2023-2024學(xué)年安徽省阜陽市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年安徽省阜陽市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.拋物線3/+8y=0的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.陷B.（°聞C.加口.卜|,0）

【正確答案】B

【分析】將曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，結(jié)合定義即可求解.

【詳解】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：<=-|y,由拋物線定義知焦點(diǎn)坐標(biāo)（0,-g

故選：B.

2.己知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且。3a7=9,貝ljlog?q+log3%+1。83%=（）

A.7B.9C.81D.3

【正確答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出結(jié)果.

【詳解】依題意可得。；=。3%=的9=9,

又a“>0,所以7=3,

3

所以logsq+logj?5+log3a9==log3(9x3)=log33=3.

故選：D

3.如圖所示，在正方體力88-48心4中，點(diǎn)尸是側(cè)面a>"G的中心，設(shè)

AD=AB—b,AA}=c,貝ijAF=()

XjX?X!XjXX

C.-a+—h+—cD.-ciH—b+c

2222

【正確答案】A

【分析】根據(jù)空間向量基本定理將ZF轉(zhuǎn)化為7即可選出答案.

【詳解】解:由題知，點(diǎn)尸是側(cè)面CDAG的中心，

???尸為。G中點(diǎn),

則/尸=/。+力/

=AD+-DC]

▼▼共i▼▼▼、▼▼▼'X

=AD+-(DDl+DlQ)

=40+#4+48)

X!XJ>

=a+—h+—c,

22

故選:A

4.已知數(shù)列｛4“｝滿足q=2,且(〃+1”田-〃a“=2",則知=()

A.2B.4C.6D.8

【正確答案】B

【分析】根據(jù)累加法求解即可.

【詳解】由(〃+1)%+「〃勺=2",且％=2,根據(jù)累加法可得：

nan=/7a?-(n-l)a?_1+(?-])??_1-(n-2)(z?_2+--+2a2-a,+a,

^2"-'+2"-2+2"-3+---+2+2=2"\n>2),

yxo4

所以=一,(M>2),貝U4=—=4.

n4

故選：B

5.在銳角/8C中，AB=5,BC=6,cosC=1,則以8,C為兩個(gè)焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的雙曲

線的離心率為()

73

A.—B.-C.3D.幣+V10

【正確答案】C

【分析】先利用余弦定理求出/C,再根據(jù)雙曲線的定義及離心率公式即可得解.

【詳解】解：在銳角48C中，AB=5,BC=6,cosC=*,

7

則AB-=BC2+AC2-2BCACcosC,BP25=36+AC2-y-AC,

解得/C=7或;，

經(jīng)檢驗(yàn)ZC=7,

所以在以8,C為兩個(gè)焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的雙曲線中,

2a=|7-5|=2,2c=6,則a=l,c=3,

所以其離心率為6=￡=3.

a

故選：C.

“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七

百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢,每天行走的里程是前一天的一半，七天一

共行走了700里路，則該馬第六天走的里程數(shù)為()

3507001400c2800

A.---B.---C.D.----

127127~\27~127

【正確答案】C

【分析】依題意可得該馬第〃天走的里程數(shù)構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列｛%｝,根據(jù)等比數(shù)列求

和公式求出4,再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得.

【詳解】解：由題意得，該馬第〃天走的里程數(shù)構(gòu)成公比為g的等比數(shù)列｛見｝,

a77

n，,.'C2J?nA姐，組2x35041f，'方江會(huì)一工土27x35011400由西

則—~—=700,解得q=------,故該馬第六天走-------X—=----里路.

,112712725127

2

故選：C.

7.已知圓M：/+/_6》=0,過點(diǎn)(1,2)的直線"J?，…，被該圓/截得的弦

長依次為4，。2，…，a“,若4，電，…，是公差為;的等差數(shù)列，則〃的最大值是（）

A.10B.11C.12D.13

【正確答案】D

【分析】求出弦長的最小和最大值，根據(jù)等差數(shù)列的關(guān)系即可求出〃的最大值

【詳解】解：由題意

在圓A/:x2+y2-6A=0中

M:(X-3)2+/=9

二圓心M（3,0）,半徑為3,

過點(diǎn)/（1,2）的直線心…被該圓M截得的弦長依次為4，生，…，a?

過圓心作弦的垂線，交圓于兩點(diǎn)，如下圖所示:

由幾何知識(shí)得，當(dāng)M418c時(shí)，

直線。E的解析式為：y=-%+3

直線8c的解析式為：y=x+\

..13-0+11廠

圓心到弦BC所在直線的距離：=）2=202

連接

：.\BC\=2\AB\=2,

???最短弦長q=2,

???q,%，…，牝是公差為g的等差數(shù)列

二設(shè)%=2+*_1)=；〃+：

?.?最長弦長為6

1

.?.a?=—〃+—5=6.

"33

解得：〃=13

故選：D.

2

8.已知數(shù)列滿足q+2a2+3%++nan=n,設(shè)”=〃?！?，則數(shù)列1一―］的前2022項(xiàng)和為

()

40422021〃40442022

A.------B.------C.------D.------

4043404340454045

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意先求出4,=2,即可求出，=2〃-1則可寫出［二一］的通項(xiàng)公式，再

?lA&iJ

利用裂項(xiàng)相消即可求出答案.

【詳解】因?yàn)閝+2%+3%++na?=n2①,

當(dāng)力=1時(shí)，a,=1；

當(dāng)“22時(shí)，+2a2+3tz3++(〃—1)q_]=(〃—1)■②,

①-②化簡得勺=2,

n

7x1-1?i_i

當(dāng)〃=1時(shí)：q=~」=1=1,也滿足/="7」，

1n

C21,_.11If11)

所以a=-----,b=na,=2n-l,-----=-------------=-------------

所以I的前2022項(xiàng)和

11111If,11202：

213352x2022-12x2022+\)2x2022+1)404:

故選:D.

二、多選題

9.已知向量￡=(2,-1,2),6=(2,2,1),G=(4,l,3),則()

A.|^|=p|B.c-b=(2,-1,2)

-八'入"

C.aJ.bD.a//b

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)向量模長、減法的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量垂直和平行的坐標(biāo)表示直接判斷各個(gè)選項(xiàng)

即可.

【詳解】對(duì)于A,|*=j4+l+4=3,M'=j4+4+l=3,，|。=|同，A正確；

對(duì)于B,由向量坐標(biāo)運(yùn)算知：^^=(2,-1,2),B正確：

對(duì)于C,a.6=4—2+2=4W0，「.a,人不垂直，C錯(cuò)誤；

[2=22

對(duì)于D,假設(shè)翻6,則。=26(/leR),即-1=23方程無解，.?/,6不平行，D錯(cuò)誤.

[2=/1

故選：AB.

10.數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和為S,,,已知SL-/+7力，則下列說法正確的是()

A.｛q｝是遞增數(shù)列B.?10=-14

C.當(dāng)〃>4時(shí)，an<0D.當(dāng)〃=3或4時(shí)，S,取得最大值

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)S“表達(dá)式及〃22時(shí)，a“=S“-Si的關(guān)系，算出數(shù)列｛q｝通項(xiàng)公式，即可判斷

A、B、C選項(xiàng)的正誤.S“=-〃2+7〃的最值可視為定義域?yàn)檎麛?shù)的二次函數(shù)來求得.

【詳解】當(dāng)"22時(shí)，見=，-以|=一2〃+8,又q=$=6=-2xl+8,所以%=-2〃+8,

則｛4,｝是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

故B錯(cuò)誤;

當(dāng)〃〉4時(shí)，?！?8-2〃<0,故C正確；

因?yàn)?“=-“2+7〃的對(duì)稱軸為〃=；,開口向下，而〃是正整數(shù)，且〃=3或4距離對(duì)稱軸一

樣遠(yuǎn)，所以當(dāng)〃=3或4時(shí)，S.取得最大值，故D正確.

故選：CD.

11.若P,0分別為4：3x+4y-12=012:ox+8y+c=0上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足：/,#/,,則下面正確

的有（）

A.a=6B.c工-24

C.當(dāng)c確定時(shí)?，|尸。|有最小值，沒有最大值D.當(dāng)|p9的最小值為3時(shí)，c=3

【正確答案】ABC

4-12

【分析】由4〃/,可得4a=3x8=24,,即可判斷A,B選項(xiàng)；

8c

因?yàn)?尸。1的最小值為4，，2之間的距離，由兩平行線間的距離可得1=號(hào)言，所以得

y。此=寧言，進(jìn)而可判斷c,D.

【詳解】解：因?yàn)?〃4，

4-12

所以4a=3x8=24,一工一,

8c

所以a=6,cw-24,故A,B正確；

|P0l的最小值為4,，2之間的距離，

又因?yàn)?〃4,

_7|c+24||c+24|

所以4，4之間的距離"=/2]

\6+8iu

所以當(dāng)C確定時(shí)，歸。|有最小值為吟力，沒有最大值，故C正確；

當(dāng)嚀尹=3時(shí)，則有c=6或c=-54,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

12.我們通常稱離心率為止二1的橢圓為“黃金橢圓，，.如圖，已知橢圓C:=+^=l,

2a2b2

4,4由，層為頂點(diǎn)，0名為焦點(diǎn)，戶為橢圓上一點(diǎn)，滿足下列條件能使橢圓c為“黃金橢圓

B.N耳用4=91

c.PF,1X軸，且尸O//44

D.四邊形4層44的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)耳，鳥

【正確答案】BD

【分析1若14耳1,1耳思|,|月41為等比數(shù)列，可得（a-c）2=（2c）2,則求出離心率可判斷A；

由勾股定理以及離心率公式可判斷B；根據(jù)原。=原血結(jié)合斜率公式可判斷C；由四邊形

A（B2A的內(nèi)切圓的半徑為c可得+b?，求出離心率可判斷D.

【詳解】解：C：W+4=l（a>b>0）,

a~b

4（-a，0），4（a，0）/（0力）,與（0,-6），K（-c,O）,g（c,0）,

對(duì)于A：14耳i,|耳巴I,|巴41為等比數(shù)列,

則141|?I五41=|耳用『，…“Rep

.??a-c=2c,入=：不滿足條件，故A錯(cuò)誤：

對(duì)于B：444=90。，.?.卜/「=忸譙「+忸闖2

=/+/+/,.c2+ac_a2=0

即+e-i=0解得e=或__L或^=亞--(舍去)滿足條件.

22

故B正確；

對(duì)于C：PFJx軸，且尸?！?4，

/12\Q

?*-P-G—%PO=3,用即ab解得b=c〃2=從+/,

I41"—二一

'/-c-a

.?.e=￡=f=也不滿足題意，故C錯(cuò)誤：

對(duì)于D：四邊形444片的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)耳，巴，

即四邊形4與4A的內(nèi)切圓的半徑為c,

ah=cyla2+b2c4-3a2c2+a4=0

.?.04-3?2+1=0解得02=三正(舍去)或『=匕6

22

.?,e=叵土，故D正確.

2

故選：BD

三、填空題

13.已知方程」^+工=1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為.

10-4k-4--------

【正確答案】(-co,4)u(10,+oo)

【分析】根據(jù)方程為雙曲線，可得(10-6色-4)<0,解不等式即可得答案.

22

【詳解】因?yàn)榉匠桃灰?工=1表示雙曲線，

10-kk-4

所以(10-項(xiàng)左-4)<0,解得(>10或左<4,

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍為(-8,4)510,+8).

故(-8,4)7(10,+8)

14.已知數(shù)列｛/｝中，4=1嗎+|=一=1，則%)22=.

【正確答案】-2

【分析】由4=1求出的=-g,%=-2,%=1,確定數(shù)列｛為｝為循環(huán)數(shù)列，最小正周期為3,

從而求出出022=〃3=一2.

11=__!—=—_!—

【詳解】因?yàn)?=1，所以％=-——="，%a一廠1

a,+122---1-1

12

111

%=------=------=1,,

4%+1-2+1....

所以數(shù)列｛““｝為循環(huán)數(shù)列，最小正周期為3,

故a2O22ablM=%=-2.

故-2

15.如圖，在正三棱柱/8C-4AC|中，44=3,AB=2,則異面直線45與耳。所成角的

余弦值為

7

【正確答案】—

UUU.

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量48,BC的坐標(biāo)，利用向量的夾

角公式即可求得答案.

【詳解】以/為原點(diǎn)，在平面為8c內(nèi)過點(diǎn)4作ZC的垂線為x軸，NC為y軸，為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系,

在正三棱柱月8c-4AG中，14=3,AB=2,

則A(0,0,0),4(0,0,3),8(V3,1,0),46,1,3),C(0,2,0],

故4=(A/3,1,-3),C=(-^3,1,-3),

設(shè)異面直線ABt與B｝C所成角為aee(0,g,

I雙鈾1-3+1+91=7

所以cos。=

\AB}||5,C|V13-Vi313

7

.?.異面直線陽與8c所成角的余弦值為g

7

故答案為.行

n

16.在數(shù)列｛““｝中，％=2,??+l+(-l)??=l,則｛凡｝的前2022項(xiàng)和為

【正確答案】1015

【分析】分奇偶項(xiàng)討論，結(jié)合并項(xiàng)求和運(yùn)算求值.

【詳解】。“+1+(-1)"%=1,令"=1,貝故4=3,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，則%+|+?！?1,q,+2-q,+i=i，

二4+2+%=2；

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，則4+1-4“=1,4+2+4+1=1，

,4*2+%=°；

設(shè)數(shù)列｛對(duì)｝的前"項(xiàng)和S,,

則

+

$2022="l+。2+…+°2022=回+包+牝六…+^2019+a2O2i)]+\^1[+。6+…+^2020+02022)

=(2+0x505)+(3+2x505)=1015.

故1015.

四、解答題

17.已知“8C中，8(2,1),。(一2,3)

(1)求8c邊所在直線的方程；

(2)直線依-y+4-3%=0過定點(diǎn)，設(shè)該定點(diǎn)為A,求/8C的面積.

［正確答案］(l)x+2y_4=0

(2)7

【分析】(1)直接計(jì)算出程°，再寫出點(diǎn)斜式方程即可;

(2)首先求出定點(diǎn)4(3,4),然后利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)A到直線BC的距離以及BC

的長，則得到三角形面積.

【詳解】(1)8c的斜率為二三=-1，

-2-22

直線方程為尸l=-；(x-2),即x+2y-4=0；

(2)fcv-y+4-3左=0即(x-3)%—歹+4=0,

當(dāng)x=3時(shí)、y=4,故4(3,4),

=?+(-2)2=2瓦

A到BC邊所在直線的距離為d=,BC

7

故/8C的面積為萬8。d=-X2A/5=7

18.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S.，公差d/0,且滿足2岳-5=3,%,4,%成等比數(shù)

列.

⑴求。“；

(2)求數(shù)列｛kJ｝的前30項(xiàng)和.

【正確答案】⑴a“=4〃T9

(2)1362

【分析】(1)由等差數(shù)列的公式列方程組即可求解；

(2)分類討論即可求解.

【詳解】⑴由題意可得：，2%-西+;-")=3,

(q+3d)2=(q+4d)(%+6d)

解得夕「或夕二(舍)

[d=4=0

故%=-15+(W-1)X4=4/7-19.

(2)由(1)可知：S“=—15〃+四匚I)*4=2/_]7”,

2

設(shè)數(shù)列｛㈤｝的前〃項(xiàng)和為1，

易知當(dāng)"44時(shí)，<2?<0,|a?|=-a?=19-4w,所以5=-邑=36,

當(dāng)"25時(shí)，??>0,\a,\=an=4/?-19,

2

Tn=Sn+2T4=2n-l7n+72,

所以勺=2x900-17x30+72=1362.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C:f+/-4x=0及點(diǎn)小-1,0),8(1,2).

(1)若直線/過點(diǎn)B,與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2百，求直線/的方程；

(2)圓C上是否存在點(diǎn)P,使得|"『+|尸8『=12成立？若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

【正確答案】(l)x=l或3x+4y_ll=0

(2)存在，兩個(gè)

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理可得圓心到直線/的距離為1,然后利用點(diǎn)到直線的距離即可求解;

(2)假設(shè)圓C上存在點(diǎn)P,設(shè)P(x,y),則(x-2)2+/=%利用題干條件得到點(diǎn)P也滿足

/+(y_l)2=4,根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)圓。:/+_/-4》=0可化為(x-2)2+j?=4,圓心為(2,0),r=2,

若/的斜率不存在時(shí)，/：x=l,此時(shí)|MN|=20符合要求.

當(dāng)/的斜率存在時(shí)，設(shè)/的斜率為人,則令/：y-2="(x-l),

因?yàn)閨MV上2百，由垂徑定理可得，圓心到直線的距離d=/2_3=]

3x+4y-11=0

所以直線/的方程為x=l或3x+4y-11=0.

(2)假設(shè)圓C上存在點(diǎn)尸，設(shè)P(x,y),則。-21+/=4,

\PA\2+\PB\2=(x+i)2+(y-0)2+(x-l)2+(y-2)2=12,

BPx2+y2-2y-3=0,BPx2+(^-l)2=4,

|2-2|<7(2-0)2+(0-l)2<2+2,

.,.(X-2)2+/=4與x2+(_y-l)2=4相交，則點(diǎn)尸有兩個(gè).

20.在正方體力BCD—44GA中，如圖E、尸分別是84，CO的中點(diǎn),

(1)求證：。尸，平面NOE；

(2)點(diǎn)。到平面力。E的距離.

【正確答案】（1）證明見解析；（2）章.

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出。;0,。/二￡二0即

可證得.

I.,八…,P

\DDD^\

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式有4=可求得結(jié)果.

阿

【詳解】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為1,

則0(0,0,0),41,0,0),￡),(0,0,1),尸(0，；，0

則DA=(1,0,0),

則。尸?04=0,DF-AE=Q,

DtF1DA,D}F1AE,且=

.?.。尸1_平面/OE.

…X(1

(2)DDX=(0,0,1),2尸=0,5，-l

由（1）知平面/DE的一個(gè)法向量為。尸,

叱刎24

所以點(diǎn)B到平面ADE的距離d=---=----

5

本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐

標(biāo)，考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

21.已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S角=5“+%+1,%,4，%成等比數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和求證：141<3.

【正確答案】(1)?！?〃+1

(2)證明見解析

【分析】(1)由利用。,用=5,出-5“得數(shù)列｛。,｝是等差數(shù)列，從而可得其通項(xiàng)公式；

(2)由錯(cuò)位相減法求得和T?后結(jié)合單調(diào)性可證不等式成立.

【詳解】(1)因?yàn)镾n+l=Sll+a?+\,所以S“L，=4"+1,即％M=%+1,所以數(shù)列｛6｝是

首項(xiàng)為4,公差為1的等差數(shù)列，其公差d=L

由％，％，%成等比數(shù)列，得(q+2“y=a"%+6"),

22

則at+4(7,(/+4d=af+6atd,所以q=2,

所以4=q+=2+(〃-l)xl=〃+1；

/、凡"+1LL,、IF234,w+1

(2)由題可知—,所以＜=5+尹+尹+L+—,

匚匚11234n/7+1

所以2"=￥+^+￥T+

兩式相減得；刀,=1+*+*+：+…+：-蕓

n-A112"〃?_3/?-t3

------7"=~'I"-

22I222232口2"*22.12""-2-2”川

1------

2

所以q=3-空.

所以(,=3-展<3,又卻「看=3-崇一(377+3塔＞0,

2〃+]，

所以｛4｝是遞增數(shù)列，Tn(=1,故14騫<3.

22.設(shè)拋物線C：x2=2py(0</?<8)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸是C上一點(diǎn)，且尸尸的中點(diǎn)坐標(biāo)為

(2?-)

2

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)動(dòng)直線/過點(diǎn)Z(0,2),且與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)0與點(diǎn)”關(guān)于y軸對(duì)稱(點(diǎn)

。與點(diǎn)N不重合)，求證：直線QN恒過定點(diǎn).

【正確答案】(1丫=4為

(2)證明見解析

X。=4

【分析】(1)設(shè)戶(x。，兒)，根據(jù)PF的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,g)列方程得至小

p,然后代入

%=5c-5

拋物線方程中，解得P,即可得到拋物線的方程;

\x.+x^-Ak

(2)方法一：設(shè)直線/方程為y=b+2,跟拋物線方程聯(lián)立，得到1-,然后利用

曰2=-8

韋達(dá)定理求出直線QN的方程，即可得到過定點(diǎn);

x2=4y

方法二：設(shè)直線方程為1=履+占，跟拋物線方程聯(lián)立，得到,■,然后利用Af,A,