2023年廣東省佛山市高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2023年廣東省佛山市高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.(5分)己知集合A={xCN∣x2-3x+4<0},B={x∈N∣-l<x≤2},則AUB=()

A.0B.(-1,4)C.{1,2}D.{0,1,2)

2.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足(l+i)2z=5-2i,則Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.(5分)己知單位向量b滿足二6=0,若向量K=Z+√5b,則CoSG，c)=()

√31√31

A.—B.-C.—D.-

2244

4.(5分)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{〃”}的前n項和為Sn,“244=9,954=1052,則a2+a4

的值為()

A.30B.10C.9D.6

5.(5分)已知雙曲線C的中心位于坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且虛軸比實軸長.若直線

4x+3y-20=0與C的一條漸近線垂直，則C的離心率為()

5457

A.一B.一C.—D.—

4334

6.(5分)已知事件A,B,C的概率均不為0,則P(A)=P(B)的充要條件是()

A.P(AUB)=P(A)+P(B)B.P(AUC)=P(BUC)

C.P(AB)=P(ABy)D.P(AC)=P(BC)

7.(5分)已知球O的直徑SC=2,A,B是球0的球面上兩點，SC=乙BSC=?ASB=≡,

則三棱錐S-ABC的體積為()

√2√2√2.

A.—B.—C.—D.√r2

632

logax,0<x<i

2(〃>0且0≠l),若對任意x>0,/(x)≥

(a~x,X≥2

X2,則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,e^ηB.[?,e^∣]C.(0,e~ηD.喘,e-η

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

（多選）9.（5分）中國共產(chǎn)黨全國代表大會的報告中，一組組數(shù)據(jù)折射出新時代

十年的非凡成就，數(shù)字的背后是無數(shù)的付出，更是開啟新征程的希望首場新聞

發(fā)布會指出近十年我國居民生活水平進(jìn)一步提高，其中2017年全國居民恩格爾系數(shù)為

29.39%,這是歷史上中國恩格爾系數(shù)首次跌破30%.恩格爾系數(shù)是由德國統(tǒng)計學(xué)家恩斯

特?恩格爾提出的，計算公式是“恩格爾系數(shù)=等善光？X100%”.恩格爾系數(shù)是國

總支出金額

際上通用的衡量居民生活水平高低的一項重要指標(biāo)，一般隨居民家庭收入和生活水平的

提高而下降,恩格爾系數(shù)達(dá)60%以上為貧困,50%~60%為溫飽,40%~50%為小康,30%~

40%為富裕，低于30%為最富裕.如圖是近十年我國農(nóng)村與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線

圖，由圖可知（）

→-農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)（％）-B-城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)（%）

36F^^1------------------------------------------------------------------------------------

35—---------------------------------------------------------------------------------------

34---------:1?=τ---------------------------------------------------------------------------

31

30

29

28

27

2012201320142015201620172018201920202021

A.城鎮(zhèn)居民2015年開始進(jìn)入“最富裕”水平

B.農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于32%

C.城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45百分位數(shù)高于29%

D.全國居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)

（多選）10.（5分）設(shè)單位圓。與X軸的左、右交點分別為A、B,直線/：xcosθ-ysinθ+l

=0（其中O<θ<τt）分別與直線元+1=0、X-I=O交于C、。兩點，貝IJ（）

A.O=竽時，/的傾斜角為，

B.?θ∈（0,π）,點A、B到/的距離之和為定值

C.3θ∈（0,ττ）,使/與圓。無公共點

D.?θ∈（0,n）,恒有OCJ

（多選）11.（5分）若正實數(shù)X,y滿足XFr=y（1+阿y）,則下列不等式中可能成立的是

()

A.l<x<yB.l<y<xC.XVy<1D.y<x<?

（多選）12.（5分）如圖，在正方體ABC。-AIBICI囪中，點M是棱。。上的動點（不含

A.過點M有且僅有一條直線與48,BCl都垂直

B.有且僅有一個點例到A8,BICI的距離相等

C.過點M有且僅有一條直線與ACi,8劭都相交

D.有且僅有一個點M滿足平面MAeI，平面MBBi

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）在（五一96展開式中常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）

14.（5分）已知函數(shù)/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe（-8,0）時，/（χ）=2?-

3x+l,則/⑶=.

15.（5分）拋物線C：y2=8x的焦點為F,準(zhǔn)線為/,M是C上的一點，點N在/上，若

FMLFN,且IMFl=I0,則WFI=.

16.（5分）已知函數(shù)/（x）=Sin（ωx+φ）（其中ω>0,?φ?<^）?7為/（%）的最小正周

期，且滿足/《7）=/87）?若函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,π）上恰有2個極值點，則3的

取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）佛山新城文化中心是佛山地標(biāo)性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最簡單

的方塊體作為核心要素，與佛山世紀(jì)蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應(yīng).坊

塔是文化中心的標(biāo)志性建筑、造型獨特、類似一個個方體錯位堆疊，總高度153.6米.坊

塔塔樓由底部4個高度相同的方體組成塔基，支托上部5個方體，交錯疊合成一個外形

時尚的塔身結(jié)構(gòu).底部4個方體高度均為33.6米，中間第5個方體也為33.6米高，再往

上2個方體均為24米高，最上面的兩個方體均為19.2米高.

(1)請根據(jù)坊塔方體的高度數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)數(shù)列知識，寫出一個等差數(shù)列｛z｝的通項公

式，該數(shù)列以33.6為首項，并使得24和19.2也是該數(shù)列的項；

(2)佛山世紀(jì)蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據(jù)你得到的等差數(shù)列，連續(xù)取用該

數(shù)列前機(jī)(m∈N*)項的值作為方體的高度，在保持最小方體高度為19.2米的情況下，采

用新的堆疊規(guī)則，自下而上依次為2m、3“2、4田、...、(m+l)a∣n((m+l)而表示高

度為所的方體連續(xù)堆疊加+1層的總高度)，請問新堆疊坊塔的高度是否超過310米？并

說明理由.

18.(12分)在銳角三角形4ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,h,c,CB為日!在C?方

向上的投影向量，且滿足2csinB=b|亦|.

(1)求CosC的值;

(2)若b=b，"=3ccosB,求aABC的周長.

19.(12分)如圖，ZXACQ和aBCD都是邊長為2的等邊三角形，平面AC。_L平面BCQ,

E8_L平面BCD.

(!)證明：EB〃平面ACA

(2)若點E到平面4BC的距離為小，求平面ECD與平面8C。夾角的正切值.

E

A

C

20.(12分)近幾年，隨著生活水平的提高，人們對水果的需求量也隨之增加，我市精品水

果店大街小巷遍地開花，其中中華掰猴桃的口感甜酸、可口，風(fēng)味較好，廣受消費者的

喜愛.在某水果店，某種舜猴桃整盒出售，每盒20個.己知各盒含0,1個爛果的概率

分別為0.8,0.2.

(1)顧客甲任取一盒，隨機(jī)檢查其中4個滁猴桃，若當(dāng)中沒有爛果，則買下這盒物猴桃，

否則不會購買此種狒猴桃.求甲購買一盒稱猴桃的概率；

(2)顧客乙第1周網(wǎng)購了一盒這種搟猴桃，若當(dāng)中沒有爛果，則下一周繼續(xù)網(wǎng)購一盒;

若當(dāng)中有爛果，則隔一周再網(wǎng)購一盒；以此類推，求乙第5周網(wǎng)購一盒狒猴桃的概率.

X2V2

21.(12分)已知橢圓「：—+—=1(a>?>0)的左焦點為尸(-1,0),左、右頂點及

a2b2

上頂點分別記為A、B、C,且(??C?=1.

(1)求橢圓「的方程；

(2)設(shè)過F的直線PQ交橢圓［'于P、。兩點，若直線南、QA與直線/：x+4=0分別

交于M、N兩點，/與X軸的交點為K,則IMxl?∣KN∣是否為定值？若為定值，請求出該定

值；若不為定值，請說明理由.

22.(12分)已知函數(shù)/(X)=筆把，g(x)=2el'x+l,其中改為實數(shù).

(1)求f(x)的極值；

(2)若h(x)=g(x)-/(x)有4個零點，求4的取值范圍.

2023年廣東省佛山市高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合A={xeN∣∕-3x+4<0},β={x∈N∣-l<x≤2),貝∣J4U8=()

A.0B.(-1,4)C.{1,2}D.{0,1,2}

【解答】解：集合A={XCN∣Λ2-3X+4<O}=0,

B={x6N∣-1<XW2}={0,1,2},

則AUB={0,1,2).

故選：D.

2.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足(1+/)2z=5-2i,則Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：V(l+i)2Z=5-2i,.?2i?z=5-2i,

.?.Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限.

故選：C.

3.(5分)已知單位向量；，b滿足>b=0,若向量U=Z+√5b,則CoSG，c)=()

√31√31

A.—B.-C.—D.-

2244

【解答】解：?.G,；為單位向量，且Z/=0,

Λα?c=α?(α÷?/?e)=1,?a?=1,?c?=J(a+√3h)2=Ja2+3b2=√4=2,

—>—?

.TTCL'C1

??COS，C=-zj=不?

IallCl2

故選：B.

4.(5分)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{〃”}的前〃項和為S”0204=9,9S4=10S2,則及+?4

的值為()

A.30B.10C.9D.6

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛“八｝的公比為q,則q>0,且

2

；4244=9,Λα3=9,

乂?4〃>0,??O3=3,

2

(a-lq=3p1=27

???智Zg曄的,解得1￡，

(1-q1-qJ3

3

.?.02+α4=a1q+a1q=10.

故選：B.

5.（5分）已知雙曲線C的中心位于坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且虛軸比實軸長.若直線

4x+3γ-20=0與C的一條漸近線垂直，則C的離心率為（）

5457

A.一B.-C.—D.-

4334

【解答】解：根據(jù)漸近線與直線4x+3y-20=0垂直可得漸近線方程為y=±*x,

當(dāng)雙曲線的焦點在X軸上時漸近線為y=±?x,即T=|,

因為雙曲線的虛軸比實軸長，故不符合題意，舍去，

當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時漸近線為y=±gx,即：=三，滿足虛軸比實軸長,

0b4

所以:=/:2=/；V=7'解得e=羨或e=-I（舍去），

b√c2-α2Ve2-I433

所以e=∣.

故選：C.

6.（5分）已知事件A,B,C的概率均不為0,則尸（A）=P（B）的充要條件是（）

A.P(AUB)=P(A)+P(B)B.P(ΛUC)=P(BUC)

C.P(AB)=P(AB)D.P(AC)=P(BC)

【解答】解：對于A：因為P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B),由P(AUB)=

P(A)+P(B),

只能得到P(A∩B)=0,并不能得到P(A)=P(B),故A錯誤；

對于C：因為P(A后)=P(A)-P(AB),P(AB)=P(B)-P(AB),

又PQ4?=P(IB),所以P(A)=P(B),故C正確；

對于B：因為P(AUC)=P(A)+P(C)-P(A∩C),P(BUC)=P(B)+P(C)

-P(B∩C),

由P(AUC)=P(BUe),只能得到P(A)-P(AnC)=P(B)-P(B∩C),

由于不能確定4B,C是否相互獨立，故無法確定P(A)=P(B),故B錯誤；

對于6由于不能確定A,B,C是否相互獨立，

若A,B,C相互獨立，則P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),

則由尸(AC)=P(BC)可得P(A)=P(B),

故由P(AC)=P(BC)無法確定P(A)=P(B),故O錯誤；

故選：C.

7.（5分）已知球O的直徑SC=2,A,B是球O的球面上兩點，乙4SC=4BSC=乙ASB=余

則三棱錐S-ABC的體積為（）

√2√2√2-

A.—B.—C.—D.√2

632

【解答】解：因為SC=2為球。的直徑，A,B是球。的球面上兩點，

所以NSAC=NSBC=90°,又SC=2,?ASC=乙BSC=?ASB=等

所以4C=BC=SC-SinJ=√3,SA=SB=SC-cos^=l,

所以aSAB為等邊三角形且AB=L

設(shè)ASAB的外接圓的半徑為〃則2r=志=竽，所以r=*，

則球心O到平面SAB的距離d=J（苧）2_N=當(dāng)，

所以點C到平面SAB的距離九=2d=竽，

又ShsAB=?SBsin^=亨,

所以%T8C—^CSAB—弓SASAB'?1-?×?×-?——?*

故選：A.

logax,0<x<^τy

8.（5分）已知函數(shù)/Cx）=12(〃>0且QW1),若對任意x>0,/(x)2

a-x,x≥i

了,則實數(shù)”的取值范圍為()

A.(O,e^∣]B.[?,e^∣]C.(0,e^∣]D.屋,e^i]

2

【解答】解：當(dāng)0<?V1時,/(x)=logax>X,

由圖可知，OVaVl,

1

此時若對任意OVXV2，EogαX≥%2,

Il11

只需Ioga2≥4，^loga2≥logaaA,

1111

Λα4>即QN隹，—≤a<l;

21616

當(dāng)X≥4,/(X)=。尸≥χ2,

此時若對任意X≥4，(?)?>X2,即bι(}x≥InX2,

???x∕n?≥2lnx,Λ∕n(?≥等，所以只需2n(<)≥(?mαx.

令g(χ)=等，則g'Q)=

當(dāng)％∈(O,e),g'(x)>0,g(X)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(ef+8),g'(χ)<0,g(X)單調(diào)遞減，

r

?SWmax=g(e)=I，???仇(》a≤e~e9

1_2

綜上可得-7≤a≤ee.

16

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

（多選）9.（5分）中國共產(chǎn)黨全國代表大會的報告中，一組組數(shù)據(jù)折射出新時代

十年的非凡成就，數(shù)字的背后是無數(shù)的付出，更是開啟新征程的希望.首場新聞

發(fā)布會指出近十年我國居民生活水平進(jìn)一步提高，其中2017年全國居民恩格爾系數(shù)為

29.39%,這是歷史上中國恩格爾系數(shù)首次跌破30%.恩格爾系數(shù)是由德國統(tǒng)計學(xué)家恩斯

特?恩格爾提出的，計算公式是“恩格爾系數(shù)=強(qiáng)子浣簽XIOo%”.恩格爾系數(shù)是國

總支出金額

際上通用的衡量居民生活水平高低的一項重要指標(biāo)，一般隨居民家庭收入和生活水平的

提高而下降,恩格爾系數(shù)達(dá)60%以上為貧困,50%~60%為溫飽,40%~50%為小康,30%~

40%為富裕，低于30%為最富裕.如圖是近十年我國農(nóng)村與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線

圖，由圖可知（）

A-農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)（％）—a—城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)（%）

36Fn

??r____'

Jj-----r

?A_____________▲

34-----

??_____

F

32—?—

/

31-----

2β_____'^?----?z

?ɑ_____

Zv-----7

*____y

2C8G_____

Z/-----

26

2012201320142015201620172018201920202021

A.城鎮(zhèn)居民2015年開始進(jìn)入“最富裕”水平

B.農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于32%

C.城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45百分位數(shù)高于29%

D.全國居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)

【解答】解：對于選項A：從折線統(tǒng)計圖可知2015年開始城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)均低于

30%,即從2015年開始進(jìn)入“最富?！彼?，故A選項正確；

對于選項B：農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)只有2017、2018、2019這三年在30%~32%之間，

其余年份均大于32%,且2012、2013這兩年大于（等于）34%,

故農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)高于32%,故8選項錯誤；

對于選項C：城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)從小到大排列（所對應(yīng)的年份）前5位分別為2019、

2018、2017、2021、2020,

因為10X45%=4.5,所以第45百分位數(shù)為第5位，即2020年的恩格爾系數(shù)，由圖可知

2020年的恩格爾系數(shù)高于29%,故C選項正確；

對于選項D：由于無法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，顯然農(nóng)村居民占比要大于50%,

故不能用農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)作為全國居民恩格爾系數(shù),

故。選項錯誤;

故選：AC.

(多選)10.(5分)設(shè)單位圓。與X軸的左、右交點分別為A、B,直線/：xcosθ-ysinθ+l

=0(其中0<θ<π)分別與直線尤+1=0、χ-l=0交于C、D兩點，貝IJ()

A.8=竽時，/的傾斜角為，

B.?θ∈(0,π),點4、8到/的距離之和為定值

C.3θ∈(0,ττ),使/與圓。無公共點

D.?θ∈(0,n),恒有OCJ

【解答】解：依題意A(-1,0),B(1,0),

對于A：當(dāng)。=當(dāng)時直線/：Xcos?-ysin^+1=0,即—/%—空y+l=0,

所以直線/的斜率Zc=-噂，所以直線/的傾斜角為"，故A錯誤；

對于B：點A到直線/的距離B=JiosO+l∣=I_cosθ+斗

^cos2OA-SiTi2O

點B到直線/的距離d2=JcosO+l∣=ICOSe+1∣,

^cos2θ+sin2θ

所以點A、B到直線I的距離之和為J=∣-cosθ+l∣+∣cosθ+l∣,

因為θ∈(0,π),所以CoSe∈(-1,1),所以d=-CoSe+l+cosθ+l=2,

即對V8∈(0,π),點A、8到直線/的距離之和為定值2,故8正確；

對于C：坐標(biāo)原點O到直線/的距離do=r1I-=1,

22

y∣cosθ+sinθ

所以直線/與單位圓相切，即直線/與單位圓必有一個交點，故C錯誤；

對于O：對于直線/：XCoSe-ysin。+1=0,令X=-1,解得y=

令解得CoSe+1

κ=l,ysinθ

—cos8+?cos。+'

即C(-l,sinθ)D(1,sin。)'

所以/=(-1,一CoSe+1、ΓL“cosθ+l.

~τιrozd=(L

2-1+?=°'所以.

所以上.亦=一1+嚅1-CoSe+1___11—COS^

sinθsin2θ

0D,

即Vee(0,n),恒有。CJ_。，故￡>正確;

故選：BD.

（多選）11.（5分）若正實數(shù)羽y滿足X-7=y（1+/町0,則下列不等式中可能成立的是

()

A.?<x<yB.?<y<xC.x<y<lD.y<x<↑

【解答】解：因為死τ=y(l+∕πy),所以％，I=(l+∕ny)-1,

因為x>0,所以XF-I>0,則1+/町>0,

令/(x)=XelI,xE(0,+∞),則/(X)=(x+l)ex'1>0,

所以/(%)=x,1在(O,+o°)上單調(diào)遞增，

由/(x)=f(l+/〃y),可得X=

令g(x)=∕nr+l-χ,則/(X)=橙一1=所以當(dāng)OcXVl時J(x)>0,當(dāng)Ql

時g(x)<0,

所以g(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

所以g(x)”"a=g(1)=0,則g(x)=∕nx+l-x≤0,即∕nx+lWx當(dāng)且僅當(dāng)尤=1時取

等號，

即1+/〃)Wy當(dāng)且僅當(dāng)y=1時取等號，

又x=l+∕"y,所以XWy,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時取等號，

當(dāng)時l<x<y或XVye1,

結(jié)合y—lnx+1與y—x的圖象也可得l<x<γ或x<γ<l.

（多選）12.（5分）如圖，在正方體ABC。-AIBICIDI中，點M是棱。力1上的動點（不含

端點），則（）

A.過點M有且僅有一條直線與AB,81。都垂直

B.有且僅有一個點/到A8,Blel的距離相等

C.過點M有且僅有一條直線與4Cι,8Bι都相交

D.有且僅有一個點M滿足平面MACi，平面MBBl

【解答】解：對于A,設(shè)過點M與A2,BlCl都垂直的直線為/,

"JAB∕∕A?B?,ILAB,.MLAiBi,

V∕±B1Ci,AiBi∩BiCi=Bi,,LL面AlBlC1。,

而過點M作平面AifiiCiDi的垂線有且只有一條直線，即為DDx,

過點M有且只有一條直線與A8、Bla都垂直，故A正確；

對于5,連接M4,MC?,

由題意知，AB_L面AOOiAi,BiCi_L面CZ)Z)IC1,

.'.AB±MA,81CI_LMC1,二MA為點M到AB的距離，MCl為點M到BICl的距離，

2222

在RtZ?AOM中，MA=yjAD+MD,在Rt4Cιf>ιM中，MCi=JC1D1+MD1,

VAD=DiCi,

當(dāng)MD=MOi時，MA=MC?,

當(dāng)M為。Ai的中點時，點M到A8,81。的距離相等，

有且僅有一個點M到A8,BlCI的距離相等，故B正確；

對于C,如圖，連接AC,BD,交于點O,連接AlC1,BiDi,交于點。1,連接。Oi交

ACi于點N,

則Ne面BDB?D?,

?.?M∈面BOBiOi,且MeOOi,MeOOi,

二連接MN必與BBl交于點G,即過點M在且僅有一條直線與ACi,BBl都相交，故C

正確；

對于設(shè)正方體的棱長為2,

以點。為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)A,DC,ODl為X軸，.V軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0),Ci(0,2,2),B(2,2,0),D(0,0,0),Bi(2,2,2),

設(shè)M(0,0,rn),(0≤m≤2),

則忌=

(2,0,-w),AC1=(-2,2,2),DB1=(2,2,2),DB=(2,2,0),

設(shè)面MAC?的一個法向量為Z=(x,y,z),

p∣ljln?MA=2x—mz-O

{n■AC1--2x+2y+2z=O

當(dāng)n∕=0時，取y=l,得能=(0,1,1),

→22

當(dāng)0<∕nW2時，取X=1,得n=(1,1一二，一),

設(shè)平面BMBI的一個法向量為拓=(α,b,c),

,→T

m?DB=2a+2b=O∏［組T/,

則TT,取πq=l,得m=(11,-1,0nλ),

m?DB1=2α÷2h+2c=O

當(dāng)"2=0時，n?m=-l,二此時平面MACII.平面MBBl不成立，

當(dāng)0V〃W2時，n?m=1+^-1=^=O,無解，此時平面MACl_L平面Λ∕28ι不成立,

.?.不存在點M滿足平面MAa，平面,故D錯誤.

故選：ABC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)在(聲一96展開式中常數(shù)項是15.(用數(shù)字作答)

【解答】解：在(五一96展開式中的通項公式為了川=重.(-1)"F,

6—3r

令丁=0,求得r=2,所以展開式的常數(shù)項是盤=15,

故答案為：15.

14.(5分)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(-8,0)時，/(x)=2?-

3x+l,則/(3)-44.

【解答】解：函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

當(dāng)x6(-8,0)時，?(?)=2√-3x+l,

則f(3)=-/(-3)=-12×(-27)-3×(-3)+1J=44,

故答案為：44.

15.(5分)拋物線C：y2=8χ的焦點為凡準(zhǔn)線為/,M是C上的一點，點N在/上，若

FMI.FM且IMFI=I0,則INFI=5.

【解答】解：：拋物線C方程為y2=8x,

.?.拋物線的焦點F(2,0),準(zhǔn)線/：X=-2,

設(shè)點M(X0,yo)(X0,yo>O),

則IMFl=XO+2=10,.'.xo=8,

2.,.M

Λy0=64,Λyo=8,(8,8),

直線MF的斜率∕CMF==M

?/FMA.FN,：.直線NF的斜率=-?，

直線NF的方程y=-∣(x-2),

令X=-2,解得y=3,,N(-2,3),

故INFl=J(-2-2)2+(3-O,=5.

故答案為：5.

16.(5分)已知函數(shù)F(X)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,|?|V*)?T為f(x)的最小正周

期，且滿足溫T)=渴7)?若函數(shù)/(x)在區(qū)間(O,π)上恰有2個極值點，則3的

取值范圍是—偌，.

【解答】解：由題意可得：/(x)的最小正周期7=答，

[[????工7"*+Irr

丁筋丁)=抬丁)，S.-T--T=-T<-T,則x=2~產(chǎn)■=*T為/(無)的一條對稱

軸，

ΛωX.T+0=∣π÷φ=fcπ+?(fc∈Z),解得g=fcπ-(fc∈Z),

又,：φE(—*,?),則k=0,φ=-等

故/(%)=sin(ωx—，),

*?*X∈(0,71),則6ZY一?！?-為，37T-專)，

3Tr51117

若函數(shù)/(x)在區(qū)間(O,π)上恰有2個極值點，則；TrV3兀--?≤-7T,解得一<ω≤—,

23266

故3的取值范圍是耳，%.

故答案為：偌,??

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)佛山新城文化中心是佛山地標(biāo)性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最簡單

的方塊體作為核心要素，與佛山世紀(jì)蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應(yīng).坊

塔是文化中心的標(biāo)志性建筑、造型獨特、類似一個個方體錯位堆疊，總高度153.6米.坊

塔塔樓由底部4個高度相同的方體組成塔基，支托上部5個方體，交錯疊合成一個外形

時尚的塔身結(jié)構(gòu).底部4個方體高度均為33.6米，中間第5個方體也為33.6米高，再往

上2個方體均為24米高，最上面的兩個方體均為19.2米高.

(1)請根據(jù)坊塔方體的高度數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)數(shù)列知識，寫出一個等差數(shù)列｛“”｝的通項公

式，該數(shù)列以33.6為首項，并使得24和19.2也是該數(shù)列的項；

(2)佛山世紀(jì)蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據(jù)你得到的等差數(shù)列，連續(xù)取用該

數(shù)列前〃?(〃￡N*)項的值作為方體的高度，在保持最小方體高度為19.2米的情況下，采

用新的堆疊規(guī)則，自下而上依次為2m、3。2、4?3,.......、(∕n+l)am((m+l)如,表示高

度為所的方體連續(xù)堆疊，"+1層的總高度)，請問新堆疊坊塔的高度是否超過310米？并

說明理由.

【解答】解：(1)由題意可知：?1=33.6,注意到33.6-24=9.6,2479.2=4.8,

取等差數(shù)列的公差d=-2.4,則??=33.6-2.4Cn-1)=36-2.4/?,

令t?=36-2.4"=24,解得〃=5,即24為第5項；

令an=36-2.4〃=19.2,解得n=7,即19.2為第7項；

故an—36-2An符合題意；

(2)可以，理由如下：

由(1)可知：∕n≤7,αι=33.6,“2=31.2,?3=28.8,“4=26.4,“5=24,α6=21.6,aι

=19.2,

設(shè)數(shù)列｛(〃+1)的前"項和為S”

：S7=2m+342+443+...+847=856.8>310,

故新堆疊坊塔的高度可以超過310米.

18.(12分)在銳角三角形4ABC中，角A,B,C的對邊分別為α,b,c,2)為&在&方

向上的投影向量，且滿足2csinB=√5∣CD∣.

(I)求cosC的值;

(2)若b=√5,α=3ccosB,求aABC的周長.

【解答】解：(1)；而為&在C?方向上的投影向量，

—?T

.??CD?=∣Ci4∣cosZC=ZrcosC,

又Y2CSinB=√5∣CD∣,

.*.2csinB=V5??cosC,

Λ2sinCsinB=V^SinBcosC

又,：BW(0,π),ΛsinB≠0,

Λ2sinC=VδcosC,

VCE(0,π),ΛsinC>0,ΛcosC>0,SinC=亭CoSC,

又Vsin2C+cos2C=1,

Λ(?cosC)2+cos2C=1,

,9

解得CoSC=可

(2)Va=3ccosB,b=V3,

?"=3c?1，?'?3(∏2+c2-3)=2a1,

2ac

2a2+b2-c22

?CosC-'?,??"——

'.a2+3----?—=-?-a,

解得?=√3,

c=V2>

/XABC的周長為<∕+?+c=2√3+√2.

19.(12分)如圖，和ABCD都是邊長為2的等邊三角形，平面AC￡>，平面Ber>,

EB_L平面BCD.

(1)證明：￡8〃平面ACQ；

(2)若點E到平面42C的距離為Vl求平面ECD與平面BC。夾角的正切值.

【解答】解：(1)證明：如圖，取C。的中點，連接40,則A0J_C￡),

又因為平面ACD，平面BC。，且平面ACCn平面BCQ=CC,AoU平面ACZX

則AO_L平面BCD,

又EBJ_平面Be力，所以EB〃A0,

又EBC平面AC。，A0?ψffiACD,所以EB〃平面AC。.

(2)如圖，連接E0,BO,取BC的中點F,連接QR則QFLBC,

因為∣4Bl=√μc∣2+∣B0∣2=√6,

則等腰ABAC的面積為,B"=^x√δx孚=手，

所以三棱錐E-ABC的體積為/TBC=*零X6=等，

因為EB_L平面BCD,OFU平面BCD,則DFlEB,

又因為力尸_LBC,EBCBC=B,EBU平面EBC,BCU平面EBC,則。/J_平面EBC,

1√3

因為EB〃AO,則點A到平面EBC的距離等于點。到平面EBC的距離等于5Fl=y,

因為SAEBC=?×2×?EB?=?EB?,則匕-EBC=∣×∣fB∣×2y=2f?EB?,

又V?-ABC=VAF-EBc,所以IEBl=5,

因為EB_L平面8C。，BCc5FffiBCD,8。U平面BC。，則EB_L8C,EBLBD,

所以IEcl=IE￡>|,所以E0_LCZ),

所以平面ECo與平面BC。夾角的平面角為NE08,

則SMOB=犒=備=嬰,

?/?

所以平面ECO與平面BCD夾角的正切值為3.

20.(12分)近幾年，隨著生活水平的提高，人們對水果的需求量也隨之增加，我市精品水

果店大街小巷遍地開花，其中中華狒猴桃的口感甜酸、可口，風(fēng)味較好，廣受消費者的

喜愛.在某水果店，某種賽猴桃整盒出售，每盒20個.已知各盒含0,1個爛果的概率

分別為0.8,0.2.

(1)顧客甲任取一盒，隨機(jī)檢查其中4個掰猴桃，若當(dāng)中沒有爛果，則買下這盒物猴桃，

否則不會購買此種舜猴桃.求甲購買一盒舜猴桃的概率；

(2)顧客乙第1周網(wǎng)購了一盒這種賽猴桃，若當(dāng)中沒有爛果，則下一周繼續(xù)網(wǎng)購一盒;

若當(dāng)中有爛果，則隔一周再網(wǎng)購一盒；以此類推，求乙第5周網(wǎng)購一盒狒猴桃的概率.

【解答】解：(1)由題意可得：甲不購買一盒獗猴桃情況為該盒有I個爛果且隨機(jī)檢查

其中4個時抽到這個爛果，

甲購買一盒掰猴桃的概率P=1-0.2×?a=096.

(2)用“J”表示購買，“X”表示不購買，乙第5周購買有如下可能：

第1周第2周第3周第4周第5周

√√√√√

√X√√√

√√X√√

√×√X√

√√√X√

故乙第5周網(wǎng)購一盒掰猴桃的概率P=(0.8)4+0.2X0.8×0.8+0.8×0.2×0.8+0.2×0.2+0.8

×0.8×0.2=0.8336.

%y

21.(12分)已知橢圓r：—+—=I(a>?>0)的左焦點為尸(-1,0),左、右頂點及

a2b2-

上頂點分別記為A、B、C,且(??C?=1.

(1)求橢圓r的方程；

(2)設(shè)過F的直線PQ交橢圓「于尸、Q兩點，若直線B4、QA與直線/：x+4=0分別

交于M、N兩點，/與X軸的交點為K,則IMK?∣KN1是否為定值？若為定值，請求出該定

值；若不為定值，請說明理由.

【解答】解：(1)由題意可得A(-a,O),B(q,O),C(0,b),F(-1,0),

所以

b=(-1,-b),CB=(α,-b),

2

所以C??C?=-a+bf

由題意可得-4+廬=?,①

又-序=2=1,②

由①②可得4=2,?2=3,

X2V2

所以橢圓的方程為：—