江蘇省南通市如皋市2024屆高三下學(xué)期2月診斷測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如皋市2024屆高三下學(xué)期2月診斷測試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知，是方程的兩個復(fù)根，則（）A.2 B.4 C. D.〖答案〗B〖解析〗已知，是方程的兩個復(fù)根，所以，則設(shè)，，所以，故選：B.2.雙曲線上一點，點分別是雙曲線左右焦點，若，則（）A.9或1 B.1 C.9 D.9或2〖答案〗C〖解析〗是雙曲線上一點，所以，所以，由雙曲線定義可知，所以或者，又，所以，故選：C3.設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，則（）A. B.C. D.若，則〖答案〗D〖解析〗對于A：若A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，則，故A錯誤；對于B：若，則，故B錯誤；對于C：當A、B獨立時，，當A、B不獨立時，則不成立，故C錯誤；對于D：若，則，故D正確.故選：D4.中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)a，b，為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同,則稱a和b對模m同余，記為．若，，則b的值可以是（）A.2004 B.2005 C.2025 D.2026〖答案〗D〖解析〗若，由二項式定理得，則，因為能被5整除，所以a除以5余，又因為，選項中2026除以5余1．故選：D．5.已知平面向量不共線，且，，記與的夾角是，則最大時，（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，，所以.易得，，當時，取得最小值，取得最大值，此時.故選C.6.已知三個函數(shù)，，的零點依次為、、，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，得出，令，得出，則函數(shù)與函數(shù)、交點的橫坐標分別為、.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且直線與直線垂直，如下圖所示：聯(lián)立，得，則點，由圖象可知，直線與函數(shù)、的交點關(guān)于點對稱，則，由題意得，解得，因此，.故選：C.7.等比數(shù)列中，首項，，則（）.A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題根據(jù)所給條件結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)可得：，設(shè)公比為，則，所以，易知，否則，矛盾，又因為所以，，當且僅當時等號成立，令，則，時，，單調(diào)遞增，又，所以，故選：C8.設(shè)，，且，則（）A.－1 B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，則，同樣，所以，由于，當且僅當，時，滿足條件中的關(guān)系式，故，，即；，故．故選：B．二、多項選擇題9.已知復(fù)數(shù)，設(shè)，當取大于的一組實數(shù)、、、、時、所得的值依次為另一組實數(shù)、、、、，則（）A.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同 B.兩組數(shù)據(jù)的極差相同C.兩組數(shù)據(jù)的方差相同 D.兩組數(shù)據(jù)的均值相同〖答案〗BC〖解析〗因為，則，則，所以，，不妨設(shè)，則，對于A選項，值的中位數(shù)為，值的中位數(shù)為，且，A錯；對于B選項，值的極差為，值的極差為，且，故兩組數(shù)據(jù)的極差相同，B對；對于C選項，記，，值的方差為，值的方差為，故兩組數(shù)據(jù)的方差相同，C對；對于D選項，由C選項可知，，D錯.故選：BC.10.已知是正方體的中心，過點的直線與該正方體的表面交于、兩點，下列敘述正確的有（）A.點、到正方體個表面的距離分別為、，則為定值B.線段在正方體個表面的投影長度為，則為定值C.正方體個頂點到直線的距離分別為，則為定值D.直線與正方體條棱所成的夾角的，則為定值〖答案〗AD〖解析〗對于A選項，設(shè)正方體的棱長為，如下圖所示：由正方體的對稱性可知，點、關(guān)于點對稱，點到平面的距離為，點到平面的距離為，點到平面、的距離之和為，點到平面、的距離之和為，所以，，同理，，故為定值，A對；對于B選項，當為正方體的一條體對角線，不妨設(shè)與線段重合，在正方體各面上的投影長為，此時，當平面時，在面、的投影長為，在面、、、的投影長為，此時，故不是定值，B錯；對于C選項，當平面時，正方體的八個頂點到直線的距離均為，此時，，當與體對角線重合時，點、到直線的距離為，平面，平面，，且，，此時，點到直線的距離為，同理可知，點、、、、到直線的距離均為，此時，所以，不為定值，C錯；對于D選項，當與正方體的棱平行時，不妨設(shè)平面垂直，此時與棱、、、、、、、都垂直，與棱、、、都平行，此時，當不與正方體的棱平行時，過點、分別作正方體的棱的平行線，構(gòu)成長方體，設(shè)與棱、、所成角分別為、、，由圖可知，，同理可得，，由長方體的幾何性質(zhì)可得，所以，，此時，所以，為定值，D對.故選：AD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足：，都有，且，，當時，有，則（）A. B. C. D.〖答案〗ACD〖解析〗令，則由，可得，所以，故A正確，因為，，所以，可得，故B錯誤，因為，所以，故C正確，又因為當時，都有，且，所以當時，，因為；又進而，因此，所以．故D正確，故選：ACD.三、填空題12.設(shè)集合，則集合A中滿足條件：“”的元素個數(shù)為__________.〖答案〗18.〖解析〗對于分以下幾種情況：①，此時集合A的元素含有一個2，或，兩個0，2或從三個位置選一個有3種選法，剩下的位置都填0，這種情況有種；②，此時集合A中元素含有兩個2一個0；或兩個，一個0；或一個2，一個，一個0.若是兩個2或，一個0時，從三個位置任選一個填0，剩下的兩個位置都填2或，這種情況有種；若是一個2，一個，一個0時，對這三個數(shù)全排列即得到種；∴集合A中滿足條件“”的元素個數(shù)為.故〖答案〗為：1813.若曲線和曲線有三個不同的交點，則的取值范圍是_________.〖答案〗〖解析〗由題意可得，當時，，當時，，漸近線方程為，如圖所示，由可得，解得，又過，結(jié)合圖象可得實數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：14.小王準備在單位附近的某小區(qū)買房,若小王看中的高層住宅總共有n層（，），設(shè)第1層的“環(huán)境滿意度”為1，且第k層（，）比第層的“環(huán)境滿意度”多出；又已知小王有“恐高癥”，設(shè)第1層的“高層恐懼度”為1，且第k層（，）比第層的“高層恐懼度”高出倍.在上述條件下，若第k層“環(huán)境滿意度”與“高層恐懼度”分別為，，記小王對第k層“購買滿意度”為，且，則小王最想買第______層住宅.（參考公式及數(shù)據(jù)：,，，）〖答案〗10〖解析〗依題意，，且，，所以，由題意得，，所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.故小王對第k層住宅的購買滿意度.方法一：由.即解得，所以，同理有，小王最想購買第10層住宅.方法二：設(shè)，，則，故時，故在上為增函數(shù)，時，故在上減函數(shù).由于，，故最大，小王最想購買第10層住宅.故〖答案〗為：10.四、解答題15.知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)的極值（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由；解：（1）函數(shù)的定義域為當，函數(shù)單調(diào)遞減，當，函數(shù)單調(diào)遞增，是函數(shù)的極小值點，函數(shù)的極小值為（2）若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則在恒成立.即在恒成立.因為所以使得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增的a不存在，若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減則在恒成立.即在恒成立.因為在恒成立.又所以時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減.16.如圖，圓柱上，下底面圓的圓心分別為，，該圓柱的軸截面為正方形，三棱柱的三條側(cè)棱均為圓柱的母線，且，點在軸上運動．（1）證明：不論在何處，總有；（2）當為的中點時，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：連接并延長，交于，交圓柱側(cè)面于．因為，，所以，所以，所以，所以M為BC中點，所以．又在圓柱中，平面，平面，，，平面,所以平面．因為不論P在何處，總有平面，所以．（2）解：設(shè)，則．在中，，則．所以．如圖，建立空間直角坐標系，其中軸，軸是的垂直平分線，則，，，，所以，，，．設(shè)平面一個法向量為，則，取，得．設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與面夾角（銳角）的余弦值為．17.如圖，小華和小明兩個小伙伴在一起做游戲，他們通過劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰首先登上第3個臺階，他們規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級臺階，輸?shù)囊环皆夭粍?，平局時兩個人都上一級臺階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級臺階的獎勵，除非已經(jīng)登上第3個臺階，當有任何一方登上第3個臺階時，游戲結(jié)束，記此時兩個小伙伴劃拳的次數(shù)為．（1）求游戲結(jié)束時小華在第2個臺階的概率；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）易知對于每次劃拳比賽基本事件共有個，其中小華贏（或輸）包含三個基本事件上，他們平局也三個基本事件，不妨設(shè)事件“第次劃拳小華贏”為；事件“第次劃拳小華平”為；事件“第次劃拳小華輸”為，所以．因為游戲結(jié)束時小華在第2個臺階，所以這包含兩種可能的情況：第一種：小華在第1個臺階，并且小明在第2個臺階，最后一次劃拳小華平；其概率為，第二種：小華在第2個臺階，并且小明也在第2個臺階，最后一次劃拳小華輸，其概率為所以游戲結(jié)束時小華在第2個臺階的概率為．（2）依題可知的可能取值為2、3、4、5，，，，所以的分布列為：2345所以的數(shù)學(xué)期望為：．18.已知橢圓與橢圓有相同的離心率，橢圓焦點在y軸上且經(jīng)過點.（1）求橢圓的標準方程：（2）設(shè)A為橢圓的上頂點，經(jīng)過原點的直線交橢圓于干P，Q，直線AP?AQ與橢圓的另一個交點分別為點M和N，若與的面積分別為和，求取值范圍.解：（1）由題意知橢圓的離心率為，故橢圓的離心率也為，設(shè)橢圓的方程為，則，即，將代入得，則橢圓的方程為；（2）由于A為橢圓的上頂點，故，不妨設(shè)P在第一象限以及x軸正半軸上，，則，則，故，由題意知直線AP存在斜率，設(shè)其方程為，則AQ的直線方程為，聯(lián)立直線AP和橢圓的方程，整理得，解得，即；聯(lián)立直線AP和橢圓的方程，整理得，解得，即；故，同理可求得，所以，設(shè)，則，而，由于，故在時單調(diào)遞減，即，故，即.19.設(shè)正整數(shù)，有窮數(shù)列滿足，且，定義積值（1）若時，數(shù)列與數(shù)列的S的值分別為，①試比較與的大小