2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)提高練習(xí)-三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)拔高訓(xùn)練-三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1.已知：如圖，NQAN為銳角，H、B分別為射線AN上的點(diǎn)，點(diǎn)H關(guān)于射線AQ的對(duì)稱點(diǎn)為C,

連接AC,CB.

(1)依題意補(bǔ)全圖；

(2)CB的垂直平分線交AQ于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.連接CE,HE,EB.

①求證：AEHB是等腰三角形；

②若AC+AB=乎AE,求COSNEAB的值.

2.如圖所示，點(diǎn)。是線段AC的中點(diǎn)，0BJ.71C,04=9.

(1)如圖1,若"B0=30。，求證ΔABC是等邊三角形;

(2)如圖1,在(1)的條件下，若點(diǎn)D在射線AC上，點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)，且ΔBDQ是等

邊三角形，QC的延長(zhǎng)線交直線OB于點(diǎn)P,求PC的長(zhǎng)度；

(3)如圖2,在(1)的條件下，若點(diǎn)M在線段BC上，Δ0MN是等邊三角形，且點(diǎn)M沿

著線段BC從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,點(diǎn)N隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

3.如圖，在等邊ΔABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米，如果點(diǎn)M以3厘米/

的速度運(yùn)動(dòng).

A

（1）如果點(diǎn)M在線段CB上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).點(diǎn)N在線段BA上由B點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)，若點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度相等：

①經(jīng)過(guò)2秒后，ΔBMN和ΔCDM是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由.

②當(dāng)兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，ΔBMN剛好是一個(gè)直角三角形？

（2）若點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度不相等，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)M以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)

速度從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，都順時(shí)針沿ΔABC三邊運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)25秒時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)N第一次相遇，

則點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度是厘米/秒.（直接寫(xiě)出答案）

4.在AABC中，ZACB=2ZB,如圖①，當(dāng)/C=90。，AD為/BAC的角平分線時(shí)，在AB上截取

AE=AC,連結(jié)DE,易證AB=AC+CD.

①②③

（1）如圖②，當(dāng)NC≠90o,AD為NBAC的角平分線時(shí)，線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)

系?不需要證明，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想；

（2）如圖③，當(dāng)AD為AABC的外角平分線時(shí)，線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)

出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明.

5.問(wèn)題探究

(1)如圖1,AABC和△￡>￡(:均為等腰直角三角形，NAa5=NOCE=90。，點(diǎn)8,D,E在同一

直線上，連接ADBD.

①請(qǐng)?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系：；

②若AC=BC=√10,DC=CE=√2,則線段4。的長(zhǎng)為;

(2)拓展延伸

如圖2,△ABC和AOEC均為直角三角形，ZACB=ZDCE=90o,AC=√21,BC=√7,CD

=√3,CE=I.將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角NBCD為a(0o<α<360o),作直

線8。，連接AO,當(dāng)點(diǎn)B,D,E在同一直線上時(shí)，畫(huà)出圖形，并求線段Ao的長(zhǎng).

6.如圖(1),AB=8cm,ACLAB,BDLAB,AC=Bo=6cm.點(diǎn)P在線段力B上以

2cm∕s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t=l時(shí)，判斷線段PC與PQ滿足的關(guān)

系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖(2),將圖(1)中的“ACIAB,BD1AB”為改“?CAB=?DBA=a°”，其它條

件不變.設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s,是否存在實(shí)數(shù)x,使得KACP與ABPQ全等？若存在,

求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.如圖，已知AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,O),B(0,4),C(-3,0),動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)從A

點(diǎn)出發(fā)，M沿A-C,N沿折線A-B-C,均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終

點(diǎn)C時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間記為t秒。連接MN。

(1)求直線BC的解析式；

(2)移動(dòng)過(guò)程中，將AAMN沿直線MN翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上點(diǎn)D處，求此時(shí)t值及點(diǎn)

D的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)M,N移動(dòng)時(shí)，記AABC在直線MN右側(cè)部分的面積為S,求S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)

系式。

8.已知：如圖，AABC中，ZBAC=90o,AB=AC=I,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B,C

點(diǎn)重合)，ZADE=450.

(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng).

9.如圖1,在邊長(zhǎng)為3的等邊ΔABC中，點(diǎn)。從點(diǎn)4出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單

位/秒，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作DE//BC交射線

AC于點(diǎn)E,連接DF交射線AC于點(diǎn)G.

(1)如圖1,當(dāng)DFIAB時(shí)，求運(yùn)動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段AB(不考慮端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否始終有EG=GC?請(qǐng)說(shuō)明理

由;

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作0”IAC,垂足為H,當(dāng)點(diǎn)。在線段AB(不考慮端點(diǎn))上時(shí),

HG的長(zhǎng)始終等于AC的一半；如圖3,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，HG的長(zhǎng)是否發(fā)生變

化？若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出HG的長(zhǎng).

10.如圖1,在44BC中，AB=AC,?ABC=a,D是Be上的一點(diǎn)，以AD為邊作A4DE,使

AE=AD,?DAE+乙BAC=180°.

圖1圖2圖3

(1)直接用含a的式子表示?ADE的度數(shù)是；

(2)以AB1AE為邊作平行四邊形ABFE；

①如圖2,若點(diǎn)F恰好落在DE上，試判斷線段BD與線段CD的長(zhǎng)度是否相等，并說(shuō)明理由.

②如圖3,若點(diǎn)F落在是DE上，且BC=4,CF=I,求線段CF的長(zhǎng)(直接寫(xiě)出結(jié)果，不說(shuō)明

理由).

11.如圖1,在AABC中，AB=BC=20,CoSA=1,點(diǎn)。為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)A,C重

合)，以。為頂點(diǎn)作/BOF=NA,射線。E交BC邊于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BFLBD交射線OE于點(diǎn)凡

圖1圖2

(1)求證：ZABDS∕?CDE;

(2)SDE//ABl?(如圖2),求AO的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)￡＞在AC邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，DF=CF,則CD=.

12.如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC=4,AB=CD,BD=6,點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單

位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿CTB一C作勻速移

動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)

也隨之停止運(yùn)動(dòng).

(1)試證明：AD/7BC.

(2)在移動(dòng)過(guò)程中，小芹發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有△DEG與△BFG全等的情況出

現(xiàn)，請(qǐng)你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，^DEG與ABFG全等.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABO的頂點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-30,0),點(diǎn)8的

坐標(biāo)為(-30,30),△CDE是位于y軸的左側(cè)且邊長(zhǎng)為86的等邊三角形，邊DE垂直于X軸，

ΔCoE從點(diǎn)C與點(diǎn)。重合的位置開(kāi)始，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度先沿點(diǎn)。到點(diǎn)A的方向向左平

移，當(dāng)。E邊與直線AB重合時(shí)，繼續(xù)以同樣的速度沿點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向向上平移，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)B

重合時(shí)，ACOE停止移動(dòng).

備用圖

(1)求直線OB的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)小CoE移動(dòng)3秒時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

(3)在△COE的平移過(guò)程中，連接AE,AC,當(dāng)AACE的面積為36√3時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)

E的坐標(biāo)為.

14.在RrAABC中，AC=BC=5,ZC=90°,。是AC邊上一點(diǎn)，照=|，直線DE交BC于點(diǎn)

(2)如圖2,在(1)的條件下，等腰及△CMN的端點(diǎn)M在直線Z)E上運(yùn)動(dòng)，連接EM請(qǐng)判斷

Z)M與NE的關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(3)如圖3,若NCZ)E=60。，等腰向△CMN的端點(diǎn)M點(diǎn)在直線。E上運(yùn)動(dòng)，連接NB,請(qǐng)直接

寫(xiě)出NB的最小值.

15.在RtΔABC中，NC=90。，ZBAC=30。，D是射線Ca上一點(diǎn)，連接BD,以點(diǎn)B

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段CA上時(shí)，連接DE,若DEJ.AB,則線段AE,BE的數(shù)

量關(guān)系是;

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形2.

①探究線段AE,BE的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②直接寫(xiě)出線段CD,AB,AE之間的數(shù)量關(guān)系.

16.已知，如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-gx+4交X軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)B,直線y=kx+4

經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,交X軸于點(diǎn)A,且AC=BC.

(1)求k的值；

(2)以BC為邊在第一象限內(nèi)作等腰直角ZiBCD,ZBCD=90o,BC=CD,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)

以每秒1個(gè)單位的速度沿X軸向右運(yùn)動(dòng)，連接PD,設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,APCD的面積為S,請(qǐng)

用含t的式子表示S,并直接寫(xiě)出t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)APCD為等腰三角形時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo).

答案解析部分

L【答案】(1)解：圖形如圖1所示:

O

圖1

(2)解：①證明：如圖2中,

O

圖2

VC,H關(guān)于AQ對(duì)稱，

ΛZCAE=ZEAH,AC=AH,

VAE=AE,

Λ?ACE^ΔAHE(SAS),

ΛEC=EH,

YEF垂直平分線段BC,

ΛEC=EB,

ΛEH=EB,

Λ?EHB是等腰三角形.

②解：如圖2-1中，作EMLAB于M.

O

M

圖2-1

VEH=EB,EMlBH,

ΛHM=MB,

ΛAC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+BM=2AM,

VAC+AB=/??AE,

2

.?.4AM=√1TAE,

在Rt?AEM中，CoSZE力B=縹=,

AE4

，COSNE4B=號(hào).

4

2.【答案】(1)解：,J?AB0=30o,OBIAC,

Z.BA0=60°>

???0是線段AC中點(diǎn)，OBJ.4C,

：.BA=BC,

■.AABC是等邊三角形

(2)M：'.'ΔABC、ΔBDQ是等邊三角形，

.'.?ABC=?DBQ=60o,AB=BC,BD=BQ,NBAC=60°,

：.乙ABD=乙CBQ,

.".ΔBAD=ΔBCQ,

Q

圖1

.?.乙BCQ=乙BAD=60°，

???乙BCA=60°,

Λ乙OCP=60°,

???乙PoC=90°,

NOPC=30。，

.?.PC=2OC=18

(3)解：取BC的中點(diǎn)H,連接OH,連接CN,

分兩種情況討論：

當(dāng)M在線段BH上時(shí)，如圖2,

圖2

?；H是BC的中點(diǎn)，OB_LAC,

：.OH=^BC=OC=CH,

.?.ΔOCH是等邊三角形，

,.?ΔOMN是等邊三角形，

：.乙MoN=乙HOC=60°,OM=ON,/.OHC=600,

.,.?MOH=NCoN,NoHM=120°

.".Δ0MH≥Δ0NC,

乙OCN=乙OHM=120°

點(diǎn)N從起點(diǎn)到C作直線運(yùn)動(dòng)，

。當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B時(shí),CN=BH=9,

.?.點(diǎn)M從B運(yùn)動(dòng)到H時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度等于9；

當(dāng)點(diǎn)M在線段HC上時(shí)，如圖3,

B

圖3N

H是BC的中點(diǎn)，OB_LAC,

1

：-0H=WBC=OC=CH,

.,.ΔOCH是等邊三角形，

?：AoMN是等邊三角形，

.,.?MON=?HOC=60o,OM=ON,乙OHC=60°,

：.乙MOH=乙CoN,

.'.Δ0MH=ΔONC,

?乙OCN=乙OHM=60°

點(diǎn)N從C到終點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，

：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C時(shí)，CN=CH=9,

.?.點(diǎn)M從H運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度等于9；

綜上所述，N的路徑長(zhǎng)度為：9+9=18.

3.【答案】(1)解：(1)ΔBMN≤ΔCDM.

理由如下：VN=VM=3厘米/秒，且t=2秒，

CM=2×3=6(cm)

BN=2×3=6(cm)

BM=BC-CM=10-6=4(cm)

???BN=CM

?.?CD=4(cm)

???BM=CD

v乙B=乙C=60o,

.?.ΔBMN≡ΔCDM.(SAS)

②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，ΔBMN是直角三角形有兩種情況：

I.當(dāng)乙NMB=90°時(shí)，

???4B=60°,

???乙BNM=90°一乙B=90°-60°=30°，

???BN=2BM，

???3t=2×(10-3t)

???t=魯(秒)；

II.當(dāng)乙BNM=90。時(shí).,

VZ-B=60°,

：?(BMN=90°一(B=90°-60°=30°.

???BM=2BN,

???10-3t=2×3t

.?.t=?(秒)

y

???當(dāng)t=等秒或t=3秒時(shí)，ΔBMN是直角三角形

(2)3.8或2.6

4.【答案】(1)解：猜想:AB=AC+CD.證明:如圖②，在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE,

VAD為△ABC的角平分線時(shí)，ZBAD=ZCAD,VAD=AD,

Λ?ADE^ΔADC(SAS),ZAED=ZC,ED=CD,

VZACB=2ZB,ΛZAED=2ZB

：.NB=NEDB.?.EB=ED,二EB=CD,ΛAB=AE+DE=AC+CD.

(2)解：猜想:AB+AC=CD.證明:在BA的延長(zhǎng)線上截取AE=AC,連結(jié)ED.

VAD平分NFAC

.?.NEAD=NCAD.

?ΔEAD與4CAD中,AE=AC,/EAD=/CAD,AD=AD,

Λ?EAD^?CADΛED=CD,

ZAED=ZACD,ΛZFED=ZACB.又ZACB=2ZB,

ZFED=ZB+ZEDB,ZEDB=ZBΛEB=ED,

EA+AB=EB=ED=CD

ΛAC+AB=CD

5.【答案】(1)垂直；4

(2)解：①如圖：

VZACB=ZDCE=90o,AC=√21,BC=√7,CD=√3,CE=I,

ΛAB=2√7,DE=2,NACD=NBCE,差=伸=6.

Λ?ACD^?BCE.

.?.ZADC=ZE,^j=^=√3.

又?.?NCDE+NE=90°,

ZADC+ZCDE=90°,即ZADE=90o.

ΛADlBE.

設(shè)BE=X,則AD=√3X.

在Rt?ABD中，AD2+BD2=AB2,

即6√3x)2+(%-2)2=(2√7)2.

解得Xl=3,外=-2(負(fù)值舍去).

?"?AD=3V3?

②如圖,

同①設(shè)BE=x,貝IJAD=√3x.

在RtAABD中，AD2+BD2=AB2,即f√3x)2+(x+2)2=(2√7)2.

解得Xi=2/2=-3(負(fù)值舍去).

AD=2√3-

綜上可得，線段AD的長(zhǎng)為3√I或2√T

6.【答案】(1)解：PC=PQ且PCLPQ；理由如下：

VAC±AB,BD±AB,

ΛZA=ZB=90o,

當(dāng)t=1時(shí)，AP=BQ=2,

ΛBP=AB-AP=8-2=6,

ΛBP=AC=6,

在小ACP和小BPQ.

(AP=BQ

??A=Z.B,

Uc=BP

???△ACP^?BPQ,

ΛPC=PQ,

???ZC=ZQPB,

VZAPC+ZC=90o,

.??ZAPC+ZQPB=90o,

即PC=PQSPC1PQ；

(2)解：存在X的值，使得AACP與ABPQ全等，

①若△ACPgZxBPQ,

貝UAC=BP,AP=BQ,

可得：6=8-2t,2t=xt,

解得：x=2,t=l；

②若△ACP絲ZiBQP,

則AC=BQ,AP=BP,

可得：6=xt,2t=8-2t,

解得：x=3>t=2.

7.【答案】(1)解：設(shè)直線BC解析式為：y=kx+b,

VB(0,4),C(-3,0),

.rb=4

Y-3k+b=0'

4

-

解得-3

b-4

...直線BC解析式為：y=Ix+4.

(2)解：依題可得：AM=AN=t,

,/△AMN沿直線MN翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)點(diǎn)D重合,

，四邊形AMDN為菱形，

作NF，X軸，連接AD交MN于0，，

Λ0A=3,0B=4,

ΛAB=5,

ΛM(3-t,0),

XVΔANF^ΔABO,

.AN_AF_NF

''AB~AO~OB,

.t_AF_NF

,,5^14~,

ΛAF=It,NF=It,

ΛN(3-It,It),

.?.o,(3-11,11),

設(shè)D(x,y),

,x+34y+0

-'?"?"5ft,?

.?.x=3-8?t,y=4?t,

ΛD(3-ft,gt),

又YD在直線BC上，

484

×(z

-x一-

33-55

,?D(一?*?,2?4?X),

(3)①當(dāng)OVts5時(shí)(如圖2),

△ABC在直線MN右側(cè)部分為△AMN,

11422

----

,S=SAAMN22Xtt×5t=5

②當(dāng)5vtS6時(shí)，AABC在直線MN右側(cè)部分為四邊形ABNM,如圖3

VAM=AN=t,AB=BC=5,

ΛBN=t-5,CN=-5-(t-5)=10-t,

XV?CNF^ΔCBO,

.CN_NF

??CB-OB'

.IoT_NF

ΛΛ~54^'

ΛNF=I(10-t),

???S=SΔABC-SΔCNM=IACOB-??CM?NF,

=I×6×4-1X(6-t)XW(10-t),

=-It2+?t-12.

8.【答案】(1)證明：VZBAC=90o,AB=AC,ΛZB=ZC=ZADE=450,

,.?NADC=NB+NBAD=NADE+∕CDE

ΛZBAD=ZCDE

Λ?ABD^?DCE;

(2)解：由(1)W?ABD^ΔDCE,

.BD_AB

''TC~CD

VZBAC=90o,AB=AC=I,

.*.BC=√2,DC=√2-X,EC=l-y,

.X_]

,,巧_W

.?.y=χ2-√2χ+l

(3)解：當(dāng)AD=DE時(shí)，ΔABD^?CDE,ΛBD=CE,Λx=l-y,即√∑x-χ2=x,Vx≠O,，等式左

右兩邊同時(shí)除以X得：X=√2-1.?.AE=l-x=2-√2,

當(dāng)AE=DE時(shí)，DELAC,此時(shí)D是BC中點(diǎn)，E也是AC的中點(diǎn)，

所以,AE=?；

當(dāng)AD=AE時(shí)，ZDAE=90o,D與B重合，不合題意；

綜上，在AC上存在點(diǎn)E,使AADE是等腰三角形，AE的長(zhǎng)為2-√∑或%.

9.【答案】(1)解：設(shè)運(yùn)動(dòng)了X秒，則AD=x,BD=3-X,BF=3+x,

當(dāng)DFLAB時(shí)，

,:乙B=60°,

：.?DFB=30",

：.BF=2BD,即3+%=2(3-%),

解得x=l,

.?.運(yùn)動(dòng)了1秒.

(2)解：?'DE∕∕BC,

：.?ADE=z,B=60°,

.?ΔADE是等邊三角形,

：.AD=DE

*：AD=CF

：.DE=CF

又?:DEllBC

乙DEG=乙GCF,乙GDE=(GFC.

在ΔDEG與ΔFCG中

NDEG=乙GCF

DE=FC

ZGDE=乙GFC

.?ΔDEGΔFCG{ASA)

：.EG=GC；

(3)解：不變.

理由：，：DElIBC,

.??ADE=?B=60°,

.u.ΔADE是等邊三角形，

?：DHLAE,

：.HE=^AE,

在ΔDEG與ΔFCG中

乙DEG=乙GCF

DE=FC,

LGDE=(GFC

.?ΔDEGΔFCG{ASA),

：.EG=GC,

：?EG=∣Cfi',

1117

ΛHG=HE-EG=^AE~^CE=^AC=1.

IO.【答案】(1)90°-α

(2)解：①證明：Y四邊形ABFE是平行四邊形，

???AB〃EF.

ΛZEDC=ZABC=α,

由(1)知，NADE=90。-a,

/.ZADC=ZADE+ZEDC=90o,

ΛAD±BC.

VAB=AC,

ΛBD=CD;

VBA=BC,

ΛZA=ZACB,

VZBDE÷ZCDE=ZA+ZABD,NBDE=NA,

ΛZBAD=ZCDE,

Λ?ABD^?CDE

(2)解：如圖2中，作BMJ_AC于M.

在Rt?ABM中，則AM=AB?cosA=20×[=16,

由勾股定理，得到AB2=AM2+BM2,

Λ202=162+BM2,

ΛBM=12,

VAB=BC,BM±AC,

.?.AC=2AM=32,

VDE√AB,

ΛZBAD=ZADE,

VZADE=ZB,NB=NACB,

???NBAD=NACB,

VZABD=ZCBA,

???△ABDs△ACB,

.AB_AD

^AC=AB

ΛAD=歿?=等.

AC2

(3)14

12.【答案】(1)證明：在AABD和ACDB中

(AD=BC

,?AB=CD

IBD=DB

/.△ABD^ΔCDB,

ΛZADB=ZCBD,

???AD〃BC；

(2)解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為V,

當(dāng)OVtWg時(shí)，若ADEGgABFG,則DE=BF

DG=BG

?(t=4-3t

??〔6-BG=BG

t=1

BG=3

.?.v=3；

若4DEGgZ;kBGF,則DE=BG

DG=BF

.(t—BG

??16-BG=4-3t

BG=-1(舍去)；

當(dāng)gvt≤§時(shí)，若4DEG絲Z?BFG,則DE=BF

DG=BG

?(t=3t—4

一16-BG=BG

t=2

BG=3

，V=1.5；

若ADEG絲ZMBGF,則DE=BG

DG=BF

.(t=BG

??〔6-BG=3t-4,

.(t=I

,?=r

Λv=1.

綜上，點(diǎn)G的速度為1.5或3或1

13.【答案】(1)解：由題意，設(shè)直線OB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx,

將點(diǎn)8(-30,30)代入得：-30k=30,解得k=—1,

則直線OB的函數(shù)表達(dá)式為y=-%；

(2)(-6,0)

(3)(-24,-4Λ∕3)或(-30,6^3)

14.【答案】(1)2；3

(2)如圖2中，結(jié)論：DM=EN,DM±EN.

ΛDCM=ZECN,

ΛZDCM^ΔECN(SAS),

ΛDM=EN,ZCDM=ZCEN=45o,

丁ZCED=45o,

???NDEN=90。，

ΛDM±EN.

(3)如圖3中，作DK〃AB交BC于K,作射線NK,過(guò)點(diǎn)B作