泰勒公式的教學(xué)設(shè)計(jì)研究

泰勒公式的教學(xué)設(shè)計(jì)研究泰勒中值定理是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，由泰勒公式進(jìn)行描述，其教學(xué)方法始終吸引著寬闊數(shù)學(xué)教學(xué)工作者進(jìn)行爭(zhēng)論，可謂百花齊放、百家爭(zhēng)鳴。究其根本緣由，首先是由于泰勒公式及其相關(guān)理論是進(jìn)行數(shù)學(xué)理論爭(zhēng)論和計(jì)算的重要工具，它在級(jí)數(shù)、解析函數(shù)和函數(shù)的近似計(jì)算等理論方面有著舉足輕重的地位。因此，每一個(gè)理工科的同學(xué)必需把握其數(shù)學(xué)思想、理解其本質(zhì)及基本應(yīng)用；其次，同樣作為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，羅爾中值定理等具有幾何意義鮮亮的結(jié)論，而泰勒中值定理及泰勒公式卻抽象淺顯，會(huì)讓大多數(shù)同學(xué)不知所云、莫名其妙，雖經(jīng)充分預(yù)習(xí)、認(rèn)真聽(tīng)課，仍感覺(jué)一頭霧水、疑問(wèn)重重，看不到學(xué)習(xí)目的，學(xué)習(xí)信念大受打擊，造成這一現(xiàn)象的根本緣由在于大部分同學(xué)的思維方式還停留在中學(xué)階段，無(wú)法理解泰勒公式這種“人為”將簡(jiǎn)潔問(wèn)題“抽象”、“簡(jiǎn)潔”化的表述方式；最終，泰勒公式在函數(shù)性態(tài)的爭(zhēng)論、中值問(wèn)題、不等式的證明、極限的計(jì)算、函數(shù)的近似計(jì)算等內(nèi)容的教學(xué)中具有基礎(chǔ)作用，只有理解好才能用好用活。

作者在長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐中，始終重視對(duì)泰勒公式的教學(xué)法進(jìn)行探究，旨在使同學(xué)能較主動(dòng)、輕松地學(xué)好、用好泰勒公式。以下分別從課前預(yù)備、問(wèn)題引入、證明方法及例題選講等環(huán)節(jié)介紹我們的教學(xué)設(shè)計(jì)方法及教學(xué)過(guò)程，希望起到拋磚引玉之作用。

1泰勒公式及其教學(xué)難點(diǎn)

我們把泰勒中值定理敘述為如下形式：若函數(shù)在含有的某一個(gè)區(qū)間內(nèi)具有直至階導(dǎo)數(shù)，則它可以表示為的次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)之和，即

，（1）

其中在與之間，稱為拉格朗日型余項(xiàng)。

同學(xué)的困惑之處在于：具有如此“好”條件的“特殊光滑”的函數(shù)，為何要用右邊的不知為何物的式子表達(dá)？右邊是多項(xiàng)式嗎？為何要用的多項(xiàng)式？為何還有“特別的”一項(xiàng)，它畢竟有何作用？公式畢竟想表達(dá)什么？

泰勒公式讓同學(xué)疑問(wèn)重重，它的證明更加費(fèi)事。比證明公式更加重要的是，如何將證明中抽象、簡(jiǎn)潔的規(guī)律思維“變”得具體、簡(jiǎn)潔，從而關(guān)懷他們主動(dòng)、輕松地接受其數(shù)學(xué)思想。

我們認(rèn)為，一個(gè)好的教學(xué)設(shè)計(jì)，至少應(yīng)當(dāng)基本解決同學(xué)的上述懷疑，細(xì)心設(shè)計(jì)課前預(yù)備、問(wèn)題導(dǎo)入、證法選擇及例題選講等教學(xué)環(huán)節(jié)，通過(guò)各環(huán)節(jié)的親熱協(xié)作、有機(jī)整合，使教學(xué)過(guò)程深化淺出、一氣呵成！帶領(lǐng)他們不斷深化、逐步領(lǐng)悟泰勒公式蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，達(dá)到學(xué)以致用。否則，硬性強(qiáng)記泰勒公式，不去領(lǐng)悟其本質(zhì)，公式就會(huì)淪為“依葫蘆畫(huà)瓢”的機(jī)器。

2泰勒公式的教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）課前預(yù)備。

課前教員要關(guān)懷同學(xué)“有的放矢”地進(jìn)行學(xué)習(xí)預(yù)備，即進(jìn)行預(yù)習(xí)。

我們將同學(xué)分成幾個(gè)小組，每組由組長(zhǎng)負(fù)責(zé)。給他們細(xì)心設(shè)置了兩個(gè)任務(wù)：①將多項(xiàng)式寫(xiě)成為的多項(xiàng)式的形式，選擇一個(gè)“初等”的方法完成這一任務(wù)。再試一試，分別用兩個(gè)多項(xiàng)式去計(jì)算時(shí)的值，難度有差別嗎？假如考慮對(duì)一個(gè)的20次多項(xiàng)式，做同樣的工作，用“初等”的方法，簡(jiǎn)潔做得到嗎？假如要達(dá)到較高的精度，“需要”計(jì)算的項(xiàng)數(shù)會(huì)有什么不同嗎？計(jì)算量的差別大嗎？為什么？②如何計(jì)算的值？除了查表，有無(wú)其它好的方法？

同學(xué)大多能夠理解這兩個(gè)任務(wù)，可以動(dòng)手嘗試并得到初步結(jié)論，但還不能完滿回答。目的就是讓他們有回味但不滿足，提前做好打硬仗的預(yù)備?！坝幸馑嫉亍绷粝聭夷睿ㄟ^(guò)“任務(wù)驅(qū)動(dòng)”，使他們產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力。實(shí)踐證明，這樣有針對(duì)性的預(yù)習(xí)，能收到更好的效果。

（2）問(wèn)題導(dǎo)入。

有了較充分的課前預(yù)備，首先教員直接出示上邊的兩個(gè)問(wèn)題，激發(fā)同學(xué)們的爭(zhēng)辯，并請(qǐng)組長(zhǎng)作代表發(fā)言，然后關(guān)懷同學(xué)進(jìn)行問(wèn)題抽象，導(dǎo)出第一個(gè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)。

（3）多項(xiàng)式的泰勒公式。

第一個(gè)問(wèn)題，本質(zhì)上就是要將的多項(xiàng)式開(kāi)放為的多項(xiàng)式，這個(gè)問(wèn)題同學(xué)大多做過(guò)思考，對(duì)于及，已經(jīng)有了初步的想法和結(jié)論。可讓組長(zhǎng)介紹其課前預(yù)備的成果，通過(guò)相互評(píng)價(jià)、激發(fā)思考。再給同學(xué)講解如何運(yùn)用求導(dǎo)的方法確定多項(xiàng)式的系數(shù)，揭示只需分別求出及各階導(dǎo)數(shù)，就可得到，于是

（2）

部分同學(xué)可能根本不明白為什么要這么做，但事實(shí)是通過(guò)式（2）計(jì)算系數(shù)，的確簡(jiǎn)潔多了。多項(xiàng)式是最簡(jiǎn)潔的函數(shù)，通過(guò)兩種不同方式計(jì)算，可能還感覺(jué)不到差別，甚至有后者“更麻煩”的感覺(jué)。要化解這一“沖突”，教員再直接呈現(xiàn)下述例子及其結(jié)論：

現(xiàn)在要把次數(shù)較高的多項(xiàng)式開(kāi)放成的多項(xiàng)式，并用兩個(gè)表達(dá)式分別計(jì)算，用初等的方法就辦不到了。首先，由式（2）可得

。（3）

很明顯，用計(jì)算，可得

，

其計(jì)算量很大。但用式（3），計(jì)算前4項(xiàng)，有

，

就可得到相當(dāng)精確的值。其計(jì)算簡(jiǎn)繁差別之大，比較之下就可見(jiàn)一斑了。

這時(shí)，同學(xué)可能看出了問(wèn)題所在。原來(lái)，當(dāng)我們爭(zhēng)論一個(gè)函數(shù)（比如最簡(jiǎn)潔的多項(xiàng)式）在某點(diǎn)（比如1）四周的性態(tài)時(shí)（比如計(jì)算函數(shù)值、求切線的斜率、曲率等），將函數(shù)在該點(diǎn)“開(kāi)放”，可能帶來(lái)很大的便利。這或許正是教員不厭其煩對(duì)函數(shù)進(jìn)行“開(kāi)放”的緣由之一！

同學(xué)初步明白了“開(kāi)放”可能帶來(lái)更多的“好處”，教員就可以適時(shí)導(dǎo)入另一個(gè)問(wèn)題了。

②如何計(jì)算的值？除了查表，有沒(méi)有其他方法？

不是多項(xiàng)式，是不是也可以通過(guò)在“開(kāi)放”成的多項(xiàng)式來(lái)近似計(jì)算即呢？這時(shí)的“開(kāi)放式”還是像式（2）一樣也是等式呢？

（3）證明方法。同學(xué)的疑問(wèn)在于，盡管一個(gè)多項(xiàng)式完全可以像式（2）那樣開(kāi)放成為另外一種多項(xiàng)式的形式，但對(duì)于像這樣的函數(shù)，為什么也要這樣做呢？莫非也是為了爭(zhēng)論其性態(tài)嗎？盡管它在任意點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù)，它能與一個(gè)多項(xiàng)式按如下的方式畫(huà)上等號(hào)嗎？

。（4）

這時(shí)教員可馬上啟發(fā)學(xué)員，很明顯，就在而言，式（4）右端的階導(dǎo)數(shù)已經(jīng)恒為0，但左邊在任意點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)均大于0，可見(jiàn)（4）不能成立。

但是，教員也應(yīng)提示同學(xué)，依據(jù)式（2）的推導(dǎo)過(guò)程，要將開(kāi)放成一個(gè)多項(xiàng)式形式，其系數(shù)也必需是（4）右端的形式！同時(shí)，可請(qǐng)同學(xué)們觀看右端多項(xiàng)式在處的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值、二階導(dǎo)數(shù)的值，讓他們明白用右端的多項(xiàng)式來(lái)近似其實(shí)特別自然！

教員再啟發(fā)學(xué)員：其實(shí)，與爭(zhēng)論多項(xiàng)式的開(kāi)放一樣，開(kāi)放的主要目的也是為了爭(zhēng)論其性態(tài)！能否將用一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似呢？再提示微分是常用的近似計(jì)算的基本方法，進(jìn)而呈現(xiàn)學(xué)習(xí)微分時(shí)常用的近似式，即

，（5）

這樣很小時(shí)，就有，即。

因此，。雖然供應(yīng)了在近旁計(jì)算指數(shù)函數(shù)值的一個(gè)方法，但直觀上同學(xué)會(huì)感到有些無(wú)望，首先其精確度不高，其次沒(méi)有估量計(jì)算的誤差。但是式（5）也給同學(xué)啟發(fā)，就是式（4）的動(dòng)身點(diǎn)可能沒(méi)錯(cuò)，只不過(guò)，（4）的等號(hào)要保留，右邊必需加上刻畫(huà)誤差的項(xiàng)，但這個(gè)項(xiàng)是什么形式？與什么有關(guān)？同學(xué)還不得而知。

教員這時(shí)可直接從較為簡(jiǎn)潔的式（5）入手，設(shè)想，現(xiàn)在要確定。我們很自然想到將與進(jìn)行比較（為什么？可留給同學(xué)思考并爭(zhēng)辯）。這時(shí)，二者可能不會(huì)直接相等，會(huì)是什么關(guān)系呢？這時(shí)，教員可鼓舞同學(xué)思考，二者在處的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值關(guān)系如何？二階導(dǎo)數(shù)的值呢？然后直接出示下述結(jié)果：

，

很明顯，能考慮的就是與之比了。因此，教員呈現(xiàn)以下推導(dǎo)，每一個(gè)“關(guān)鍵”等號(hào)的推理依據(jù)、的范圍等，則提問(wèn)同學(xué)作答：

，

因此，得到，從而

，（6）

其中，在與之間。這樣，誤差就被精確地刻畫(huà)出來(lái)！式（6）就是一階泰勒公式，上述推導(dǎo)是本課的重點(diǎn)。此時(shí)，教員就可以點(diǎn)撥同學(xué)：有沒(méi)有所謂的“零階”泰勒公式呢？再呈現(xiàn)拉格朗日公式，再問(wèn)：“零階”到“一階”作了什么改進(jìn)呢？有了“一階”，能否受此啟發(fā)，也改進(jìn)到“二階”？再揭示答案：零階到一階，多項(xiàng)式次數(shù)升一階，即將零階的換為，再加上即可！因此，“一階”到“二階”，只需將式（6）的換為，再加上即可！也就是

，（7）

理解了確定的思想，確定的過(guò)程也就水到渠成，這時(shí)，可先由學(xué)習(xí)較好的同學(xué)猜想其形式，然后適時(shí)出示以及二階泰勒公式

。（8）

爭(zhēng)辯到此處，有了的零階、一階和二階泰勒公式的啟發(fā)，同學(xué)大都已經(jīng)漸漸明白，原來(lái)也可以像多項(xiàng)式一樣，在形式上開(kāi)放為的多項(xiàng)式，只不過(guò)點(diǎn)以及開(kāi)放的次數(shù)均應(yīng)依據(jù)條件和需要進(jìn)行選擇，而且余項(xiàng)形式特殊明確。

最終，教員還應(yīng)啟發(fā)同學(xué)思考和猜想：在上述過(guò)程中，要求滿足一些什么樣的條件呢？是的，只要“函數(shù)在含有的某一個(gè)區(qū)間內(nèi)具有直至階導(dǎo)數(shù)”，階泰勒公式是什么形式呢？是否也可表為的次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)之和呢，即

。

更進(jìn)一步，如何證明上式呢？接受什么方法好？其實(shí)，上邊從（6）到（8）的過(guò)程已經(jīng)給出了歸納遞推的關(guān)鍵思路。只要接受數(shù)學(xué)歸納法，就可以完滿地證明泰勒公式。這個(gè)過(guò)程比之教材中不厭其煩地多次運(yùn)用柯西中值定理，更貼近同學(xué)的實(shí)際，簡(jiǎn)潔為他們接受。

泰勒公式的導(dǎo)出過(guò)程由淺入深、逐層遞進(jìn)，其規(guī)律思維連貫性強(qiáng)、一氣呵成。經(jīng)過(guò)課前預(yù)備、問(wèn)題導(dǎo)入后，同學(xué)大多能輕松參與、自主學(xué)習(xí)。教學(xué)實(shí)踐證明，能獲得很好的效果。

在此基礎(chǔ)上，教員再給同學(xué)揭示泰勒公式的幾何意義、物理意義，介紹與泰勒公式相關(guān)的麥克勞林公式等基本概念，并介紹誤差估量方法，加深同學(xué)對(duì)泰勒公式意義的理解。

（4）例題選講。

為關(guān)懷同學(xué)加深對(duì)泰勒公式的理解，回應(yīng)導(dǎo)入課程的其次個(gè)問(wèn)題，我們?cè)O(shè)計(jì)了以下例題：

例1求函數(shù)的麥克勞林公式，并近似計(jì)算，要求誤差小于10-4。

解：由，其中?？紤]區(qū)間

[-0.1，0.1]，當(dāng)，此時(shí)

易見(jiàn)，只需取，即可確保誤差小于，此時(shí)可取。

例1的分析和求解過(guò)程的