2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：尺規(guī)作圖設(shè)計

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題一尺規(guī)作圖設(shè)計

一、三角形作圖（高，角平分線，中線及中垂線，平行線等）

1.如圖，已知AABC,請用尺規(guī)過點A作一條直線，使其將AABC分成面積相等的兩部分.（保留

作圖痕跡，不寫作法）

2.如圖，已知AABC,CA=CB,NAeD是的一個外角.請用尺規(guī)作圖法，求作射線CP,使

CPllAB.（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑴作中線AD；

⑵尺規(guī)作出角平分線BE；

⑶作BC邊的高線.

4.如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,AB=2CD,E為AB的中點，請僅用無刻度直尺分別按下

列要求畫圖（保留畫圖痕跡）.

（1）在圖1中，畫出△ABD的BD邊上的中線；

（2）在圖2中，若BA=BD,畫出△ABD的AD邊上的高.

5.為了美化校園，某小區(qū)要在如圖所示的三角形空地（AABC）上作一個半圓形花壇并使之滿足以

下要求；①圓心在邊BC上，②該半圓面積最大.請你幫忙設(shè)計這一花壇.

6.兩個城鎮(zhèn)A,B與一條公路CD,一條河流CE的位置如圖所示，某人要修建一避暑山莊，要求該

山莊到A,B的距離必須相等，到CD和CE的距離也必須相等，且在NDCE的內(nèi)部，請畫出該山莊

（1）如圖1,A為圓E上一點，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出圓內(nèi)接正方形；

（2）我們知道，三角形具有性質(zhì)，三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點,

三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質(zhì)：三條高交于同一點，請運用上述性質(zhì)，只用直

尺（不帶刻度）作圖：

①如圖2,在□∕8CZ）中，E為CD的中點，作BC的中點F；

②圖3,在由小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點都在小正方形的頂點上，作AABC的高AH

8.下面是小明同學(xué)設(shè)計的“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.

P.

已知：如圖，直線I和直線/外一點P.

求作：直線PQ,使直線PQ//直線I.

作法：如圖，

①在直線I上任取一點A,作射線AP；

②以P為圓心，PA為半徑作弧，交直線I于點B,連接PB；

③以P為圓心，PB長為半徑作弧，交射線AP于點C；分別以B1C為圓心，大于jβC

長為半徑作弧，在AC的右側(cè)兩弧交于點Q;

④作直線PQ；

所以直線PQ就是所求作的直線.

根據(jù)上述作圖過程，回答問題：

(1)用直尺和圓規(guī)，補全圖中的圖形；

(2)完成下面的證明：

證明：由作圖可知PQ平分乙CPB,

1

?乙CPQ=乙BPQ="CPB.

又??,PA=PB,

???(PAB=?PBA.(▲)(填依據(jù)I).

V乙CPB=?PAB+?PBA,

1

????PAB=?PBA=RCPB.

???MPQ=乙PAB,J直線PQ//直線I.(▲X填依據(jù)2).

二、平面直角坐標(biāo)系作圖(位似，軸對稱，平移等)

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知AABC的三個頂點坐標(biāo)分別是4(2,2)、5(4,0)、C(4,-4).

⑴請畫出小ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到的△AB1Cv

⑵若點。在線段BICl上，且直線4。將AABiCi分成面積相等的兩部分，請畫出線段4。，并寫出O

的坐標(biāo).

10.如圖、在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(4,1),B(2,3),C(1,

2).

⑴畫出與aABC關(guān)于y軸對稱的^AIBICU

⑵以原點O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫一個△A2B2C2,使它與△ABC的相似比為2：1,并寫

出點B?的坐標(biāo).

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)是A(0,-2),B(6,-4),C

(2,-6).

⑴請畫出與△ABC關(guān)于X軸對稱的小A1BiC,.

⑵以點O為位似中心，將4ABC縮小為原來的④，得到△A2B2C2,請在y軸左側(cè)畫出△A2B2C2.

⑶在y軸上存在點P,使得4OB2P的面積為6,請直接寫出滿足條件的點P的坐標(biāo).

12.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知ATlBC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(3,3),5(4,0),C(0,2).

(2)以點O為位似中心，將AABC縮小為原來的*，得到A42B2C2,請在y軸的右側(cè)畫出△

^2^2^2-

(3)在y軸上存在點P,使得aθ∕ιP的面積為6,請直接寫出滿足條件的點P的坐標(biāo).

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點71(-1,5),β(-3,l)和C(4,0),請按下列要求畫圖并

填空.

(1)平移線段AB,使點A平移到點C,畫出平移后所得的線段CD,并寫出點D的坐標(biāo)為

(2)將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，畫出旋轉(zhuǎn)后所得的線段AE,并直接寫出

CGS乙BCE的值為_▲一；

(3)在y軸上找出點F,使AABF的周長最小，并直接寫出點F的坐標(biāo)為—

14.如圖所示，每個小方格都是邊長為1的正方形，以O(shè)點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)畫出四邊形OABC關(guān)于y軸對稱的四邊形OAIBIC1,并寫出點Bl的坐標(biāo)。

(2)畫出四邊形OABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后得到的四邊形OA2B2C2；連接OB,求出

OB旋轉(zhuǎn)到OB2所掃過部分圖形的面積.

15.如圖，XABC在平面直角坐標(biāo)系中，頂點的坐標(biāo)分別為A(4,4),B(Ll),C(4,l).

(1)畫出與aABC關(guān)于y軸對稱的ZkAiBiCi；

(2)將4ABC繞點。1順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AA2B2C2，AA2弧是點A所經(jīng)過的路徑，則旋

轉(zhuǎn)中心O1的坐標(biāo)為.

(3)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留兀).

三、網(wǎng)格作圖

16.如圖在5x5的網(wǎng)格中，AABC的頂點都在格點上.(僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫

圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示)

圖1圖2圖3

(1)在圖1中畫出△ABC的中線AD；

(2)在圖2中畫線段CE,點E在AB上，使得SbACE:S&BCE=2：3；

(3)在圖3中畫出△ABC的外心點O.

17.圖①，圖②均是邊長為1的小正方形組成的4x3的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點,

?ABC的頂點均在格點上，請用無刻度直尺按要求作圖。

(2)在圖2中，作AABC的高線AH。

18.圖①、圖②都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，△ZBC為格點三角形.請僅用無刻度

的直尺在網(wǎng)格中完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.

(1)在圖①中，畫出XABC中AB邊上的中線CM；

(2)在圖②中，畫出XABC中AC邊上的高BN,并直接寫出△ABC的面積.

19.如圖均是5x5的正方形網(wǎng)絡(luò)，每個小正方形的頂點稱為格點，AABC的頂點4,B,C

都在格點上，按照下列要求畫圖.

miIfi2圖3

(1)在圖1中，畫XABC的高AD.

(2)在圖2中，①AB=；

②畫以乙B為頂角的等腰三角形ABE,使點E在格點上

(3)在圖3中，畫出△力BC的角平分線BF.

(要求：只用直尺，不能用圓規(guī)，不要求寫出畫法)

20.如圖，AABC的頂點均為格點，AC與網(wǎng)格線交于點D.僅用無刻度尺的直尺在網(wǎng)格中畫圖，畫

圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示.

圖1圖3

(1)如圖1,畫出AABC的角平分線CE；

(2)如圖1,平移AB至DN,使點A的對應(yīng)點為點D；

(3)如圖2,在AB上找一點G,使DG+CG最小;

（4）如圖3,AB與網(wǎng)格線交于點E,過點E作EQ_LAC于Q

21.如圖，在由小正方形組成的4x3的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，用無刻度的

直尺，在所給的網(wǎng)格中，按要求作圖并保留作圖痕跡。

①在圖1中作△ABC的軸對稱圖形△A'B'C';

②在圖2中作△ABC的重心；

③在圖3中作△ABC的的高線AHo

22.圖①，圖②均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.其中點4B,C均在格

（1）在圖①中，找一格點。，使以點A,B,C,。為頂點的四邊形是軸對稱圖形；

（2）在圖②中，找一格點E,使以點A,B,C,E為頂點的四邊形是中心對稱圖形.

23.如圖所示，每個小正三角形的邊長為1,且它的頂點叫做格點，各頂點在格點處的多邊形稱為格

點多邊形，線段AB位于該小正三角形組成的網(wǎng)格中，按要求在網(wǎng)格中作一個格點多邊形.

圖1

（1）請在圖1畫一個既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的四邊形，且AB為對角線.

（2）請在圖2中畫一個以AB為邊，面積為2遍的三角形.

24.在如圖所示的6x6的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位.

圖3

圖I圖2

(1)請你在圖1中畫一個以格點為頂點，面積為6個平方單位的等腰三角形：

(2)請你在圖2中畫一個以格點為頂點，一條直角邊邊長為VIU的直角三角形.

(3)請你在圖3中畫出△ABC的邊Be上的高AD,NACB的角平線CE

四、新定義尺規(guī)作圖題

25.若兩條線段將一個三角形分割成三個等腰三角形，則這兩條線段稱為三分線.

—

ABcBSEC

圖①圖②圖③

(1)如圖①，AABC中，AB=AC,ZA=36o,請在圖中畫出兩條三分線，并標(biāo)出每個等腰三

角形頂角的度數(shù)(畫出一種分割即可).

(2)如圖②，AABC中，ZC=90o,ZA=60o,請在圖中畫出兩條三分線，并標(biāo)出每個等腰三

角形頂角的度數(shù)(畫出一種分割即可).

(3)如圖③，AABC中，/BAC為鈍角，AE,DE為三分線，BD=BE,DA=DE,CA=CE.

①求NB和NC的關(guān)系式.

②求NBAC的取值范圍.

26.實踐操作

(1)如圖，AABC是直角三角形，ZACB=90o,利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)

明相應(yīng)的字母(保留作圖痕跡，不寫作法)。

K

Ca--------A

作/BAC的平分線，交BC于點O；

(2)以O(shè)為圓心，OC長為半徑作圓。

(3)綜合運用

在你所作的圖中，

AB與OO的位置關(guān)系是(直接寫出答案)；

(4)若AC=5,BC=⑵求。0的半徑。

27.數(shù)學(xué)活動課上，張老師組織同學(xué)們設(shè)計多姿多彩的幾何圖形，下圖都是由邊長為1的小等邊三

角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個網(wǎng)格圖中有3個小等邊三角形已涂上陰影，請同學(xué)們在余下的空白小等邊三

角形中選取一個涂上陰影，使得4個陰影小等邊三角形組成一個軸對稱圖形或中心對稱圖形，請畫

出4種不同的設(shè)計圖形.規(guī)定：凡通過旋轉(zhuǎn)能重合的圖形視為同一種圖形)

28.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，的頂點A1C均落在格點上，點B在網(wǎng)格

線上，且4B=

(1)線段AC的長等于;

(2)以BC為直徑的半圓與邊AC相交于點D,若P1Q分別為邊AC1BC上的動點，當(dāng)BP+

PQ取得最小值時，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點P1Q,并簡要說明點P1Q

的位置是如何找到的(不要求證

明)___________________________________________________________________________________

29.如圖是由小正方形組成的9x6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點.△ABC的三個頂點都是格點.

僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

(1)在圖(1)中，D,E分別是邊4B,AC與網(wǎng)格線的交點.先將點B繞點E旋轉(zhuǎn)180。得到點F,畫

出點F,再在4C上畫點G,使OGHBC；

(2)在圖(2)中，P是邊AB上一點，NBAC=α.先將AB繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)2a,得到線段AH,畫

出線段AH,再畫點Q,使P,Q兩點關(guān)于直線4C對稱.

答案解析部分

L【答案】解：如圖，直線AD即為所求:

2.【答案】解：如圖，射線CP即為所求作.

X

I

（1）線段就是所求作的圖形.

（2）射線BE就是所求作的角平分線.

（3）線段AF就是所求作的圖形.

4.【答案】（1）解：如圖1所示，AF即為所求:

（2）解：如圖2所示，BH即為所求.

圖2

5.【答案】解：如圖所示：該半圓即為所求.

6.【答案】解：作法：①作/ECD的平分線CF,

②作線段AB的中垂線MN,

7.【答案】（1）如圖所示，四邊形ABCD即為所求;

②如圖所示，AH即為所求.

AM

8.【答案】（1）解：根據(jù)題中畫圖過程可得:

如圖，PQ即為所作圖形；

（2）等邊對等角I同位角相等，兩直線平行

9.【答案】解：（1）如圖,將△ABC繞點A順時針轉(zhuǎn)90。，即將AB、AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。,

得到AB1、AC1,連接Ae即可，則AABC即為所求；

（2）如圖，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，找到△力BiG，BlCI的中點，連接AD,貝∣D（-2,0）.

10.【答案】解：（D如圖,ZMIBIQ為所作.

⑵如圖，//2B2C2為所作，點B2的坐標(biāo)為（4-6）.

IL【答案】解：△A∣B∣Ch△A2B2C2即為所求，

當(dāng)AOBzP的面積為6時，點P的坐標(biāo)為：（0,4）,（0,-4）.

12.【答案】（1）解：如圖，AAiBiQ即為所求，

（2）解：如圖，zkA2B2C2為所求;

(3)P(O,4)或(O,-4).

(1)(2,-4)；

(2)絡(luò)

(3)(0,4).

14.【答案】(1)解:畫出四邊形OAlBlG如圖

(2)解:畫出四邊形OA2B2C2

VOB2=22+62=40

KOBlOB2

.,.S=∣7Γ×OB2=10π

15.【答案】(1)解：如圖所示，AAlBlCl即為所求.

(2)(2,0)

222

(3)解：如圖:設(shè)旋轉(zhuǎn)半徑為r,則r=2+4=20，

.?.陰影部分的圖形面積為:

1111

S陰影--τ?τπ*72——.×2×4-?≈×2×2+?^?×l×l

ILA乙乙

11

=5兀-2

16.【答案】（1）解：如圖，連接EF,交BC于點D,

連接AD,則AD為AABC的中線；

(2)解：如圖，連接M、N,交AB于點E,

(3)解：如圖，連接PQ,MN,交于一點0,則O點是AABC的外心.

A

18.【答案】（1）解：如圖，線段CM即為所求;

圖①

(2)解：如圖，線段BN即為所求.

22

???AC=2,BN=J3-(|)=等，

SΔABc=；x2x3x苧=等.

圖二

20.【答案】（1）解：如圖1中，線段CE即為所求作.

圖I

（2）解：如圖1中，線段DN即為所求作.

圖1

(3)解：如圖2中，點G即為所求作.

圖2

(4)解：如圖3中，直線EQ即為所求作.

21.【答案】解：①

(2)解：先將點B向左平移2格，再向上平移1個可得到點4,

則將點C按照同樣的平移方式可得到點E,

如圖②，平行四邊形ABCE是中心對稱圖形.

23.【答案】(1)解：如圖1,以AB為對角線的矩形即為所求,