數(shù)學(xué)培優(yōu)競(jìng)賽新方法(九年級(jí))-第26講-拋物線與直線形(1)-由動(dòng)點(diǎn)生的特殊斯四邊行問(wèn)題

§26拋物線與直線形〔2〕——由動(dòng)點(diǎn)生成的特殊四邊形問(wèn)題科學(xué)家的好奇心是永遠(yuǎn)滿足不了的，因?yàn)殡S著每一個(gè)進(jìn)展，正如巴普洛夫所說(shuō)：“我們打到了更高的水平，看到了更廣闊的的天地，見(jiàn)到了原先在視野之外的東西?！薄惛ダ锲嬷R(shí)縱橫拋物線與直線形的結(jié)合另一表現(xiàn)形式是以拋物線為載體，探討是否存在一些點(diǎn)，使其能夠成某些特殊四邊形，有以下常見(jiàn)的根本形式：〔1〕拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成平行四邊形；〔2〕拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成矩形、菱形、正方形；〔3〕拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成梯形；特殊四邊形的性質(zhì)與判定是解這類(lèi)問(wèn)題的根底，而待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論是解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。例題求解【例1】如圖，拋物線與軸交兩點(diǎn)〔點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)〕，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

〔1〕求兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式；

〔2〕是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值；

〔3〕點(diǎn)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔義烏市中考題〕思路點(diǎn)撥對(duì)于〔3〕，可能為平行四邊形的邊或?qū)蔷€，故四個(gè)點(diǎn)能組成四邊形的情況由多種，需全面討論?！纠?】如圖，對(duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．

〔1〕求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

〔2〕設(shè)點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形是以為對(duì)角線的平行四邊形，求平行四邊形的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；

①當(dāng)平行四邊形的面積為時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形是否為菱形？

②是否存在點(diǎn)，使平行四邊形為正方形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔河南省中考題〕思路點(diǎn)撥對(duì)于〔2〕，假設(shè)，那么平行四邊形為菱形；假設(shè)且，那么平行四邊形為正方形。先求出點(diǎn)坐標(biāo)，再看點(diǎn)是否在拋物線上。【例3】如圖：二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．

〔1〕求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；

〔2〕在軸上方的拋物線上有一點(diǎn)，且四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；

〔3〕在此拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．〔臨江市中考題〕思路點(diǎn)撥問(wèn)題〔1〕中已經(jīng)確定了的形狀，只需再構(gòu)造直角就可解決問(wèn)題〔3〕。點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，但梯形的另一直角頂點(diǎn)不確定?！纠?】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的兩個(gè)頂點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上．，，的面積，拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)。(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)是軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)，得到矩形．那么在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)矩形為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長(zhǎng)；(3)在拋物線上是否存在異于的點(diǎn)，使中邊上的高為？假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔2011年成都市中考題〕分析對(duì)于〔2〕，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由，建立方程；對(duì)于〔3〕，假設(shè)存在點(diǎn)，使中邊上的高為，那么點(diǎn)應(yīng)在與直線平行且與直線相距的兩條平行線上。學(xué)力訓(xùn)練1.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于另一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)．

〔1〕求直線的函數(shù)關(guān)系式；

〔2〕動(dòng)點(diǎn)在線段上，從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為秒，線段的長(zhǎng)為個(gè)單位，求與的函數(shù)關(guān)系式；

〔3〕在〔2〕的條件下〔不考慮點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)重合的情況〕，連接，四邊形能否為平行四邊形？假設(shè)能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔2011年廣州市中考題〕2.平面直角坐標(biāo)系〔如圖〕，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在正比例函數(shù)的圖象上，且．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

〔1〕求線段的長(zhǎng)；

〔2〕求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

〔3〕如果點(diǎn)在軸上，且位于點(diǎn)下方，點(diǎn)在上述二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形是菱形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．〔2011年上海市中考題〕3.如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)．

〔1〕求拋物線的解析式；

〔2〕假設(shè)在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)，使為以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

〔3〕在〔2〕的條件下，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔煙臺(tái)市中考題〕4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

〔1〕求該拋物線的解析式；

〔2〕點(diǎn)是直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)重合〕，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，作于點(diǎn)．

①設(shè)的周長(zhǎng)為，點(diǎn)的橫