湖南省2024屆高三新改革提高訓練數學試卷五（九省聯(lián)考題型）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省2024屆高三數學新改革提高訓練五（九省聯(lián)考題型）一、選擇題1.某班12名同學某次測試的數學成績（單位：分）分別為62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，則這12名同學這次測試的數學成績的第60百分位數是（）A.74 B.78 C.83 D.91〖答案〗C〖解析〗將這組數據按從小到大的順序排列為57，62，65，69，72，74，78，83，85，89，91，95.因為，所以這12名同學這次測試的數學成績的第60百分位數是83.故選：C.2.已知數列的前項和為，若，則數列的通項公式為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，當時，，當也滿足，所以數列的通項公式為.故選：D3.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，由，．故選：C4.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下面說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗B〖解析〗對于A，若，則可能平行或相交，可得A錯誤；對于B，若，則，即B正確；對于C，若，則或，可知C錯誤；對于D，若，則或，可知D錯誤；故選：B5.已知，，且，則（）A.4 B.5 C.7 D.8〖答案〗A〖解析〗通項公式為，二項式的展開式中項的系數為，項的系數為，，，即，即，（負值舍），故選：A.6.圓和圓的公切線方程是（）A. B.或C. D.或〖答案〗A〖解析〗，圓心，半徑，，圓心，半徑，因為，所以兩圓相內切，公共切線只有一條，因為圓心連線與切線相互垂直，，所以切線斜率為，由方程組解得，故圓與圓的切點坐標為，故公切線方程為，即．故選：A.7.鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結構，在有機化學中極其重要．有機物萘可以用左圖所示的鍵線式表示，其結構簡式可以抽象為右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形，且，點為該圖形邊界（包括頂點）上的一點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取線段的中點，則，，由圖可知，當點與點重合時，取最小值，且，由圖形可知，當取最大值時，點在折線段上，連接，則，同理，由正六邊形的幾何性質可知，，所以，，則、、三點共線，則，即，當點在線段上從點運動到點的過程中，在逐漸增大，同理可知，，當點在線段上由點到的過程中，在逐漸增大，所以，當取最大值時，點在折線段上運動，以線段的中點為坐標原點，所在直線為軸，線段的垂直平分線所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、、、、、，設點，（1）當點在線段上運動時，，直線的方程為，即，所以，線段的方程為，則；（2）當點在線段上運動時，，，則，所以，；（3）當點在線段上運動時，，直線的方程為，即，所以，線段的方程為，所以，，因函數在上單調遞增，故.綜上所述，的最大值為，故，故的取值范圍是.故選：B.8.已知，函數在點處的切線均經過坐標原點，則（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，，則，所以曲線在點處的切線方程分別為，因為切線均過原點，所以，即，得，故AB錯誤；由，得，畫出函數與圖象，如圖，設，如上圖易知：，由正切函數圖象性質，得，即，又，所以，即，解得，故C正確，D錯誤.故選：C二、選擇題9.關于函數有下述四個結論，其中結論正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關于直線對稱C.的圖象關于點對稱D.在上單調遞增〖答案〗BCD〖解析〗，對于A，的最小正周期為，故A錯誤，對于B,,故的圖象關于直線對稱，B正確，對于C，，故的圖象關于點對稱，C正確，對于D，時，，故在上單調遞增，D正確，故選：BCD10.若、為復數，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對于A選項，取，，則，，所以，，，所以，，所以，，，故，A錯；對于B選項，設，，則，，，，則，所以，，B對；對于C選項，不妨取，，則，，，所以，，故，C錯；對于D選項，設，則，所以，，所以，，D對.故選：BD.11.已知拋物線的焦點為，準線為，點，在上（在第一象限），點在上，，，（）A.若，則 B.若，則C.則的面積最小值為 D.則的面積大于〖答案〗ABD〖解析〗對于A，如圖1，設點在準線上的投影為，準線與軸交于點，又，，則，所以，故A正確；對于B，設點在準線上投影為點，易證，又，，即，又，則為等邊三角形，所以，且，，故B正確；對于C，分兩種情況：當點都在第一象限，如圖1所示，設，，由焦半徑公式可得，，，令，設，且，，當且僅當時取得最小值.當點在第四象限時，如圖2所示，設，，則，，所以，同理令，且，，所以，當且僅當時取得最小值，綜上，面積的最小值為，故C錯誤；對于D，當點都在第一象限，如圖1所示，，，則，所以，即，，當點在第四象限時，如圖2所示，同理可得，即，，綜上，的面積大于，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.已知，關于x的不等式的解集為M，設，當a變化時，集合N中的元素個數最少時的集合N為______．〖答案〗〖解析〗，令得，其中，當且僅當，即時，等號成立，其中，則的解集為，要想集合N中的元素個數最少，則取最小值，此時解集為，此時.故〖答案〗為：13.如圖，在中，是的中點，以為折痕把折疊，使點到達點的位置，則當平面平面時，其外接球的體積為__________.〖答案〗〖解析〗如圖，由題意，當平面平面，是的中點，，即兩兩垂直，又，如圖，作長方體，則三棱錐的外接球，即是長方體的外接球，設長方體的外接球的半徑為，則，.當三棱錐體積最大時，其外接球的體積為.故〖答案〗為：.14.若不等式對恒成立，其中，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗令，即，當時，由函數與的圖象可知，兩函數圖象有一個交點，記為，則當時，，即，不滿足題意；當時，令，則，令，則，因為單調遞增，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以時，有最小值，又對恒成立，所以，即，所以，當且僅當時等號成立.令，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以當時，，所以，即，當且僅當時等號成立，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題15.如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點在底面圓上，，點是線段的中點（1）證明：平面；（2）若直線與圓柱底面所成角為，求點到平面的距離.（1）證明：證明：取中點，連接，如圖所示，為中點，則，又，得，由，，得，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2）解：，易知，又，得.由平面，且直線與圓柱底面所成角為，即，則有.如圖，以為原點，分別為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標系，則有，，，設平面的一個法向量為，則，令，有，得，，設點到平面的距離為，16.在統(tǒng)計學的實際應用中，除了中位數外，經常使用的是25%分位數（簡稱為第一四分位數）與75%分位數（簡稱為第三四分位數），四分位數應用于統(tǒng)計學的箱型圖繪制，是統(tǒng)計學中分位數的一種，即把所有數值由小到大排列，并分成四等份，處于三個分割點的數值就是四分位數，箱型圖中“箱體”的下底邊對應數據為第一四分位數，上底邊對應數據為第三四分位數，中間的線對應中位數，已知甲、乙兩班人數相同，在一次測試中兩班成績箱型圖如圖所示.（1）由此圖估計甲、乙兩班平均分較高的班級是哪個？（直接給出結論即可，不用說明理由）（2）若在兩班中隨機抽取一人，發(fā)現他的分數小于128分，則求該同學來自甲班和乙班的概率分別是多少？（3）據統(tǒng)計兩班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，從中抽取了3人作學習經驗交流，3人中來自乙班的人數為，求的分布列.解：（1）由兩班成績箱型圖可以看出，甲班成績得中位數為128，而乙班的第三四分位數使128，同時，甲班的第一四分位數明顯高于乙班，由此估計甲班平均分較高.（2）由圖可知，甲班中有的學生分數低于128分；乙班中有的學生分數低于128分設從兩班中隨機抽取一人，“該同學來自甲班為事件”，“該同學分數低于128分為事件”，則，，，，所以，該同學來自甲乙兩班的概率分別為，.（3）依題的所有可能取值為0，1，2，3，，所以的分布列為：17.設，為實數，且，函數（），直線．（1）若直線與函數（）的圖像相切，求證：當取不同值時，切點在一條直線上；（2）當時，直線與函數有兩個不同的交點，交點橫坐標分別為，，且，求證：．證明：（1）設切點橫坐標為，可得，得，即，化簡得，令，得，記，所以時，單減，且時，當，單增，，所以，，，所以切點在直線上．（2）當時，由（1）得切線的斜率為，直線與函數有兩個不同的交點，得，即有2個不同的解，由題意得，，做差得，即，欲證，即證，即證，即令，，即證即下面先證明，令，即證，即，先證，令，，單調遞增得，因為，所以，證得成立，用替換，可得成立，所以，即成立，得.18.已知圓，與x軸不重合的直線l過點，且與圓交于C、D兩點，過點作的平行線交線段于點M．（1）判斷與圓的半徑的大小關系，求點M的軌跡E的方程；（2）已知點，直線m過點，與曲線E交于兩點N、R（點N、R位于直線異側），求四邊形的面積的取值范圍．解：（1）圓，，，，，，∴點M的軌跡是以為焦點的橢圓，其方程為．（2）設直線，由題意知且，設，，由，則，所以，令且，，當時，；當，；當時，；，且，，且．19.對于項數為的有窮數列，若，則稱為“數列”.（1）已知數列、的通項公式分別為，.分別判斷、是否為“數列”；（只需給出判斷）（2）已知“數列”的各項互不相同，且，.若也是“數列”，求有窮數列的通項公式；（3）已知“數列”是的一個排列（即數列中的項不計先后順序，分別?。?，求的所有可能值.解：（1）、均為“數列”（2）∵在“數列”中，，又也是“數列”，則，∴，又的各項互不相同，∴，∴有窮數列為等差數列，∵，，則公差，∴有窮數列的通項公式為.（3）∵“數列”是的一個排列，∴當時，且為正整數.又∵且，∴①若，則，；此時為連續(xù)自然數，且，當，不符合題意；當，不符合題意；當，不符合題意；當，或，符合題意；當，若為連續(xù)遞增自然數，當