中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)（精講精練）復(fù)習(xí)專題38 幾何最值之阿氏圓問題（原卷版）

專題38專題38幾何最值之阿氏圓問題方法技巧方法技巧問題分析：“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA:PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓．這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。模型展示：如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為圓．（1）角平分線定理：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，則SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（2）外角平分線定理：如圖，在△ABC中，外角CAE的角平分線AD交BC的延長線于點(diǎn)D，則SKIPIF1<0．證明：在BA延長線上取點(diǎn)E使得AE=AC，連接BD，則△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．接下來開始證明步驟：如圖，PA：PB=k，作∠APB的角平分線交AB于M點(diǎn)，根據(jù)角平分線定理，SKIPIF1<0，故M點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB的角平分線交AB于定點(diǎn)；作∠APB外角平分線交直線AB于N點(diǎn)，根據(jù)外角平分線定理，SKIPIF1<0，故N點(diǎn)為定點(diǎn)，即∠APB外角平分線交直線AB于定點(diǎn)；又∠MPN=90°，定邊對定角，故P點(diǎn)軌跡是以MN為直徑的圓．模型最值技巧：計(jì)算SKIPIF1<0的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形問題：在圓上找一點(diǎn)P使得SKIPIF1<0的值最小，解決步驟具體如下：①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP，OB②計(jì)算出這兩條線段的長度比SKIPIF1<0③在OB上取一點(diǎn)C，使得SKIPIF1<0，即構(gòu)造△POM∽△BOP，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0④則SKIPIF1<0，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值題型精講題型精講【例1】如圖，已知正方ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為_______．【例2】如圖，菱形SKIPIF1<0的邊長為2，銳角大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切于點(diǎn)E，在SKIPIF1<0上任取一點(diǎn)P，則SKIPIF1<0的最小值為___________．【例3】如圖，在SKIPIF1<0中，∠C=90°，CA=3，CB=4．SKIPIF1<0的半徑為2，點(diǎn)P是SKIPIF1<0上一動點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值______________SKIPIF1<0的最小值_______提分作業(yè)提分作業(yè)1．如圖，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以B為圓心，以SKIPIF1<0為半徑畫圓交邊SKIPIF1<0于點(diǎn)E，點(diǎn)P是弧SKIPIF1<0上的一個動點(diǎn)，連結(jié)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如圖，已知菱形SKIPIF1<0的邊長為4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半徑為2，P為SKIPIF1<0上一動點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值_______．SKIPIF1<0的最小值_______3．如圖，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點(diǎn)D．連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是．4．如圖，拋物線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)（點(diǎn)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0的左側(cè)），與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0軸下方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸，垂足為SKIPIF1<0，交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的值；（3）當(dāng)直線SKIPIF1<0為拋物線的對稱軸時(shí)，以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑作SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的一個動點(diǎn)，求SKIPIF1<0的最小值．5．如圖1，拋物線y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（8，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜8），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．（1）分別求出直線AB和拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）設(shè)△PMN的面積為S1，△AEN的面積為S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B．①在x軸上找一點(diǎn)Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．②求BE′+AE′的最小值．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P．連接AC．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線AC的解析式；（2）如圖2，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OF，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接FA、FC．求AF+CF的最小值；7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線y＝x