江西省高三上學(xué)期12月統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前2023—2024學(xué)年江西省高三12月統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)自然數(shù)集可得，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，結(jié)合交集的概念和運算即可求解.【詳解】，由，得，解得，即，所以.故選：D2.已知復(fù)數(shù)，則滿足的所有不相等的復(fù)數(shù)z之和的虛部為（）A.1 B.i C.2 D.2i【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算列不等式，由此求得符合題意的，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】依題意，，所以，所以或，所以所有不相等的復(fù)數(shù)z之和的虛部為.故選：C3.已知直線的一個方向向量為，則m的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方向向量和斜率的知識求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，所以.故選：D4.從2，3，4，5，6這5個數(shù)字中任取3個，則這3個數(shù)的乘積能被12整除的取法有（）A7種 B.8種 C.9種 D.10種【答案】A【解析】【分析】由題意，取出來的個數(shù)一定含有或或，注意排除重復(fù)出現(xiàn)的，進(jìn)而可得出答案.【詳解】由題意，取出來的個數(shù)一定含有或或，當(dāng)取出來的個數(shù)含有時，則有種，當(dāng)取出來的個數(shù)含有時，則有種，當(dāng)取出來的個數(shù)含有時，有共種，其中在前兩種情況中已經(jīng)出現(xiàn)，所以這3個數(shù)的乘積能被12整除的取法有種.故選：A.5.已知且，若函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性建立關(guān)于a的方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，得，由，解得.經(jīng)檢驗，符合題意，所以.故選：C6.已知圓上兩個不同的點，，若直線的斜率為，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜率公式可得，即可根據(jù)輔助角公式得，由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可得，故，故故或，由于為不同的兩個點，所以，故，則，故選：B7.設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，則對，，是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由，推得數(shù)列為遞增數(shù)列，進(jìn)而得到成立，得出充分性成立；反之：由，得到數(shù)列為遞增數(shù)列，舉例說明必要性不成立，即可求解.【詳解】若對，都有，可得，因為恒成立，所以，即數(shù)列為遞增數(shù)列，，所以，即成立，所以充分性成立；反之：若對，都有，即，可得，解得，所以，即數(shù)列為遞增數(shù)列，例如：數(shù)列為遞增數(shù)列，可得，此時不成立，即必要性不成立；所以對，，是“”的充分不必要條件.故選：A.8.定義：設(shè)二元函數(shù)在點的附近有定義，當(dāng)固定在而在處有改變量時，相應(yīng)的二元函數(shù)有改變量，如果存在，那么稱此極限為二元函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，記作．若在區(qū)域D內(nèi)每一個點對的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是一個關(guān)于x，y的二元函數(shù)，它就被稱為二元函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作．已知，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“偏導(dǎo)函數(shù)”的知識求得，進(jìn)而利用判別式法求得正確答案.【詳解】依題意，，同理可求得，所以，設(shè)，則，由，得，，此方程有解，所以，.故選：B【點睛】解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線：的離心率為2，下列雙曲線中與雙曲線C的漸近線相同的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求得雙曲線的漸近線方程為，根據(jù)選項，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由雙曲線：的離心率為，可得，又由，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，對于A中，雙曲線，可得漸近線方程為，不符合題意；對于B中，雙曲線，可得漸近線方程為，符合題意；對于C中，雙曲線，可得漸近線方程為，符合題意；對于D中，雙曲線，可得漸近線方程為，符合題意.故選：BCD.10.已知的展開式中第3項與第6項的二項式系數(shù)相等，則二項式展開式中（）A.所有二項式系數(shù)和為128 B.所有項系數(shù)和為C.不存在常數(shù)項 D.含項的系數(shù)為【答案】AC【解析】【分析】先求得，然后根據(jù)二項式系數(shù)和、所有項的系數(shù)和、項的系數(shù)等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，解得，所以二項式系數(shù)和為，A選項正確.由令，得所有項系數(shù)和為，B選項錯誤.展開式的通項公式為，令不合題意，所以展開式?jīng)]有常數(shù)項，C選項正確.令，所以含項的系數(shù)為，D選項錯誤.故選：AC11.已知函數(shù)，其中，，是的導(dǎo)函數(shù)，若的最大值為，且，則使函數(shù)在區(qū)間上的值域為的m的取值可以為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，然后根據(jù)三角函數(shù)值域的知識求得正確答案.【詳解】，其中，依題意可知，而，所以，所以，由得，由于，所以.若，則，要使函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則需，所以的取值可以是.故選：BC12.如圖，在長方體中，其表面積與12條棱長之和均為24，E，G分別為棱，的中點，則下列說法正確的是（）A.該長方體的外接球表面積為B.平面C.若線段與平面交于點，則D.平面將長方體分成兩部分，其中較小部分與較大部分的體積之比為【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，長方體外接球的半徑為R，則，由題意計算即可判斷A；由題意可證得，即該幾何體為正方體，設(shè)棱長為2，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積為0驗證平面即可判斷B；由B可知平面的法向量為，利用向量法求點面距即可判斷C；如圖，可知梯形將正方體割為兩部分，結(jié)合棱臺的體積公式計算即可判斷D.【詳解】A：設(shè)，長方體外接球的半徑為R，則，由，得，所以，所以，故A正確；B：由A知，，則，得，即該幾何體為正方體，設(shè)棱長為2，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，則且，所以平面，故B正確;C：由B可知，平面的一個法向量為，又，所以點到平面的距離為，又，所以，故C錯誤；D：設(shè)平面與棱交于點，易知為的中點，所以平面將正方體分成兩部分，棱臺的體積為，而長方體的體積為8，則較大部分的體積為，其中較小部分與較大部分的體積之比為，故D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：本題考查立體幾何的綜合問題，此類問題常見的處理方法為：幾何法：通過圖形特征轉(zhuǎn)化，結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線進(jìn)而求解；坐標(biāo)法：通過建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間坐標(biāo)運算公式求解；基底法：通過向量的基底轉(zhuǎn)化以及向量的運算法則進(jìn)行求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點F在坐標(biāo)軸上，若點在C上且，則C的方程為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可判斷開口方向，即可分類討論求解.【詳解】由點在C上可知拋物線為開口向上或者開口向右，當(dāng)拋物線開口向上時，設(shè)方程為，將代入可得，此時焦點，則，符合題意，當(dāng)拋物線開口向右時，設(shè)方程為，將代入可得，此時焦點，則，不符合題意，綜上可得，故答案為：14.已知圓O：，寫出滿足條件“圓O上到直線的距離為的點的個數(shù)是奇數(shù)”的一個m的值為________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離列方程來求得的值.【詳解】圓的圓心為，半徑，要使“圓O上到直線的距離為的點的個數(shù)是奇數(shù)”，則圓心到直線的距離或，即或，解得或.故答案：（答案不唯一）15.達(dá)·芬奇認(rèn)為：和音樂一樣，數(shù)學(xué)和幾何“包含了宇宙的一切”，從年輕時起，他就本能地把這些主題運用在作品中，布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為1，則異面直線與所成角的余弦值為________．【答案】【解析】【分析】判斷出異面直線與所成角，解三角形求得所成角的余弦值.【詳解】設(shè)，則是的中點，連接，由于，所以是異面直線與所成角（或其補(bǔ)角），在三角形中，，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，平面，所以，所以，所以在直角三角形中，.故答案為：16.已知函數(shù)，的極值點從小到大依次為，則________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)極值點的概念可得方程的根從小到大依次為，解得或().利用黃金三角形證明可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡可得，計算即可求解.【詳解】由題意知，，因為函數(shù)的極值點從小到大依次為，所以方程即的根從小到大依次為，解方程得或().如圖，在等腰中，分別為的中點，和，由，得，即，由，解得，所以中，，在中，，則，所以，即，所以.故答案為：3四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.某學(xué)校即將迎來建校80周年，為了增進(jìn)學(xué)生愛校、榮校意識，團(tuán)委組織學(xué)生開展“迎校慶、知校史”的知識競賽活動，共有100名同學(xué)參賽.為了解競賽成績的分布情況，將100名同學(xué)的競賽成績按，，，，，分成6組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）用樣本估計總體，求圖中a的值及此次知識競賽成績的分位數(shù)；（2）現(xiàn)從競賽成績在的學(xué)生中以分層抽樣的方式抽取15人進(jìn)行培訓(xùn)，經(jīng)過一輪培訓(xùn)后再選取2人擔(dān)任主持人工作，求在至少1人來自分?jǐn)?shù)段的條件下，另外1人來自分?jǐn)?shù)段的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有小長方形的面積和為1，可求出，由頻率分布直方圖求第p百分位數(shù)的計算公式即可求解；（2）先根據(jù)分層抽樣方法求出三個分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，然后利用縮小樣本空間法求解條件概率即可.【小問1詳解】由圖可知，，解得，又，，所以此次知識競賽成績的分位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)為x，則，解得，所以此次知識競賽成績的分位數(shù)為.【小問2詳解】從競賽成績在的學(xué)生中以分層抽樣的方式抽取15人，其中競賽成績在分?jǐn)?shù)段，，的人數(shù)分別為，，，則至少有1人來自分?jǐn)?shù)段的情況共有種，選取2人中1人來自分?jǐn)?shù)段，另外1人來自分?jǐn)?shù)段的情況有種，故在至少1人來自分?jǐn)?shù)段的條件下，另外1人來自分?jǐn)?shù)段的概率為.18.如圖1，在直角中，，，，D，E分別為邊，的中點，將沿進(jìn)行翻折，連接，得到四棱錐（如圖2），點F為的中點．（1）當(dāng)點A與點C首次重合時，求翻折旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積；（2）當(dāng)為正三角形時，求直線與平面所成角正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)即可結(jié)合圓錐的表面積公式求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解.【小問1詳解】當(dāng)點與點重合時，三角形翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體為底面半徑為，高為的半個圓錐，三角形翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為：，【小問2詳解】當(dāng)三角形為正三角形時，，，由于，，，，平面，所以平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,則,設(shè)平面法向量為，則取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則19.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，條件①；②；③．請從這三個條件中任選兩個作為已知，解答下面的問題．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，證明：對任意，都有．注：如選擇多種組合分別解答，按第一種解答計分．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可求解，（2）根據(jù)裂項求和可得，即可根據(jù)作差法求解.【小問1詳解】若選①；②；設(shè)公差為，則，解得，所以若選②；③．設(shè)公差為，則，解得，所以若選①；③．設(shè)公差為，則，解得，所以【小問2詳解】由（1）知，所以，故，即，．對任意，，故，得證.20.如圖，在中，M是邊上一點．（1）若，求；（2）若，記，，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，中和中分別利用余弦定理，列方程組求；（2）中和中分別利用正弦定理，結(jié)合，得，再由，利用余弦定理得，可求.【小問1詳解】在中，M是邊上一點，有，，，中，由余弦定理得，即①，中，由余弦定理得，即②，①②兩式消去，得，即.【小問2詳解】，不妨設(shè)，中，由正弦定理得，即，中，由正弦定理得，即，由，有，又，得，設(shè)，由，可得，即，解得，即，所以為等邊三角形，．21.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，點P為橢圓上的一點滿足，．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為A，B，過作一條斜率不為零的直線與橢圓C分別交于M，N兩點，直線，與y軸的交點分別為，，求．【答案】21.22.0【解析】【分析】（1）題意橢圓的定義，結(jié)合題意和建立方程組，解之即可求解.（2）易知當(dāng)直線MN的斜率不存在時，求得；當(dāng)直線MN的斜率存在且不為0時，設(shè)，，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表達(dá)式出，根據(jù)點斜式方程求出直線AM、BN的方程，求出m、n，寫出的代數(shù)式，化簡求值即可求解.【小問