幾何圖形的初步（講義）（解析版）-中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（全國(guó)通用）

第第頁(yè)考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)認(rèn)識(shí)幾何圖形通過(guò)實(shí)物和模型，了解從物體抽象出來(lái)的幾何體、平面、直線(xiàn)和點(diǎn)等概念.該專(zhuān)題內(nèi)容是初中幾何的基礎(chǔ)，在中考數(shù)學(xué)中屬于基礎(chǔ)考點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為8分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn).大部分地區(qū)在選擇、填空題中考察可能性較大，主要考察平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定、方位角、角度的大小等知識(shí)，這些知識(shí)點(diǎn)考查較容易，另外平行線(xiàn)的性質(zhì)可能在綜合題中出現(xiàn)，考查學(xué)生綜合能力，比如：作平行的輔助線(xiàn)，構(gòu)造特殊四邊形，此類(lèi)題目有一定難度，需要學(xué)生靈活掌握．對(duì)本專(zhuān)題的復(fù)習(xí)也直接影響后續(xù)對(duì)其他幾何圖形的學(xué)習(xí)，需要考生細(xì)心對(duì)待.直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的相關(guān)概念會(huì)比較線(xiàn)段的長(zhǎng)短，理解線(xiàn)段的和、差，以及線(xiàn)段中點(diǎn)的意義.掌握基本事實(shí):兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)和兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短.理解兩點(diǎn)間距離的意義，能度量和表達(dá)兩點(diǎn)間的距離.角的相關(guān)概念理解角的概念，能比較角的大小，認(rèn)識(shí)度、分、秒等角的度量單位，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的單位換算，會(huì)計(jì)算角的和、差.理解對(duì)頂角、余角、補(bǔ)角等概念，探索并掌握對(duì)頂角相等、同角(或等角)的余角、同(或)的補(bǔ)的性質(zhì).相交線(xiàn)理解垂線(xiàn)、垂線(xiàn)段等概念，能用三角板或量角器過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線(xiàn)的垂線(xiàn).掌握基本事實(shí):同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直.理解點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的意義，能度量點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角.平行線(xiàn)理解平行線(xiàn)的概念.掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定定理.了解平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行.考點(diǎn)一認(rèn)識(shí)幾何圖形幾何圖形的概念:我們把實(shí)物中抽象出來(lái)的各種圖形叫做幾何圖形,幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，這個(gè)圖形叫做立體圖形.平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個(gè)部分在同一平面內(nèi)的圖形，這個(gè)圖形叫做平面圖形.正方體展開(kāi)圖（共計(jì)11種）：口訣：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同層可任意,2）“三個(gè)二”成階梯,3）“二個(gè)三”“日”相連,異層必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此規(guī)律，運(yùn)用定自如.幾何圖形的組成：1）點(diǎn)：線(xiàn)和線(xiàn)相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形最基本的圖形.2）線(xiàn)：面和面相交的地方是線(xiàn)，分為直線(xiàn)和曲線(xiàn).3）面：包圍著體的是面，分為平面和曲面.4）體：幾何體也簡(jiǎn)稱(chēng)體.組成幾何圖形元素的關(guān)系：點(diǎn)動(dòng)成線(xiàn)，線(xiàn)動(dòng)成面，面動(dòng)成體.【擴(kuò)展】名稱(chēng)頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）存在關(guān)系三棱錐446V+F-E=2長(zhǎng)方體8612正八面體6812正十二面體20123011.同一個(gè)立體圖形按不同的方式展開(kāi)得到的平面展開(kāi)圖是不一樣的.2.在正方體的展開(kāi)圖中，一條直線(xiàn)上的小正方形不會(huì)超過(guò)四個(gè),圖1所示的圖形不是正方體的展開(kāi)圖.3.正方體的展開(kāi)圖中不會(huì)有“田”字形、“凹”字形的形狀,圖2、圖3所示的圖形不是正方體的展開(kāi)圖.題型01幾何圖形的識(shí)別【例1】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）下列幾何體中，是棱錐的為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分別判斷選項(xiàng)的幾何題即可得到答案．【詳解】解：A.圖形中的幾何體是棱錐，故此選項(xiàng)符合題意；B.圖形中的幾何體是正方體，故此選項(xiàng)不符合題意；C.圖形中的幾何體是圓錐，故此選項(xiàng)不符合題意；D.圖形中的幾何體是圓柱，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的識(shí)別，掌握各幾何體的特征是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）下面幾何體中，是圓柱的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)圓柱的特征，即可解答．【詳解】解：A.是正方體，故不符合題意；B.是圓柱，故符合題意；C.是圓錐，故不符合題意；D.是球體，故不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了認(rèn)識(shí)立體圖形，熟練掌握每個(gè)幾何體的特征是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）不透明的箱子中裝有一個(gè)幾何體模型，小樂(lè)和小欣摸該模型并描述它的特征．小樂(lè)：它有4個(gè)面是三角形；小欣：它有6條棱．則該幾何體模型的形狀可能是（

）A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱【答案】A【分析】根據(jù)幾何體有4個(gè)面是三角形，有6條棱，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵幾何體有4個(gè)面是三角形，∴幾何體不能是棱柱（棱柱側(cè)面均為四邊形，只有三棱柱上下底面是三角形）；又∵幾何體有6條棱，∴選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的判斷．熟練掌握常見(jiàn)幾何體的特征，是解題的關(guān)鍵．題型02幾何體點(diǎn)、棱、面之間的關(guān)系【例2】（2020·山東棗莊·中考真題）歐拉（Euler，1707年~1783年）為世界著名的數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家，他在數(shù)學(xué)、物理、建筑、航海等領(lǐng)域都做出了杰出的貢獻(xiàn)．他對(duì)多面體做過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)多面體的頂點(diǎn)數(shù)（Vertex）、棱數(shù)E（Edge）、面數(shù)F（Flat

surface）之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，給出了著名的歐拉公式．（1）觀(guān)察下列多面體，并把下表補(bǔ)充完整：名稱(chēng)三棱錐三棱柱正方體正八面體圖形頂點(diǎn)數(shù)V468棱數(shù)E612面數(shù)F458（2）分析表中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)V、E、F之間有什么關(guān)系嗎？請(qǐng)寫(xiě)出關(guān)系式：____________________________．【答案】（1）表格詳見(jiàn)解析；（2）V+F?E=2【分析】（1）通過(guò)認(rèn)真觀(guān)察圖象，即可一一判斷；（2）從特殊到一般探究規(guī)律即可．【詳解】解：（1）填表如下：名稱(chēng)三棱錐三棱柱正方體正八面體圖形頂點(diǎn)數(shù)V4686棱數(shù)E691212面數(shù)F4568（2）據(jù)上表中的數(shù)據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)，多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F之間存在關(guān)系式：V+F?E=2．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型問(wèn)題，歐拉公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．題型03判斷幾何體的截面形狀【例3】（2023·河南信陽(yáng)·二模）妹妹把一密閉且透明的圓柱形水杯中裝一半的水，隨意轉(zhuǎn)動(dòng)水杯，水面的形狀不可能是（

）A．三角形 B．長(zhǎng)方形 C．圓形 D．橢圓【答案】A【分析】根據(jù)圓柱體的截面形狀，判斷即可．【詳解】解：因?yàn)閳A柱的截面形狀可能是圓形，橢圓形或長(zhǎng)方形，所以，一個(gè)密閉且透明的圓柱形水杯中裝一半的水，隨意轉(zhuǎn)動(dòng)水杯，則水面的形狀不可能是三角形．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了截一個(gè)幾何體，熟練掌握?qǐng)A柱體的截面形狀是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·江蘇南京·校聯(lián)考三模）在一個(gè)密閉透明的圓柱桶內(nèi)裝一定體積的水，將圓柱桶按不同方式放置時(shí)，圓柱桶內(nèi)的水平面不可能呈現(xiàn)出的幾何形狀是（

）A．圓面 B．矩形面 C．梯形面 D．橢圓面或部分橢圓面【答案】C【分析】對(duì)不同的放置情況分別判斷，得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)圓柱桶豎直放置時(shí)，液面形狀為圓形，故選項(xiàng)A不符合題意；當(dāng)圓柱桶水平放置時(shí)，液面為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；無(wú)論圓柱桶怎樣放置，圓柱桶內(nèi)的水平面不可能呈現(xiàn)出梯形面，故選項(xiàng)C符合題意；當(dāng)圓柱桶傾斜放置時(shí)，若液面經(jīng)過(guò)底面，則液面為橢圓的一部分，若液面不經(jīng)過(guò)底面，則液面為橢圓，故選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的結(jié)構(gòu)特征．關(guān)鍵是理解用平面去截圓柱體，所得到截面.【變式3-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）分別用一平面去截如圖所示幾何體，能得到截面是矩形的幾何體共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用正方體、圓柱、三棱柱、圓錐、球體的結(jié)構(gòu)特征解答即可．【詳解】解：用一個(gè)平面去截正方體、圓柱、三棱柱，都可以得到截面是矩形，用一個(gè)平面去截圓錐、球體，不可以得到截面是矩形，所以用一平面去截如圖所示幾何體，能得到截面是矩形的幾何體共有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了截一個(gè)幾何體，熟練掌握正方體、圓柱、三棱柱、圓錐、球體的結(jié)構(gòu)特是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，往一個(gè)密封的正方體容器持續(xù)注入一些水，注水的過(guò)程中，可將容器任意放置，水平面形狀不可能是（

）A．三角形 B．正方形 C．六邊形 D．七邊形【答案】D【分析】正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，最少與三個(gè)面相交得三角形，因此截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，即可得到答案；【詳解】解：∵正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，最少與三個(gè)面相交得三角形，∴截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的截面，解題的關(guān)鍵是熟練掌握面面相交等到線(xiàn)．題型04判斷幾何體的展開(kāi)圖【例4】（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列圖形中，為圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)立體圖形的特點(diǎn)及張開(kāi)圖的特點(diǎn)即可求解．【詳解】解：A、是棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖，不符合題意；B、是圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，符合題意；C、是圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，不符合題意；D、是圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查立體圖形的展開(kāi)圖的識(shí)別，掌握?qǐng)A錐、棱錐、圓柱，圓臺(tái)的特點(diǎn)及張開(kāi)圖的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考三模）如圖，是一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖，那么這個(gè)幾何體的名稱(chēng)是（

）

A．正三棱柱 B．正三棱錐 C．圓柱 D．圓錐【答案】A【分析】由表面展開(kāi)圖得，這個(gè)幾何體是正三棱柱．【詳解】解：由表面展開(kāi)圖得，這個(gè)幾何體是正三棱柱，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的表面展開(kāi)圖，解題的關(guān)鍵是熟記幾何體的表面展開(kāi)圖的特征．【變式4-2】（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測(cè)）將如圖所示的圓錐的側(cè)面展開(kāi)，則點(diǎn)A和點(diǎn)B在展開(kāi)圖中的相對(duì)位置正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)B在圓錐的母線(xiàn)上，將圓錐側(cè)面展開(kāi)后，點(diǎn)B應(yīng)在扇形的半徑上，且A，B間距離為扇面的一半，故可解答．【詳解】解：點(diǎn)B在圓錐的母線(xiàn)上，將圓錐側(cè)面展開(kāi)后，點(diǎn)B應(yīng)在扇形的半徑上，且A，B間距離為扇面的一半，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，考核了學(xué)生的空間想象能力．【變式4-3】（2023·北京通州·統(tǒng)考一模）如圖，是某一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖，這個(gè)幾何體是（

）A．五棱錐 B．四棱錐 C．四棱柱 D．三棱柱【答案】D【分析】側(cè)面為三個(gè)長(zhǎng)方形，底邊為三角形，故原幾何體為三棱柱．【詳解】解：觀(guān)察圖形可知，這個(gè)幾何體是三棱柱．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三棱柱的展開(kāi)圖，從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問(wèn)題，辨析幾何體的展開(kāi)圖，通過(guò)結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀(guān)念，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）將如圖所示的長(zhǎng)方體包裝盒沿某些棱剪開(kāi)，且使六個(gè)面連在一起，然后鋪平，則得到的圖形不可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】依據(jù)長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖的特征進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、符合長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖的特點(diǎn)，是長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，故此選項(xiàng)符合題意；B、符合長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖的特點(diǎn)，是長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，故此選項(xiàng)符合題意；C、符合長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖的特點(diǎn)，是長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，故此選項(xiàng)符合題意；D、不符合長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖的特點(diǎn)，不是長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，熟練掌握長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型05由展開(kāi)圖計(jì)算幾何體的表面積或體積【例5】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）張師傅要制作一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體玻璃魚(yú)缸，切割出來(lái)的幾塊玻璃的尺寸如圖所示（單位：dm），則其體積為（

）

A．60dm3 B．72dm3 C．【答案】A【分析】設(shè)長(zhǎng)方體底面的長(zhǎng)和寬分別xdm，ydm，根據(jù)其平面展開(kāi)圖的相關(guān)數(shù)據(jù)可得關(guān)于x、【詳解】解：設(shè)長(zhǎng)方體底面的長(zhǎng)和寬分別xdm，y由平面圖可知，x+y=9y+3=7，解得x=5故魚(yú)缸的體積為4×5×3=60dm故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖以及二元一次方程組等知識(shí)，弄清長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖與圓長(zhǎng)方體中長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式5-1】（2023·黑龍江大慶·大慶一中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖是某幾何體的展開(kāi)圖，則該幾何體的體積為（

）

A．π B．3π C．32π【答案】D【分析】由題意知，該幾何體為圓錐，如圖，則BC=12×2=1，AB=2，∠ACB=90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得，【詳解】解：由題意知，該幾何體為圓錐，如圖，則BC=12×2=1，AB=2

在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC=∴幾何體的體積V=1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)圓錐的展開(kāi)圖求圓錐體積，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于確定幾何體的形狀．【變式5-2】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）相同規(guī)格（長(zhǎng)為14，寬為8）的長(zhǎng)方形硬紙板，剪掉陰影部分后，將剩余的部分沿虛線(xiàn)折疊，制作成底面為正方形的長(zhǎng)方體箱子，有如圖所示的甲、乙兩種方案，所得長(zhǎng)方體體積分別記為：V甲和V乙．下列說(shuō)法正確的是：（A．V甲>V乙 B．V甲【答案】A【分析】由圖可知，設(shè)甲方案中長(zhǎng)方體箱子的正方形底面的邊長(zhǎng)為a，長(zhǎng)方體的高為b，則4a=82a+b=14，求出a,b【詳解】解：由圖可知，設(shè)甲方案中長(zhǎng)方體箱子的正方形底面的邊長(zhǎng)為a，長(zhǎng)方體的高為b則4a=8解得a=2∴V設(shè)乙方案中長(zhǎng)方體箱子的正方形底面的邊長(zhǎng)為a，長(zhǎng)方體的高為b則2a+2b=14解得a=6∴V∵40>36∴V故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，體積，二元一次方程組的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于求出長(zhǎng)方體的高，底面正方形的邊長(zhǎng)．【變式5-3】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AB所在直線(xiàn)為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的表面積為．【答案】84【分析】先求出直角三角形斜邊AB的長(zhǎng)，然后再求出斜邊上的高，最后根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=A∴CD=AC×BC∴該幾何體的表面積為：12故答案為：845【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，圓錐側(cè)面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形面積公式，準(zhǔn)確計(jì)算．【變式5-4】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖為一個(gè)長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，且長(zhǎng)方體的底面為正方形．根據(jù)圖中標(biāo)示的長(zhǎng)度，此長(zhǎng)方體的表面積為．【答案】370【分析】根據(jù)展開(kāi)圖，可以求得原來(lái)長(zhǎng)方體的底面的邊長(zhǎng)和高，然后計(jì)算長(zhǎng)方體的表面積即可．【詳解】解：設(shè)原長(zhǎng)方體底面邊長(zhǎng)為a，長(zhǎng)方體高為b，15=3a，2a+b=26，解得a=5，b=16，∴長(zhǎng)方體的表面積為：5×5×2+5×16×4=370，故答案為：370．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的展開(kāi)圖，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式5-5】（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，把一個(gè)高9dm的圓柱的底面分成許多相等的扇形，然后把圓柱切開(kāi)，拼成一個(gè)與它等底等高的近似長(zhǎng)方體，它的表面積比圓柱體的表面積增加了36dm2．原來(lái)這個(gè)圓柱的體積是【答案】36π【分析】增加的面積等于底面半徑乘以高，再乘以2，由此可以計(jì)算出圓柱的底面半徑，進(jìn)而可以算出圓柱的體積．【詳解】解：圓柱的底面半徑為：36÷2÷9=2（分米），故圓柱的體積為：π×2故答案：36π．【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積，長(zhǎng)方形的面積，長(zhǎng)方體的表面積，掌握?qǐng)A周的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．題型06正方體展開(kāi)圖的識(shí)別【例6】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）下列哪個(gè)不是正方體的側(cè)面展開(kāi)圖（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)已知正方體圖形，利用排除法選出正確答案，從底面和側(cè)面的情況進(jìn)行全面的分析，相鄰必不相對(duì)．【詳解】根據(jù)已知正方體圖形，從底面和側(cè)面的情況進(jìn)行全面的分析，相鄰必不相對(duì)．利用排除法可得D選項(xiàng)正確故選：D【點(diǎn)睛】判斷一個(gè)平面圖形是不是某立體圖形的平面展開(kāi)圖，需要從底面和側(cè)面的情況進(jìn)行全面的分析，反之相同，在分析過(guò)程中需謹(jǐn)記，相鄰必不相對(duì)．此類(lèi)題目的解答有兩種思路∶①根據(jù)已知立體圖形，利用排除法選出正確答案；②將選項(xiàng)中的展開(kāi)圖還原成成立體圖形與已知立體圖形比較得出正確答案．【變式6-1】（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）下列四個(gè)圖形中，不能作為正方體的展開(kāi)圖的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】利用不能出現(xiàn)同一行有多于4個(gè)正方形的情況，不能出現(xiàn)田字形、凹字形的情況進(jìn)行判斷，也可對(duì)展開(kāi)圖進(jìn)行還原成正方體進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．可以作為一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，不符合題意；B．不可以作為一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，符合題意；C．可以作為一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，不符合題意；D．可以作為一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查正方體的展開(kāi)圖，熟記展開(kāi)圖的11種形式是解題的關(guān)鍵，利用不是正方體展開(kāi)圖的“一線(xiàn)不過(guò)四、田凹應(yīng)棄之”（即不能出現(xiàn)同一行有多于4個(gè)正方形的情況，不能出現(xiàn)田字形、凹字形的情況）判斷也可．【變式6-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，將左圖的正方形紙盒切去一角得到下圖，下列選項(xiàng)中，不能作為紙盒剩余部分的展開(kāi)圖的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)正方體展開(kāi)圖的特征，由條件結(jié)合圖形驗(yàn)證是否能拼成正方體，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)正方體的展開(kāi)圖的特征可知：A.圖形是中間四個(gè)連一行，兩邊隨意擺的形式，符合正方體的展開(kāi)圖，所以A選項(xiàng)正確；B.圖形是二三相連錯(cuò)一個(gè)，三一相連隨意的形式，符合正方體的展開(kāi)圖，所以B選項(xiàng)正確；C.圖形是三個(gè)兩排一對(duì)齊，不符合正方體的展開(kāi)圖，無(wú)法拼成正方體，所以C選項(xiàng)不正確；D.圖形是兩兩相連各錯(cuò)一的形式，符合正方體的展開(kāi)圖，所以D選項(xiàng)正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體展開(kāi)圖的特征，熟練掌握正方體展開(kāi)圖的各種形式，是解題的關(guān)鍵．題型07補(bǔ)一個(gè)面使其成為正方體的展開(kāi)面【例7】（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，在有序號(hào)的小正方形中選出一個(gè)，它與圖中五個(gè)有陰影的小正方形組合后，不能構(gòu)成正方體的表面展開(kāi)圖的是（

）

A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根據(jù)正方體的展開(kāi)圖判斷即可得出答案．【詳解】解：①②③都可以構(gòu)成正方體的表面展開(kāi)圖，它們都屬于“141”型，故A，B，C選項(xiàng)不符合題意；④不可以構(gòu)成正方體的表面展開(kāi)圖，因?yàn)槌霈F(xiàn)了“田”字，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開(kāi)圖，掌握正方體的11種展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在圖中，實(shí)線(xiàn)所圍成的多邊形區(qū)域（陰影部分）是由四個(gè)全等正方形拼接而成的．現(xiàn)在若補(bǔ)上圖中標(biāo)有號(hào)碼的其中一個(gè)全等小正方形，則可得到九個(gè)多邊形區(qū)域（每個(gè)區(qū)域恰好含有五個(gè)全等小正方形），試問(wèn)這九個(gè)多邊形區(qū)域中，可以折成無(wú)蓋的正方體容器的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)正方體的展開(kāi)圖有11種情況：1?4?1型共6種，1?3?2型共3種，2?2?2型一種，3?3型一種，由此判定找出答案即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：補(bǔ)上后能夠折成無(wú)蓋的正方體容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，共6個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查正方體的展開(kāi)圖，解決此題的關(guān)鍵是記住正方體展開(kāi)圖的類(lèi)型1-4-1型，2-3-1型，2-2-2型，3-3型．以及口訣“凹、田應(yīng)棄之”．【變式7-2】（2022·湖北恩施·統(tǒng)考二模）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，其中陰影部分的5個(gè)小正方形是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖的一部分．現(xiàn)在從其余的小正方形中任取一個(gè)涂上陰影，則能構(gòu)成這個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖的概率是（

）A．112 B．17 C．13【答案】D【分析】由正方體表面展開(kāi)圖的形狀可知，此正方體還缺一個(gè)上蓋，故應(yīng)在圖中四塊相連的空白正方形中選一塊，再根據(jù)概率公式解答即可．【詳解】解：因?yàn)楣灿?2個(gè)大小相同的小正方形，其中陰影部分的5個(gè)小正方形是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖的一部分，所以剩下7個(gè)小正方形．在其余的7個(gè)小正方形中任取一個(gè)涂上陰影，能構(gòu)成這個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖的小正方形有4個(gè)，因此先從其余的小正方形中任取一個(gè)涂上陰影，能構(gòu)成這個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖的概率是47故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，掌握概率公式是本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·廣東深圳·坪山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，方格紙（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都相同）中5個(gè)白色小正方形已剪掉，在剩余七個(gè)小正方形中再剪去1個(gè)正方形，恰好使余下部分能折成一個(gè)正方體的概率是．

【答案】2【分析】根據(jù)正方體的11種展開(kāi)圖的模型求解，即可得到答案．【詳解】解：由正方體的11種展開(kāi)圖的模型可知，把圖中的⑥或⑦剪去，余下部分能折成一個(gè)正方體，即概率為27故答案為：27【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開(kāi)圖，概率公式，熟記正方體的11種展開(kāi)圖的模型是解題關(guān)鍵題型08正方體相對(duì)兩面上的字或圖案【例8】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P，Q是一正方體展開(kāi)圖上的兩個(gè)頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)P，Q在正方體上的位置標(biāo)記正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)正方體展開(kāi)圖直接判斷即可得到答案；【詳解】解：由圖像可得，P，Q在相對(duì)的兩面，且與相鄰正方形頂點(diǎn)重合，故P，Q在同一條棱上，故選C；【點(diǎn)睛】本題考查正方體展開(kāi)圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握展開(kāi)圖的相對(duì)相鄰面及相鄰棱之間的關(guān)系．【變式8-1】（2023·河南信陽(yáng)·校考三模）習(xí)近平總書(shū)記在黨的二十大報(bào)告中提出：“新時(shí)代十年的偉大變革，在黨史、新中國(guó)史、改革開(kāi)放史、社會(huì)主義發(fā)展史、中華民族發(fā)展史上具有里程碑意義”將“二”“十”“大”“里”“程”“碑”這六個(gè)漢字分別寫(xiě)在某正方體的六個(gè)面上，下圖是它的一種展開(kāi)圖，則在原正方體中，與“里”字所在面相對(duì)的面上的漢字是（

）

A．十 B．二 C．程 D．碑【答案】B【分析】將正方體的展開(kāi)圖還原成立體圖，即可求解【詳解】解：若以“大”字作為正方體的底面可知：“十”、“碑”為前后兩個(gè)面；“二”、“里”為左右兩個(gè)面；“程”、“大”為上下兩個(gè)面．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查正方體展開(kāi)圖相對(duì)兩個(gè)面上的字．將展開(kāi)圖還原成立體圖是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃┫铝姓襟w的展開(kāi)圖中，每個(gè)面上都有一個(gè)漢字，則“口”的對(duì)面是“手”的展開(kāi)圖是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)正方體的表面展開(kāi)圖找相對(duì)面的方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、“口”的對(duì)面是“洗”，故A不符合題意；B、“口”的對(duì)面是“勤”，故B不符合題意；C、“口”的對(duì)面是“洗”，故C不符合題意；D、“口”的對(duì)面是“手”，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，熟練掌握根據(jù)正方體的表面展開(kāi)圖找相對(duì)面的方法是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測(cè)）有一個(gè)正方體，6個(gè)面上分別寫(xiě)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，有3個(gè)人從不同的角度觀(guān)察的結(jié)果如圖所示．如果記6的對(duì)面的數(shù)字為a，2的對(duì)面的數(shù)字為b，那么a+b的值為（

）

A．6 B．7 C．8 D．11【答案】B【分析】由圖一和圖二可看出1的對(duì)面的數(shù)字是5；再由圖二和圖三可看出3的對(duì)面的數(shù)字是6，從而2的對(duì)面的數(shù)字是4，從而可得答案．【詳解】解：從3個(gè)小立方體上的數(shù)可知，與寫(xiě)有數(shù)字1的面相鄰的面上數(shù)字是2，3，4，6，所以數(shù)字1面對(duì)數(shù)字5，與寫(xiě)有數(shù)字3的面相鄰的面上數(shù)字是1，2，4，5，所以立方體面上數(shù)字3對(duì)6．故立方體面上數(shù)字2對(duì)4．則a=3，b=4，那么a+b=3+4=7．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查靈活運(yùn)用正方體的相對(duì)面解答問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是按照相鄰和所給圖形得到相對(duì)面的數(shù)字．【變式8-4】（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖的正方體紙盒，只有三個(gè)面上印有圖案，下面四個(gè)平面圖形中，經(jīng)過(guò)折疊能?chē)纱苏襟w紙盒的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】四個(gè)選項(xiàng)中的圖都是正方體展開(kāi)圖的“1?4?1”結(jié)構(gòu)．由正方體可以看出，有圖案的三個(gè)面兩兩相鄰．【詳解】解：四個(gè)選項(xiàng)中的圖都是正方體展開(kāi)圖的“1?4?1”結(jié)構(gòu)．由正方體可以看出，有圖案的三個(gè)面兩兩相鄰；A、C、D選項(xiàng)折成正方體后有圖案的面有兩個(gè)相對(duì)，不符合題意；B選項(xiàng)折成正方體后，有圖案的三個(gè)面兩兩相鄰；

的展開(kāi)圖是

故選：B．【點(diǎn)睛】正方體展開(kāi)圖“1?4?1”結(jié)構(gòu)，折成正方體后，兩個(gè)“1”相對(duì)，“4”組成側(cè)面，間隔面相鄰．關(guān)鍵是明白有圖案的三個(gè)面兩兩相鄰．【變式8-5】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知一個(gè)正方體是三個(gè)面分別標(biāo)有〇、◎、※三種圖案，則它的展開(kāi)圖可能是（）A．B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正方體表面展開(kāi)圖的特征進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由正方體表面展開(kāi)圖的“相間、Z端是對(duì)面”可知，選項(xiàng)A中“〇面”“◎面”“※面”的對(duì)面都是“空白”，故選項(xiàng)A符合題意；選項(xiàng)B中的“◎面”與“※面”是對(duì)面，與題意矛盾，故選項(xiàng)B不符合題意；選項(xiàng)C中的“〇面”與“◎面”是對(duì)面，與題意矛盾，故選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D中的“◎面”與“※面”是對(duì)面，與題意矛盾，故選項(xiàng)D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的展開(kāi)圖，掌握正方體表面展開(kāi)圖的特征是正確解答本題的關(guān)鍵．正方體展開(kāi)圖相對(duì)面的確定方法：1）同一行或同一列，間隔一個(gè)面的兩個(gè)面是相對(duì)面；2）“Z”字型圖案中，兩端點(diǎn)處的兩個(gè)面是相對(duì)面.題型09與七巧板有關(guān)的計(jì)算【例9】（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）如圖，七巧板起源于我國(guó)先秦時(shí)期，古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情圖中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念逐項(xiàng)分析判斷即可，軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【詳解】解：選項(xiàng)A、B、D均不能找到這樣的一條直線(xiàn)，使直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；選項(xiàng)C能找到這樣的一條直線(xiàn)，使直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．【變式9-1】（2023·廣東深圳·?？既＃┢咔砂迨俏覈?guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的，如圖，是一個(gè)用七巧板拼成的裝飾圖，放入長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)，裝飾圖中的三角形頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，三角形①的邊GD在邊AD上，則BFBE的值為（

A．1+22 B．22 C．2+【答案】D【分析】設(shè)七巧板正方形的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)分別表示出BF，BE的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：設(shè)七巧板正方形的邊長(zhǎng)為x，∴2BE∴BE∴BE=2∴BF=1∴BF故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，七巧板，勾股定理，正方形的性質(zhì)，表示出BF，BE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·江西宜春·統(tǒng)考二模）七巧板是我們祖先的一項(xiàng)偉大創(chuàng)造，被興為“東方魔板”．在一次“美術(shù)制作”活動(dòng)課上，小明用邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片制作了如圖所示的七巧板（如圖1），并設(shè)計(jì)了一幅作品“我跑步，我快樂(lè)”創(chuàng)作畫(huà)（如圖2），則創(chuàng)作畫(huà)中陰影部分的面積是cm

【答案】5【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面積=18×【詳解】解：最小的等腰直角三角形的面積=18×∴陰影部分的面積為4+1=5cm故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的剪拼、七巧板，解題的關(guān)鍵是求出最小的等腰直角三角形的面積，學(xué)會(huì)利用分割法求陰影部分的面積．【變式9-3】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考三模）七巧板是中國(guó)民間流傳的一種傳統(tǒng)智力玩具，它是由等腰直角三角形，正方形和平行四邊形組成的．如圖，有一塊邊長(zhǎng)為42的正方形厚紙板ABCD，做成如圖①所示的一套七巧板(點(diǎn)O為正方形紙板對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AD、CD的中點(diǎn)，GE∥BI，IH∥CD

【答案】6【分析】依據(jù)勾股定理即可得到AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出FI=EI=2，EF=4，即可得到“魚(yú)尾”MN的長(zhǎng)．【詳解】解：∵正方形厚紙板ABCD的邊長(zhǎng)為42∴AD=CD=42∴AC=A又∵AG=GO=OH=CH，∴FI=EI=2，EF=4，∴NM=EF+IF=6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板問(wèn)題，掌握七巧板的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式9-4】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，且邊長(zhǎng)為4，那么陰影部分面積為．

【答案】3【分析】將正方形ABCD的面積分成16等份，看陰影部分占幾份即可．【詳解】解：如圖所示，正方形ABCD的面積可以分成16等份，

其中△BJE占1份，平行四邊形HPFD占2份，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴S正方形∴S【點(diǎn)睛】本題考查七巧板相關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出陰影部分所占面積與正方形面積之比．考點(diǎn)二直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的相關(guān)概念一、直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段的相關(guān)概念直線(xiàn)射線(xiàn)線(xiàn)段概念直線(xiàn)是幾何圖形基礎(chǔ)，是一個(gè)不做定義的原始概念.直線(xiàn)上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線(xiàn).直線(xiàn)上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線(xiàn)段.圖形表示方法直線(xiàn)AB或直線(xiàn)BA直線(xiàn)m射線(xiàn)OA射線(xiàn)n線(xiàn)段AB線(xiàn)段l端點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)1個(gè)2個(gè)延伸、度量情況可向兩方無(wú)限延伸不可度量只能以一方無(wú)限延伸不可度量不能延伸，可以度量不同點(diǎn)線(xiàn)段向一方延伸就成為射線(xiàn)，向兩方延伸就成為直線(xiàn)相同點(diǎn)都是直的線(xiàn)直線(xiàn)的性質(zhì)：1）直線(xiàn)公理:經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)：兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)；2）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)只有一條，過(guò)三點(diǎn)就不一定了.兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間的距離.線(xiàn)段的性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短.簡(jiǎn)稱(chēng)：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短.線(xiàn)段的長(zhǎng)度比較方法：1)度量法:分別用刻度尺測(cè)量線(xiàn)段AB、線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度，再進(jìn)行比較2)疊加法:讓線(xiàn)段某一段端點(diǎn)重合，比較另一邊兩端點(diǎn)的位置.線(xiàn)段中點(diǎn)的概念：把一條線(xiàn)段分成兩條相等的線(xiàn)段的點(diǎn)叫線(xiàn)段中點(diǎn).11.線(xiàn)段的長(zhǎng)度可以度量，所以能夠比較線(xiàn)段的長(zhǎng)短，而且線(xiàn)段的長(zhǎng)度是非負(fù)數(shù).2.一條線(xiàn)段的中點(diǎn)只有一個(gè).3.某一個(gè)點(diǎn)要成為一條線(xiàn)段的中點(diǎn)必須同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：1）點(diǎn)必須在這條直線(xiàn)上.2）它把這條線(xiàn)段分為兩條相等的兩條線(xiàn)段.題型01畫(huà)直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段【例1】（2023·河北廊坊·?？既＃┤鐖D，已知A、B兩點(diǎn)，畫(huà)射線(xiàn)AB，按照上述語(yǔ)句，下列畫(huà)法正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)射線(xiàn)的概念即可得到答案．【詳解】解：已知A、B兩點(diǎn)，畫(huà)射線(xiàn)AB，如圖所示：

，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了射線(xiàn)的定義，熟練掌握射線(xiàn)的定義：由線(xiàn)段的一端無(wú)限延伸所形成的直線(xiàn)，是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）下列各選項(xiàng)中的射線(xiàn)EF和直線(xiàn)AB能相交的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)的性質(zhì)和圖判斷即可．【詳解】解：A、射線(xiàn)EF延伸，不能與AB相交，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、能相交，故本選項(xiàng)正確；C、射線(xiàn)只能向F點(diǎn)方向延伸，不能向E點(diǎn)方向延伸，因此不能相交，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、射線(xiàn)只能向F點(diǎn)方向延伸，不能向E點(diǎn)方向延伸，因此不能相交，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：直線(xiàn)能向兩方無(wú)限延伸，射線(xiàn)只能向一方無(wú)限延伸，而線(xiàn)段不能延伸．【變式1-2】（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）如圖，若線(xiàn)段PC與線(xiàn)段OA有一個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)C可以是（

）A．點(diǎn)D B．點(diǎn)E C．點(diǎn)Q D．點(diǎn)M【答案】A【分析】把P與各點(diǎn)的連線(xiàn)段畫(huà)出來(lái)即可得到答案.【詳解】解：如圖，若線(xiàn)段PC與線(xiàn)段OA有一個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)C可以是D，故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是線(xiàn)段的概念，熟記線(xiàn)段的特征是解本題的關(guān)鍵.題型02求直線(xiàn)、線(xiàn)段的數(shù)量【例2】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段BD上，過(guò)A，B，C，D中的兩點(diǎn)可以畫(huà)一條直線(xiàn)，其中過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)有（

）

A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】A【分析】根據(jù)直線(xiàn)的特征即可得到答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)有AC，

故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了直線(xiàn)的條數(shù)，熟練掌握直線(xiàn)的特征是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）1000m的大道兩側(cè)從起點(diǎn)開(kāi)始每隔10m各種一棵樹(shù)，相鄰兩棵樹(shù)之間放一盆花，這樣需要（

）A．樹(shù)200棵，花200盆 B．樹(shù)202棵，花200盆C．樹(shù)202棵，花202盆 D．樹(shù)200棵，花202盆【答案】B【分析】用1000÷10求得大道一側(cè)的間隔數(shù)，用間隔數(shù)加上1就是一側(cè)植樹(shù)的棵數(shù)，再乘2就是兩側(cè)一共植樹(shù)的棵數(shù)，用間隔數(shù)乘2就是兩側(cè)一共要放多少盆花，【詳解】解：種花：1000÷10×2=100×2=200（盆）種樹(shù)：（1000÷10+1）×2=101×2=202（棵）答：這樣需要202棵樹(shù)，200盆花．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段上端點(diǎn)問(wèn)題．為使其更直觀(guān)，用圖示法來(lái)說(shuō)明．樹(shù)用點(diǎn)來(lái)表示，植樹(shù)的沿線(xiàn)用線(xiàn)來(lái)表示，這樣就把植樹(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線(xiàn)上的“點(diǎn)數(shù)”與相鄰兩點(diǎn)間的線(xiàn)的段數(shù)之間的關(guān)系問(wèn)題．【變式2-2】（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）哈齊高鐵于2015年開(kāi)通，是我國(guó)目前最北端的高速鐵路，開(kāi)通8年時(shí)間，方便了千千萬(wàn)萬(wàn)大慶市民出行，也推動(dòng)了龍江經(jīng)濟(jì)發(fā)展．從大慶西站到哈爾濱站中間有4個(gè)車(chē)站，共有種票價(jià)．（注：擬設(shè)每?jī)蓚€(gè)城市之間的票價(jià)相同）【答案】15【分析】把中途4站看作線(xiàn)段AB上的4個(gè)點(diǎn)，數(shù)出線(xiàn)段的數(shù)量即可求解．【詳解】把中途4站看作線(xiàn)段AB上的4個(gè)點(diǎn)．線(xiàn)段共有：5+4+3+2+1=15（條），所以有15種不同的票價(jià)．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段數(shù)量問(wèn)題，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．題型03求直線(xiàn)相交點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例3】（2023·安徽蚌埠·?？级＃⒁粔K等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可求解．【詳解】如圖所示，將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為7塊故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)分平面問(wèn)題，理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·四川達(dá)州·四川省渠縣中學(xué)?？级＃┰谄矫嬷校瑑蓷l直線(xiàn)最多只有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線(xiàn)最多有3個(gè)交點(diǎn)…若n條直線(xiàn)最多有325個(gè)交點(diǎn)，則n的值為（

）A．24 B．25 C．26 D．27【答案】C【分析】從簡(jiǎn)單情形考慮：分別求出2條、3條、4條、5條直線(xiàn)相交時(shí)最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】解：2條直線(xiàn)相交最多有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線(xiàn)相交最多有1+2個(gè)交點(diǎn)；4條直線(xiàn)相交最多有1+2+3個(gè)交點(diǎn)；5條直線(xiàn)相交最多有1+2+3+4個(gè)交點(diǎn)；…所以n條直線(xiàn)相交最多有1+2+3+4+5+…+（n-1）=12n（n∴12n(n?解得n=26（負(fù)值已舍去），則n值為26．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．【變式3-2】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）2條直線(xiàn)最多有S1個(gè)交點(diǎn)，3條直線(xiàn)最多有S2個(gè)交點(diǎn)，按照規(guī)律依此類(lèi)推，2023條直線(xiàn)最多有S2022個(gè)交點(diǎn)，則1A．20231012 B．40442023 C．40452023【答案】B【分析】先求出S1，S2，S3，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可得S【詳解】解：根據(jù)題意得：S1S2S3……，由此發(fā)現(xiàn)，Sn∴S2022∴1==2=2=2=4044故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)字類(lèi)規(guī)律題，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型04直線(xiàn)的性質(zhì)【例4】（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，工人砌墻時(shí)，先在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線(xiàn)，就能使砌的磚在一條直線(xiàn)上．這樣做應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）A．兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)C．垂線(xiàn)段最短 D．三角形兩邊之和大于第三邊【答案】B【分析】由直線(xiàn)公理可直接得出答案．【詳解】解：建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線(xiàn)，這種做法用幾何知識(shí)解釋?xiě)?yīng)是：兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線(xiàn)的性質(zhì)，要想確定一條直線(xiàn)，至少要知道兩點(diǎn)．【變式4-1】（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四條線(xiàn)段a，b，c，d中的一條與擋板另一側(cè)的線(xiàn)段m在同一直線(xiàn)上，請(qǐng)借助直尺判斷該線(xiàn)段是（

）A．a(chǎn) B．bC．c D．d【答案】A【分析】根據(jù)直線(xiàn)的特征，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一直線(xiàn)并且只有一條直線(xiàn)即可判斷．【詳解】解:設(shè)線(xiàn)段m與擋板的交點(diǎn)為A，a、b、c、d與擋板的交點(diǎn)分別為B，C，D，E，連結(jié)AB、AC、AD、AE，根據(jù)直線(xiàn)的特征經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)，利用直尺可確定線(xiàn)段a與m在同一直線(xiàn)上，故選擇A．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)的特征，掌握直線(xiàn)的特征是解題關(guān)鍵．題型05線(xiàn)段的性質(zhì)【例5】（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）如圖，A,B兩地間修建彎河道與修建直的河道橋相比，增加了河道橋的長(zhǎng)度，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（

）

A．兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短 B．平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行C．垂線(xiàn)段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)【答案】A【分析】把A，B兩地看作兩個(gè)點(diǎn)，再利用線(xiàn)段公理作答即可．【詳解】解：A，B兩地間修建彎河道與修建直的河道橋相比，增加了河道橋的長(zhǎng)度，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短．故選：A．【點(diǎn)睛】本題是線(xiàn)段公理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意、熟知兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，利用隧道，把彎曲的公路改直，就能縮短兩地的路程，這其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是．

【答案】?jī)牲c(diǎn)之間，線(xiàn)段最短【分析】根據(jù)線(xiàn)段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，解答即可．【詳解】解：由線(xiàn)段的性質(zhì)可知：兩點(diǎn)的所有連線(xiàn)中，可以有無(wú)數(shù)種連法，如折線(xiàn)、曲線(xiàn)、線(xiàn)段，這些所有的線(xiàn)中，線(xiàn)段最短，故答案為：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)段的性質(zhì)，即兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短．題型06與線(xiàn)段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算【例6】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，某同學(xué)用直尺畫(huà)數(shù)軸．?dāng)?shù)軸上點(diǎn)A、B分別在直尺的1cm，9cm處，若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)?4，直尺的0刻度位置對(duì)應(yīng)?6，則線(xiàn)段AB中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為（

A．4 B．5 C．8 D．12【答案】A【分析】根據(jù)題意得出1cm代表數(shù)軸上兩個(gè)單位長(zhǎng)度，求出線(xiàn)段AB中點(diǎn)對(duì)應(yīng)直尺5cm處，再求線(xiàn)段【詳解】解：∵點(diǎn)A、B分別在直尺的1cm，9cm處，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)?4，直尺的0刻度位置對(duì)應(yīng)∴1cm∴線(xiàn)段AB中點(diǎn)對(duì)應(yīng)直尺1+92∴線(xiàn)段AB中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：?4+2×4=4，故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，理解題意是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，不完整的數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，原點(diǎn)在A(yíng)、B之間，沿原點(diǎn)將負(fù)半軸折疊到正半軸上，點(diǎn)A落在點(diǎn)B左側(cè)4個(gè)單位長(zhǎng)度處，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為（）

A．2 B．?2 C．4 D．?4【答案】A【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，求出OC的長(zhǎng)即可得出線(xiàn)段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)．【詳解】如圖，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，A

設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為a，則OA=OA∴AB=?2a+4．∴AC=1∴OC=AC?OA=?a+2??a即線(xiàn)段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為2．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸、折疊以及線(xiàn)段的中點(diǎn)問(wèn)題，準(zhǔn)確畫(huà)出示意圖，求出線(xiàn)段中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A、B、O、C在數(shù)軸上的位置如圖所示，O為AC的中點(diǎn)，若AB=2，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為m，則點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)是(

)A．?2?m B．??m?2 C．?m+2【答案】D【分析】先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再求出點(diǎn)C坐標(biāo)．【詳解】AB=2,B為m則A點(diǎn)坐標(biāo)為：m?2B點(diǎn)與A點(diǎn)互為相反數(shù)，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為：?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的點(diǎn)的位置和坐標(biāo)，找到不同點(diǎn)之間是數(shù)量關(guān)系是本題關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是?1，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，線(xiàn)段AB=2，則點(diǎn)C表示的數(shù)是．

【答案】2【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)平分線(xiàn)段進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，線(xiàn)段AB=2∴AC=22∴點(diǎn)C表示的數(shù)是：22故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，以及線(xiàn)段的中點(diǎn)．熟練掌握線(xiàn)段中點(diǎn)的定義，以及數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．【變式6-4】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）A、B、C、D四個(gè)車(chē)站的位置如圖所示．

(1)A、C兩站的距離；(2)C、D兩站的距離；(3)若a=6，C為AD的中點(diǎn)，求b的值．【答案】(1)3a(2)a+3b(3)4【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)系式，合并即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意列出關(guān)系式，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)中點(diǎn)的定義列出方程計(jì)算即可求解．【詳解】（1）∵AC=AB+BC=a+b+2a?b=3a∴A、C兩站的距離為：3a；（2）∵CD=BD?BC=∴C、D兩站的距離為：a+3b；（3）∵C為AD的中點(diǎn)，∴AC=DC,∴3a=a+3b,當(dāng)a=6時(shí)，3×6=解得b=4．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵考點(diǎn)三角的相關(guān)概念角的定義（靜態(tài)）：由公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)所組成的圖形叫做角.角的定義（動(dòng)態(tài)）：由一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的圖形.角的分類(lèi)：∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°角的表示方法：角的表示圖例適用范圍注意事項(xiàng)用三個(gè)大寫(xiě)字母表示記作：∠ABC或∠CBA任何情況都適用表示頂點(diǎn)的字母一定要寫(xiě)在中間，邊上的字母寫(xiě)在兩側(cè).用一個(gè)大寫(xiě)字母表示記作：∠O1）以這個(gè)字母為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)；2）當(dāng)在一個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)或兩個(gè)以上的角時(shí),其中的任意一個(gè)角都不能用一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示.用一個(gè)數(shù)字表示任何情況都適用在靠近頂點(diǎn)處畫(huà)上弧線(xiàn)，表示出角的范圍，并注上數(shù)字或小寫(xiě)的希臘字母用一個(gè)希臘字母表示角度制：以度、分、秒為單位的角的度量制.度、分、秒的運(yùn)算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（160）′；1″=（11周角=2平角=4直角=360°.角的大小的比較：1）疊合法：使兩個(gè)角的頂點(diǎn)及一邊重合，比較另一邊的位置；2）度量法：分別用量角器測(cè)量?jī)蓚€(gè)角的大小，再進(jìn)行比較.角的平分線(xiàn)的概念：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線(xiàn)，叫做這個(gè)角的平分線(xiàn).【性質(zhì)】①若OC是∠AOB的平分線(xiàn)，則∠AOC=∠BOC=12②角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．余角的概念：如果兩個(gè)角的和等于直角，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)是另一個(gè)的余角.補(bǔ)角的概念：如果兩個(gè)角的和等于平角，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)是另一個(gè)的補(bǔ)角.【性質(zhì)】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的補(bǔ)角相等.11.因?yàn)樯渚€(xiàn)是向一方無(wú)限延伸的，所以角的兩邊無(wú)所謂長(zhǎng)短，即角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān).2.角的大小可以度量，可以比較.3.在進(jìn)行度、分、秒運(yùn)算時(shí)，由低級(jí)單位向高級(jí)單位轉(zhuǎn)化或由高級(jí)單位向低級(jí)單位轉(zhuǎn)化要逐步進(jìn)行.4.一條射線(xiàn)要成為一個(gè)角的平分線(xiàn)必須同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：1）射線(xiàn)必須在角的內(nèi)部.2）它把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角.5.鈍角沒(méi)有余角.6.互為余角、補(bǔ)角是兩個(gè)角之間的關(guān)系,7.兩個(gè)角互為余角、互為補(bǔ)角只與角的度數(shù)有關(guān)，與角的位置無(wú)關(guān).只要它們的度數(shù)之和等于90°或180°，就一定互為余角或補(bǔ)角.題型01度、分、秒的換算【例1】（2023·廣西賀州·統(tǒng)考一模）比較大小：40.15°40°15'（用>、=、【答案】<【分析】把兩個(gè)度數(shù)統(tǒng)一即可判斷．【詳解】解：40.15°=40°+0.15°=40°+0.15×6040°9故答案為：<．【點(diǎn)睛】本題考查了角的度數(shù)的表示，正確記憶度、分、秒是60進(jìn)制是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·浙江·二模）把下面的角度化成度的形式：118°20'42【答案】118.345°【分析】先將整數(shù)后面的小數(shù)部分變成最小單位秒，然后再化為度，最后與整數(shù)部分相加即可．【詳解】解：20'42''=20×60''+42''=1242''，1242''÷3600=0.345°，∴118°20'42''=118.345°，故答案為：118.345°．【點(diǎn)睛】題目主要考查角度間的換算，熟練掌握運(yùn)用換算進(jìn)率是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：80°?45°17'=【答案】34°43【分析】①兩個(gè)度數(shù)相減，被減數(shù)可借1°轉(zhuǎn)化為60′，再計(jì)算；②1度＝60分，即1°＝60′，依據(jù)度分秒的換算即可得到結(jié)果．【詳解】①80°?45°17②48°39故填：34°43'【點(diǎn)睛】本題主要考查了度分秒的換算，在進(jìn)行度、分、秒的運(yùn)算時(shí)也應(yīng)注意借位和進(jìn)位的方法．題型02鐘面角的計(jì)算【例2】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）在3：30、6：40、9：00、12：20中，時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌茸畲蟮氖牵?/p>

）A．3：30 B．6：40 C．9：00 D．12：20【答案】D【分析】根據(jù)時(shí)針的旋轉(zhuǎn)角減去分針的旋轉(zhuǎn)角，可得答案．【詳解】解：A、3：30時(shí)時(shí)針與分針的夾角是90°?1B、6：40時(shí)時(shí)針與分針的夾角是30°×2?30°×40C、9：00時(shí)時(shí)針與分針的夾角是90°，D、12：20時(shí)時(shí)針與分針的夾角是30°×4?30°×20所以時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌茸畲蟮氖?2：20，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角，利用了時(shí)針與分針的夾角是時(shí)針的旋轉(zhuǎn)角減去分針的旋轉(zhuǎn)角．【變式2-1】（2020·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列選項(xiàng)中，表示點(diǎn)P在點(diǎn)O的2點(diǎn)鐘方向的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)P在點(diǎn)O的2點(diǎn)鐘，而2點(diǎn)與12點(diǎn)相隔2格，每格30°即可求解；【詳解】∵點(diǎn)P在點(diǎn)O的2點(diǎn)鐘方向，，而2點(diǎn)與12點(diǎn)相隔2格，每格30°，∴表示點(diǎn)P在點(diǎn)O的2點(diǎn)鐘方向的圖形為：

故答案選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了鐘面上時(shí)針和分針的角度問(wèn)題，根據(jù)每格的度數(shù)是30°計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·廣東珠海·珠海容閎學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，圓形掛鐘分針針尖到圓心的距離10cm，經(jīng)20分鐘，分針針尖轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是（

）A．256πcm B．203πcm C．356πcm D．【答案】B【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得．弧長(zhǎng)公式為l=nπr180【詳解】解：l=nπr180=20×6×π×10180=20故選：B．【點(diǎn)睛】主要考查了圓周的弧長(zhǎng)公式和鐘表上分針?biāo)哌^(guò)的角度與時(shí)間之間的關(guān)系．弧長(zhǎng)公式為l=nπr180題型03方向角的表示【例3】（2022·河北石家莊·校考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩艘輪船同時(shí)離開(kāi)同一港口，各自沿一固定方向航行，航行的速度均為12海里/小時(shí)，甲船用1.5小時(shí)到達(dá)點(diǎn)A處，乙船用2小時(shí)到達(dá)點(diǎn)B處，且A，B兩點(diǎn)相距30海里．若甲船沿著北偏東30°的方向航行，在下列方向中，乙船的航行方向可以是（

）A．南偏東60° B．南偏西60° C．南偏西30° D．北偏西30°【答案】A【分析】依照題意畫(huà)出圖形，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間可求出OA、OB，根據(jù)OA、OB、AB的長(zhǎng)度，利用勾股定理的逆定理即可得出∠AOB＝90°，結(jié)合∠NOA的度數(shù)即可求出∠SOB的度數(shù)，此題得解．【詳解】解：如圖，設(shè)港口為O，OA=12×1.5=18km∵182∴OA∴△AOB為直角三角形，且∠AOB=90°，∵∠NOA=30°，∴∠SOB=60°，∴乙客輪的航行方向?yàn)槟掀珫|60°，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根據(jù)OA、OB、AB的長(zhǎng)度，利用勾股定理的逆定理找出∠AOB=90°是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，有A，B，C三個(gè)地點(diǎn)，且AB⊥BC，從A地測(cè)得B地的方位角是北偏東43°，那么從C地測(cè)B地的方位角是（）

A．北偏西47° B．南偏西43° C．北偏東43° D．南偏東47°【答案】D【分析】如圖，建立方位圖，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠CDB=∠EAB=43°，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求出∠BCD，即為從C地測(cè)B地的方位角.【詳解】解：如圖，由題意可得AE∥CD，∠EAB=43°，∴∠CDB=∠EAB=43°，∵AB⊥BC，∴∠BCD=90°?43°=47°，即從C地測(cè)B地的方位角是南偏東47°；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了方位角、平行線(xiàn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目，正確理解題意、求出∠BCD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.【變式3-2】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°的方向上，∠CBA=60°，則點(diǎn)C在點(diǎn)B的（

）

A．南偏東30° B．西偏東30° C．東騙西30° D．北偏西30°【答案】A【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠ABE=∠BAD=30°，由∠CBA=60°得到∠CBE=∠CBA?∠ABE=30°，即可得到答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD，

∵∠BAD=30°，∴∠ABE=∠BAD=30°，∵∠CBA=60°，∴∠CBE=∠CBA?∠ABE=30°，∴點(diǎn)C在點(diǎn)B的南偏東30°，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了方向角的相關(guān)計(jì)算和平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型04角平分線(xiàn)的相關(guān)計(jì)算【例4】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥OF，已知∠BOF=20°，OC平分∠AOE，則

A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】D【分析】先求出∠EOA的度數(shù)，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠AOC的度數(shù)，由此利用對(duì)頂角相等得到答案．【詳解】∵EO⊥OF∴∠EOF=90°，∵∠BOF=20°∴∠EOA=180°?90°?20°=70°，又∵OC平分∠AOE，∴∠AOC=故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線(xiàn)的定義，對(duì)頂角相等，正確掌握角平分線(xiàn)的定義求角度是解的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，直線(xiàn)AB和CD交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2=80°，則∠AOE的度數(shù)為（

）A．60° B．70° C．75° D．80°【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義以及角平分線(xiàn)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠1=∠2，∠1+∠2=80°，∴∠1=∠2=40°，∴∠AOD=180°?40°=140°，又∵OE平分∠AOD，∴∠DOE=∠AOE=1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，理解對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義，掌握角平分線(xiàn)的定義是正確解答的前提．【變式4-2】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖：OC是∠AOB的角平分線(xiàn)，l∥OA，若∠1=59°，則∠2的度數(shù)為（）

A．59° B．61° C．62° D．64°【答案】C【分析】先由l∥OA求出∠AOC，再由角平分線(xiàn)的定義求出∠AOB，然后根據(jù)兩直線(xiàn)平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)即可求出∠2的度數(shù)．【詳解】∵l∥OA，∴∠AOC=∠1=59°．∵OC是∠AOB的角平分線(xiàn)，∴∠AOB=2∠AOC=118°，∵l∥OA，∴∠2=180°?118°=62°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考一模）如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，射線(xiàn)OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=25°，則∠CON的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】D【分析】先利用角平分線(xiàn)的定義可得∠AOM=∠COM=35°，再根據(jù)垂直定義可得∠MON=90°，然后利用角的和差關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵射線(xiàn)OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠COM=25°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON?∠COM=65°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線(xiàn)，角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握垂直定義是解題的關(guān)鍵．題型05求一個(gè)角的余角、補(bǔ)角【例5】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知∠A和∠B互余，若∠A=52°，則∠B的度數(shù)為（

）A．52° B．48° C．38° D．28°【答案】C【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)直接解答．【詳解】∵∠A和∠B互余，∠A=52°，∴∠B=90°?∠A=38°．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握余角的性質(zhì)．【變式5-1】（2023·云南文山·統(tǒng)考一模）已知∠A=72°25'，則∠A的補(bǔ)角度數(shù)為（

）A．108°25' B．17°35' C．【答案】D【分析】利用補(bǔ)角的含義結(jié)合角度的減法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠A=72°25∴∠A的補(bǔ)角為180°?72°25故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是補(bǔ)角的含義，角度的四則運(yùn)算，掌握“補(bǔ)角的含義以及角的60進(jìn)位制”是解本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）如圖，直線(xiàn)l1∥l2，直線(xiàn)l3與l1，l2分別交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥l2【答案】37°45'【分析】根據(jù)已知條件得出AC⊥l1，則【詳解】解：∵l1∥l∴AC⊥l∴∠1+∠2=90°∵∠1=52°15∴∠2=90°?52°15故答案為：37°45【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，求一個(gè)角的余角，角度的計(jì)算，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型06與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算【例6】．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在A(yíng)B上，EC平分∠AED，若∠2=50°，則∠1的度數(shù)為（A．45° B．50° C．65° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角求出∠AED，利用角平分線(xiàn)求出∠AEC，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠1的度數(shù)．【詳解】解：∵∠2=50°，∴∠AED=180°?∠2=130°，∵EC平分∠AED，∴∠AEC=1∵AB∥∴∠1=∠AEC=65°，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了鄰補(bǔ)角的定義，角平分線(xiàn)的定義，兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）如圖所示的是一桿桿秤，桿秤是利用杠桿原理來(lái)稱(chēng)質(zhì)量的簡(jiǎn)易衡器，由木制的帶有秤星的秤桿、金屬秤砣、秤鉤、提繩等組成．在稱(chēng)物品時(shí)，提繩AB與秤砣繩CD互相平行，若∠α=92°，則∠β的度數(shù)為（A．92° B．90° C．88° D．86°【答案】C【分析】根據(jù)平角的定義，平行線(xiàn)的性質(zhì)求解．【詳解】∵∠α=∴∠BCD=180°?92°=88°∵AB∴∠β=∠BCD=88°故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平角的定義，平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）已知∠α和∠β是對(duì)頂角，且∠α和∠β互余，則∠β的度數(shù)為（

）A．45° B．30° C．90° D．120°【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)頂角及余角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵∠α和∠β是對(duì)頂角，∠α和∠β互余，∴∠α=∠β，∠α+∠β=90°，∴2∠β=90°，∴∠β=45°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在一筆直的海岸線(xiàn)l上有A、B兩個(gè)觀(guān)測(cè)站，AB=2km，從A測(cè)得船C在北偏東45°的方向，從B測(cè)得船C在北偏東22.5°的方向．則∠ACB的度數(shù)【答案】22.5°【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，用余角定義計(jì)算出∠CAD和∠CBD的度數(shù)，然后用三角形外角性質(zhì)求出∠CAB的度數(shù)．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，∵從A測(cè)得船C在北偏東45°的方向，∴∠CAD=90°-45°=45°，∵從B測(cè)得船C在北偏東22.5°的方向，∴∠CBD=90°-22.5°=67.5°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=22.5°．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角，余角，三角形外角，熟練掌握方位角的定義，余角的定義及計(jì)算，三角形外角性質(zhì)及計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．【變式6-4】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）按要求完成如下兩個(gè)小題．（1）已知一個(gè)角的余角是這個(gè)角的補(bǔ)角的14（2）如圖，已知直線(xiàn)AB和CD相交于O點(diǎn)，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=26°，求∠BOD的度數(shù)．【答案】（1）60°；（2）38°【分析】（1）設(shè)這個(gè)角為x度，表示出這個(gè)角的余角是（90-x）度，補(bǔ)角是（180-x）度，然后列出方程求解即可；（2）根據(jù)垂直的定義可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出∠AOF，然后求出∠AOC，再根據(jù)對(duì)頂角相等解答即可．【詳解】解：（1）設(shè)這個(gè)角為x度，則這個(gè)角的余角是（90-x）度，補(bǔ)角是（180-x）度，由題意得：90-x=14（180-x解得x=60，所以這個(gè)角是60°；（2）∵CO⊥OE，∴∠COE=90°，又∵∠COF=26°，∠EOF=90°-26°=64°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=64°，∴∠AOC=64°-26°=38°，∵∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，∴∠BOD=38°．【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義，角平分線(xiàn)的定義，是基礎(chǔ)題，（1）設(shè)出未知數(shù)列出方程是解題的關(guān)鍵，（2）準(zhǔn)確識(shí)圖，找出各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四相交線(xiàn)一、相交線(xiàn)直線(xiàn)的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線(xiàn)之間的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行.垂線(xiàn)的概念：當(dāng)兩條相交直線(xiàn)所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直，其中一條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，交點(diǎn)叫做垂足.垂線(xiàn)的性質(zhì)：1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直.2）兩條直線(xiàn)互相垂直，則它們之間所形成的四個(gè)角為直角.3）在同一平面內(nèi)，如果一條直線(xiàn)垂直于兩條平行線(xiàn)中的一條，那么這條直線(xiàn)垂直于另一條.垂線(xiàn)段最短定理：連接直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短，簡(jiǎn)稱(chēng)垂線(xiàn)段最短.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：直線(xiàn)外一點(diǎn)到這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.二、相交線(xiàn)中的角第一種對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角種類(lèi)圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角（∠1與∠2）有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)∠1=∠2鄰補(bǔ)角（∠3與∠4）有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn).∠3+∠4=180°第二種同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁?xún)?nèi)角同位角：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，在截線(xiàn)的同旁，在被截兩條直線(xiàn)同側(cè)，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.（同旁同側(cè)）如：∠1和∠5.內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，兩個(gè)角分別在截線(xiàn)的兩側(cè)，且?jiàn)A在兩條被截直線(xiàn)之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.（內(nèi)部異側(cè)）如：∠3和∠5.同旁?xún)?nèi)角：兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，在截線(xiàn)的同旁，在被截兩條直線(xiàn)內(nèi)部，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)叫同旁?xún)?nèi)角.（同旁?xún)?nèi)側(cè)）如：∠3和∠6.【速記同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁?xún)?nèi)角】三線(xiàn)八角的概念：指的是兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截而形成的八個(gè)角，其中同位角4對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有2對(duì)，同旁?xún)?nèi)角有2對(duì).正確認(rèn)識(shí)這八個(gè)角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同側(cè)”;內(nèi)錯(cuò)角要抓住“內(nèi)部和異側(cè)”;同旁?xún)?nèi)角要抓住“同旁和內(nèi)部”.11.線(xiàn)段與線(xiàn)段、線(xiàn)段與射線(xiàn)、線(xiàn)段與直線(xiàn)、射線(xiàn)與射線(xiàn)或射線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，是指它們所在的直線(xiàn)互相垂直.2.垂線(xiàn)是一條直線(xiàn)，而垂線(xiàn)段是一條線(xiàn)段.3.對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角.4.如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角.5.如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.6.兩直線(xiàn)相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).7.兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中，有2對(duì)對(duì)頂角，有4對(duì)鄰補(bǔ)角.8.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角是指具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角，是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)它們的識(shí)別要結(jié)合圖形.題型01點(diǎn)到直線(xiàn)的距離【例1】（2023·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則下列說(shuō)法不正確的是（

）

A．線(xiàn)段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)A到BC的距離 B．線(xiàn)段AD的長(zhǎng)是點(diǎn)C到AB的距離C．線(xiàn)段BC的長(zhǎng)是點(diǎn)B到AC的距離 D．線(xiàn)段BD的長(zhǎng)是點(diǎn)B到CD的距離【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：直線(xiàn)外一點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線(xiàn)的距離判斷即可得到答案．【詳解】解：A、線(xiàn)段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)A到BC的距離，正確，不合題意；B、線(xiàn)段AD的長(zhǎng)是點(diǎn)A到CD的距離，錯(cuò)誤，符合題意；C、線(xiàn)段BC的長(zhǎng)是點(diǎn)B到AC的距離，正確，不合題意；D、線(xiàn)段BD的長(zhǎng)是點(diǎn)B到CD的距離，正確，不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查的是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，掌握其概念是解決此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·浙江杭州·校聯(lián)考三模）如圖，點(diǎn)P是直線(xiàn)l外一點(diǎn)，A，O，B，C在直線(xiàn)l上，且PO⊥l，其中PA=3.5，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離可能是（）

A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5【答案】A【分析】根據(jù)垂線(xiàn)段最短解決此題．【詳解】解：根據(jù)垂線(xiàn)段最短，PO<PA=3.5，∵3.2<3.5<4<4.5，∴A符合要求．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，熟知“垂線(xiàn)段最短”是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）點(diǎn)A為直線(xiàn)BC外一點(diǎn)，AC⊥BC于點(diǎn)C，AC=6．點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上的動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段AP長(zhǎng)可能是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】D【分析】利用垂線(xiàn)段最短得到AP≥AC，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：如圖，

∵AC⊥BC，∴AP≥AC，而AC=6即AP≥6．故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線(xiàn)距離，垂線(xiàn)段最短，利用垂線(xiàn)段最短得到AP≥AC是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）AD是Rt△ABC的角平分線(xiàn)，若AB=4，BD=3，則點(diǎn)D到AC距離為（

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DE=DB=3即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E，∵AD是Rt△ABC的角平分線(xiàn)，DB⊥AB∴DE=DB=3，∴點(diǎn)D到AC距離為3，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，熟知角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．題型02利用對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求解【例2】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB于點(diǎn)O．若∠COE=35°，則∠AOD的度數(shù)為（A．105° B．115° C．125° D．135°【答案】C【分析】根據(jù)垂線(xiàn)的定義可得∠BOE=90°，根據(jù)∠BOC=∠BOE+∠COE，根據(jù)對(duì)頂角的定義∠AOD=∠BOC，即可得出答案．【詳解】解：∵EO⊥AB，∴∠BOE=90°，∴∠BOC=∠BOE+∠COE=90°+35°=125°，∴∠AOD=∠BOC=125°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線(xiàn)及對(duì)頂角的性質(zhì)，熟練掌握垂線(xiàn)的意義及對(duì)頂角的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·云南楚雄·統(tǒng)考二模）如圖，直線(xiàn)AB，CD交于點(diǎn)O，射線(xiàn)OM平分∠AOC，若∠BOD=48°，則∠BOM等于

（

）

A．96° B．132° C．146° D．156°【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠BOD=∠AOC=48°，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠AOM=1【詳解】解；∵∠BOD=∠AOC=48°，又∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=1∴∠BOM=180°?24°=156°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角、角平分線(xiàn)的定義，熟練掌握對(duì)頂角的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·河南周口·淮陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直線(xiàn)AB,CD相交于點(diǎn)O,EO⊥CD，若∠AOE=45∠BOC，則∠BOD=

A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等，垂直的定義，結(jié)合已知條件得出∠BOD+90°=4【詳解】解：∵∠BOD=∠AOC，∴∠AOE=∠AOC+90°=∠BOD+90°∵∠AOE=45∴∠BOD+90°=解得：∠BOD=30°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等，垂直的定義，一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┤鐖D，平面上直線(xiàn)a、b分別經(jīng)過(guò)線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)（數(shù)據(jù)如圖），則直線(xiàn)a、b相