遼寧省大連市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省大連市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項：1．請在答題紙上作答，在試卷上作答無效；2．本試卷分第I卷選擇題和第Ⅱ卷非選擇題兩部分，共150分，考試時間120分鐘.第I卷（選擇題）一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.己知直線l的傾斜角為，且過點，則它在y軸上的截距為（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知直線的斜率，所以直線方程為，即，所以它在y軸上的截距為，故選：A.2.的展開式中，二項式系數(shù)最大的是（）A.第3項 B.第4項 C.第5項 D.第6項〖答案〗C〖解析〗由二項式，可得其展開式共有9項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得中間項第5項的二項式系數(shù)最大.故選：C.3.從拋物線上一點P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，設(shè)拋物線的焦點為F，若是正三角形，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗設(shè)，，，因為是正三角形，所以，因為，，所以，即，又因為，解得或（舍），所以.故選：D.4.在空間中，“經(jīng)過點，法向量為的平面的方程（即平面上任意一點的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式）為：”．用此方法求得平面和平面的方程，化簡后的結(jié)果為和，則這兩平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，平面和平面的法向量分別是，，設(shè)平面和平面的夾角為，故選：B.5.用1，2，3，4，5，6寫出沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，滿足相鄰的數(shù)字奇偶性不同的數(shù)有（）個A.18 B.36 C.72 D.86〖答案〗C〖解析〗由題意，可先對計數(shù)進行全排列，共有種排法；再對構(gòu)成的4個空隙中，連續(xù)前三個空隙或后相鄰的三個空隙，放入偶數(shù)，共有種放法，根據(jù)分步計數(shù)原理，可得共有種不同的排法.故選：C.6.三棱柱中，所有棱長都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，設(shè)，棱長為，則，因為，可得，又由，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.7.已知雙曲線的左焦點為F，過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，并與雙曲線C交于點B，且有，則雙曲線C的離心率為（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線為,因為左焦點,所以直線的方程為,與兩式聯(lián)立可得,設(shè)，因為,即，所以,將點坐標(biāo)代入雙曲線方程得：,上式整理得,即離心率.故選：A.8.若橢圓和的方程分別為和（且）則稱和為相似橢圓．己知橢圓，過上任意一點P作直線交于M，N兩點，且，則的面積最大時，的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，可得，所以，所以的面積為，由，可得為的中點，所以，因為點在橢圓上，所以，所以，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，，設(shè)，，則，，，所以點坐標(biāo)為，因為點在橢圓上，所以，因為原點到直線的距離為，，所以的面積為，綜上，，又，又，所以當(dāng)時，的面積最大.故選：B.二、多項選擇題（本大題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.已知雙曲線C的方程為，則下列說法正確的是（）A.雙曲線C的實軸長為6B.雙曲線C的漸近線方程為C.雙曲線C的焦點到漸近線的距離為4D.雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為8〖答案〗AC〖解析〗由雙曲線，可得，則，對于A中，雙曲線的實軸長為，所以A正確；對于B中，雙曲線的漸近線方程為，所以B不正確；對于C中，設(shè)雙曲線的右焦點，不妨設(shè)一條漸近線方程為，即，可得焦點到漸近線的距離為，所以C正確；對于D中，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，可得雙曲線上的點到焦點的最短距離為，所以D錯誤.故選：AC.10.已知拋物線的焦點為F，A，B是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.點F的坐標(biāo)為B.若，則以為直徑的圓與直線是相切C.若直線過定點，則以為直徑的圓過坐標(biāo)原點OD.若，則線段的中點到x軸的距離的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對于A中，由拋物線，可得化為，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為，所以A錯誤；對于B中，由拋物線，可得其準(zhǔn)線的方程為，因為，可得三點共線，如圖所示，設(shè)的中點為，分別過點作，由拋物線的定義，可得在直角梯形中，可得，所以，以為直徑的圓與直線相切，所以B正確.對于C中，如圖所示，設(shè)過直線方程為，且,聯(lián)立方程組，可得，則，且，又由，即，所以，所以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，所以C正確；對于D中，當(dāng)過拋物線的焦點時，設(shè)的中點為，可得，因為，由拋物線的定義，可得，解得，所以，即的中點到軸的距離為；當(dāng)直線不過拋物線的焦點時，設(shè)的中點為，可得，如圖所示，，又由，當(dāng)且僅當(dāng)過焦點時等號成立（因為通徑為，故可過焦點）綜上可得，線段的中點到軸的距離，即線段的中點到軸的距離的最小值為，所以D正確.故選：BCD.11.已知正方體棱長為1，以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，下列結(jié)論正確的是（）A.點B到平面的距離為B.在上的投影向量是C.點B關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為D.點P在內(nèi)部，，則點P的軌跡長為〖答案〗BC〖解析〗如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，則，，，，，，，，對于A，，，，設(shè)平面的法向量為，，得即，令，則，，則點B到平面距離為，故A錯誤；對于B，在上的投影向量是：，故B正確；對于C，由B知，平面的法向量為，點B到平面距離為，設(shè)點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為，則，且點到平面距離為，設(shè)，，所以，點到平面距離為，則，解得：或（舍去），所以，故C正確；對于D，過點作平面，因為平面，所以，則即為點B到平面距離為，即，又因為，所以，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以點P的軌跡長為,又因為到直線的距離為，，點的軌跡不是一個整圓，故D錯誤.故選：BC.12.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.是整數(shù)C.，（是不大于x的最大整數(shù)）D.，則〖答案〗ACD〖解析〗對于選項A:由，當(dāng)時，即，所以,，故，故A正確；對于選項B:由題意可得，不妨令，所以，此時不是整數(shù)，故B錯誤；對于選項C:,即，所以，，易知，正整數(shù)，為正整數(shù)，，所以，故C正確；對于選項D:當(dāng)為正偶數(shù)時，，，，所以，即.當(dāng)為正奇數(shù)時，，，，，所以，即.綜上可得：若，則，故D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.己知圓與圓外切，則實數(shù)___________．〖答案〗〖解析〗由題意得圓的圓心為，由于圓與圓外切，故，解得，故〖答案〗為：14.如圖所示，用一束與平面成角的平行光線照射球O，在平面上形成的投影為橢圓C及其內(nèi)部，則橢圓C的離心率為___________．〖答案〗〖解析〗設(shè)球O半徑為r，由題意知：，，橢圓的長半軸長，橢圓短半軸長為球的半徑，即，所以，橢圓的離心率為，故〖答案〗為：.15.將甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三項不同的公益活動中，每人只參加一項活動，每項活動都需要有人參加，其中甲必須參加A活動，則不同的分配方法有___________種．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗由題意，可分為三種情況：當(dāng)甲單獨參加A項活動，則有種安排方法；當(dāng)甲和其中一人參加A項活動，則有種安排方法；當(dāng)甲和其中兩人參加A項活動，則有種安排方法，所以不同的分配方法有種不同的安排方法.故〖答案〗為：.16.已知三棱錐頂點均在一個半徑為5球面上，，P到底面ABC的距離為5，則的最小值為___________．〖答案〗〖解析〗因為，所以球心在平面的投影為的中點，連接，則，因為外接球半徑，故，故，延長至點，使，則，由勾股定理得，則點在以為圓心，為半徑的圓上，設(shè)點在上的投影為，則在以為圓心，為半徑的圓上，則，故，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，垂直的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，故，則，而當(dāng)三點共線，且在線段上時，最小，最小值為，故的最小值為，故的最小值為.故〖答案〗為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知圓C的圓心坐標(biāo)為，與直線交于A，B兩點，且．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點的圓C的切線方程．解：（1）圓心C到直線的距離，圓C的半徑，圓C的方程為．（2）點滿足，所以點P在圓外．當(dāng)過點P的切線斜率存在時，設(shè)過點P的切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于圓的半徑可得，解得，所以切線方程為；當(dāng)過點P的直線斜率不存在時，方程為，易知直線與圓相切．綜上所述，過點P的切線方程為和．18.在平面直角坐標(biāo)系中，動點M到點的距離比點M到直線的距離大．（1）求點M的軌跡C的方程；（2）直線l與軌跡C交于A，B兩點，若線段AB的中垂線為，求線段AB的長．解：（1）設(shè)動點根據(jù)題意有，當(dāng)時，，不符合題意，當(dāng)時，化簡得．所以動點M的軌跡C的方程為．（2）設(shè)，AB中點，由AB與垂直l可知，直線AB的斜率，在拋物線上可知：，所以有即，即，即，所以．所以直線AB的方程為，即．聯(lián)立，即，易知，．19.三棱臺中，，平面平面ABC，，與交于D．（1）證明：平面；（2）求異面直線與DE的距離．解：（1）三棱臺中，，則，有，得，所以，又，所以在平面內(nèi)，，有，平面平面，所以平面．（2）已知平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面，由平面，得，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，由平面ABC，得.以B為坐標(biāo)原點的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．則有，，因為，所以，設(shè)向量，且滿足：，則有，令，在的投影數(shù)量為，異面直線與DE的距離.20.在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的焦距為4,且過點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點,若存在過點的直線l與橢圓交于A,B兩點,且以AB為直徑的圓過點．（i）證明：直線l過定點；（ii）求直線l的斜率的取值范圍．解：（1）由題意可得,所以,將點代入橢圓方程得解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）（i）由題可知,直線l的斜率存在,設(shè),與橢圓聯(lián)立得,由韋達定理得.由題意知,以AB為直徑的圓過點Q,,即,整理得,所以直線過定點.（ii）,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,即直線l的斜率范圍．21.在平面四邊形ABCD中，，平面ABCD外動點P滿足：，點P在平面ABCD內(nèi)的射影在直線AB上，平面ADP．（1）證明：平面ABP；（2）求AP與平面PCD所成角的正弦值的最大值．解：（1）平面ADP，平面ABCD，平面平面，所以，因為，所以，過點P作于點Q，因為點P在平面ABCD內(nèi)的射影在直線AB上，所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以，又平面ABP，所以平面ABP．（2）方法一：過點A作平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)圖形的對稱性可設(shè)，則，設(shè)平面PCD的一個法向量為，則，即，令，又，故，設(shè)，則，，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取到最小值，即取到最小值，所以取到最大值，即有最大值，所以AP與平面PCD所成角的正弦值的最大值為．方法二：過點A作平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點，的方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題知，．設(shè)平面PCD的一個法向量為，則有，即，令，得，又，所以，設(shè)，則，，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值，即取到最小值，所以取到最大值，即有最大值所以AP與平面PCD所成角的正弦值的最大值為．22.已知雙曲線，點，經(jīng)過點M的直線交雙曲線C于不同的兩點A、B，過點A，B分別作雙曲線C的切線，兩切線交于點E．（二次曲線在曲線上某點處的切線方程為）（1）求證：點E恒在一條定直線L上；（2）若兩直線與L交于點N，，求的值；（3）若點A、B都在雙曲線C的右支上，過點A、B分別做直線L的垂線，垂足分別為P、Q，記，，的面積分別為，問：是否存在常數(shù)m，使得？若存在，求出