江蘇省南通市海安市2024屆高三下學(xué)期期初學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市海安市2024屆高三下學(xué)期期初學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知樣本數(shù)據(jù)1，2，2，3，7，9，則2.5是該組數(shù)據(jù)的（）A.極差 B.眾數(shù) C.平均數(shù) D.中位數(shù)〖答案〗D〖解析〗由題意得眾數(shù)為，極差，均值，中位數(shù)，故D正確.故選：D.2.3名男生和2名女生站成一排．若男生不相鄰，則不同排法種數(shù)為（）A.6 B.12 C.24 D.72〖答案〗B〖解析〗先排2名女生，有種排法，借助插空法，共有3個(gè)空位，故3名男生有種排法，共有種排法.故選：B.3.設(shè)．若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，且，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.且〖答案〗A〖解析〗由函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，故且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，有，不符合題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，有，符合題意，故正確.故選：A.4.若a，b為兩條異面直線，，為兩個(gè)平面，，，，則下列結(jié)論中正確的是()A.l至少與a，b中一條相交B.l至多與a，b中一條相交C.l至少與a，b中一條平行D.l必與a，b中一條相交，與另一條平行〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閍，b為兩條異面直線且，，，所以a與l共面，b與l共面.若l與a、b都不相交，則a∥l，b∥l，a∥b，與a、b異面矛盾，故A對(duì)；當(dāng)a、b為如圖所示的位置時(shí)，可知l與a、b都相交，故B、C、D錯(cuò).故選：A.5.設(shè)各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則公比（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由數(shù)列為各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列，設(shè)公比為，由，得，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，則，化簡(jiǎn)得，解得，或（舍）；當(dāng)，則，化簡(jiǎn)得，因，所以無解；綜上可得，故C正確.故選：C.6.記的內(nèi)角A，B的對(duì)邊分別為a，b，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，由正弦定理可得，又，在中，，故，即，故“”是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，例如，，，，有，符合題意，但，故“”不是“”的必要條件；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在C的左支上，，的周長(zhǎng)為，則C的離心率為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令雙曲線的焦距為，依題意，，解得，在中，，由余弦定理得，整理得，所以雙曲線C的離心率為.故選：C.8.已知正五邊形的邊長(zhǎng)為a，內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，，，故，故，，由，故，即，即，故.故選：B.二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.關(guān)于直線對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 D.的最小值為〖答案〗AD〖解析〗，由的最小正周期為，故的最小正周期為，故A正確；，且，故不關(guān)于直線，也不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B、C錯(cuò)誤；由，且，故，故D正確.故選：AD10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)M，N在C上，且，則（）A. B.直線MN的斜率為C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由，故為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，故，故A正確；由，故，，設(shè)，則，故有，解得，即、，則，故B正確；，故C正確；，，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知非零函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，與均為偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由與均為偶函數(shù)，故，，即有，，故關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，又，故，即，故關(guān)于對(duì)稱，由，可得，即有，為常數(shù)，即關(guān)于對(duì)稱，故，故A錯(cuò)誤；即對(duì)有、，則，即，故，即，即，故B正確；對(duì)有，，關(guān)于對(duì)稱且關(guān)于對(duì)稱，，有，即，故，即，故為周期為的周期函數(shù)，有，即，故關(guān)于對(duì)稱，不能得到，故C錯(cuò)誤；由關(guān)于對(duì)稱，故，，由為周期為的周期函數(shù)，且關(guān)于對(duì)稱，故關(guān)于對(duì)稱，故，由關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，故關(guān)于對(duì)稱，故，，故，故D正確.故選：BD.三、填空題12.設(shè)，為虛數(shù)單位．若集合，且，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，解?故〖答案〗為：.13.一個(gè)三棱錐形木料，其中是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，底面，二面角的大小為，則點(diǎn)A到平面PBC的距離為________．若將木料削成以A為頂點(diǎn)的圓錐，且圓錐的底面在側(cè)面PBC內(nèi)，則圓錐體積的最大值為_________．〖答案〗〖解析〗取中點(diǎn)，連接，由底面，則即為二面角的平面角，故，由是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，故，故，，由、平面，故、，又，故，則，則，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為，則有，即，即，作于點(diǎn)，由，，故為中點(diǎn)，作于點(diǎn)，則有,即，故圓錐體積的最大值為.故〖答案〗為：；.14.已知a，b，c為某三角形的三邊長(zhǎng)，其中，且a，b為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，若恒成立，則M的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗由a，b為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，故有，即恒成立，故，，則，，由a，b，c為某三角形的三邊長(zhǎng)，且，故，且，則，因?yàn)楸厝怀闪?，所以，即，解得，所以，則，令，，則，故在上單調(diào)遞增，故，故恒成立，故的最小值為為.四、解答題15.假定某同學(xué)每次投籃命中的概率為，（1）若該同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率；（2）該同學(xué)現(xiàn)有4次投籃機(jī)會(huì)，若連續(xù)投中2次，即停止投籃，否則投籃4次，求投籃次數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望．解：（1）令投中次的概率為，則；（2）的可能取值為、、，，，，故的概率分布為：其數(shù)學(xué)期望.16.己知函數(shù)，其中．（1）若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求；（2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間．解：（1），則，，故曲線在處的切線為，即，當(dāng)時(shí)，令，有，令，有，故，即，此時(shí)，無切線，故不符合要求，故舍去；當(dāng)時(shí)，此時(shí)切線為，符合要求，故（2），，則當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17.如圖，己知三棱臺(tái)的高為1，，為的中點(diǎn)，，，平面平面．（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大小．（1）證明：由，，，故與全等，故，又為的中點(diǎn)，故，又平面平面，平面平面，且平面，故平面；（2）解：連接，由平面，平面，故，又，為的中點(diǎn)，故，即、、兩兩垂直，且，故可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有、、、，由三棱臺(tái)的高為1，故，故，、，則，，，令平面的法向量為，則有，即，令，則有、，故，則有，故與平面所成角的正弦值為，即與平面所成角為.18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與相交于、兩點(diǎn)．（1）求直線l被圓所截的弦長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，．（i）求的方程；（ii）證明：對(duì)任意的，的周長(zhǎng)為定值．（1）解：由題意得圓的圓心為，到直線的距離，則直線被圓所截弦長(zhǎng)為.故直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為.（2）（i）解：當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，又因?yàn)?，所以，，所以，橢圓的方程為；（ii）證明：設(shè)點(diǎn)、，則，且，所以，，同理可得，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，過原點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如下圖所示：所以，，聯(lián)立可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，合乎題意，因?yàn)?，則，由韋達(dá)定理可得，，故，，所以，，因此，的周長(zhǎng)為（定值）.19.設(shè)集合，其中．若對(duì)任意的向量，存在向量，使得，則稱A是“T集”．（1）設(shè)，判斷M，N是否為“T集”．若不是，請(qǐng)說明理由；（2）已知A是“T集”．（i）若A中的元素由小到大排列成等差數(shù)列，求A；（ii）若（c為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：（1）是“集”;不是“集”.理由：當(dāng)或時(shí)，只要橫縱坐標(biāo)相等即可，則滿足，當(dāng)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，則；綜上是“集”.對(duì)于向量，若存在，使得.則，故中必有一個(gè)為，此時(shí)另一個(gè)為或，顯然不符合，則不是“集”.（2）(i)因?yàn)橹械脑赜尚〉酱笈帕谐傻炔顢?shù)列，則該等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為2，故.則向量坐