重慶市主城區(qū)2024屆高三上學(xué)期第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市主城區(qū)2024屆高三上學(xué)期第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.若復(fù)數(shù)滿足，其中i為虛數(shù)單位，則等于（）A.i B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，則，所以.故選：C.2.已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，則，所以，的真子集個(gè)數(shù)為.故選：C.3.2023年10月31日，神州十六號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，激發(fā)了學(xué)生對(duì)航天的熱愛.某校組織高中學(xué)生參加航天知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為x，眾數(shù)為y，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得，解得，因?yàn)?，，則，則樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)位于，則，解得，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中位于成績(jī)之間最多，則眾數(shù)為，故選：D.4.英國(guó)著名數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（TaylorBrook）以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)用無限連加式來表示一個(gè)函數(shù)，如：，其中．根據(jù)該展開式可知，與的值最接近的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗原式，故選：C.5.已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量（單位：小時(shí)），且，．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為（）A.0.642 B.0.648 C.0.722 D.0.748〖答案〗B〖解析〗由題意得，則，則，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為,故選：B.6.已知定義在R上的函數(shù)滿足：，且時(shí)，，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗任取，則，而時(shí)，，則，，所以在上單調(diào)遞減，，，取，則，令，得，所以為上的奇函數(shù)，，即，則，解得故選：A.7.過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若為直角三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗圓的圓心，半徑，由切圓于點(diǎn)，且為直角三角形，得，連接，則，即四邊形是正方形，，因此點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，而，于是，所以的取值范圍為.故選：D8.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個(gè)吉祥物，是一組承載深厚文化底蘊(yùn)的機(jī)器人為了宣傳杭州亞運(yùn)會(huì)，某校決定派5名志愿者將這三個(gè)吉祥物安裝在學(xué)?？萍紡V場(chǎng)，每名志愿者只安裝一個(gè)吉祥物，且每個(gè)吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（）A.50 B.36 C.26 D.14〖答案〗A〖解析〗（1）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨(dú)安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另一個(gè)人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，（2）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨(dú)安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另兩個(gè)人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，故共有種，故選：A.二、選擇題9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由題意得，，，，則，則，對(duì)A，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故A正確；對(duì)B，因?yàn)?，即，則，故B正確；對(duì)C，因?yàn)?，根?jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而顯然，則，故D正確；故選：ABD.10.已知函數(shù)，則在有兩個(gè)不同零點(diǎn)的充分不必要條件可以是（）A. B.C D.〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，令，則，令，則，注意到，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，且當(dāng)趨近于或時(shí)，都趨近于，若在有2個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件為函數(shù)與圖象在第一象限有2個(gè)交點(diǎn)，所以，即有2個(gè)零點(diǎn)的充要條件為，若符合題意，則對(duì)應(yīng)的取值范圍為的真子集，結(jié)合選項(xiàng)可知：A錯(cuò)誤，BCD正確；故選：BCD.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.存在C.不存在以為直徑且經(jīng)過焦點(diǎn)的圓D.當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，直線的傾斜角為或〖答案〗AD〖解析〗對(duì)A，由題意得，準(zhǔn)線方程，則，顯然當(dāng)直線的斜率為0，即直線的方程為，此時(shí)不合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得，，解得或，，，，，則，，則，，，則，A正確；對(duì)B，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，最大，則，解得，根據(jù)拋物線對(duì)稱性取分析：此時(shí)直線方程為，此時(shí)直線斜率為1，則，因此不存在，B錯(cuò)誤；對(duì)C，假設(shè)存在以為直徑且經(jīng)過焦點(diǎn)的圓，則，，則，即，,即，即，，滿足或，即存在以為直徑且經(jīng)過焦點(diǎn)的圓，C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，此時(shí)直線斜率為，則直線的傾斜角為或，故D正確.故選：AD.12.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體中，是的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線平面B.當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為定值C.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面與平面夾角的正弦值為D.當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得截面面積為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A，因?yàn)?，所以點(diǎn)四點(diǎn)共面，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線平面，故A正確；對(duì)B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則設(shè)，，，，則，，，設(shè)平面的方向量為，則，即，令，則，所以，則點(diǎn)到平面的距離，顯然不是定值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由B知此時(shí)，，平面的法向量，設(shè)平面與平面夾角為，，則，故C正確；對(duì)D，連接，并在上底面內(nèi)將直線沿著的方向平移，直至該直線經(jīng)過點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)，所以平面截正方體所得的圖形為四邊形，不妨以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在上底面內(nèi)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，則，根據(jù)直線，則，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，解得，則，則點(diǎn)位于線段的四分之一等分點(diǎn)處，且靠近點(diǎn)，點(diǎn)位于線段四分之一等分點(diǎn)處，且靠近點(diǎn)，則，，，結(jié)合，則四邊形為等腰梯形，則其高為,則，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.已知向量滿足，則________．〖答案〗〖解析〗由，得，而，則，所以.故〖答案〗為：14.已知的部分圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，的最大值為________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，設(shè)，由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，則，又因?yàn)?，則，因?yàn)?，可得，所以，，則，則，當(dāng)時(shí)，，故.故〖答案〗為：.15.已知點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，則該橢圓的離心率為________．〖答案〗〖解析〗令橢圓的左焦點(diǎn)為，半焦距為，分別連接，，由，得四邊形為矩形，而，則為正三角形，所以，，，則橢圓離心率為，故〖答案〗為：.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，記，則________；若數(shù)列滿足，則的最小值是________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，則，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，，則，且，所以，，，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，則，故數(shù)列從第二項(xiàng)開始單調(diào)遞增，因?yàn)?，且，所以，的最小值?故〖答案〗為：；.四、解答題17.在梯形中，為鈍角，，．（1）求；（2）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．解：（1）在梯形中，由為鈍角，得是銳角，在中，，則，由余弦定理得，即為等腰三角形，所以.（2）由，得，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，得，所以.18.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由題意得是公差為2的等差數(shù)列，且，即，又因?yàn)?，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，滿足，綜上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.19.實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”是黨中央作出的重大戰(zhàn)略決策，新能源汽車、電動(dòng)汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用．為了解某市電動(dòng)汽車的銷售情況，調(diào)查了該市某電動(dòng)汽車企業(yè)近6年產(chǎn)值情況，數(shù)據(jù)如下表所示：年份201820192020202120222023編號(hào)x123456產(chǎn)值y/百萬輛91830515980（1）若用模型擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到0.01）；（2）為了進(jìn)一步了解車主對(duì)電動(dòng)汽車的看法，從某品牌汽車4S店當(dāng)日5位購(gòu)買電動(dòng)汽車和3位購(gòu)買燃油汽車的車主中隨機(jī)選取4位車主進(jìn)行采訪，記選取的4位車主中購(gòu)買電動(dòng)汽車的車主人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望，參考數(shù)據(jù)：，其中．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率截距的最小二乘估計(jì)分別為．解：（1）令，，則，，所以，所以（2）由題意得，，，，，分布列為：1234數(shù)學(xué)期望20.如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，．（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面平面；（2）若平面與平面所成的角的余弦值為．（?。┣缶€段的長(zhǎng)；（ⅱ）設(shè)為內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，求滿足條件的所有點(diǎn)組成的軌跡的長(zhǎng)度．（1）證明：在四棱錐中，底面，平面，則，而平面，于是平面，又平面，則，由，為的中點(diǎn)，得平面，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）解：（?。┯桑?）知，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，過作于，由，得，令，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，由平面，得平面的一個(gè)法向量，依題意，，整理得，而，解得，所以線段的長(zhǎng)為2.（ⅱ）顯然平面，而平面，則，又，于是，解得，因此點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.21.已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)．已知，請(qǐng)問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）連接，則，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)的雙曲線，點(diǎn)的軌跡方程為:.（2）因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡方程為:，則.當(dāng)直線的方程為時(shí)，則，解得（負(fù)舍，）則，而，易知此時(shí)為等腰直角三角形，其中，即，即:，下證：對(duì)直線斜率存在的情形也成立，設(shè)，其中，且，因?yàn)?，則，且，即，，，，結(jié)合正切函數(shù)在上的圖象可知，.22.