（江蘇版）高考數(shù)學一輪復習 專題6.1 數(shù)列的概念與簡單表示法（講）-江蘇版高三全冊數(shù)學試題

專題6.1數(shù)列的概念與簡單表示法【考綱解讀】內(nèi)容要求備注ABC數(shù)列數(shù)列的概念√對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認識，并能解決相關(guān)的簡單問題.理解：要求對所列知識有較深刻的認識，并能解決有一定綜合性的問題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題.等差數(shù)列√等比數(shù)列√【直擊考點】題組一常識題1．數(shù)列1，－eq\f(5,8)，eq\f(7,15)，－eq\f(9,24)，…的一個通項公式是__________________．2．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq\f(1,an－1)(n≥2)，則a5＝________．【解析】由題意可知，a1＝1，a2＝1＋eq\f(1,a1)＝2，a3＝1＋eq\f(1,a2)＝eq\f(3,2)，a4＝1＋eq\f(1,a3)＝eq\f(5,3)，a5＝1＋eq\f(1,a4)＝eq\f(8,5).3．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋3，則數(shù)列{an}是________數(shù)列(填“遞增”或“遞減”)．【解析】由數(shù)列{an}的通項公式，得an＋1－an＝[2(n＋1)＋3]－(2n＋3)＝2>0，所以{an}是遞增數(shù)列．題組二常錯題4．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(n－1,n＋1)，則該數(shù)列的第5項是________．【解析】由數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(n－1,n＋1)，得a5＝eq\f(5－1,5＋1)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，即數(shù)列{an}的第5項是eq\f(2,3).5．已知數(shù)列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(11)，…，則2eq\r(5)是該數(shù)列的第________項．【解析】∵a1＝eq\r(2)，a2＝eq\r(5)，a3＝eq\r(8)，a4＝eq\r(11)，∴a5＝eq\r(14)，a6＝eq\r(17)，a7＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，即2eq\r(5)是該數(shù)列的第7項．6．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則其通項公式為______________．【解析】當n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5.顯然當n＝1時，不滿足上式，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))7．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3－a）x－3，x≤7，,ax－6，x>7，))數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，該實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且an＝f(n)，n∈N*，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－a>0，,a>1，,f（8）>f（7）))?2<a<3.題組三?？碱}8．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，則{an}的通項公式是an＝________．9．數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，則a1＝________．【解析】由題易知a8＝eq\f(1,1－a7)＝2，得a7＝eq\f(1,2)；a7＝eq\f(1,1－a6)＝eq\f(1,2)，得a6＝－1；a6＝eq\f(1,1－a5)＝－1，得a5＝2，于是可知數(shù)列{an}具有周期性，且周期為3，所以a1＝a7＝eq\f(1,2).10．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝0，且an－an－1＝n(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項公式為____________.【解析】由題意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq\f(（n－1）（n＋2）,2)＝eq\f(n2＋n－2,2)(n≥2)．因為a1＝0滿足上式，所以an＝eq\f(n2＋n－2,2).【知識清單】考點1數(shù)列的基本概念,由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式1．數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)，稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一項叫做數(shù)列的項.數(shù)列的項在這列數(shù)中是第幾項，則在數(shù)列中是第幾項.一般記為數(shù)列.對數(shù)列概念的理解(1)數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)，這有別于集合中元素的無序性．因此，若組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數(shù)列．(2)數(shù)列中的數(shù)可以重復出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別．2．數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列其中n∈N＋遞減數(shù)列常數(shù)列按其他標準分類有界數(shù)列存在正數(shù)，使擺動數(shù)列的符號正負相間，如1，－1,1，－1，…3．數(shù)列是一種特殊的函數(shù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集和正整數(shù)集的有限子集.所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點.4.數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．即,不是每一個數(shù)列都有通項公式,也不是每一個數(shù)列都有一個個通項公式.考點2由前項和公式推導通項公式，即與的關(guān)系求通項1.數(shù)列的前項和：2．數(shù)列的前項和和通項的關(guān)系：考點3由遞推公式推導通項公式如果已知數(shù)列{an}的首項(或前幾項)，且任一項與它的前一項(或前幾項)間的關(guān)系可用一個公式來表示，那么這個公式叫數(shù)列的遞推公式．考點4數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點，因此，在研究數(shù)列問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性．【考點深度剖析】江蘇新高考對數(shù)列知識的考查要求較高，整個高中共有8個C能級知識點，本章就占了兩個，高考中以填空題和解答題的形式進行考查，涉及到數(shù)形結(jié)合、分類討論和等價轉(zhuǎn)化的思想，著重考查學生基本概念及基本運算能力.經(jīng)常與其它章節(jié)知識結(jié)合考查，如與函數(shù)、方程、不等式、平面解析幾何知識結(jié)合考查.【重點難點突破】考點1數(shù)列的基本概念,由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式【題組全面展示】【1-1】數(shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于________．【答案】32【1-2】已知函數(shù)滿足：，則的值為_______．【答案】【解析】從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值從第二次開始后一個式子的右端值等于前一個式子的值與自變量的值加1的和，，．【1-3】已知數(shù)列的前幾項為,,,,…，則數(shù)列的一個通項公式為.【答案】.【解析】這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式.【1-4】已知數(shù)列的前幾項為9,99,999,9999，…，則數(shù)列的一個通項公式為.【答案】【解析】這個數(shù)列的前4項可以寫成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一個通項公式.【1-5】按數(shù)列的排列規(guī)律猜想數(shù)列，，，，…的第10項是_______．【答案】－ 綜合點評：根據(jù)數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式,做這一類題需仔細觀察分析,抓住以下幾方面的特征:分式中分子,分母的特征;相鄰項的變化特征;拆項后的特征;各項符號特征.并以此進行歸納,聯(lián)想.根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法,它蘊含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納法得出的結(jié)果是不可靠，要注意代值驗證，對于正負符號變化，可用或來調(diào)整．【方法規(guī)律技巧】1．根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，觀察出項與n之間的關(guān)系、規(guī)律，可使用添項、通分、分割等辦法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項公式來求．對于正負符號變化，可用或來調(diào)整．2．根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想．由不完全歸納法得出的結(jié)果是不可靠，要注意代值驗證.3.對于數(shù)列的通項公式要掌握：①已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列的各項；②根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式，這是一個難點，在學習中要注意觀察數(shù)列中各項與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項，看看這幾項的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項公式.【新題變式探究】【變式一】將石子擺成如圖的梯形形狀．稱數(shù)列為“梯形數(shù)”．根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第項與的差，即_______．【答案】【變式二】已知數(shù)列{an}中，對于任意若對于任意正整數(shù)，在數(shù)列中恰有個出現(xiàn)，則．【答案】【解析】由題意數(shù)列就是如圖數(shù)陣.確定的值，就是確定數(shù)列第個數(shù)在數(shù)陣中第幾行.因為所以在數(shù)陣中第行，所以【綜合點評】試題一是一個根據(jù)定義求數(shù)列的通項公式，做這一類題要注意觀察每一項的特點，觀察出項與之間的關(guān)系、規(guī)律，從而得數(shù)列的通項公式.試題二是一個根據(jù)數(shù)列的規(guī)律找通項公式，可根據(jù)數(shù)列的變化規(guī)律，找出在數(shù)陣中的位置，從而可求出的值.考點2由前項和公式推導通項公式，即與的關(guān)系求通項【題組全面展示】【2-1】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，則a5＝_______．【答案】16【解析】當n＝1時，S1＝a1＝2a1－1，∴a1又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．∴eq\f(an,an－1)＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.【2-2】數(shù)列的前項和為不等于的常數(shù))，則_______.【答案】【解析】由可得當時，，∴，∴∵∴，∵，∴是公比為的等比數(shù)列．又當時，，∴，∴．【2-3】已知數(shù)列的前n項和為Sn＝3n－1，則它的通項公式為an＝________.【答案】2·3n－1【解析】當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝2·3n－1；當n＝1時，a1＝S1＝2也滿足an＝2·3n－1.故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2·3n－1.【2-4】已知數(shù)列的前項和，則_______.【答案】【解析】時，，時，，將代入得，所以.【2-5】數(shù)列滿足,則.【答案】綜合點評：這些題都是由與前項和的關(guān)系來求數(shù)列的通項公式，可由數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系是，注意：當時，若適合，則的情況可并入時的通項；當時，若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示．【方法規(guī)律技巧】已知數(shù)列的前項和，求數(shù)列的通項公式，其求解過程分為三步：(1)先利用求出；(2)用替換中的得到一個新的關(guān)系，利用便可求出當時的表達式；(3)對時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合時的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．【注】該公式主要是用來求數(shù)列的通項，求數(shù)列通項時，一定要分兩步討論，結(jié)果能并則并，不并則分.【新題變式探究】【變式一】數(shù)列{an}滿足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式【答案】3n【解析】a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，把n換成n－1得，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，兩式相減得a【變式二】已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，則數(shù)列{an【答案】【綜合點評】這兩個題都是與的關(guān)系求通項型，利用轉(zhuǎn)化，解決遞推公式為與的關(guān)系式：數(shù)列{an}的前項和與通項的關(guān)系，通過紐帶：，根據(jù)題目求解特點，消掉一個或然后再進行構(gòu)造成等差或者等比數(shù)列進行求解．如需消掉，可以利用已知遞推式，把換成()得到新遞推式，兩式相減即可．若要消掉，只需把an＝Sn－Sn－1代入遞推式即可．不論哪種形式，需要注意公式成立的條件.考點3由遞推公式推導通項公式【題組全面展示】【3-1】已知數(shù)列滿足，則_______．【答案】192【解析】∵，∴，∴，，，又因為，所以，【3-2】已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式.【答案】【3-3】已知數(shù)列滿足=1，=()，則數(shù)列的通項公式.【答案】=.【解析】構(gòu)造新數(shù)列，其中p為常數(shù)，使之成為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列即=整理得：=使之滿足=∴p=1即是首項為=2，q=2的等比數(shù)列∴==.【3-4】在數(shù)列中，=1，(n=2、3、4……)，則數(shù)列的通項公式.【答案】().【解析】∵這n-1個等式累加得：=故且也滿足該式∴().【3-5】已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項公式.【答案】綜合點評：這些題都是由遞推公式推導通項公式，由和遞推關(guān)系求通項公式，可觀察其特點，一般常利用“化歸法”、“累加法”、“累乘法”、“構(gòu)造等比數(shù)列”、“迭代”等方法．【方法規(guī)律技巧】1.數(shù)列的遞推關(guān)系是相鄰項之間的關(guān)系，高考對遞推關(guān)系的考查不多，填空題中出現(xiàn)復雜遞推關(guān)系時，可以用不完全歸納法研究．在解答題中主要是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的基本量來求解．2.由遞推公式推導通項公式 （1）對于型，求，迭加累加（等差數(shù)列的通項公式的推導方法），由已知關(guān)系式得，給遞推式中的從2開始賦值，一直到，一共得到個式子，再把這個式子左右兩邊對應(yīng)相加化簡，即得到數(shù)列的通項.也可用迭代，即用的方法.（2）對于型，求，迭乘累乘（等比數(shù)列的通項公式的推導方法），由已知關(guān)系式得，給遞推式中的從2開始賦值，一直到，一共得到個式子，再把這個式子左右兩邊對應(yīng)相乘化簡，即得到數(shù)列的通項.也可用迭代，即用的方法.（3）對于型，求，一般可以利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，其公比為注意數(shù)列的首項為，不是對新數(shù)列的首項要弄準確.(4)形如的遞推數(shù)列可以用倒數(shù)法求通項．【新題變式探究】【變式一】已知數(shù)列滿足,(),則取得最小值的的值為_____.【答案】7【變式二】已知，若，則的表達式為________.【答案】【解析】，，，，，即，當且僅當時取等號，當時，，當時，，，即數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，，當時，，，.【綜合點評】這兩個題都是由由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，第一題與不等式結(jié)合，第二題與函數(shù)結(jié)合，第一題首先由疊乘法求出通項公式，然后代入有基本不等式可得，第二題由函數(shù)的性質(zhì)找出遞推關(guān)系，從而找出，即可得出的表達式.考點4數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用【題組全面展示】【4-1】已知，則數(shù)列的最大項是_______．【答案】【解析】是關(guān)于的二次函數(shù).【4-2】設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足,且數(shù)列為遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍為_______．【答案】(2,3)【4-3】在數(shù)列中，前項和為，，則當最小時，的值為_______．【答案】6【解析】令，得，故當時，；當時，，故當時，最小.【4-4】若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和數(shù)值最大時，n的值為_______．【答案】7【4-5】已知數(shù)列的首項，其前項和為，且滿足.若對任意的，恒成立，則的取值范圍是.【答案】【解析】試題分析：由條件得，兩式相減得，故，兩式再相減得，由得，，從而；得，，從而，由條件得，解之得.綜合點評：這些題都是數(shù)列的函數(shù)特征的應(yīng)用，做這一類題，一是利用函數(shù)的性質(zhì)，同時注意數(shù)列的性質(zhì)，抓住試題的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用.【方法規(guī)律技巧】1.數(shù)列中項的最值的求法數(shù)列中或的最值問題與函數(shù)處理方法類似，首先研究數(shù)列或的特征，再進一步判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而得到最值．要注意的細節(jié)是只能取正整數(shù)．數(shù)列中最大項和最小項的求法求最大項的方法：設(shè)為最大項，則有；求最小項的方法：設(shè)為最小項，則有.前項和最值的求法(1)先求出數(shù)列的前項和，根據(jù)的表達式求解最值；(2)根據(jù)數(shù)列的通項公式，若，且，則最大；若，且，則最小，這樣便可直接利用各項的符號確定最值.2．在運用函數(shù)判斷數(shù)列的單調(diào)性時，要注意函數(shù)的自變量為連續(xù)的，數(shù)列的自變量為不連續(xù)的，所以函數(shù)性質(zhì)不能夠完全等同于數(shù)列的性質(zhì)．有些數(shù)列會出現(xiàn)前后幾項的大小不一，從某一項開始才符合遞增或遞減的特征，這時前幾項中每一項都必須研究．3.數(shù)列中恒等關(guān)系和有解問題主要是建立關(guān)于數(shù)列中基本量或相關(guān)參數(shù)的方程，再進一步論證該方程是否有整數(shù)解問題，其中對方程的研究是關(guān)鍵，一般可從奇偶數(shù)、約數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)等方面論證，也可以先利用參數(shù)范圍，代入相關(guān)的整數(shù)研究．4．數(shù)列