遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知拋物線頂點在原點，且以坐標軸為對稱軸，則“焦點到準線的距離為2”是“拋物線的標準方程為”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可知“焦點到準線的距離為2”可得，拋物線方程可以為或或或，因此充分性不成立；若“拋物線的標準方程為”可得，即可得拋物線“焦點到準線的距離為2”，即必要性成立；所以“焦點到準線的距離為2”是“拋物線的標準方程為”的必要不充分條件.故選：B2.如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗連接，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線與所成角為或其補角，又因為且四棱柱為底面是正方形的直四棱柱，所以，所以，故選：A.3.某高中安排4名同學(xué)（不同姓）到甲、乙、丙3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，若每名同學(xué)只去一個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，其中張同學(xué)不去乙小區(qū)，則不同的分配方案種數(shù)為（）A.36 B.24 C.48 D.12〖答案〗B〖解析〗張同學(xué)單獨一組，由于張同學(xué)不去乙小區(qū)，所以先排張同學(xué)共有種，再將其余三人分成兩組共有，再分配到另外兩個小區(qū)共有，此種情況共有種；張同學(xué)與其他同學(xué)在一組，先排張同學(xué)共有種，其余三人三組全排列共有，此種共有12種，所以共有24種.故選：B4.雙曲線：（，）的一條漸近線過點，，是的左右焦點，且到一條漸近線的距離為，若雙曲線上一點滿足，則（）A.7 B.3或7 C.5 D.3〖答案〗A〖解析〗，取一條漸近線，所以到這條漸近線的距離，所以，又因為漸近線過，所以，所以，所以，若在左支上，，符合要求，所以，若在右支上，，不符合要求，故選：A.5.在三棱錐中，平面交平面于點，則下列說法中錯誤的是（）A.若，則B.若，，，則為的垂心C.若與所成的角為，與平面所成的角為，則D.若，則與平面所成角的余弦值為〖答案〗C〖解析〗對于A：連接并延長交于點，因為三點共線，則存在實數(shù)，使得，又三點共線，則存在實數(shù)，使得，則，又，所以，所以，正確；對于B：因為，且，，所以面，又面，所以，同理，，即為垂心，正確；對于C：當(dāng)時，，當(dāng)平面時，，此時，錯誤；對于D：有已知得即為與平面所成角，作于，于，連接，由明顯可得，則，又，，，所以面，又面，所以，同理，則，又，所以，所以，正確.故選：C.6.已知橢圓：的左、右焦點分別是，，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，且，若，其中為坐標原點，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由橢圓的對稱性可得，則，所以，，又，得，所以所以.故選：C.7.在平面直角坐標系中,已知,,若該平面中不存在點,同時滿足兩個條件與,則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知,不妨設(shè),因為,所以,化簡可得:,故點在以為圓心,為半徑的圓上,又因為,所以,化簡可得:,即點在以為圓心,為半徑的圓上,故若存在點P，只需圓與圓有交點即可,即,同時平方化簡可得:,即,解得:.所以不存在點P時，或.故選:D8.已知圓：和橢圓：，點為橢圓上的動點，過點作圓的切線，，切點為A，，則弦長的范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：圓：得圓心為，半徑，因為，則，由四邊形的面積可得，整理得，設(shè)，則，且，可知當(dāng)時，取到最大值，當(dāng)時，取到最大值，即，則當(dāng)時，取到最小值，當(dāng)時，取到最大值，即弦長的范圍為.故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，在每小題給出的四個選項中，至少有一項是符合題目要求的．9.4個男生與3個女生并排站成一排，下列說法正確的是（）（選項中排列數(shù)的計算結(jié)果均正確）A.若3個女生必須相鄰，則不同的排法有種B.若3個女生中有且只有2個女生相鄰，則不同的排法有種C.若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，則不同的排法共有種D.若3個女生按從左到右的順序排列，則不同的排法有種〖答案〗BCD〖解析〗對于A，3個女生必須相鄰，則不同的排法有種，A錯誤；對于B，3個女生中有且只有2個女生相鄰，先排4個男生有種，3個女生取2個女生排在一起，與另1個女生插入4個男生排列形成的5個間隙中，有，不同排法有種，B正確；對于C，女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，由排除法得不同的排法共有種，C正確；對于D，3個女生按從左到右的順序排列，不同的排法有種，D正確.故選：BCD10.已知平面平面，B，D是l上兩點，直線且，直線且．下列結(jié)論中，錯誤的有（）A.若，，且，則ABCD是平行四邊形B.若M是AB中點，N是CD中點，則C.若，，，則CD在上的射影是BDD.直線AB，CD所成角的大小與二面角的大小相等〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由題意，AB，CD為異面直線，所以四邊形ABCD為空間四邊形，不能為平行四邊形，故A錯誤；對于B，取BC的中點H,連接HM,則HM是的中位線，所以，因為HM與MN相交，所以MN與AC不平行，B錯誤；對于C，若，所以由線面垂直的判定可得平面ABC，所以，由結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得，所以點C在平面內(nèi)的投影為點D,所以CD在平面內(nèi)的投影為BD，故C正確；對于D,由二面角的定義可得當(dāng)且僅當(dāng)時，直線AB，CD所成的角或其補角才為二面角的大小，故D錯誤.故選：ABD.11.直線與拋物線相交于，兩點，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則以為直徑的圓與準線相切B.若，則C.若，則，（其中為直線的斜率）D.若，且，則，F(xiàn)是焦點〖答案〗ACD〖解析〗對于A：當(dāng)時，直線過點，該直線過拋物線的焦點，則，又線段中點為，則線段中點到準線距離為，即以為直徑的圓與準線相切，正確；對于B：當(dāng)時，直線，與拋物線聯(lián)立，消去得，易知，則，所以，錯誤；對于C：若，直線，與拋物線聯(lián)立，消去得，則，則，正確；對于D：當(dāng)時，直線，與拋物線聯(lián)立消去得，易知，則，故，，由得，即，解得或（舍去）所以，即，正確.故選：ACD12.隨著我國航天科技的快速發(fā)展，雙曲線鏡的特性使得它在天文觀測中具有重要作用，雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角．已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，過右支上一點作直線交軸于，交軸于點，則下列說法中正確的有（）A.的漸近線方程為 B.過點作，垂足為，則C.點的坐標為 D.四邊形面積的最小值為〖答案〗BD〖解析〗對于A：由已知可得，，焦點在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為，故A錯誤；對于B：因為點在上，所以，又的直線方程為，所以，∴為雙曲線的切線，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，平分，如圖：

延長與的延長線相交于點，又可得是的垂直平分線，所以，是的中點，又是的中點，于在中，，即，故B正確；對于C：設(shè)，則，整理可得.又，即，所以有，所以點的坐標為，故C項錯誤；對于D：由得，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以，四邊形面積的最小值為，故D正確.故選：BD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，把〖答案〗填寫在答題卡中的橫線上．13.的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中所有項系數(shù)的絕對值之和為__________．〖答案〗（或者寫成6561）〖解析〗因為展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，所以，由組合數(shù)的性質(zhì)可得，即,因為的展開式中所有項系數(shù)的絕對值之和等于的展開式中所有項系數(shù)和，所以，令可得.故〖答案〗為：（或者寫成6561）.14.已知，，動點滿足，若，則的范圍為__________．〖答案〗〖解析〗由橢圓的定義可知動點的軌跡為橢圓，且，，所以，又由三角形的性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)共線時等號成立，所以，所以，故〖答案〗為：15.對任意的實數(shù)，原點到直線的距離的取值范圍為__________．〖答案〗〖解析〗直線的方程可化為，令，解得，所以直線過定點，當(dāng)直線經(jīng)過時，此時，即，故，當(dāng)直線與垂直時，此時取最大值，下面證明：當(dāng)與直線垂直時，記直線為，當(dāng)不與直線垂直且直線不經(jīng)過時，記直線為，過作交于點，如下圖所示，由圖可知：為直角三角形且為斜邊，所以，所以取最大值時，與直線垂直，故，但此時的方程為，即為，此時無論取何值都無法滿足要求，故取不到，所以，故〖答案〗為：.16.兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用切制圓錐的方法研究圓錐曲線，他用平行于圓錐的軸的平面截取圓錐得到的曲線叫做“超曲線”，即雙曲線的一支.已知圓錐的軸截面為等邊三角形，平面，平面截圓錐側(cè)面所得曲線記為，則曲線所在雙曲線的離心率為__________．〖答案〗〖解析〗如圖，設(shè)底面圓的一條直徑為，設(shè)平面且平面與底面圓的交線為，記平面與的交點為，設(shè)在平面內(nèi)的投影為，以為原點，以在平面內(nèi)的投影為軸，平行與的直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標系，易知為雙曲線的頂點，設(shè)，不妨取為中點，此時，則，，所以，代入雙曲線方程可得，所以，所以，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在的展開式中滿足，且常數(shù)項為，求：（1）的值；（2）從展開式中的所有項中任取三項，取出的三項中既有有理項也有無理項，求共有多少種不同的取法．解：（1）根據(jù)展開式的通項可得令，解得即時，常數(shù)項，解得（2）令，，解得，即展開式中的有理項共有6項，無理項有5項；所以從展開式中的所有項中任取三項，取出的三項中既有有理項也有無理項的取法共有種；18.如圖①，在四面體中，是棱上靠近點的三等分點，、分別是、的中點．設(shè)，，，（1）用，，表示；（2）若，且，，，以為原點，、、方向分別為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系如圖②，過點做平面，使平面的一個法向量為，求點到平面的距離．解：（1）易知，又，所以可得，即；（2）根據(jù)圖②可得，即；由可得，所以，由平面的一個法向量為可得，點到平面的距離．所以點到平面的距離為．19.圓：，過點的直線與圓交于、兩點，其中為圓心．（1）若，求直線的方程；（2）若的中點為，求的軌跡方程．解：（1）將：化為標準方程可得，圓心，半徑.因為，所以用余弦定理可得.設(shè)圓心到直線的距離為，則由垂徑定理可得，解得.當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，則，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時設(shè)直線方程為，則解得，綜上所述，直線方程為或.（2）設(shè)，根據(jù)可得，又，所以，化簡可得.故的軌跡方程為.20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，E為棱AB的中點，AC⊥PE，PA=PD.（1）證明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若PA=AD，∠BAD=60°，求二面角的正弦值.解：（1）如圖，連接,取中點,連接,因底面ABCD為菱形，故,又E為棱AB的中點，故，則，已知平面，故平面，因平面，則，因，則又平面則平面，又平面，故平面平面（2）如圖，連，由（1）知平面，且∠BAD=60°，則是正三角形，,故可以分別為軸正方向建立空間直角坐標系.不妨設(shè),則于是,設(shè)平面D的法向量為，則有可取.因，故可取平面的法向量為.設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，故則即二面角的正弦值為.21.已知，，點是動點，直線與直線的斜率之積為，（1）求點的軌跡方程（2）過點且斜率不為0的直線與交于、兩點，直線分別交直線、于點、，以為直徑的圓是否過軸上的定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．解：（1）設(shè)，則且所以,整理可得，即點的軌跡方程（2）如下圖所