安徽省皖豫名校聯(lián)盟高中畢業(yè)班第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

皖豫名校聯(lián)盟2024屆高中畢業(yè)班第二次考試數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式得到，解分式不等式得到，求出交集.【詳解】由題意得，故，，等價(jià)于，解得，故，所以.故選：A2.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由得到，再由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，故的虛部?故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的虛部的概念，突顯了對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、基本概念的考查.解答本題首先要了解復(fù)數(shù)的虛部的概念，其次要能熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.3.已知向量，命題．若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意，根據(jù)特征量詞命題的否定為真命題可得是真命題，易知時(shí)滿足題意，當(dāng)時(shí)，有，解之即可求解.【詳解】由題可知，命題的否定：，且否定是真命題，即是真命題．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且，所以．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)，且），則“是等差數(shù)列”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及充分條件與必要條件定義判斷即可．【詳解】若是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，所以，若，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)也滿足，所以，于是有是等差數(shù)列，所以“是等差數(shù)列”是“”的充要條件．故選：A5.已知是銳角三角形，函數(shù)，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再利用得到，同理得到，從而可判斷ABC，利用可判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，所以是偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，即，所以，故A正確；同理，，即，故BC錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．故選：A.6.某中學(xué)開(kāi)展結(jié)合學(xué)科知識(shí)的動(dòng)手能力大賽，參賽學(xué)生甲需要加工一個(gè)外輪廓為三角形的模具，原材料為如圖所示的是邊上一點(diǎn)，，要求分別把的內(nèi)切圓，裁去，則裁去的圓的面積之和為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件在中利用正弦定理及三角公式求出，分別在內(nèi)用等面積法求出內(nèi)切圓半徑即可得解.【詳解】在，設(shè)，則，，所以，在中，，由正弦定理得,即，即，化簡(jiǎn)得或，因?yàn)?，所以（?fù)值舍去），，故為等邊三角形，為等腰三角形，,在中，設(shè)圓的半徑為，根據(jù)等面積有，即，化簡(jiǎn)得，在中，設(shè)圓的半徑為，根據(jù)等面積有，即，化簡(jiǎn)得，所以圓的面積之和為，故選：C.7.有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應(yīng)聘，若每人至多被一家企業(yè)錄用，每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、乙兩人不能被同一家企業(yè)錄用，則不同的錄用情況種數(shù)是（）A.60 B.114 C.278 D.336【答案】D【解析】【分析】分三類，第一類，只有3人被錄用，第二類，只有4人被錄用，第三類，5人全部錄用，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理即可得到答案.【詳解】分三類情況，第一類情況，只錄用3人，有種情況；第二類情況，只錄用4人，有種情況；第三類情況，錄用5人有兩種情況：或，有種情況．所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理共有種．故選：D.8.若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其圖象性質(zhì)，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)的分布情況，從而列式即可得解.【詳解】令，得，即，記，則，對(duì)求導(dǎo)得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的大致圖象如圖，記，由于有三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，記為，當(dāng)時(shí)，有，即，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，有，即，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，有，即，解得；綜上，取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的零點(diǎn)的分布情況，數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于的不等式組，從而得解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)滿足時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的兩個(gè)分量之間滿足一種線性關(guān)系B.殘差等于預(yù)測(cè)值減去觀測(cè)值C.決定系數(shù)越大，模型擬合效果越差D.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，當(dāng)（為的臨界值）時(shí)，推斷零假設(shè)不成立【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)時(shí)的含義可判斷A；根據(jù)殘差的定義可判斷B，根據(jù)決定系數(shù)的含義判斷C；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的規(guī)則判斷D.【詳解】當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的兩個(gè)分量之間滿足一種線性關(guān)系，故A正確；殘差等于觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值，故B錯(cuò)誤；決定系數(shù)越大，模型擬合效果越好，故C錯(cuò)誤；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的規(guī)則，當(dāng)時(shí)，推斷零假設(shè)不成立，D正確，故選：BC10.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.最小的10個(gè)正零點(diǎn)之和為C.是的一個(gè)周期 D.在處的切線方程為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷A；令，求出對(duì)應(yīng)最小的10個(gè)正零點(diǎn)的和可判斷B；利用周期定義可判斷C；求出，求出在處的切線方程可判斷D．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以不是奇函?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，得，即，所以或或或，即，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)最小的10個(gè)正零點(diǎn)為，它們的和為，故B正確；對(duì)于C，由于，故C正確；對(duì)于D，，，，所以在處的切線方程為，故D正確．故選：BCD.11.若正實(shí)數(shù)滿足，記，則（）A.的最小值是2B.當(dāng)取最小值時(shí)，的最小值為C.當(dāng)取最仦值時(shí)，的最大值為D當(dāng)取最小值時(shí)，一定有【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式判斷AD；將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用換元法與函數(shù)單調(diào)性即可得解判斷BC；從而得解.【詳解】因?yàn)?，由可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以A正確，D錯(cuò)誤；當(dāng)取最小值時(shí)，，，所以，解得，又，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，記，則，所以，易得函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，則無(wú)最小值，所以B錯(cuò)誤，C正確．故選：AC.12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，則（）A.存在點(diǎn)，使B.當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面將正方體分成體積比為的大小兩部分C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為4D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理驗(yàn)證即可判斷A；如圖，由面面平行的性質(zhì)判斷幾何體是棱臺(tái)，結(jié)合棱臺(tái)的體積公式計(jì)算即可判斷B；結(jié)合圖形可知點(diǎn)的軌跡是以棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形，即可判斷C；先求出點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡，并求其長(zhǎng)度，再求出點(diǎn)在底面、側(cè)面內(nèi)的軌跡的長(zhǎng)度，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，如圖，在正方體中，易知，若存在點(diǎn)，使，由于與相交，所以平面，顯然不成立，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，如圖，記經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面與交于點(diǎn)，連接，則．由于平面平面，平面平面，平面平面，所以．記，則．記，則，所以點(diǎn)與重合．又平面平面，所以幾何體是棱臺(tái)，，其余部分的體積為，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面將正方體分成體積比為的大小兩部分，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形，如圖所示，軌跡的長(zhǎng)度為4，故C正確．對(duì)于D，先看點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖．設(shè)，由可得點(diǎn)的軌跡方程為，其是以為圓心，為半徑的圓，記該圓與交于點(diǎn)，則，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡為一段圓?。L(zhǎng)度為，同理點(diǎn)在底面內(nèi)的軌跡的長(zhǎng)度也為．當(dāng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)時(shí)，其軌跡可視為以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線，由于，所以，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的，長(zhǎng)為．分析易知，其余面上的點(diǎn)均不滿足題意．所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于立體幾何中的滿足一定條件下的點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，往往需要建立平面或空間直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行求解，將幾何問(wèn)題代數(shù)化可以大大減少思考難度，提高做題效率.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量求解即可.【詳解】由題可知，則，，故點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：14.為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)校在高一年級(jí)開(kāi)設(shè)了《數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)》選修課．在某次主題是“向量與不等式”的課上，學(xué)生甲運(yùn)用平面向量的數(shù)量積知識(shí)證明了著名的柯西不等式（二維）；當(dāng)向量時(shí)，有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；學(xué)生乙從這個(gè)結(jié)論出發(fā)．作一個(gè)代數(shù)變換，得到了一個(gè)新不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，并取名為“類柯西不等式”．根據(jù)前面的結(jié)論可知：當(dāng)時(shí)，的最小值是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)不等式構(gòu)造不等式左側(cè)求解即可.【詳解】由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，則，所以，最小值為，此時(shí)．故答案為：.15.已知橢圓，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，直角邊與橢圓分別交于另外兩點(diǎn)．若這樣的有且僅有一個(gè)，則該橢圓的離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先設(shè)出直線和直線，聯(lián)立橢圓方程，求出，表達(dá)出，根據(jù)相等關(guān)系得到無(wú)實(shí)數(shù)解或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，分兩種情況，求出，從而求出離心率的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)直線，則直線，聯(lián)立方程得，得，，用代替得，．由，得，該方程關(guān)于已有一解，由于符合條件的有且僅有一個(gè)，關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)解或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解．當(dāng)方程無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，，解得；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解時(shí)，，解得，，則該橢圓的離心率．故答案為：.【點(diǎn)睛】求橢圓的離心率是(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).16.從教學(xué)樓一樓到二樓共有11級(jí)臺(tái)階（從下往上依次為第1級(jí)，第2級(jí)，，第11級(jí)），學(xué)生甲一步能上1級(jí)或2級(jí)臺(tái)階，若甲從一樓上到二樓使用每一種方法都是等概率的，則甲踩過(guò)第5級(jí)臺(tái)階的概率是______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合題意求得學(xué)生甲上每級(jí)臺(tái)階的方法數(shù)，從而利用古典概型的概率公式即可得解.【詳解】記學(xué)生甲上到第級(jí)臺(tái)階共有種上法，則，當(dāng)時(shí)，學(xué)生甲上到第級(jí)臺(tái)階，可以從第級(jí)或第級(jí)上去，所以，于是，，，其中甲踩過(guò)第5級(jí)臺(tái)階的上臺(tái)階方法數(shù)，可分兩步計(jì)算，第一步，從第1級(jí)到第5級(jí)，共有種方法；第二步，從第6級(jí)到第11級(jí)，相當(dāng)于從第1級(jí)到第6級(jí)的方法數(shù)，共有種方法；所以甲踩過(guò)第5級(jí)臺(tái)階的上臺(tái)階方法數(shù)有，則甲踩過(guò)第5級(jí)臺(tái)階的概率是．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是得到遞推關(guān)系式，從而得解.四、解答題：共70分：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.如圖，任四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，求與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接，證明四邊形是正方形，即證明，即可證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接為棱的中點(diǎn)，，，故,則，又，，則四邊形是平行四邊形，又，，則平行四邊形是正方形，，又平面，平面，又平面．【小問(wèn)2詳解】，．由（1）知,故，，又平面，平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則．設(shè)與平面所成的角為，則，，即與平面所成角的余弦值為.18.在中，角的對(duì)邊分別為，.（1）求角；（2）若為鈍角三角形，且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化切為弦，然后根據(jù)兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可求解；（2）利用正弦定理化邊為角，根據(jù)輔助角公式化為，結(jié)合角的范圍利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解范圍.【小問(wèn)1詳解】由，得，即，所以，又，所以，又且，所以.【小問(wèn)2詳解】由正弦定理，得，所以，所以，因?yàn)槭氢g角三角形，不妨設(shè)為鈍角，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范圍?19.某工廠生產(chǎn)一批螺絲釘，長(zhǎng)度均為整數(shù)，且在至之間，技術(shù)監(jiān)督組為了解生產(chǎn)的螺絲釘質(zhì)量，按照長(zhǎng)度分為9組，每組抽取150個(gè)對(duì)其中的優(yōu)質(zhì)螺絲釘個(gè)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：長(zhǎng)期區(qū)間優(yōu)質(zhì)個(gè)數(shù)818184888483837066（1）設(shè)每個(gè)長(zhǎng)度區(qū)間的中點(diǎn)值為，優(yōu)質(zhì)個(gè)數(shù)為，求關(guān)于的回歸直線方程．若該廠又生產(chǎn)了一批長(zhǎng)度區(qū)間為的螺絲釘，并從中隨機(jī)抽取50個(gè)，請(qǐng)根據(jù)回歸直線方程預(yù)測(cè)這150個(gè)中的優(yōu)質(zhì)個(gè)數(shù)．（2）若在某一長(zhǎng)度區(qū)間內(nèi)有超過(guò)半數(shù)的螺絲釘是優(yōu)質(zhì)的，則認(rèn)為從該長(zhǎng)度區(qū)間內(nèi)任選一個(gè)均為優(yōu)質(zhì)的，否則不是．現(xiàn)從這五個(gè)長(zhǎng)度區(qū)間中各隨機(jī)抽取一個(gè)，再?gòu)倪@5個(gè)螺絲釘中任選3個(gè)，記隨機(jī)變量為其中的優(yōu)質(zhì)個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．（參考公式和數(shù)據(jù)：）【答案】19.；20.分布列見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)線性回歸分別求出，，從而求解．（2）根據(jù)題意可知的所有可能取值為，，，然后求出相應(yīng)的概率列出分布列，求出期望從而求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，所以，所以又所以，故關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，，即預(yù)測(cè)長(zhǎng)度區(qū)間為的個(gè)螺絲釘中的優(yōu)質(zhì)個(gè)數(shù)為．【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，在，，，，這五個(gè)長(zhǎng)度區(qū)間中，這三個(gè)長(zhǎng)度區(qū)間中超過(guò)半數(shù)是優(yōu)質(zhì)的，在，這兩個(gè)長(zhǎng)度區(qū)間中優(yōu)質(zhì)的不足一半，故隨機(jī)抽取得到的個(gè)螺絲釘中有個(gè)是優(yōu)質(zhì)的．所以的所有可能取值為，，，則，故隨機(jī)變量的分布列為．故期望為.20.已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，且（表示不超過(guò)的最達(dá)整數(shù)），．（1）求；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）2（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先推導(dǎo)可得，再累加可得，再判斷當(dāng)時(shí)，即可得；（2）推導(dǎo)可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，代入通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)，累加求和證明即可.【小問(wèn)1詳解】，，，．又是遞增數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，．．【小問(wèn)2詳解】，，則有，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，．，，原不等式得證．21.已知雙曲線分別是的左、右焦點(diǎn)．若的離心率，且點(diǎn)在上．（1）求的方程．（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與的左、右兩