陜西省百師聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期開年摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（全國卷）（文）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省百師聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期開年摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（全國卷）（文）一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，所以.故選：B.2.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，，在第三象限.故選：C.3.已知單位向量滿足，則（）A.5 B. C.6 D.〖答案〗A〖解析〗由得，，故.故選：A.4.在某知識競賽中，共設(shè)有10道題目，每題1分，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，10位選手的得分情況如下表：得分678910人數(shù)12421則這10位選手得分的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）A.9，8 B.8，8 C.9，8.5 D.8.5，9〖答案〗B〖解析〗由題，將這10位選手的得分從小到大排列，6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，可知第5個(gè)和第6個(gè)得分，分別為8，8，所以中位數(shù)為，且8出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為8.故選：B.5.實(shí)數(shù)滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗可行域表示的平面區(qū)域如圖所示，設(shè)，則，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，故選：A.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的值為時(shí)，輸出的的值為（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗第一次循環(huán)，不成立，；第二次循環(huán)，不成立，；成立，，輸出的值為.故選：A.7.已知上底面半徑為，下底面半徑為的圓臺存在內(nèi)切球（與上，下底面及側(cè)面都相切的球），則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圓臺的軸截面為等腰梯形，上底面半徑為，下底面半徑為，則腰長為，故梯形的高為，則該圓臺的體積為.故選：D.8.若雙曲線的實(shí)軸長為2，離心率為，則雙曲線的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知得，解得，則雙曲線的左焦點(diǎn)，一條漸近線，故雙曲線的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.故選：A.9.已知實(shí)數(shù)滿足，設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，又為減函數(shù)，所以，即，又，故，所以，故選：D.10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在處取得極大值，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，其向左平移個(gè)單位長度得，又若在處取得極大值，則，則，解得，又，所以的最小值為.故選：C.11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，當(dāng)時(shí)，有，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則，，則，所以.故選：B.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線相切于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），與軸交于點(diǎn)，若，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)點(diǎn)，拋物線對應(yīng)的函數(shù)為，求導(dǎo)得，所以，直線的斜率為，則直線的方程為，即，在直線方程中，令，可得，即點(diǎn)，由已知可得，解得，故拋物線的方程為，則，，，所以，，，所以，，因?yàn)?，?故選：B.二、填空題13.某早餐店提供3種套餐，每位顧客可以從中任選一種（顧客的選擇相互獨(dú)立），則甲、乙、丙三位顧客選擇同一種套餐的概率為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)某早餐店提供3種套餐，每位顧客可以從中任選一種相互獨(dú)立，選則每一個(gè)套餐的概率為甲、乙、丙三位顧客選擇三種套餐中任何一個(gè)套餐的概率為，甲、乙、丙三位顧客選擇同一個(gè)套餐的概率為.故〖答案〗為：.14.在等比數(shù)列中，，則數(shù)列的公比______．〖答案〗2〖解析〗，故，所以，所以.故〖答案〗為：215.已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則方程在上的實(shí)根個(gè)數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)為奇函數(shù)，即，對稱中心為，函數(shù)為偶函數(shù)，即，對稱軸為，又由可得函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，當(dāng)時(shí)，，則，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，所以.作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下：即在區(qū)間上，方程有個(gè)實(shí)根，又,則方程在上的實(shí)根個(gè)數(shù)為.故〖答案〗為：.16.已知，若，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗將視為的函數(shù)，故，其中，，所以當(dāng)時(shí)的最大值為1，設(shè)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17.某村在推進(jìn)鄉(xiāng)村振興的過程中，把做活鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)作為強(qiáng)村富民的重要抓手，因地制宜推進(jìn)茶葉種植，成立了茶葉合作社．為了對茶葉在銷售旺季進(jìn)行合理定價(jià)，合作社進(jìn)行了市場調(diào)研，得到了銷售旺季時(shí)銷量（噸）關(guān)于售價(jià)（元/公斤）的散點(diǎn)圖．（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）該合作社2023年茶葉總產(chǎn)量為150噸，如果在銷售旺季時(shí)售價(jià)為250元/公斤，在銷售旺季沒能售出的，年底以每公斤100元的價(jià)格賣給批發(fā)商，則該合作社2023年的總銷售額為多少萬元？公式及參考數(shù)據(jù)：關(guān)于的線性回歸方程為，其中，；,,，．解：（1）由已知，，所以關(guān)于的線性回歸方程為；（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，，即旺季時(shí)的銷量約為噸，剩下的約為噸，所以該合作社2023年的總銷售額（元），即該合作社2023年的總銷售額為萬元.18.在中，為邊上一點(diǎn)，，且的面積為．（1）求的長；（2）若，求的值．解：（1）由已知，解得，所以，所以；（2）由（1）可得，則，，在中，，即，又為銳角，所以，所以，19.如圖，在三棱臺中，，，．（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離．（1）證明：，，．同理,平面,平面,平面,，.（2）解：平面,平面,作平面,到平面的距離中,.20.已知函數(shù)．（1）求的極大值；（2）若的極小值為，證明：．（1）解：的定義域?yàn)?設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞減.令，得，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，得，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，極大值為.（2）證明：由（1）知在上單調(diào)遞增，且，又，所以存在唯一的，使得，即.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，..得，知，所以，所以.得證.21.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為為橢圓上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），面積的最大值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)為直線上一點(diǎn),記的斜率分別為,若,求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）由已知得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)斜率為零時(shí)，，設(shè)，則，解得，此時(shí)，當(dāng)斜率不為零時(shí)，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，則，，因?yàn)?，所以得得所以，，所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若為曲線上到直線的距離最小的點(diǎn)，求點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．解：（1）對于直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)得，即直線的普通方程為；對于曲線的極坐標(biāo)方程為，利用變形得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)與直線平行的直線方程為，聯(lián)立，消去得令得或，當(dāng)時(shí)，直線與的交點(diǎn)為曲線上到直線的距離最小的點(diǎn)，解方程得，此時(shí)即點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為.[選修4-5：