解析由題意得y'=fα）=ev+2χ-亨

21

所以/(°)=e°_]=,

所以tan?=1,

所以α∈(θ,

3

所以