模型02含彈簧的物理模型

模型二、含彈簧的物理模型【模型概述】縱觀歷年的高考試題，和彈簧有關的物理試題占有相當大的比重。高考命題者常以彈簧為載體設計出各類試題，這類試題涉及靜力學問題、動力學問題、動量守恒和能量守恒問題、振動問題、功能問題等，幾乎貫穿了整個力學的知識體系，能很好能很好地考查學生的綜合分析能力?！灸Ｐ吞攸c】中學物理中的

“彈簣”和“橡皮繩”也是理想化模型，具有如下幾個特性:

(1)彈力遵循胡克定律F=kx，其中x是彈簧的形變量。

(2)輕:即彈簧(或橡皮繩)的重力可視為零。

(3)彈簧既能受拉力，也能受壓力(沿著彈簧的軸線)，橡皮繩只能受拉力，不能受壓力。(4)由于彈簧和橡皮繩受力時，其形變較大，發(fā)生形變需要一段時間，所以彈簧和橡皮繩中的彈力不能突變。但是，當彈簧和橡皮繩被剪斷時，它們產(chǎn)生的彈力立即消失。【模型解題】胡克定律、牛頓第二定律、動能定理、機械能守恒定律、動量定理、動量守恒定律【模型訓練】【例1】如圖所示，一勁度系數(shù)為k、原長為l0的輕彈簧，上端固定在天花板上，下端懸掛一個質量為m的小球，小球處于靜止狀態(tài)。彈簧的形變在彈性限度內(nèi)。已知重力加速度為g。下列判斷中正確的是（）A．彈簧的伸長量為 B．彈簧的伸長量為mgkC．彈簧的總長度為l0+mgk D．彈簧的總長度為【答案】A【詳解】AB．由小球靜止，可知彈簧的彈力F=mg根據(jù)胡克定律，得彈簧的伸長量故A正確，B錯誤；CD．彈簧的總長度為故CD錯誤。故選A。變式1.1如圖所示，將一輕彈簧上端懸掛在天花板上，下端連接物體A，A下面再用棉線掛一物體B，A、B質量相等，g為當?shù)刂亓铀俣取龜嗝蘧€，下列說法中正確的是（）A．燒斷棉線瞬間，A的加速度大小為gB．燒斷棉線之后，A向上一直加速C．燒斷棉線之后，A在運動中機械能守恒D．在最高點彈簧彈力等于mg【答案】A【詳解】A.設A、B質量均為m，燒斷棉線前，對A、B整體受力分析，知彈簧的彈力F=2mg燒斷棉線瞬間，彈簧的彈力不變，對A，根據(jù)牛頓第二定律可得Fmg=maA解得aA=g故A正確；B.燒斷棉線后，A在彈力和重力的作用下向上運動，彈力先大于重力，后小于重力，所以物體A向上先加速后減速，故B錯誤；C.燒斷棉線后，彈簧彈力對A做功，故A的機械能不守恒，故C錯誤；D.燒斷棉線后，A在重力和彈力的作用下做簡諧運動，在最低點回復力大小為F=2mgmg=mg方向向上，根據(jù)對稱性可知，在最高點回復力大小為F'=mg方向向下，即mgF彈=mg解得F彈=0故在最高點,速度為零時，彈簧彈力為零，即彈簧恢復原長，故D錯誤。故選A。變式1.2兩根相同的輕彈簧的原長均為l，將兩彈簧與兩相同物體按如圖所示的方式連接并懸掛于天花板上，靜止時兩根彈簧的總長為2.6l，現(xiàn)用手托著B物體，使下面的彈簧2恢復到原長，則下面說法正確的有（

）A．懸掛穩(wěn)定時彈簧1的長度為1.2l，彈簧2的長度為1.4lB．彈簧2恢復原長時彈簧1長度為1.4lC．物體A上升的距離為0.4lD．物體B上升的距離為0.4l【答案】D【詳解】A．懸掛穩(wěn)定時，彈簧1的彈力等于A、B兩個物體的總重量，而彈簧2的彈力等于B物體的重量，根據(jù)平衡條件而解得，因此彈簧1的長度為1.4l，彈簧2的長度為1.2l，A錯誤；BCD．彈簧2恢復原長時，彈簧1的彈力等于A物體的重力，彈簧1的伸長量變?yōu)?.2l，因此長度變?yōu)?.2l，這樣A物體上升的距離為0.2l，B物體上升的距離為0.4l，BC錯誤，D正確。故選D。【例2】如圖所示，內(nèi)壁光滑的半球形容器固定在水平面上。將一輕彈簧的一端固定在半球形容器底部處，為球心。當彈簧另一端與質量為的小球相連時，小球靜止于點。已知與水平方向的夾角為，則半球形容器對球的支持力和彈簧的彈力分別為（）（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】作出小球的受力分析圖，由相似三角形法可得其中可得支持力彈簧的彈力故選B。變式2.1如圖所示，質量均為m的A、B兩球，由一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接靜止于半徑為R的光滑半球形碗中，彈簧水平，兩球間距為R且球半徑遠小于碗的半徑．則彈簧的原長為（

）A．＋RB．＋RC．＋RD．＋R【答案】D【詳解】以A球為研究對象，小球受三個力：重力、彈力和球殼的支持力如圖所示由平衡條件，得到解得根據(jù)幾何關系得則所以故彈簧原長故選D變式2.2如圖所示，在半徑為R的光滑半球形碗中，一根水平放置的輕彈簧兩端連接A、B兩球，兩球靜止于半球形碗中。已知A、B球質量均為m，輕彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B兩球之間的距離為R，球的半徑遠小于碗的半徑，求：（1）半球形碗對A球的支持力大小；（2）彈簧的原長?！敬鸢浮浚?）；（2）【詳解】（1）如圖，設，半球形碗對A球的支持力大小為N，彈簧的原長為，形變量為由幾何關系得由平衡條件得聯(lián)立得（2）由平衡條件得聯(lián)立得【例3】如圖所示，質量分別為m1和m2的兩塊方木中間以輕彈簧相連，在空中設法使彈簧處于自然長度（即其中沒有彈力）后，給它們相同的初速度，向上拋出。在空中時，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)始終保持豎直，且彈簧長度保持自然長度?？諝庾枇Σ挥?。則（）A．m1一定等于m2B．m1一定大于m2C．m1一定小于m2D．不能通過該現(xiàn)象判斷m1和m2的大小關系【答案】D【詳解】兩塊方木以相同的初速度，向上拋出，彈簧沒有彈力，只受重力作用解得具有相同的重力加速度，同步做豎直上拋運動，與質量大小無關，不能通過該現(xiàn)象判斷m1和m2的大小關系。故選D。變式3.1如圖所示，一小球從空中下落，從它剛接觸彈簧到把彈簧壓縮至最短的過程中，若不計空氣阻力，則關于小球能量的變化，下列判斷正確的是（）A．動能一直減小 B．動能先增加后減小C．機械能先增加后減小 D．機械能保持不變【答案】B【詳解】AB．從接觸彈簧到壓縮至最短的過程中，彈簧的彈力逐漸增大，小球所受重力不變，開始小球受到的合力豎直向下，合力大小逐漸減小，則小球的加速度減小，速度增加；當彈力大于重力后小球所受合力方向豎直向上，合力大小逐漸增大，即加速度向上增加，速度減小，即動能先增加后減小，故A錯誤，B正確。CD．整個過程中，彈簧的彈力一直對小球做負功，則小球的機械能一直減小，選項CD錯誤。故選B。變式3.2如圖所示，用輕彈簧將質量均為m=1kg的物塊A和B連接起來，將它們固定在空中，彈簧處于原長狀態(tài)，A距地面的高度h1=0.15m．同時釋放兩物塊，設A與地面碰撞后速度立即變?yōu)榱?，由于B壓縮彈簧后被反彈，使A剛好能離開地面（但不繼續(xù)上升）．已知彈簧的勁度系數(shù)k=100N/m，取g=10m/s2．求：（1）物塊A剛到達地面的速度；（2）物塊B反彈到最高點時，彈簧的彈性勢能；（3）若將B物塊換為質量為2m的物塊C（圖中未畫出），仍將它與A固定在空中且彈簧處于原長，從A距地面的高度為h2處同時釋放，C壓縮彈簧被反彈后，A也剛好能離開地面，此時h2的大?。敬鸢浮浚?）1.73m/s；（2）0.5J；（3）0.125m【詳解】試題分析：（1）依題意，AB兩物塊一起做自由落體運動①（1分）設A物塊落地時速度為v1，此時B的速度也為v1則有②（1分）（2）設A剛好離地時，彈簧的形變量為x，此時B物塊到達最高點對A物塊，有③（1分）A落地后到A剛好離開地面的過程中，對于A、B及彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，有④（3分）由②③④可得：⑤（1分）（3）換成C后，設A落地時，C的速度為v2，則有⑥（1分）A落地后到A剛好離開地面的過程中，A、C及彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，則有⑦（3分）聯(lián)立解得（1分）【例4】如圖所示，一質量不計的彈簧原長為x0=12cm，一端固定于質量m=3kg的物體上，另一端一水平拉力F。物體與水平面間的動摩擦因數(shù)μ=0.225，當彈簧拉長至x1=16.5cm時，物體恰好向右勻速運動（設最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，）；（1）若將彈簧壓縮至x2=8cm，求物體受到的摩擦力大小及方向。（2）若將彈簧拉長至x3=18cm，求物體體受到的摩擦力大小及方向?！敬鸢浮浚?）6N，方向向右；（2）6.75N，方向向左【詳解】（1）勻速運動時，根據(jù)平衡條件得解得最大靜摩擦力為若將彈簧壓縮至x2=8cm，彈簧的彈力為則物體處于靜止狀態(tài)，物體所受的摩擦力為靜摩擦力，大小為6N，彈力方向向左，摩擦力方向向右；（2）若將彈簧拉長至x3=18cm，彈簧的彈力為物體向右運動，物體受到滑動摩擦力，大小為6.75N，方向向左。變式4.1如圖所示，一質量m=3kg的物體靜止在水平面上，物體與水平面間的動摩擦因數(shù)，原長的輕質彈簧一端固定于物體上，另一端施一水平拉力F。已知最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度g取。（1）當彈簧長度為21cm時，物體恰好向右勻速運動，求彈簧的勁度系數(shù)；（2）當彈簧長度為12cm時，求物體受到的摩擦力；（3）當彈簧長度為23cm時，求物體受到的摩擦力?！敬鸢浮浚?）400N/m；（2）12N，方向向右；（3）24N，方向向左【詳解】（1）滑動摩擦力f=μmg=0.8×3×10N=24N物體勻速運動時，由平衡條件可知F1=f=24N根據(jù)胡克定律彈力F1=k（x1x0）代入數(shù)據(jù)可得k=400N/m（2）若將彈簧壓縮至12cm，彈力的大小F2=k（x0x2）=400×（0.150.12）N=12N＜f=24N可知物體仍然靜止，受到向右的靜摩擦力，大小等于彈簧的彈力，為12N。（3）若將彈簧拉長至23cm，彈力的大小F3=k（x3x0）=400×（0.230.15）N=32N＞f=24N物體不能保持靜止，所以物體受到的摩擦力為向左的滑動摩擦力，大小是24N。變式4.2如圖所示，兩木塊A、B質量分別為、，中間由水平輕質彈簧相連，彈簧勁度系數(shù)，彈簧允許的最大形變量為15cm，水平拉力作用在木塊A上，系統(tǒng)恰好在水平面上做勻速直線運動，重力加速度大小g取，已知木塊A、B與水平面間的動摩擦因數(shù)相同且均為μ（大小未知）。求：（1）μ的值；（2）彈簧的伸長量為多少；（3）若將另一木塊C放置在木塊B上，施加拉力，使系統(tǒng)仍做勻速運動（彈簧在彈性限度內(nèi)），拉力的最大值是多少？木塊C的質量是多少？【答案】（1）；（2）；（3），【詳解】（1）設木塊與水平面間動摩擦因數(shù)為μ，選AB整體為研究對象，系統(tǒng)做勻速運動，則有解得（2）設彈簧伸長量為，選B為研究對象，B做勻速運動，則有解得（3）選A為研究對象選B和C整體為研究對象解得，【例5】如圖所示，傾角為的斜面固定在水平地面上，輕彈簧的一端固定在斜面的底端，彈簧處于原長時另一端與斜面上的點平齊。質量為的小滑塊從斜面上的點由靜止下滑，滑塊在點接觸彈簧并壓縮彈簧到點時開始彈回。已知、間的距離為0.4m，、間的距離為0.2m，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度取，取3.87。（1）若斜面光滑，求滑塊運動中彈簧彈性勢能的最大值：（2）若滑塊第1次離開彈簧后，沿斜面上升的最高點位于、的中點，求滑塊第2次經(jīng)過點時的速度大小。（結果保留3位有效數(shù)字）【答案】（1）；（2）【詳解】（1）若斜面光滑，滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，則當滑塊壓縮彈簧到點時彈簧的彈性勢能最大，由能量守恒定律可得解得（2）設滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為，滑塊由點下滑，壓縮彈簧彈回后運動到、中點的過程，由動能定理有對滑塊由點下滑到第2次經(jīng)過點過程，由動能定理可得聯(lián)立解得變式5.1如圖所示，一輕彈簧一端固定在傾角為θ=37o的固定斜面的底端，另一端拴住質量為m1=6kg的物體P，Q為一質量m2=10kg的物體，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，彈簧的壓縮量x0=0.16m。現(xiàn)給物體Q施加一個方向沿斜面向上的力F，使它從靜止開始沿斜面向上做勻加速運動，已知在前0.2s時間內(nèi)，F(xiàn)為變力，0.2s以后F為恒力。已知斜面光滑且足夠長，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2求：（1）彈簧的勁度系數(shù)k；（2）物體Q做勻加速運動的加速度大小a；（3）前0.2s內(nèi)拉力F做的功?！敬鸢浮浚?）600N/m；（2）；（3）J【詳解】（1）開始時，對整體受力分析，平行斜面方向有代入數(shù)據(jù)，解得k=600N/m（2）前0.2s時間內(nèi)F為變力，之后為恒力，表明0.2s時刻兩物體分離，此時P、Q之間的彈力為零且加速度大小相等，設此時彈簧的壓縮量為x1，對物體P，有前0.2s時間內(nèi)兩物體的位移聯(lián)立解得（3）前0.2s內(nèi)，對P、Q整體根據(jù)動能定理其中速度v=at位移代入數(shù)據(jù)得WF=J變式5.2如圖所示，質量的物塊放在豎直彈簧上端并緊挨著豎直墻壁，水平向左、大小的力作用在物塊上，物塊恰好不下滑，此時彈簧的長度。已知彈簧的勁度系數(shù)、原長，物塊與豎直墻壁之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度大小，求：（1）彈簧對物塊的彈力大??；（2）豎直墻壁對物塊的摩擦力大小和方向；（3）物塊與豎直墻壁之間的動摩擦因數(shù)?！敬鸢浮浚?）；（2），方向豎直向上；（3）【詳解】（1）根據(jù)胡克定律有解得（2）對物塊受力分析，豎直方向上有解得方向豎直向上。（3）物塊在水平方向上有物塊與豎直墻壁之間的動摩擦因數(shù)解得【例6】如圖所示，質量為10kg的物體M放在傾角為的固定斜面上，M與斜面間動摩擦因數(shù)，M用平行于斜面的輕繩繞過光滑定滑輪與質量為8kg的物塊m相連。勁度系數(shù)k＝200N/m的彈簧與m相連，也與地面相連，設最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等，重力加速度取，求：（1）若M靜止在斜面上，彈簧伸長量為8cm，求M所受到的摩擦力；（2）若M剛要開始運動，求此時彈簧對物塊的彈力的大小?！敬鸢浮浚?）36N，方向沿斜面向下；（2）30N或70N【詳解】（1）對物塊m分析受力情況如圖1所示根據(jù)平衡條件可得解得聯(lián)立解得輕繩的拉力為T＝96N以物體M為研究對象，受到重力、支持力、輕繩拉力，由于，摩擦力方向沿斜面向下，沿斜面方向的平衡方程為代入數(shù)據(jù)解得f＝36N摩擦力的大小為36N，方向沿斜面向下（2）物體M與斜面間的最大靜摩擦力為物體M剛要向上運動時，設輕繩的拉力為，對物體M沿斜面方向根據(jù)平衡條件可得解得對物塊m，根據(jù)平衡條件可得解得物體M剛要向下運動時，設輕繩的拉力為，沿斜面方向的平衡方程為解得對物塊m，根據(jù)平衡條件可得解得變式6.1如圖所示，質量為m的小球甲穿過一豎直固定的光滑桿拴在輕彈簧上，質量為4m的物體乙用輕繩跨過光滑的定滑輪與小球甲連接，開始用手托住物體乙，輕繩剛好伸直，滑輪左側繩豎直，右側繩與水平方向夾角為，某時刻由靜止釋放物體乙（足夠高），經(jīng)過一段時間小球甲運動到Q點，O、Q兩點的連線水平，，且小球甲在P、Q兩點處時彈簧的彈力大小相等。已知重力加速度為g，，。求：（1）彈簧的勁度系數(shù)k；（2）小球甲位于Q點時的速度大小v；（3）在小球甲從P點上升到PQ中點的過程中，彈簧彈力做的功W?！敬鸢浮浚?）；（2）；（3）【詳解】（1）由幾何關系知則小球位于P點時彈簧的壓縮量為對P點的小球由力的平衡條件可知解得（2）當小球運動到Q點時，小球甲的速度與繩子OQ垂直，所以物體乙的速度為零，又小球、物體和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，則由機械能守恒定律得解得（3）在小球甲從P點上升到PQ中點的過程中，彈簧彈力做的功變式6.2如圖所示，質量為10kg的物體M放在傾角為的斜面上，M與斜面間摩擦因數(shù)，M用平行于斜面的輕繩繞過光滑定滑輪與質量為5kg的物塊m相連。勁度系數(shù)k＝200N/m的彈簧與m相連，也與地面相連，設最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等。（1）若M靜止在斜面上，彈簧伸長量為8cm，求此時繩子上的拉力大??；（2）在第一問的基礎上，求M所受到的摩擦力的大小和方向；（3）若M剛要開始運動，求此時彈簧彈力的大小?！敬鸢浮浚?）；（2）6N，方向沿斜面向下；（3）40N，20N【詳解】（1）對物塊m分析受力：根據(jù)平衡條件可得根據(jù)胡克定律可得其中解得聯(lián)立解得輕繩的拉力為（2）以物體M為研究對象，受到重力、支持力、輕繩拉力，假設摩擦力方向沿斜面向下，沿斜面方向根據(jù)平衡條件可得代入數(shù)據(jù)解得假設正確，所以摩擦力方向沿斜面向下；（3）物體M與斜面間的最大靜摩擦力為①物體M剛要向上運動時，設輕繩的拉力為，對物體M沿斜面方向根據(jù)平衡條件可得：對物塊m,根據(jù)平衡條件可得解得此時彈簧處于伸長狀態(tài)②物體M剛要向下運動時，設輕繩的拉力為，對物體M沿斜面方向根據(jù)平衡條件可得：對物塊m，根據(jù)平衡條件可得解得此時彈簧處于壓縮狀態(tài).【例7】如圖所示，粗糙水平面長為，與豎直面內(nèi)半徑為的光滑半圓形軌道在點相接。質量為的物體甲（可視為質點）將彈簧壓縮到點后由靜止釋放，甲脫離彈簧后，在水平面滑行一段距離后滑上豎直軌道，并恰好能通過點。已知甲與水平面間的動摩擦因數(shù)，重力加速度為。（1）求甲通過點時的速度大?。唬?）求彈簧被壓縮到點時的彈性勢能；（3）若在點放置另一個質量為的物體乙（可視為質點，圖中未畫出），使甲把彈簧仍然壓縮到點，由靜止釋放甲，甲、乙發(fā)生彈性正碰后，撤去甲，此后乙沿半圓形軌道運動，通過計算說明乙離開半圓形軌道后將如何運動?！敬鸢浮浚?）；（2）；（3）見解析【詳解】（1）根據(jù)題意，設物體甲從點飛出時的速度為，由牛頓第二定律有解得（2）對物體甲，從點到點的過程，依據(jù)動能定理有由功能關系，可知彈簧初始狀態(tài)時的彈性勢能（3）不放置乙時，甲從到，由動能定理有解得甲、乙發(fā)生彈性碰撞，系統(tǒng)動量守恒、總動能不變，物體乙的質量，由動量守恒定律和機械能守恒定律有解得乙碰后的速度以地面為勢能零點，乙在軌道上運動時機械能守恒，假設最高點高度為，則有解得可見，乙在軌道上的最高點低于與圓心等高的點，之后乙將沿軌道原路返回，直到經(jīng)過點離開半圓軌道，之后將在摩擦力的作用下做勻減速直線運動。變式7.1一光滑水平面與豎直面內(nèi)的圓形粗糙軌道在B點相切，軌道半徑，一個質量的小物塊在A處壓縮一輕質彈簧，彈簧與小物塊不拴接。用手擋住小物塊不動，此時彈簧彈性勢能。如圖所示，放手后小物塊向右運動脫離彈簧，沿圓形軌道向上運動恰能通過最高點C，不計空氣阻力，。求：（1）物塊在B點時半圓軌道對它的支持力大小；（2）小物塊從B到C過程，阻力做的功