2022-2023學年高二數(shù)學上學期期中期末練習04 直線和圓的方程（難點） 含解析

專題04直線和圓的方程(難點)

一、單選題

1.過坐標原點。作直線/：(α+2)x+(l-α)y-6=0的垂線，垂足為〃(s,f),則一+產(chǎn)的取值范圍是()

A.[θ,2√2]B.(θ,2√2]C.[θ,8]D.(0,8]

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，將./+產(chǎn)表示成4的函數(shù)，求出函數(shù)的值域的作答.

【解析】依題意，0"=(s∕),直線/的方向向量〃=(〃-1,〃+2),則有/；:(，

[(a+2)s—(Q-1)E=6

_6(。+2)

2222

S—(α+2)+(α-l)s+t=-------------------=..........--------

解得6(，-1)'因此‘("Ady犯+%+”

t=------------------乙------22

(4+2)2+("1)2--

36

因當“=一g時，2(a+；)2+g取最小值則有°<2(4+1尸+：―'

所以/+產(chǎn)的取值范圍是(0網(wǎng).

故選：D

2.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣

的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回

到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，已知軍營所在的位置為8(-2,0),若將軍從山

腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+2y=3,則“將軍飲馬”的最短總路程為()

A.叵B,5C.叵D.?e

333

【答案】A

【分析】先找出B關(guān)于直線的對稱點C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.

【解析】如圖所示，

設(shè)點B（-2,0）關(guān)于直線》+2丫=3的對稱點為。（西,Β），在直線x+2y=3上取點P,連接PC,則

x=O

閥=IPeI.，解得1,即點C（0,4）,所以

y∣=4

IPAl+1PM=IPA∣+∣PC∣≥∣AC∣=Jθ-g]+（4-θ）2=華，當且僅當A,P,C三點共線時等號成立，所以

“將軍飲馬”的最短總路程為叵.

3

故選：A.

3.直線1：y=px（p是不等于0的整數(shù)）與直線y=x+10的交點恰好是整點（橫坐標和縱坐標都是整數(shù)）,

那么滿足條件的直線1有

A.6條B.7條C.8條D.無數(shù)條

【答案】B

【解析】試題分析：｛K）=io+工7,所以

y=x+10p-?p-?p-?p-?

p-l=±l,±2,±5,±10"0/值有7個，直線有7條

故選：B

考-J八占、、?.直11線?交占,、、、

4.已知點MQA）與點N（0,T）在直線3x-4y+5=0的兩側(cè)，給出以下結(jié)論:

φ3α-4?+5>0;

②當4>0時，α+6有最小值，無最大值；

③a?+b2>1；

的取值范圍是（3,-》.」弓,?。?

④當a>0且ακl時，—?

正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由M與N的位置關(guān)系有3a-46+5<O,數(shù)形結(jié)合法判斷M位置，結(jié)合空的幾何意義判斷α+b、

<7-1

空的范圍，應(yīng)用點線距離公式有"+△>(/J)2判斷③.

4-1√32+42

【解析】將N(O,-1)代入有3xO-4x(-l)+5=9>O,

而Λ/與N在3x-4y+5=0的兩側(cè)，貝!]3α-4∕2+5<O,①錯誤;

所以〃+6>3,故a+b無最值，②錯誤；

4

由上圖知：M在直線左上方，則4+〃>(/,52>=1，③正確；

√32+4-

由3x-4y+5=O過(θ?)且α>0且α≠1,即"在直線上方與)，軸右側(cè)部分，

而合表示(1,-1)與M連線的斜率，由圖知：合€(-8,-收)，④正確.

故選：B

5.已知點A(TO),B(l,0),C(0,l),直線y=αr+A(α>0)將AABC分割為面積相等的兩部分，則匕的

取值范圍是()

∕cnA&1](.√21]「11)

a?(°」)b?1--升3C.1---D.

\/?/L/

【答案】B

bh

【分析】先求得直線V=?+6(α>0)與X軸的交點為M(-±,0),由-2≤0可得點M在射線OA上.求

aa

出直線和BC的交點N的坐標，①若點M和點A重合，求得力=:；②若點M在點。和點A之間，求得

③若點M在點A的左側(cè)，求得;>Ql-也.再把以上得到的三個匕的范圍取并集，可得結(jié)

3232

果.

【解析】由題意可得，三角形ABC的面積為j-ABOC=l,

由于直線y=分+6(a>0)(α>0)與X軸的交點為M[-*O),

由直線y=0x+外a>。)將“8C分割為面積相等的兩部分，可得b>0,

故-2<0,故點M在射線OA上.

a

y=ax+b1-b。十八

設(shè)直線y=OX+人和8C的交點為N,則由可得點的坐標為

X÷γ=1N〃α+l/

①若點M和點A重合，如圖:

把A、N兩點的坐標代入直線y=ar+%,求得“=b=(

②若點M在點。和點A之間，如圖:

即*即HU5誓斗可得°=I?>O'求得Y,

故有

③若點M在點A的左側(cè),

設(shè)直線y=奴+6和AC的交點為尸，則由求得點P的坐標為(土*,巴=〕，

[y=x÷lIa-Ia-?)

此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于即g(l-b)?%-x∕=g,

即;(I-b)?=g,化筒可得2(1-6)-=2T.

由于此時6>α>0,0<α<LΛ2(I-?)2=∣a2-l∣=l-a2.

兩邊開方可得及(1-6)=√m.?.美，化簡可得人>1一冬

故有1-^∑<?<1

23

綜上可得6的取值范圍應(yīng)是(1-4，；]，

k)

故選：B.

6.已知直線4：x-γ+2=O,l2：x-y-2=0,直線g垂直于《，4,且垂足分別為A,B,若C(Y,0),

￡>(4,0),則Ial+∣W∣+∣BQ∣的最小值為()

A.√K)+2√2B.8+√2C.2√10+2√2D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)條件設(shè)出直線/3的方程X+y=2〃?，求出點A,B坐標，用膽表示出∣C4∣+∣AB∣+怛。，再借

助幾何意義即可計算得解.

(解析】因直線，3垂直于∕∣.Z21則設(shè)直線h的方程為：x+y=2m(meR),

?x+y=2m[x+y=2m,、

由C得點A(m-l,m+l),由｛?C得點8(機+1,"Li),而Cz(-4,0,0(4,0,

[x-y=-2[x-y=2

22

于是得ICAl+∣AB∣+怛￡)|="(m+3)2+(優(yōu)+1)2+2√2+√(∕n-3)+(w-l),

22

而J(∕M+3)2+(—+1)2+λ∕(∕n-3)+(∕n-l)表示動點M("")到定點灰-3,-1)與F(3,1)的距離的和，

顯然，動點"(a,M在直線N=X上，點E(-3,-l)與F(3,l)在直線y=x兩側(cè)，因此，

∣ME∣+∣Λ∕F∣≥∣EF∣=2√iθ,

當且僅當點M是直線y=x與線段所：y=gx(-3≤x≤3)的交點，即原點時取“=”，此時,片0,

從而得＞∕(w+3)2+(ZM+1)2+?/(w-?)2+(∕n-l)2取最小值2Λ∕1O，

所以，當直線/3方程為：χ+y=o時，∣C4∣+∣AB∣+∣明取最小值2√iU+2√Σ.

故選：C

7.若曲線G:Y+y2-2x=O與曲線C?:WX2-"+,UX=O有三個不同的公共點，則實數(shù)機的取值范圍是

A，T'與B.(-8,-亭g,+8)

C.(→o,0)(0,-κo)D.(-冬0)(。岑)

【答案】D

【分析】C表示的是圓，Cz表示的兩條直線，結(jié)合三個不同的交點，從而確定只需直線廣加L優(yōu)=0與圓

相交，根據(jù)圓心到直線距離小于半徑，求出”的范圍，再去掉不合要求的值，從而確定實數(shù)〃?的取值范圍.

【解析】由題意可知曲線G：χ2+y2-2x=0表示一個圓，

化為標準方程得：(X-I)2+V=l,

所以圓心坐標為(1,0),半徑Ll;

C2：/Tiχ2_肛+如=0表示兩條直線X=O和y-ntχ-m=0f

由直線廠〃?氏-/=0可知：此直線過定點(-1,0),

其中直線mθ與圓有I個交點為(0,0),要想G,G有3個不同的交點，

只需直線廠處:-m=0與圓有2個交點，即直線與圓相交，

在平面直角坐標系中畫出圖象如圖所示：

.√3√3

所fic以q機e--—

<>

當"7=0時，直線廠加Lm=O化簡為y=。，此時直線y=。與圓的交點為(0,0),(2,0),

綜上：當〃?=0時，G與G交點個數(shù)為2個，不合要求，

(a\(八

所以m∈--T-,0θ,?-,

故選：D.

8.已知圓Uχ2+V-8χ=0.動直線Lx+∕ny-2揚-4=0于圓C交于A,B兩點，線段A8的中點為P,

則IOPl的取值范圍是()

A.[√2,5√2]B.[2>^,4√2]C.[>^,4√2]D.[√2,2√6)∪(2√6,4^]

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得。(4,0)和直線/過定點時(4,2應(yīng))，設(shè)「(工，y),利用平面向量的坐標表示CP?MP=O

得出P的軌跡方程(x-4)，+(y-&)2=2,進而

根據(jù)IOHlrt1=IOM—，IoHa=IoM+-計算即可.

【解析】由題意知，圓C：(X-4)2+V=16,得圓心C(4,0),半徑為4,

/：x+wy-2√2w-4=0=>(y-2√2>+(x-4)=0,得直線/過定點M(4,20),

設(shè)P(x,y),則CP=(X-4,y),MP=(x-4,γ-2√2),

根據(jù)題意，得AB_LCP,所以C尸_LMP，有CP?M尸=0,

即(X-4)2+(y-√Σ)2=2,

所以中點P的軌跡是以N(4,√Σ)為圓心，半徑為r=√∑的圓，所以IONl=30,

所以I?L=IoMf=2夜,IOPL=?ON?+r=4√2,

所以|。"的取值范圍為[20,4√Σ],

故選：B

9.已知直線x+y-仁0(4>0)與圓x2+γ2=4交于不同的兩點A、B,。是坐標原點,且有∣。4+081≥∕∣A3∣,

那么人的取值范圍是()

A.(>∕3,+∞)B.[√2,+∞)C.[√2,2√2)D.[√3,2√2)

【答案】C

【分析】由題設(shè)，∣OA+O8∣為等腰△AOB底邊中線長度的2倍，∣A8∣為底邊長度，而/是直線在坐標軸

上的截距，由己知條件并結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想及圓的性質(zhì)，求k的范圍.

【解析】

設(shè)AB中點為C,則OCLAB,,.,?OA+OB?≥^-?AB?,

...∣2OC∣≥q∣A8∣,Λ∣AB∣≤2√3∣OC∣,?"c片"4,

2

.?.∣OC∣2≥1,「直線x+y-I=O(?>0)與圓x+y2=4交于不同的兩點A、Bf

Λ∣OC∣2<4,Λ4>∣OC∣2≥I,

f

?二4>≥1,Vfc>O,.*.λ∕2≤<2√2.

故選：C.

故選：B.

12.太極圖的形狀如中心對稱的陰陽兩魚互抱在一起，因而也被稱為“陰陽魚太極圖如圖是放置在平面直

角坐標系中簡略的“陰陽魚太極圖"，其外邊界是一個半徑為2的圓，其中黑色陰影區(qū)域在y軸右側(cè)部分的

邊界為一個半圓，已知直線Ly=α(x-2).給出以下命題:

①當。=0時，若直線/截黑色陰影區(qū)域所得兩部分的面積分別記為加，S2(S,≥S2),則工：S?=3:l；

②當4=時，直線/與黑色陰影區(qū)域有1個公共點；

③當αe[0,l]時，直線/與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個公共點.

其中所有正確命題的序號是().

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，逐項分析判斷即可得解.

【解析】如圖1所示，大圓的半徑為2,小圓的半徑為1,

所以大圓的面積為4π,小圓的面積為兀.

對于①，當。=0時，直線/的方程為y=o.

此時直線/將黑色陰影區(qū)域的面積分為兩部分，

S∣=π+巴=電，工=兀」」，

所以SI：S2=3:1,故①正確.

對于②，根據(jù)題意，黑色陰影區(qū)域在第一象限的邊界方程為

X2+(y-l)2=l(x>0)

44

當。=-§時，直線/的方程為y=-](x-2),

即4x+3y-8=0,小圓圓心(0,1)到直線/的距離d=?1,=?，

所以直線/與該半圓弧相切，如圖2所示，

所以直線/與黑色陰影區(qū)域只有一個公共點，故②正確.

對于③，當αw[0,l)時，如圖3所示，

直線/：y=a(x-2)與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有2個公共點，

當α=l時，直線/：y=x-2與黑色陰影區(qū)域的邊界曲線有1個公共點，故③錯誤.

綜上所述，①②正確.

故選：A.

二、多選題

/、/、CaM+by,÷c

13.設(shè)M(X方)、N(X,%)為不同的兩點，直線/：6+臥+。=0,b=I?',以下命題中正確的

2CIXr~v+c

為()

A.存在實數(shù)使得點N在直線/上；

B.若5=1,則過M,N的直線與直線/平行：

C.若S=T,則直線/經(jīng)過MN的中點；

D.若5>1,則點M,N在直線/的同側(cè)且直線/與線段MN的延長線相交；

【答案】BCD

【分析】對于A,點在直線上，則點的坐標滿足直線方程，從而得到—+g+c=0,進而可判斷A不正確.

ax,+c

對于B,當6=0時，若5=1,貝IJI=廣瓦，整理得用=々，再結(jié)合N不在直線/上科判斷，當。/0時，

若s=ι,可判斷故為#毛，進而得到FF=-，，再綜合得答案.

X2-X1U

對于C,若5=—1,即可得至IJa(WL)+伙七2i)+c=0,即可判斷C.

對于D,若3>1,則αη+6χ+c>書+皿+?！?。，或g+AX+cva^+g+cvO,根據(jù)點與直線的位置關(guān)系

即可判定D.

【解析】解：對于A選項，若點N在直線/上則"+g+C=O,

???不存在實數(shù)b,使點N在直線/上，故A不正確；

對于B選項，當匕=O時，若5=1,貝IJI=詈整理得玉=七，此時直線垂直于X軸，直線/:ɑr+C=O

也垂直于X軸，由于N不在直線/上，故過M、N兩點的直線與直線/平行；當匕工0時，若5=1,則

]=αxl+?l+c整理得々a-XJ=A(Mf),此時若王=々成立，則％=%，與M(XQJ、N(XZ,%)為

Cix^十Oy2-Vc

不同的兩點矛盾，故為工電，所以江&=-2，即如v=k,,所以過用、N兩點的直線與直線/平行，綜

合可知，B正確；

對于C選項，若S=-I,則g+“X+c+唯+b%+c=0

即，α(gg+伙巧&)+c=0,

二直線/經(jīng)過線段MN的中點，即C正確；

對于D選項，若b>l,貝IJaq+bχ+c>G?+Zy?+。>0,g5ζoη+hy2+c<ax2+by2+c<0,

所以(0η+i>y2+C)(OA?+by2+c)>0,且Iarl+by2+Cl>∣0r3+by2+tj,

所以點朋,N在直線/的同一側(cè)且到直線/的距離不相等，所以直線/與線段MN不平行.故D正確.

故選：BCD.

14.如圖，平面中兩條直線乙和4相交于點O,對于平面上任意一點M,若p,q分別是M到直線4和4的

距離，則稱有序非負實數(shù)對(P，4)是點M的“距離坐標”.下列四個命題中正確命題為()

A.若p=4=0,貝廣距離坐標”為(0,0)的點有且僅有1個

B.若pq=O,且p+4≠0,則“距離坐標”為(PM)的點有且僅有2個

C.若pq#O,則“距離坐標"為(",q)的點有且僅有4個

D.若p=q,則點M在一條過點。的直線上

【答案】ABC

【分析】根據(jù)點M的“距離坐標''的定義逐一判斷即可.

【解析】A.若p=q=O,則“距離坐標”為(0,0)的點是兩條直線的交點0,因此有且僅有1個，故正確.

B.若Pq=0,且0+4≠O,則“距離坐標”為(θ,q)或(p,0)的點有且僅有2個，故正確.

C.若pq≠0,則“距離坐標”為(p，4)的點有且僅有4個，如圖，故正確.

D.若P=4,則點M在的軌跡是兩條過。的直線，分別為交角的平分線所在直線，故不正確.

h

故選：ABC.

15.已知圓M：(x-2y+y2=ι,點P是直線/：x+y=O上一動點，過點P作圓M的切線∕?,PB,切點

分別是A,B,下列說法正確的有()

A.圓M上恰有一個點到直線/的距離為理B.切線長PA的最小值為1

2

C.四邊形AMBP面積的最小值為2D.直線AB恒過定點

【答案】BD

【分析】利用圓心到直線的距離可判斷A,利用圓的性質(zhì)可得切線長IPH=幅不I利用點到直線的距離

可判斷B,由題可得四功形AMBP面積為IPAllM4∣=∣P4∣,可判斷C,由題可知點A,B,在以PW為直徑

的圓上，利用兩圓方程可得直線AB的方程，即可判斷D.

【解析】由圓M：(x—2)-+y=1,可知圓心”(2,0),半徑r=l,

.??圓心加(2,0)到直線/：χ+y=o的距離為且=&,圓M上恰有一個點到直線/的距離為&一1，故A

√2

錯誤;

由圓的性質(zhì)可得切線長|/訓=4?時『-產(chǎn)=J∣PM∣2-],

.?.當IPMI最小時，IM有最小值,X∣PM∣miπ=√2,

Λ∣PA∣πιin=l,故B正確；

?/四邊形AM8P面積為∣Z?∣∣M4∣=|網(wǎng),

.?.四邊形AMBP面積的最小值為1,故C錯誤;

設(shè)P(f,τ),由題可知點A,B,在以PM為直徑的圓上，又M(2,0),

所以(XT)(X-2)+(y+f)(y-0)=O,即/+9一。+?)》+/+2/=。,

又圓M：(x-2)2+∕=l,即f+y2-4x+3=0,

；?直線AB的方程為：(2—∕)x+fy-3+2/=0,即2x—3—/(x—y—2)=。,

2x-3=031(3l?

由Cn-得x=；，y=V,即直線AB恒過定點不一%,故D正確.

[x-y-2=022\22J

故選：BD.

16.(多選)瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條

直線被后人稱為三角形的“歐拉線'’.在平面直角坐標系中作.ABC,IABl=IACl=4,點8(T,3),點C(4,-2),

且其“歐拉線”與圓M:(x-3)?+V=/相切，則下列結(jié)論正確的是()

A.圓M上的點到直線x-y+3=0的最小距離為2夜

B.圓M上的點到直線x-y+3=0的最大距離為3五

C.若點(x,y)在圓M上，則x+J5y的最小值是3-20

D.圓(x-α-iy+(y-α)2=8與圓M有公共點，則。的取值范圍是1-20≤α≤1+2&

【答案】ACD

【分析】求出線段BC的中垂線的方程，由圓心到中垂線的距離等于半徑求出廠的值，可得圓M的方程，

求出圓心到x-y+3=0的距離"，則八d+尸分別為圓M上的點到直線x-y+3=0的最小距離和最大

距離可判斷選項A、B；令z=x+√5y,令圓心到該直線的距離等于半徑列方程求出Z的值可判斷C；計算

圓心距小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對值，解不等式求出。的取值范圍可判斷D,進而可得

正確選項.

【解析】因為IABl=IAe|=4,所以ABC是等腰三角形，可得..ABC的外心、重心、垂心都位于；ABC的

垂直平分線上，由點5(T3),點C(4,-2)可得線段BC的中點為且直線BC的斜率

做。==算=7'所以線段BC的垂直平分線的方程為y-g=χ-1即χ-y-ι=o.又圓

M:(x—3『+丁=，的圓心為(3,0),直線x-y-l=0與圓〃相切，所以點(3,0)到直線x-y-l=O的距離

為=夜=r,所以圓m(x-3y+V=2.

√2

對于選項A、B：圓”的圓心(3,0)到直線x-y+3=0的距離"=曾=3&,所以圓上的點到直線

x-y+3=0的最小距離為3√Σ-√Σ=2√Σ,最大距離為3√5+√Σ=4√Σ,故選項A正確，選項B錯誤；

對于C,令z=x+石y,即x+/y-z=0,當直線x+Gy-z=0與圓M相切時，圓心(3,0)到直線

x+√5y-z=0的距離為=&,解得z=3+2夜或z=3-2α,貝廉+石y的最小值是3—20，故選

項C正確；

對于D,圓(x-α-iy+(y-α)2=8的圓心為(“+1M),半徑為2&，若該圓與圓M有公共點，貝IJ

22

2√2-√2≤5∕(a+l-3)+Λ≤2^+√2,即2≤(α-2y+∕≤i8,Wf?l-2√2≤α≤l+2√2.故選項D正

確.

故選：ACD.

三、填空題

17.已知動點A到P(1,3)的距離是到Q(4,0)的距離的2倍，記動點A的軌跡為C,直線/：x-0-4=0與

C交于E,F兩點,若SAC(2F=gSAO°E(點。為坐標原點，S表示面積)，則f=___________.

【答案】-1

【分析】由題意求出A的軌跡方程，與直線方程聯(lián)立，再由面積關(guān)系求解

2

［解析］設(shè)A(x,y),則J(XT)2+(),一3)2=2λ∕(x-4)+√，

整理得(x-5)'+(y+l)2=8.

設(shè)E("J,F(x2,y2).聯(lián)立卜5)~+G+l)-=8

x=ty+4

整理得(『+I)y2—(2/-2)尸6=0,

I2/—2G6不

故7y+%=T7If①'＞∣3,2=~^-

又SAOQF=_SAO0E＞故)'|=—3%③.

聯(lián)立①②③，解得t=-1.

故答案為：-1

18.定義點P(分,人)到直線Γ.Ax+By+C=θ(A2+B2≠θ)的有向距離d=丹；誓C已知點6好到直

線/的有向距離分別是4,W，給出以下命題：①若4-4=0,則直線68與直線/平行；②若4+4=0,

則直線66與直線/平行；③若4+4=0,則直線62與直線/垂直；④若44＜。，則直線42與直線/

相交.其中正確命題的個數(shù)是______.

【答案】1

【分析】設(shè)點6鳥的坐標分別為(為,%),(%，%)，求出4，4,可知當4=4=0時，命題①②③均不正確，

當＜0時，6打在直線的兩邊，可以判斷命題④正確.

/、/、，Ar1+Byx+C,Ax^+By,+C

【解析】設(shè)點的坐標分別為a，X）,（X2，%），則4=%Z，dl=y∣A2+B2

Axl+By1+C_Ax2+By2+C

若4-d2=0,則4=4,即

7A2+B2VA2+B2

所以AXl+By∣+C=Ax2+By2+C,若[=出=0,

即Arl+Byl+C=Ax2+By2+C=0,則點耳,P2都在直線I上,

此時直線66與直線/重合，故命題①②③均不正確，

當＜0時，&g在直線的兩邊，則直線62與直線/相交，故命題④正確.

故答案為：L

【點睛】本題主要考查與直線距離有關(guān)的命題的判斷，利用條件推出點與直線的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)

鍵，綜合性較強.

19.若平面內(nèi)兩定點A、B間的距離為2,動點P滿足瑞=應(yīng)，則Mg?的最大值為____.

【答案】18+12√2##12^+18

（分析］建立直角坐標系，利用圜=血列式化簡，可得點P的軌跡方程，再代入網(wǎng)？時,從而可

得答案.

【解析】以經(jīng)過AB的直線為無軸，線段AB的垂直平分線為＞軸建立直角坐標系,

則A(T,O),8(1,0),設(shè)P(x,y),由微=&，

兩邊平方并整理得（x-3y+V=8,

所以點P的軌跡為以（3,0）為圓心，2應(yīng)為半徑的圓,

所以y2=8-(χ-3)2(3-2√Σ≤x≤3+2√5),

貝IJ有必L]?=γ+丁+1=+8-(X-3)2+1=6χ≤18+12√∑，

所以IpAMPBf的最大值為］8+12√L

2

故答案為：18+12√∑?

2

20.已知點4為圓G+y?=2和O2I（X-3）÷y?=5在第一象限內(nèi)的公共點，過點A的直線分別交圓。∣,

0?于C,D兩點（C,。異于點A）,且∣AC=2∣AQ∣,則直線CZ）的斜率是___________.

【答案】1或5

【分析】I先求出4(1,1).設(shè)直線C。為：y—I=MxT).過01作OELCO于尸，過。?作0/J?C。于E由

里表示叫ACl=2后而=2卜生空),

垂徑定:f

后函=2卜-(竽.根據(jù)IAq=2∣AQl列方程，解出女的值.

?AD?=2

2

【解析】因為點A為圓Q：V+V=2和Q：(x-3)+V=5在第一象限內(nèi)的公共點，

X2+y2=2f?=1

所以由，/22U解得：Jy=-I舍去)故A(U).

(χ-3)+/=5Iy=I

由題意TU知，直線CD的斜率存在，設(shè)其為K則直線C。為：J-1=?(Λ-1).

過。I作QFLC。于凡過O?作0/LC。于E.

?ΓΛ

￡

??T

則IqFl

~?I/?b1∣VI(?r)LI1∣V

由垂徑員色理得：IACI=2,2一|0小2卜，M=2"一卜Ef=2歸號J.

所W號卜4一(副

因為∣A(

解得：)C=I或&=5.

故答案1?:1或5.

四、解4空題

21.已夕切直線L(2∕l-l)x+(l-2)y+l12-7=0,Λ∈∕?.

(1)若直?線/與直線4：x+。+團y+l=0垂直，求實數(shù)2的值

(2)若直彳發(fā)/在X軸上的截距是在y軸上截距的2倍，求直線/的方程.

【答案】(I))=O或L=2

(2)X+2y-2=0或3x+4y=0

【分析】(I)根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可；

(2)求出在坐標軸上的截距，由條件求出/1,即可得出直線方程.

(1)

因為直線/與直線∕jχ+(i+%)y+ι=o垂直,

所以(22—1)×1+(1-2)(1+Λ)=O,解得2=O或4=2.

(2)

?八,日7-1U?C7-1U

令y=。，得X=,令X=O,γ=-~~—

2/L—1I-A

7-1UC7-1U37

由題意知---------=2×----------，解得九=￡或2=(,

22-11-2

所以直線/的方.程為x+2y-2=?；?x+4y=0.

22.已知直線/：kx-y+↑+2k=0.

(1)求/經(jīng)過的定點坐標P；

(2)若直線/交X軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B.

①.AOB的面積為S,求S的最小值和此時直線/的方程；

②當PA+；PB取最小值時，求直線/的方程.

【答案】⑴(—2,1)；(2)①S的最小值為4,x-2y+4=0；②x-y+3=0.

【分析】(1)整理已知方程，使得左的系數(shù)等于O即可求解；

(2)①求出點A,B的坐標，利用％表示AOB的面積為S,利用基本不等式求最值，由等號成立的條件

12

可得女的值，進而可得直線/的方程；②設(shè)直線/的傾斜角為α,則O<α<πχ,可得=—,PB=——，

2s?nacosa

再利用三角函數(shù)的性質(zhì)計算PA+(P8=-!—+—!—的最小值，以及此時ɑ的值，進而可得及的值以及直

2SlnaCOSa

線/的方程.

【解析】(1)由玄-y+l+2k=°可得：Mx+2)+l-y=0,

Ix+2=OIX=—2、

由,=O可得|),=1，所以/經(jīng)過的定點坐標2,1)；

(2)直線/：kx-y+?+2k=0f

-?-2k

令X=O可得y=l+2A；令y=0,可得X=

k

∣1,8(0,1+2A)

所以A

"可…>。,

?-

1+2Qo

(l+2k)=g?∣4+^?+4k

①二AOB的面積S=5

Ik

≥14+2

2

當且僅當J=軟即4=：時等號成立，S的最小值為4,

K乙

此時直線/的方程為：gx-y+2=0即x-2y+4=0;

Tr12

②設(shè)直線/的傾斜角為。，則0<α<三,可得PA=^一,PB=——

2SmaCOSa

LL……ICC11sina+cosa

所以尸A+—PB=-------+--------=------------------,

2SinacosaSinaCoSa

令I(lǐng)=Sina+coscr=>∕2sina-?--?,

因為0<α<j可得？<□+?<手，—<sinfa+-1<1,

2444214j

f=5∕Σsin(α+?^?)∈(l,V∑],

將，=Sina+cosα兩邊平方可得：t2=(Sin2+cosa)?=l+2sinα?cosc,

所以Sinacosa=,

2

…Innsina+cosat2t2

所以2SinaCOSa/一1∕2-l1,

I---

2t

因為>=—在(l,√f∣上單調(diào)遞增，所以o<r-≤2∣

?2

y=-≥√2j—j?220,此時一應(yīng)Sinja+j]=√∑,

t——t——<4)

TlJi

可得a=—,所以Z=tana=tan—=1,

44

所以直線的方程為χ-y+3=o.

23.已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0,

⑴若過定點(-2,0)的直線/與圓C相切，求直線/的方程；

(2)若過定點(T,0)且傾斜角為30。的直線/與圓C相交于A,B兩點，求線段AB的中點P的坐標;

(3)問是否存在斜率為1的直線/,使/被圓C截得的弦為EF,且以E尸為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，請

寫出求直線/的方程；若不存在，請說明理由.

【答案】(I)J=-2或5x-12y+10=0

I-GC

⑵【丁，丁J

(3)存在，x-γ+l=Ongx-y-4=0

【分析】(1)首先設(shè)直線/的方程為：x=my-2f與圓的方程聯(lián)立，令△=(),即可求解加的值；

(2)設(shè)直線/的方程為：?=√3y-l,與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理表示中點坐標；

(3)方法一，設(shè)直線/：y=x+b,與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理表示O啟.OF=O,即可求解8；方法

二，設(shè)圓系方程，利用圓心在直線y=x+8,以及圓經(jīng)過原點，即可求解參數(shù).

(1)

根據(jù)題意，設(shè)直線/的方程為：x=my-2

聯(lián)立直線與圓的方程并整理得：(病+l)y2+(4-6m)y+4=0

12

2

Δ=20IΠ—48機所以20帆2—48〃?=0，叫=。，m2=—

從而，直線/的方程為：工=-2或5x-12y+10=0；

(2)

根據(jù)題意，設(shè)直線/的方程為：x=^3y-?

代入圓C方程得：4√+4(l-√3)y-l=0,顯然A>0,

設(shè)力(x∣,y∣),B(x2,y2),則%+%=6一1，Λ1+Λ?=1-X∕3

√3-lλ∣

所以點P的坐標為［長，土廠

(3)

假設(shè)存在這樣的直線/：y=χ+o

2

聯(lián)立圓的方程并整理得：2Y+(2b+2)x+b+4/7-4=0

當A=-4(?2+6?-9)>0,=>-3-3√2<b<3√2-3

設(shè)E(W,必)，尸(七,”)，則W+匕=-(6+1)，x3x4=∣(?2+4?-4)

所以為%=^?(?2+2?-4)

因為以Er為直徑的圓經(jīng)過原點，所以O(shè)E=(Λ3,%),OF=(x4,y4),OEOF=O

2

：.x3x4+y4y4=0,Bpb+3b-4=0

均滿足-3-3夜<?<3√2-3?

.??1=1,b2=-4

所以直線/的方程為：x-y÷l=0∏gx-y-4=0.

(3)法二：可以設(shè)圓系方程￠+/—2x+4y-4+4(%—y+Z?)=。

則圓心坐標(卜；-2亍2,亍-4

圓心在直線y=χ+〃上,

得；甘-4-?2+"①

且該圓過原點，得勸-4=0②

由①_②_，求得[?，=1，或[/\?=—4

[λ=4[A=-I

所以直線/的方程為：χ-y+l=0或x-y-4=0.

24.如圖，設(shè)直線3x=0,∕2:3x-4y=0.點A的坐標為(1，α)(">().過點A的直線/的斜率為A,且

與乙，4分別交于點例，N(M,N的縱坐標均為正數(shù)).

(1)設(shè)α=l,求一McW面積的最小值；

11

(2)是否存在實數(shù)小使得礴+網(wǎng)的值與%無關(guān)？若存在，求出所有這樣的實數(shù)出若不存在，說明

理由.

【答案】(1)?-;(2)存在；a=2.

【分析】(1)利用直線的點斜式方程直線/的方程，再利用兩條直線的交點坐標得M(0,。-女)和

Nl片咚，亭￥1，再結(jié)合題目條件得人<1，當α=l時，得直線°A的方程為X-、二°，

14人一34左一3)4

、，4"43〃一3、L

W(0,1-4)和N,以及IOAI=&,再利用點到直線的距離公式得點M和N到直線OA的距

?QK—?^TK—?J

離，從而得ZXMON面積s=n!~Q-,令，=3-4%,則，＞0,從而得S

3-42

=∣^÷→2^∣,再利用基本不等式求最值，計算得結(jié)論；

⑵利用⑴的結(jié)論，結(jié)合兩點間的距離公式得IoM=Q-%和IoNI=第U,計算[?+向=黑苗，

由2-Z＞0得結(jié)論.

【解析】⑴因為直線/過點A(l，且斜率為2,

所以直線/的方程為y=Mx-l)+a

因為直線/與4，4分別交于點"，N,所以AwJ,

4

[x=0fx=0/、

因此由,得，，即M(O,a—&),

[y=攵(zx-ln)+aγy=a-k

4?-4iz

3x7Γn得.Y，即N-