2023-2024學(xué)年云南省部分學(xué)校高三年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含詳解

高三數(shù)學(xué)考試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知z=2—i,貝ij|z—4=（）

A.2B.4C.2夜D.8

2.曲線）=三+%2在點(diǎn)（i,2）處的切線的斜率為（）

A.2B.3C.6D.7

3.從2023年12月14日13：00至IJ當(dāng)天13：25,某時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度為（）

5兀2兀5兀2兀

A.—B.—C.D.-------

6363

4.已知P是圓。：必+丁2=1上一點(diǎn)，Q是圓o：（x—3）2+（y+4）2=3上一點(diǎn)，則|PQ|最小值為（）

A.1B.4-gC.2D.3-石

5.若某圓錐的母線與底面所成的角為45，且其母線長為4,則該圓錐的體積為（）

6.在等比數(shù)列｛4｝中，已知％+。2+。3=4,。4+。5+。6=-32,則。6=（

128

7.設(shè)x>0,向量AB=（x2,_2x）在向量AC=（1,2）上投影向量為2AC,則X的最小值為（）

4下

8.曲線W具有如下3個(gè)性質(zhì)：（1）曲線W上沒有一個(gè)點(diǎn)位于第一、三象限；（2）曲線W上位于第二象限的任意一

點(diǎn)到點(diǎn)（0,1）距離等于到直線y=-1的距離；（3）曲線W上位于第四象限的任意一點(diǎn)到點(diǎn)（2,0）的距離等于到直

線x=-2的距離.那么.曲線W的方程可以為（）

12

—x,x<0,

A.(尤2_4)(81_力=0B.4

-2y/2x,x>0

1,

2y/~x,x<0,—X,x<0

c.y=<D.4

x>0-26,x>0

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知Z（A）表示集合A中整數(shù)元素的個(gè)數(shù)，若集合/=X2%>1,貝!!()

A.Z(㈣=9B.McN=b0v%v

C.Z(McN)=9x<9]

10.在正四棱柱ABC?！?耳。12中，AB=2,A&=2G，則（

A.該正四棱柱外接球的表面積為18兀

B.異面直線與5G所成的角為60

該正四棱柱外接球的表面積為20兀

D.異面直線與3G所成的角大于60

71卜3（0〉°）在°，個(gè)］

11.若函數(shù)/(x)=sinCOXH----上恰有10個(gè)零點(diǎn)，則切值可能為（）

6

A.50B.54C.51D.58

12.已知函數(shù)/（%）=：+：：坨'的值域?yàn)椋?何,n<0,m>0,加+〃>0,則下列函數(shù)的最大值為加的是

JL十XIgX

()

/xx4+6x2lgx

g⑴二不意氤

冗4+2/(3_九4)lgX-l

B.g⑺―l+2x6lgx

/、x-3x2lgx

g(x卜FgT

/、3x2lgx-x

D.g(x)=FiT

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(X—2/)5的展開式中，/y6的系數(shù)為

X2+15

14.y二I__________(填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一個(gè))函數(shù)，y的最小值是_______.

J九2+6

Xy2

15.已知橢圓C：r+i(?>?！?)的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A,B,直線A5與直線x=—2a相交于點(diǎn)。，且

2

a'b

點(diǎn)D到x軸的距離為m則C的離心率為.

16.某企業(yè)招聘新員工，先由人力資源部兩位工作人員對求職者的簡歷進(jìn)行初審，若能通過兩位工作人員的初審，

則通知求職者參加面試；若兩位工作人員對簡歷的初審均未予通過，則不通知求職者來面試.若恰能通過一位工作

人員的初審，則再由人力資源部領(lǐng)導(dǎo)對簡歷進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審，則通知求職者參加面試，否則不通知求職者

來面試，設(shè)每一位求職者的簡歷能通過兩位工作人員中的任意一位初審的概率為。復(fù)審的簡歷能通

過人力資源部領(lǐng)導(dǎo)復(fù)審的概率為‘，簡歷評審是否通過相互獨(dú)立.記才表示10位求職者中能被通知參加面試的人

2

數(shù)，則E(X)的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在ABC中，AB=2,AC=6,A為銳角且ABC的面積小于3.

(1)求A取值范圍；

(2)求3c2的取值范圍.

18.為了了解云南省大學(xué)生關(guān)注記者節(jié)大會(huì)是否與性別有關(guān)，某大學(xué)學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取1000名云南省大學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)

計(jì)，得到如下2x2列聯(lián)表：

男大學(xué)生女大學(xué)生合計(jì)

關(guān)注記者節(jié)大會(huì)300250550

不關(guān)注記者節(jié)大會(huì)200250450

合計(jì)5005001000

(1)從關(guān)注記者節(jié)大會(huì)的550名大學(xué)生中任選1人，求這人是女大學(xué)生的概率.

(2)試根據(jù)小概率值￡=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為關(guān)注記者節(jié)大會(huì)與性別有關(guān)聯(lián)？說明你的理由.

附：/=_______Mad-bc?________

其中n=a+b+c+d.

(a+》)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

+1

19.已知數(shù)列｛4｝滿足4=-2,an+l=2an+2"+4n-4.

(1)證明：1號?］為等差數(shù)列.

(2)求｛4｝的前〃項(xiàng)和S”.

1nx

20.已知函數(shù)/(x)=-------av+l(a>l).

(1)證明：/(%)［十,e［上存在極值.

(2)證明：當(dāng)xe(0,-H?)時(shí)，/(^)<eA-2-x+1.

21.如圖，在四棱錐尸—ABC。中，ZABC=ZBAD=90°,BC=2AD=2日與，24。均為正三角

(1)證明：AD平面「5cl.

高三數(shù)學(xué)考試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知z=2-i,則（）

A.2B.4C.272D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長計(jì)算公式，可得答案.

【詳解】因?yàn)?=2—i，所以|z_i|=|2—2i|={22+（_2）2=20.

故選：C.

2.曲線y=N+%2在點(diǎn)0,2）處的切線的斜率為（）

A.2B.3C.6D.7

【答案】D

【分析】對曲線）二三+/求導(dǎo)，然后求出曲線在0,2）處的切線的斜率即可.

【詳解】因?yàn)榱?5/+2工，所以當(dāng)x=l時(shí),y'=7.

故選:D.

3.從2023年12月14日13：00到當(dāng)天13：25,某時(shí)鐘分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度為（）

5兀2兀5兀2n

A.—B.——C.——D.------

6363

【答案】C

【分析】根據(jù)弧度的概念求解.

【詳解】因?yàn)榉轴樖前凑枕槙r(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所以轉(zhuǎn)動(dòng)的角為負(fù)角，

所以分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度為--11=--.

306

故選：C.

4.已知P是圓C:x2+y2=i上一點(diǎn)，。是圓o：（x—3/+（y+4）2=3上一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（）

A.1B.4-73C.2D.3-73

【答案】B

【分析】利用兩圓的圓心距及圓的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)镃（o,o）,0（3,—4）,所以|CD|=5,且兩圓的半徑分別為4=1遙=6鳴+馬＜|CD|,即兩圓外

離,

所以|PQ|的最小值為|CD|r-4=5-1一石=4—君.

故選：B

5.若某圓錐的母線與底面所成的角為45，且其母線長為4,則該圓錐的體積為（）

3272

--------兀

3

【答案】A

【分析】由題意可知圓錐的高與底面半徑相等，再由母線長可求出高和底面半徑，從而可求出圓錐的體積.

【詳解】因?yàn)樵搱A錐的母線與底面所成的角為45,且其母線長為4,

所以該圓錐的高與底面半徑相等，且都等于《=2四，

（2何2義20=殍

所以該圓錐的體積V=—兀/丸=—7cx

故選：A

6.在等比數(shù)列｛4｝中，已知%+%+%=4,a4+a5+a6=-32,則％,=（）

64128256

A.-----B.42C.-------D.-----

333

【答案】C

【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】設(shè)｛4｝的公比為4，則/+%+。6=/（4+4+/）=4/=-32,解得彳=一2,

44s128

所以q+a?+%=（1+4+q?）=3al=4,解得ax=—,所以,=-x（—2]=——.

故選：C.

7.設(shè)x>0,向量=2x）在向量AC=（1,2）上的投影向量為71AC，則X的最小值為（）

4百

【答案】A

【分析】利用投影向量的概念求得X的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最小值.

ULIUUUIU

ABAC

【詳解】向量在向量上的投影向量為

則4=X24X=（X2）當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號成立，

555

4

所以2的最小值為--.

5

故選：A.

8.曲線W具有如下3個(gè)性質(zhì)：（1）曲線W上沒有一個(gè)點(diǎn)位于第一、三象限；（2）曲線W上位于第二象限的任意一

點(diǎn)到點(diǎn)（0,1）距離等于到直線y=-1的距離；（3）曲線W上位于第四象限的任意一點(diǎn)到點(diǎn)（2,0）的距離等于到直

線x=-2的距離.那么,曲線W的方程可以為（）

12

—x,x<0,

（尤2_4y）（8x-y2）=0B.y=<4

-2y[2x,x>0

12

x<0,—x,x<0

y=<D.y=<4

-2^2%,x>0

-2y/x,x>0

【答案】B

【分析】借助拋物線的定義判斷即可.

【詳解】根據(jù)拋物線的定義，到點(diǎn)（0,1）的距離等于到直線y=-l的距離的點(diǎn)的軌跡是以（0,1）為焦點(diǎn)，

直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為必=4下

同理可得到點(diǎn)（2,0）的距離等于到直線為=-2的距離的點(diǎn)的軌跡方程為/=8x.

（V—4力（8龍—/）=0存在點(diǎn)位于第一、三象限，根據(jù)性質(zhì)（1）可得A錯(cuò)誤.

一12

—x,x<0,

根據(jù)性質(zhì)（2）與（3）,曲線W的方程可以為y=j4,

-2^2%,x>0.

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知Z（A）表示集合A中整數(shù)元素的個(gè)數(shù)，若集合/=卜卜—9）（2x+l）<0},集合N={,2，>1},則（）

A.Z（M）=9B.McN={x[0<x<9}

C.Z（McN）=9D.瓜N）2M={x|x<9}

【答案】ABD

【分析】根據(jù)不等式求解，明確集合的元素，由題意以及集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，可得答案.

【詳解】由不等式（x—9）（2x+l）<0,解得—3<x<9；由不等式2工>1=2°，解得x>0，

因?yàn)锳f=<x—g<x<9>,N=1x|x>0},所以Z（Af）=9,Mr^N=1x|0<%<9},

@N）UV={M尤<9},Z（MI^）=8.

故選：ABD.

10.在正四棱柱ABC?！?4GA中，A3=2,A&=26，則（）

A.該正四棱柱外接球的表面積為18兀

B.異面直線4。與BG所成角為60

C.該正四棱柱外接球的表面積為20兀

D.異面直線4。與BQ所成的角大于60

【答案】BC

【分析】對A,C,正四棱柱的對角線為球的直徑，代入球的表面積公式即可；對于B,D,根據(jù)異面直線所成角

定義，平移相交可得解.

【詳解】對于A,由題，正四棱柱的對角線為球的直徑，則正四棱柱外接球的半徑為

2

則該正四棱柱外接球的表面積為471K2=20兀，故A錯(cuò)誤，C正確；

如圖，

易證A.D//B.C,則異面直線4。與BG所成的角為8c與BG所成的角，

設(shè)片。5G=5則叫=%=巨||[=2=8仃

所以VOAG為正三角形，所以異面直線4。與BG所成的角為60,故B正確，D錯(cuò)誤;

故選：BC.

71]—g(0〉O)在0,《]

11.若函數(shù)/(x)=sinCOXH----上恰有10個(gè)零點(diǎn)，則。的值可能為(

6

A.50B.54C.51D.58

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=sin[0x+S)圖象與直線的1交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的圖象

2

和性質(zhì)求得答案.

【詳解】當(dāng)時(shí)71，+71+￡

6)6666

71g，要使/(%)在0,工]

令/(九)=0,得sinCDX~\-----上恰有10個(gè)零點(diǎn),

6

ln、35兀二兀兀/兀tc

則帝滿足---1~8兀<—CDH—W—10兀，解得°e(52,60].

-6666

故選：BD.

12.已知函數(shù)/(x)=x的值域?yàn)椴穤,間,n<Q,m>0,m+n>0,則下列函數(shù)的最大值為用的是

1+xIgx

)

/xx4+6x2lgx

A.g(")=K^氤

B.

1+2x6lgx

/、x-3x2lgx

C.g(“尸F(xiàn)gT

/、3x2lgx-x

D.g⑴二丁還

【答案】AC

【分析】此題考查復(fù)合函數(shù)性質(zhì)，只需化簡選項(xiàng)中的函數(shù)，寫成復(fù)合函數(shù)形式，判斷復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)值域與函數(shù)

/(%)定義域是否相同即可。

x4+3x2lgx2x4+6x2lgx/

【詳解】因?yàn)樾?=：+浮卜〉0),所以/(一)=

6A2O-76(X>(J),

±IXIgX1+xlgx1+2xlgx'

當(dāng)X的取值范圍為(0,+。)時(shí)，X2的取值范圍為(0,+。)，

所以了(/)的最大值與y(x)的最大值相等，均為加，A正確.

因?yàn)橥羄1=辿二=小型_1，所以g(x)?一+243——)lgx—1的最大值為加―1,B錯(cuò)誤.

1+2x6lgx1+2x6lgx1+2x6lgx

1311X_li

-y+-lg-"21'「一3%2哈

因?yàn)?(x)=T?(X〉0),所以/

1111

1十Xigx1-1igx-'

XXX

當(dāng)X的取值范圍為(0,+。)時(shí)，-的取值范圍為(0,+8),

X

%-3%21gx——?

所以的最大值與/(")的最大值相等，均為加，所以g(x)=一3一-——的最大值為m,c正確.

x-Igx

J人IgA—AA—J人r1L,、r八

一3---------二----3---------e-m,-n,因?yàn)椤?lt;0,m>0,加+〃>0,

x-Igxx-Igx

所以一〃，所以g(x)=3x？g：-x的最大值一定不是加,D錯(cuò)誤.

x-Igx

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(X—2/)5的展開式中，x2y6的系數(shù)為

【答案】-80

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求解.

【詳解】???(X—2丁2丫展開式的通項(xiàng)加=c"5f(―2y2y=(—2)'C"5fy2"

12y6的系數(shù)為(—2)3C3=_80.

故答案為：-80.

Y2+15

14.y='——_______(填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一個(gè))函數(shù)，y的最小值是________.

VX2+6

【答案】①.偶②.6

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷函數(shù)奇偶性，利用基本不等式分析求解.

(-%)2+15/+15V+15

【詳解】因?yàn)閄GR,/,=/2，所以丁=^^=是偶函數(shù)；

7(-x)2+6G+67776

-----------/2_i_QQIQ

令t=Ix1+6>A/6，則y=---=t+—>2M,：=6，

9

當(dāng)且僅當(dāng)/=—,即f=3,x=土r/-時(shí)，等號成立，

t

所以y的最小值為6.

故答案為：偶；6.

X

15.已知橢圓C：J+1（?！?〉0）的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為A,B,直線AB與直線x=—2。相交于點(diǎn)。，且

a~

點(diǎn)D到x軸的距離為a,則C的離心率為

【答案】翌1##20

33

【分析】根據(jù)橢圓頂點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合直線交點(diǎn)，利用橢圓離心率公式，可得答案.

【詳解】設(shè)直線x=-2。與x軸的交點(diǎn)為E,如下圖所示:

則國=a,A（a,O）,,Bp|OB|=Z?,|（24|=a,

\DE

易知VAOB:NAED,則七百

\BO3所葉"產(chǎn)"

Bnb1cf—廬272

即一=彳，所以e=—=J1--T=^—-

a3a'礦3

故答案為：述.

3

16.某企業(yè)招聘新員工，先由人力資源部兩位工作人員對求職者的簡歷進(jìn)行初審，若能通過兩位工作人員的初審，

則通知求職者參加面試；若兩位工作人員對簡歷的初審均未予通過，則不通知求職者來面試.若恰能通過一位工作

人員的初審，則再由人力資源部領(lǐng)導(dǎo)對簡歷進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審，則通知求職者參加面試，否則不通知求職者

來面試，設(shè)每一位求職者的簡歷能通過兩位工作人員中的任意一位初審的概率為。復(fù)審的簡歷能通

過人力資源部領(lǐng)導(dǎo)復(fù)審的概率為已，簡歷評審是否通過相互獨(dú)立.記才表示10位求職者中能被通知參加面試的人

2

數(shù)，則E(X)的最大值為.

160

【答案】一

27

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率求解每位能參加面試的概率，有點(diǎn)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望可得表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求

解函數(shù)最值即可.

【詳解】1位求職者能被通知參加面試的概率為p2+2p(1—p)x光=2p2—/,

則X~3(10,2P2-p3),所以E(X)=10(2p2-p3).

令函數(shù)/(p)=10(2p2—/),其中;

則/'(0)=1°2(4一3°)>0,可得/(。)為增函數(shù)，

則/(同max=/[]=1°義]2義，(>翳.故E(X)的最大值為詈.

故答案為：—

27

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在A6C中，AB=2,AC=6,A為銳角且ABC的面積小于3.

(1)求A的取值范圍;

(2)求BO?的取值范圍.

【答案】17.

18.(16,40-12石)

【分析】(1)運(yùn)用面積公式表示出面積，結(jié)合面積小于3即可得;

(2)借助(1)問中的A的范圍，結(jié)合余弦定理即可得.

【小問1詳解】

ABC的面積S=—AB-ACsinA=6sinA<3,

2

則sinA<L

2

因?yàn)锳為銳角，所以A的取值范圍是

【小問2詳解】

由(1)知A的取值范圍是0,3

則cosA的取值范圍是I—2,1J，

由余弦定理得BC~=AC2+AB2-2AB-ACcosA=40-24cosA?

所以5c2的取值范圍是06,40-126).

18.為了了解云南省大學(xué)生關(guān)注記者節(jié)大會(huì)是否與性別有關(guān)，某大學(xué)學(xué)生會(huì)隨機(jī)抽取1000名云南省大學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)

計(jì)，得到如下2x2列聯(lián)表：

男大學(xué)生女大學(xué)生合計(jì)

關(guān)注記者節(jié)大會(huì)300250550

不關(guān)注記者節(jié)大會(huì)200250450

合計(jì)5005001000

(1)從關(guān)注記者節(jié)大會(huì)550名大學(xué)生中任選1人，求這人是女大學(xué)生的概率.

(2)試根據(jù)小概率值c=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為關(guān)注記者節(jié)大會(huì)與性別有關(guān)聯(lián)？說明你的理由.

,n(ad-bcV

附：%一=7一7、/,八(―一京'其中”=a+〃+c+d-

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1).

(2)能認(rèn)為關(guān)注記者節(jié)大會(huì)與性別有關(guān)聯(lián)，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得所求概率.

(2)計(jì)算/2的值，進(jìn)而作出判斷.

小問1詳解】

從關(guān)注記者節(jié)大會(huì)的550名大學(xué)生中任選1人，

這人是女大學(xué)生的概率為變=—,

55011

小問2詳解】

零假設(shè)為"o：關(guān)注記者節(jié)大會(huì)與性別無關(guān)聯(lián).

根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到

*2

1000X(300X250-200x250)_1000>1Q

5002x550x450~~99~>，

當(dāng)e=0.005時(shí)，xa-7.879<10,

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H()不成立,

即能認(rèn)為關(guān)注記者節(jié)大會(huì)與性別有關(guān)聯(lián).

n+1

19.己知數(shù)列｛4｝滿足4=-2,an+1=2an+2+4n-4.

(1)證明：I""；""｝為等差數(shù)列.

(2)求｛4｝的前w項(xiàng)和S”.

【答案】(1)證明見解析

+,2

(2)Sn=(n-l)2"-2n-2n+2

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合題目中給的等式，可得答案;

(2)利用錯(cuò)位相減法，可得答案.

【小問1詳解】

證明：因?yàn)閍“+i=2a“+2"+i+4o—4,

所以出+4(〃+1)4+4"_4+I+4(〃+1)-2(a、+4”)

2”+i2"2向

_2a=+2”+i+4〃一4+4(〃+1)—2(q+4")_2"i

2〃+i2〃+i'

又五±3=1,所以［旦學(xué)］為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1,公差為1.

2I2"J

【小問2詳解】

n+472

由(1)知_；!^-=n,所以a”=〃x2"—4〃.

Sn=1x2+2x22+L+wx2"-4(l+2+L+n),

2S?=1X22+2X23+L+nx2n+1-8(l+2+L+n),

則—S〃=(2+22+L+2,!)-HX2"+1+4(1+2+L+n)

2(l-2n)(\\n,、一,、

=；2"x2"+］i+4x，+2n=(-〃)2"+1-2+2小+1),

所以S,=(〃—I"”'—21—2〃+2.

1nx

20.已知函數(shù)/(x)=-----av+l(a>l).

x

(1)證明："%)在上存在極值.

(2)證明：當(dāng)xe(0,+co)時(shí)，/(x)<eA-2-%+l.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)證得了(%)在上存在極值.

InY

(2)利用導(dǎo)數(shù)，通過證明/'(x)<-—x+lV0<ei—x+1來證得不等式成立.

【小問1詳解】

l-lnx1-Inx-ax2

/'("=

令g(x)=l-Inx—ar?,因?yàn)椤?gt;(),所以g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞減.

又因?yàn)間—)=1+ln\Ja_1=In>0,g(e)=_tze2<0,

所以g(x)在［十,e］上存在唯一零點(diǎn)m.

當(dāng)xe］十，加時(shí)，g(x)>0,>0；當(dāng)xe(m,e)時(shí)，g(x)<0,/(x)<0.

所以/(%)在》=機(jī)處取得極大值，即/(%)在［5,e］上存在極值.

【小問2詳解】

1nY

因?yàn)镼>1,所以f(X)<-----X+1.

令〃(》)=-7+1,由(1)可知〃'⑺在(0,+e)上單調(diào)遞減.又〃⑴=0,

所以力⑺在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減,則⑴，即皿-X+1W0.

X

令M%)=eA2—x+1,xe(0,+oo),則左'(力=/2—1,則%(%)在(0,2)上單調(diào)遞減，

在(2,+8)上單調(diào)遞增,所以左⑺2M2)=0,即廣2—X+GO.

綜上，當(dāng)xe(0,+co)時(shí)，/(x)<e'-2-x+1.

【點(diǎn)睛】求解函數(shù)極值的步驟：⑴確定“外的定義域；(2)計(jì)算導(dǎo)數(shù)/'(%)；⑶求出/■'(X)=()的根；(4)

用/'(￡)=0的根將的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，考查這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)/'(X)的符號，進(jìn)而確定“司的單調(diào)

區(qū)間；(5)根據(jù)單調(diào)區(qū)間求得函數(shù)的極值.

21.如圖，在四棱錐P—A5CD中，ZABC=ZBAD=90°,BC=2AD=242>P45與，均為正三角

(1)證明：AD平面P5C.

(2)證明：平面PCD.

(3)設(shè)平面Q43c平面PC。=心平面Q4Dc平面P8C=，2,若直線4與6確定的平面為平面，線段AC

的中點(diǎn)為N,求點(diǎn)N到平面戊的距離.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析(3)土叵

11

【分析】(1)由已知得出即可根據(jù)線面平行的判定證明；

(2)取的中點(diǎn)E,連接DE,過P作尸01平面A3CD,垂足為。，連接。4,OB,OD,OE,通過已知

得OELBD,通過線面垂直的判定與性質(zhì)得出。石，尸5,通過中位線得出OECD,即可得出尸8LCD,再通

過勾股定理得出？即可證明；

(3)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE的方向?yàn)閤軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，通過點(diǎn)到平面距離的向量

求法即可求出.

【小問1詳解】

因?yàn)镹ABC=ZSAD=90°,

所以AB18C,AB1,AD,

所以AD/3C,

因?yàn)锳Oa平面P5C,5Cu平面尸5C,

所以AD平面尸5c.

【小問2詳解】

取的中點(diǎn)E，連接OE，則四邊形ABED為正方形.

過P作尸01平面A3CD,垂足為0.

連接tM,OB,OD,OE.

P

由.和..BAD均為正三角形，得PA=PB=PD，

所以。4=03=0。，即點(diǎn)。為正方形A跳D對角線的交點(diǎn),

則

因?yàn)镻01平面A3CD，且OEu平面A3CD,

所以POLOE,

又BDPO=O,且BDu平面尸fiD,POu平面尸3D,

所以O(shè)E_L平面PBD,

因?yàn)镻Bu平面尸班），