（江蘇版）高考數學一輪復習 專題6.2 等差數列及其求和（講）-江蘇版高三全冊數學試題

專題6.2等差數列及其求和【考綱解讀】內容要求備注ABC數列數列的概念√對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認識，并能解決相關的簡單問題.理解：要求對所列知識有較深刻的認識，并能解決有一定綜合性的問題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識的內在聯系，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題.等差數列√等比數列√【直擊考點】題組一常識題1．－401是等差數列－5，－9，－13，…的第________項．【解析】由已知得首項a1＝－5，公差d＝－4，∴an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1，∴－401＝－4×n－1，解得n＝100.2．在等差數列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________．【解析】由等差數列的性質，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a3．已知數列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n＋2，則其通項公式為an＝____________．【解析】當n＝1時，a1＝S1＝4，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋2－(n－1)2－(n－1)－2＝2n.∵a1＝4不滿足an＝2n，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n，n≥2.))題組二常錯題4．若數列{an}滿足a1＝1，an＋1－an＝n，則數列{an}的通項公式為an＝________．5．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，則n＝________．【解析】因為Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，所以a1＋an＝30.由Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝210，得n＝14.6．設Sn是等差數列{an}的前n項和，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，則eq\f(S6,S12)＝________．【解析】由等差數列的求和公式可得eq\f(S3,S6)＝eq\f(3a1＋3d,6a1＋15d)＝eq\f(1,3)，可得a1＝2d且d≠0，所以eq\f(S6,S12)＝eq\f(6a1＋15d,12a1＋66d)＝eq\f(27d,90d)＝eq\f(3,10).題組三?？碱}7．已知{an}是公差為1的等差數列，Sn為{an}的前n項和．若S8＝4S4，則a10＝________．【解析】由S8＝4S4，得8a1＋eq\f(8×7,2)×1＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)×1))，解得a1＝eq\f(1,2)，所以a10＝eq\f(1,2)＋(10－1)×1＝eq\f(19,2).8．已知數列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an－1＝an－eq\f(2,3)(n≥2)，則數列{an}的前10項和等于________．【解析】由a1＝eq\f(1,2)，an－1＝an－eq\f(2,3)(n≥2)，可知數列{an}是首項為eq\f(1,2)，公差為eq\f(2,3)的等差數列，故S10＝10×eq\f(1,2)＋eq\f(10×（10－1）,2)×eq\f(2,3)＝5＋30＝35.9．在等差數列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________．【解析】a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，∴a5＝5，∴a2＋a8＝2a【知識清單】考點1等差數列的定義，通項公式，基本運算等差數列的有關概念1.定義：等差數列定義：一般地，如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母表示.用遞推公式表示為或.2.等差數列的通項公式：；說明：等差數列（通?？煞Q為數列）的單調性：為遞增數列，為常數列，為遞減數列.3.等差中項的概念：定義：如果，，成等差數列，那么叫做與的等差中項,其中.，，成等差數列.4.等差數列的前和的求和公式：.5.要注意概念中的“從第2項起”．如果一個數列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數，那么此數列不是等差數列．6.注意區(qū)分等差數列定義中同一個常數與常數的區(qū)別．考點2等差數列的性質1.等差數列的性質：（1）在等差數列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（2）在等差數列中，相隔等距離的項組成的數列是等差數列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差數列中，對任意，，，；（4）在等差數列中，若，，，且，則,特殊地，時，則，是的等差中項.（5）等差數列被均勻分段求和后，得到的數列仍是等差數列，即成等差數列.（6）兩個等差數列與的和差的數列仍為等差數列．（7）若數列是等差數列,則仍為等差數列．2．設數列是等差數列，且公差為，（Ⅰ）若項數為偶數，設共有項，則①；②；（Ⅱ）若項數為奇數，設共有項，則①(中間項)；②.3.,則,.4.如果兩個等差數列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是兩個原等差數列公差的最小公倍數．5.若與為等差數列，且前項和分別為與，則考點3等差數列的前項和公式的綜合應用，等差數列最值1.等差數列的前n項和公式若已知首項和末項，則，或等差數列{an}的首項是，公差是，則其前項和公式為.2．等差數列的增減性：時為遞增數列，且當時前n項和有最小值．時為遞減數列，且當時前n項和有最大值．【考點深度剖析】江蘇新高考對數列知識的考查要求較高，整個高中共有8個C能級知識點，本章就占了兩個，高考中以填空題和解答題的形式進行考查，涉及到數形結合、分類討論和等價轉化的思想，著重考查學生基本概念及基本運算能力.經常與其它章節(jié)知識結合考查，如與函數、方程、不等式、平面解析幾何知識結合考查.【重點難點突破】考點1等差數列的定義，通項公式，基本運算【題組全面展示】【1-1】已知數列，若點均在直線上，則數列的前9項和等于__________.【答案】18【1-2】已知表示數列的前項和，若對任意的滿足，且，則__________.【答案】【1-3】數列中，已知且，則前項和為，則的值為__________.【答案】【解析】試題分析：因為，所以公差，由得，所以.【1-4】在數列中，，，記是數列的前項和，則=.【答案】480【解析】∵，∴，，，……，且，，，……，∴為等差數列，且，即，，，，∴，，，……，∴.【1-5】已知為等差數列，其前項和為．若，，，則．【答案】8【解析】采用等差數列的基本量法，，，．綜合點評：前四個題是等差數列的判斷,第五個題是等差數列5個基本量問題,在判斷一個數列是否為等差數列時，應該根據已知條件靈活選用不同的方法，一般是先建立與的關系式或遞推關系式，表示出，然后驗證其是否為一個與無關的常數,基本量的計算：即運用條件轉化為關于和的方程組來處理.【方法規(guī)律技巧】1．等差數列的四種判斷方法(1)定義法：對于數列，若(常數)，則數列是等差數列；(2)等差中項：對于數列，若，則數列是等差數列;(3)通項公式：(為常數,)?是等差數列;(4)前項和公式：(為常數,)?是等差數列;(5)是等差數列?是等差數列.2．活用方程思想和化歸思想在解有關等差數列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現了用方程的思想解決問題,注意要弄準它們的值.運用方程的思想解等差數列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設未知數、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算．3.特殊設法:三個數成等差數列，一般設為；四個數成等差數列，一般設為.這對已知和,求數列各項,運算很方便.4．若判斷一個數列既不是等差數列又不是等比數列，只需用驗證即可．5.等差數列的前n項和公式若已知首項和末項，則，或等差數列{an}的首項是，公差是，則其前項和公式為.【新題變式探究】【變式一】已知數列為等差數列，且，，的值為__________.【答案】【解析】設等差數列，則，，所以，所以.【變式二】數列中,,,若存在實數,使得數列為等差數列,則=_________.【答案】2【綜合點評】第一題是求通項公式,第二題是等差數列定義的應用,第一題利用等差數列的通項公式求法求出,從而可得的值,第二題設,利用,把換成,利用等差數列的定義,即可求出的值.考點2等差數列的性質【題組全面展示】【2-1】等差數列的前項和為，若，則的值是__________.【答案】28 【解析】由題意可知，，則，所以.【2-2】在等差數列中，已知，則=__________.【答案】20【解析】因為，所以由等差數列的性質，得，所以=.【2-3】設等差數列的前n項和為,若,則的值是__________.【答案】54【解析】由得，所以．【2-4】在等差數列中，若，則該數列的前15項的和為____________.【答案】15【2-5】設等差數列的前項和為，若，，則等于．【答案】【解析】由等差數列的性質知，．綜合點評：這些題都是等差數列的性質的應用,熟記等差數列的性質,并能靈活運用是解這一類題的關鍵,注意等差數列與等比數列的性質多與其下標有關，解題需多注意觀察，發(fā)現其聯系，加以應用．【方法規(guī)律技巧】1.等差數列的性質是等差數列的定義、通項公式以及前n項和公式等基礎知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等差數列問題．2.等差數列的性質多與其下標有關，解題需多注意觀察，發(fā)現其聯系，加以應用,故應用等差數列的性質解答問題的關鍵是尋找項的序號之間的關系．3.應用等差數列的性質要注意結合其通項公式、前n項和公式．4.解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯系和隱含條件，明確解題方向、形成解題策略.【新題變式探究】【變式一】已知是等差數列，為其前項和，若，O為坐標原點，點，點，則__________.【答案】-2014【解析】由得，，又，即，則，所以.【變式二】等差數列中的、是函數的極值點，則__________.【答案】【綜合點評】這兩個題都是等差數列的性質的應用,第一個題是與向量結合,解題的關鍵是利用等差數列的性質求得,再利用向量的數量積即可,第二個題與導數的極值,方程的根與系數關系,對數求值相結合,解題的關鍵是審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，把函數的極值轉化為等差數列的性質,從而求解.考點3等差數列的前項和公式的綜合應用，等差數列最值【題組全面展示】【3-1】已知等差數列的前項和為__________.【答案】4【解析】∵，∴，∴而，又∵，∴，∴而，∴，，∴前4項的和最大，即.【3-2】設正項等差數列的前項和為，若，則的最小值為__________.【答案】2【解析】由題意可知．，，當且僅當，即，亦即時等號成立．【3-3】若為等差數列，為其前項和，若首項，公差，則使最大的序號為__________.【答案】4【解析】因為為等差數列，，所以數列為遞減數列，且，所以前4項的和最大.【3-4】在等差數列中，，且，則的最大值是________．【答案】9【解析】在等差數列中，，得，即，，∴6≥2，即，當且僅當時取等號，∴的最大值為9.【3-5】若等差數列滿足，則當時，的前項和最大.【答案】綜合點評：這幾個題都是等差數列最值問題，解這一類題，往往結合數列的性質，以及數列的函數特征，因此審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，利用二次函數，基本不等式，解二次不等式等，從而解決問題.【方法規(guī)律技巧】求等差數列前項和的最值，常用的方法：1.利用等差數列的單調性或性質，求出其正負轉折項，便可求得和的最值．當，時，有最大值；，時，有最小值；若已知，則最值時的值（）則當，，滿足的項數使得取最大值，(2)當，時，滿足的項數使得取最小值.2.利用等差數列的前n項和：(為常數,)為二次函數，通過配方或借助圖像，二次函數的性質，轉化為二次函數的最值的方法求解；有時利用數列的單調性（,遞增；，遞減）；3.利用數列中最大項和最小項的求法：求最大項的方法：設為最大項，則有；求最小項的方法：設為最小項，則有.只需將等差數列的前n項和依次看成數列，利用數列中最大項和最小項的求法即可.4.在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用.【新題變式探究】【變式一】設等差數列滿足，公差，當且僅當時，數列的前項和取得最大值，求該數列首項的取值范圍__________.【答案】【變式二】在等差數列中，，公差為，前項和為，當且僅當時取最大值，則的取值范圍_________.【答案】【解析】由題意得：，所以，即【綜合點評】這兩個題都是等差數列前項和最值的應用，解題的關鍵是，利用等差數列前項和取得最值的條件，建立不等式，從而求出參數的范圍.【易錯試題常警惕】 易錯典例：在等差數列中，已知a1＝20，前n項和為，且S10＝S15，求當n取何值時，有最大值，并求出它的最大值．【錯解二】由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－eq\f(5,3)，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20＋（n－1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＞0，①,20＋n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))≤0，②))由①得n＜13，由②得n≥12，∴n＝12時，Sn有最大值S12＝130.易錯分析：錯解一中僅解不等式an＞0不能保證Sn最大，也可能an＋1＞0，應有an≥0且an＋1≤0.錯解二中僅解an＋1≤0也不能保證Sn最大，也可能an≤0，應保證an≥0才行．正確解析：解法一：∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋eq\f(10×9,2)d＝15×20＋eq\f(15×14,2)d.∴d＝－eq\f(5,3).∴an＝20＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝－eq\f(5,3)n＋eq\f(65,3).∴a13＝0.即當n≤12時，an＞0，n≥14時，an＜0.∴當n＝12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S