吉林省部分名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省部分名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，即，故，解得，故選：A2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由雙曲線可得，，所以漸近線方程.故選：B.3.直線與直線平行，則（）A. B. C.或4 D.4〖答案〗D〖解析〗由，解得或．當(dāng)時，兩直線重合；當(dāng)時，符合題意．故選：D4.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其準(zhǔn)線方程為，故選：B5.已知向量，，則向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為向量，，所以向量在向量上的投影向量．故選：A6.已知為圓上一動點，為圓上一動點，則的最小值為（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗題意得圓的圓心為，得，圓與圓的半徑之差為，所以圓與圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，所以的最小值為.故選：C.7.已知是橢圓的左焦點，第一象限內(nèi)的點在上，直線與軸交于點為坐標(biāo)原點，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得.設(shè)，則.由，得，所以，即，因為點在上，所以，得，故.故選：C8.已知雙曲線：（，）的右焦點為F，右頂點為A，過點F作x軸的垂線，垂線與雙曲線E的一個交點為P，的中點為Q，直線與直線（O為坐標(biāo)原點）的交點在雙曲線E上，則雙曲線E的離心率為（）A. B.3 C. D.2〖答案〗B〖解析〗易知，，不妨設(shè)，則．設(shè)直線與直線的交點為B，因為B在雙曲線E上，所以B，P關(guān)于原點對稱，即．因為Q，A，B三點共線，所以．因為，，所以，所以，．故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知橢圓的離心率分別為它的左、右焦點，分別為它的左、右頂點，是橢圓上的一個動點，且的最大值為，則下列選項正確的是（）A.當(dāng)不與左、右端點重合時，的周長為定值B.當(dāng)時，C.有且僅有4個點，使得為直角三角形D.當(dāng)直線的斜率為1時，直線的斜率為〖答案〗ABD〖解析〗對于A：因為，當(dāng)且僅當(dāng)為右頂點時取等號，又因為的最大值為，所以，因為，所以，所以橢圓的方程為，因為的周長為，故A正確；對于B：當(dāng)時，，所以，所以，所以，因為，所以，故B正確；對于C：設(shè)橢圓的上頂點為，因為，所以，所以的最大值為，所以存在個點，使得，又因為存在個點使，存在個點使，所以存在個點，使得為直角三角形，故C錯誤；對于D：因為，設(shè)，則，所以，所以，因為，所以，故D正確，故選：ABD.10.直線l經(jīng)過點，且兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則直線l的方程可能是（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗當(dāng)直線l的截距為0時，直線l的方程為，即．故A正確；當(dāng)直線l的截距不為0時，設(shè)直線l的方程為，則解得或若則直線l的方程為，即；故C正確；若則直線l的方程為，即．故D正確；故選：ACD.11.如圖，在正方體中，P為的中點，，，則下列說法正確的是（）A.B.當(dāng)時，平面C.當(dāng)時，PQ與CD所成角的余弦值為D.當(dāng)時，平面〖答案〗ABC〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則，所以，，所以，所以，A正確；當(dāng)時，，所以，又平面，平面，從而平面，B正確；當(dāng)時，，，所以PQ與CD所成角的余弦值為，C正確；當(dāng)時，，，，所以不垂直于，所以不垂直于平面，D錯誤．故選：ABC.12.已知拋物線的焦點為F，過點F作互相垂直的兩條直線與拋物線E分別交于點A，B，C，D，P，Q分別為，的中點，O為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.若F恰好為的中點，則直線的斜率為D.直線過定點〖答案〗ABD〖解析〗A：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程組得，則，，所以，同理可得，所以，故A正確；B：由選項A知，，因為P分別為的中點，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確．C：，若F為中點，則．因為，所以．所以，故，所以，故C錯誤．D：當(dāng)直線的斜率存在時，，所以直線的方程為，整理得，所以直線過定點；當(dāng)直線的斜率不存在時，，直線的方程為，過點，所以直線過定點．故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為__________．〖答案〗6〖解析〗直線與y軸交于點，與x軸交于點，所以圍成三角形的面積為．故〖答案〗為：614.若點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3，請寫出一個的標(biāo)準(zhǔn)方程：__________.〖答案〗（本題〖答案〗不唯一，任選一個即可）〖解析〗由題意得拋物線的準(zhǔn)線可能為直線，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，中任選一個即可）.15.在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點，，則與所成角的余弦值為__________．〖答案〗〖解析〗由題意知，，如圖，以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，．所以，，所以，即BM與AN所成角的余弦值為.故〖答案〗：16.已知A，B是拋物線上的兩點，A與B關(guān)于x軸對稱，，則的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，，所以．因為，所以當(dāng)時，取得最小值，且最小值為．故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓經(jīng)過三點.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與直線垂直，且與圓相切，求在軸上的截距.解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為該圓過三點，所以有所以該圓的方程為.（2）由題意得，所以的斜率為.設(shè)，即.由點到的距離為，得或，所以在軸上的截距為或.18.已知橢圓的焦距為，短半軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線l交橢圓C于M，N兩點，且的中點為，求直線l的方程．解：（1）因為，，所以，故橢圓C的方程為．（2）易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，，，則兩式相減得，整理得．因為的中點為，所以，所以，所以直線l的方程為，即，經(jīng)檢驗，符合題意.19.如圖，在直三柱中，，分別為，的中點．（1）若，求的值；（2）求與平面所成角的正弦值．解：（1）由向量的線性運算法則，可得，又由，所以．（2）以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以．設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)與平面所成的角為，可得．20.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，，E，F(xiàn)分別是BC，PD的中點．（1）證明：平面PAB．（2）若，求平面AEF與平面PBD夾角的余弦值．解：（1）取的中點，連接分別為的中點，，又分別為的中點，，，因為面，面，面，面，面，面，，面，面，面面，又面，平面PAB．（2）設(shè)，，，，，又且面，面，面，連接，因為面，所以，因為為等邊三角形，所以，又因為面，所以平面.如圖，以點為原心，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令則，即，則，令則，即，設(shè)平面AEF與平面PBD夾角為，則，平面AEF與平面PBD夾角的余弦值為.21.如圖，第25屆中國機(jī)器人及人工智能大賽總決賽中，主辦方設(shè)計了一個矩形坐標(biāo)場地（包含地界和內(nèi)部），長為12米，在邊上距離B點5米的E處放置一只機(jī)器犬，在距離B點2米的F處放置一個機(jī)器人，機(jī)器人行走的速度為v，機(jī)器犬行走的速度為，若機(jī)器犬和機(jī)器人在場地內(nèi)沿著直線方向同時到達(dá)場地內(nèi)某點P，則機(jī)器犬將被機(jī)器人捕獲，點P叫成功點．（1）求在這個矩形場地內(nèi)成功點P的軌跡方程；（2）若N為矩形場地邊上的一點，若機(jī)器犬在線段上都能逃脫，問N點應(yīng)在何處？解：（1）如圖，分別以，所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)成功點，可得，即，化簡得．因為點P需在矩形場地內(nèi)，所以，故所求軌跡方程為．（2）當(dāng)線段與（1）中的圓相切時，，所以，所以．若機(jī)器犬在線段上都能逃脫，則N點橫坐標(biāo)的取值范圍是．22.已知雙曲線C：（，）的右頂點為A，左焦點為F，過點F且斜率為1的直線與C的一條漸近線垂直，垂足為N，且．（1）求C的方程．（2）過點的直線交C于，兩點，直線AP，AQ分別交y軸于點G，H，試問在x軸上是否存在定點T，使得？若存在，求點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）因為F