2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 一 第4講 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性

第4講導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性

［考情分析JI.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和計算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是高考的熱點，多以選擇題、填空

題的形式考查，難度較小.2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點內(nèi)容，也是高考

的常見題型，以選擇題、填空題的形式考查，或為導(dǎo)數(shù)解答題第一問，難度中等偏上，屬綜

合性問題.

考點一導(dǎo)數(shù)的幾何意義與計算

【核心提煉】

1.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=Λg(χ))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=∕("),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=y'*

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)即曲線在該點處的切線的斜率.

(2)曲線在某點的切線與曲線過某點的切線不同.

(3)切點既在切線上，又在曲線上.

例1(1)(2021?蕪湖模擬)已知犬X)=InX一夕(I)X2+x+1,則曲線KX)在點(1,川))處的切線

方程為()

A.X一廠1=0B.4x—y—1=0

C.χ-4y~l=0D.4χ-4y-l=0

答案D

解析由題意得，f'(x)一?'(1)x+1,

令x=l,可得，(1)=1-/(1)+1,解得/(1)=1,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，在點(I,,/(I))處切線斜率％=/(1)=1,

又fix)—Inx—++x+},

所以T(I)=Inl—g+1+d，即切點為(1,J,

3

所以切線方程為y—X=χ-1,整理得4x—4y-l=0.

(2)(2021.新高考全國I)若過點(4,力可以作曲線y=e*的兩條切線，則()

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ehD.O<b<ea

答案D

解析方法一設(shè)切點(X0,yo),yo>O,則切線方程為y—b=eλb(x—d),由

?yo~b=ex°(xo~a)

得e"(1—xo+α)=6,則由題意知關(guān)于?o的方程e~>(1—%o+α)=∕>有兩

Iyo=ex°,

個不同的解.設(shè)氏T)=e*(l—x+4),則，(X)=ejt(l—x+4)-ex=—e*(X—α),由/(X)=O得X

=a,所以當(dāng)x<α?xí)r，/(x)>0,7(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>α?xí)r，/(x)<0,.")單調(diào)遞減，所以./)向

=7(α)=e"(l—α+α)=e",當(dāng)XCa時，a-x>0,所以火x)>0,當(dāng)Xf—8時，凡r)f0,當(dāng)Xf+

8時，??)—-oo,函數(shù)./(χ)=e?r(l-χ+”)的大致圖象如圖所示，

因為兀V)的圖象與直線y=h有兩個交點，所以O(shè)<h<ea.

方法二(用圖估算法)過點(小份可以作曲線y=e'的兩條切線，則點3,6)在曲線y=e，的

下方且在X軸的上方，得O<Xe".

易錯提醒求曲線的切線方程要注意“過點尸的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點

P的切線中，點尸不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點尸處的切線，必以點

P為切點.

跟蹤演練1(1)(2021.西安模擬)直線y=fcv+l與曲線y(x)=Hnx+b相切于點P(1,2),則2a

+6等于()

A.4B.3C.2D.I

答案A

解析：直線>=日+1與曲線y(x)=HnX+分相切于點尸(1,2),

將P(l,2)代入y=履+1,可得&+1=2,解得A=I,

"：J(x)^a?nx+b,：.f(X)=*

由/(∣)=γ=l?解得α=l,可得7(x)=lnx+A,

：尸(1,2)在火X)=Inx+b±,

.,.χi)=ln?+b=2,解得力=2,故2π+6=2+2=4.

(2)若曲線y=；sin2x+坐cos2χ在A(Xl,%),B(X2，竺)兩點處的切線互相垂直，則的一對的最

小值為()

,π八π-2πC

AjB.2C.yD.π

答案B

=ISin2x+乎cos2χ=∣sin,λ∕31+cosZr1.Λ,πλ√3

解析?.，2x+l2×xz—2—=2s'nl2x+3j+4)

二曲線的切線斜率的取值范圍為

又曲線在Aa1,y∣),Ba2,力)兩點處的切線互相垂直，

故在Aa],Ji),8(X2,m)兩點處的切線斜率必須一個是1,一個是一1.

Tπ

則比一X2Imin=I=亍

考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【核心提煉】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟

(1)研究函數(shù)y=∕(x)的定義域；

(2)求y(x)的導(dǎo)數(shù)/(X);

(3)求出f'(X)的零點，劃分單調(diào)區(qū)間：

(4)判斷，(X)在各個單調(diào)區(qū)間內(nèi)的符號.

2χ—1

例2己知√(x)=α(x—InX)+—/一,“GR.討論?x)的單調(diào)性.

解人x)的定義域為(0,+∞),

f(x)=k丁豆+#=???

若αW0,當(dāng)Xe((U)時，f(χ)>O,y(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(l,+8)時，f(χ)<0,兀0單調(diào)遞減.

.,Q(X-1

若lt〃>o,f,ω=-?~

(1)當(dāng)0<“<2時,

當(dāng)x∈(0,l)或x∈+8J時，f(x)>o,y(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)Xe1,,/ω<o,y(x)單調(diào)遞減.

(2)當(dāng)a=2時,1,在XG(0,+8)內(nèi)，/(x)2o,y(x)單調(diào)遞增.

(3)當(dāng)α>2時，2

當(dāng)XW0,χ∈(i,+8)時，f(x)>o,y(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈時,(x)<0,

凡￥)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)“WO時，4x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)(X"2時，Ax)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,上單調(diào)遞減，在|，+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)α=2時，於)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)α>2時，4X)在(θ,喧上單調(diào)遞增，在Wl,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

規(guī)律方法討論函數(shù)的單調(diào)性其實就是討論不等式的解集的情況.

大多數(shù)情況下，這類問題可以歸結(jié)為一個含有參數(shù)的一元二次不等式的解集來討論：

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的，千萬不要忽視了定義域的限制；

(2)在能夠通過因式分解求出不等式對應(yīng)方程的根時，依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論；

(3)在不能通過因式分解求出根的情況時，根據(jù)不等式對應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論.

跟蹤演練2(2020?全國∏)已知函數(shù),/(x)=2InX+1.

(1)若Kr)W2x+c,求C的取值范圍；

⑵設(shè)0>0,討論函數(shù)g(x)=嗎］，)的單調(diào)性.

解設(shè)h{x}=fix)-2x-c,

則力(X)=21nχ-2x+l—c,

2

其定義域為(0,+∞),h'(x)=--2.

⑴當(dāng)0<x<l時，h'(X)>0；

當(dāng)x>l時，h'(X)<0.

所以∕ι(x)在區(qū)間((M)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減.

從而當(dāng)X=I時，∕z(x)取得最大值，最大值為〃(1)=-1—c.

故當(dāng)且僅當(dāng)一1—cW0,即c2一1時，/(x)≤2x+c.

所以C的取值范圍為［-1,+∞).

叔一旗)2(Inx-Inα)

(2)g(x)='x-ax-a

x∈(0,a)U(a,+∞).

2(^-^+ln?—lnJ20—￡+%)

g'⑴=正不=(La)2，

令0(x)=l—f+lnf,x∈(0,α)U(α,+°o),

∩?Q--X

，當(dāng)Xe(0,a)時，φ'(x)>0,當(dāng)x∈(4,+8)時，9,(X)C0,

所以e(X)在(0,“)上單調(diào)遞增，在3，+8)上單調(diào)遞減,

所以φ(x)<φ(a)=O,

所以g'(x)<0,

所以g(x)在區(qū)間(O,a),(?,+8)上單調(diào)遞減.

考點三單調(diào)性的簡單應(yīng)用

【核心提煉】

I.函數(shù)人幻在區(qū)間。上單調(diào)遞增(或遞減)，可轉(zhuǎn)化為∕'(x)20(或/'(x)≤0)在XeO上恒成

立.

2.函數(shù)於)在區(qū)間。上存在單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間，可轉(zhuǎn)化為/(X)>0(或/(X)<0)在χGO

上有解.

例3(1)(2021?六安模擬)已知函數(shù)兀v)=e*-er,g(x)=sin工+守一ox.對于任意x∣,xz，且

M≠X2,都有喂三端>0,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.。<0B.iz≤O

C.a<?D.αWl

答案D

解析因為所以7U1)-AM)，以為)一g(χ2)同號，因此與g(χ)的單調(diào)性相同，

因為/(x)=e^+e'>0,所以函數(shù)?r)為增函數(shù)，因此g(x)也為增函數(shù)，

g,(X)=COSΛ+^X2-6Z,

因為g(x)是增函數(shù)，故Ce)Sx+5^2—恒成立.

即QWCOSX÷^,Λ2恒成立.

令Λ(x)=cosx+xv2,

則∕√(x)=χ-sinX,

設(shè)(X)=K-sinx9

因為(X)=I—cosx20,

故加(X)=X—sinX為增函數(shù)，

又m(0)=0,

故當(dāng)XVO時，機(X)VO,即〃'(x)vθ,因此人(X)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>0時，"z(%)>0,即∕ι'(X)>0,因此〃(X)單調(diào)遞增，

故ZI(X)=COSX+^2的最小值為ZJ(O)=L故a≤l.

(2)定義在R上的函數(shù)式x)的導(dǎo)函數(shù)為，(X),若，(X)勺U),則不等式巧(x+l)<e次2工一3)的

解集是()

A.(一8,2)B.(2,+∞)

C.(4,+∞)D.(-8,4)

答案D

解析令MX)='餐，??φ(X)=~Γ<0.

.?.0(x)在R上是減函數(shù)，

?；p(x+1)=，竟:),.".∕(x÷1)=e'+1?φ{(diào)x+1),

_z儂i-3)

又9(2χ-3)=?e2√Γ，

：.fi2x-3)=e2χ-3?φ(2x~3).

；?不等式e%x+l)<e4∕(2χ-3),

可化為er?ex+l?φ(χ-?-I)<e4?e2x3?^(2χ-3),

即e2v+lφ(x+l)<e2^r^l^(2χ-3),

即O(X+l)<p(2χ-3),

又Tg(X)在R上是減函數(shù)，

ΛΛ+l>2x—3,

即x<4.

規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的策略

利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式，常常要構(gòu)造新函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題，轉(zhuǎn)化

為利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式.

跟蹤演練3(1)若函數(shù)TU)=/α―24χ+inχ在(1,3)上不單調(diào)，則實數(shù)”的取值范圍為()

C.1-8,-W)U(1,+∞)D(-8,—^U(2,+∞)

答案C

fL~.1cυ^~2ax+1

解析/(x)=aχ-2a+~=----------------,

令φ(x)=ax1-2ax+1,

???於)在(1,3)上不單調(diào)，

.,?3(%)在(1,3)上有變號零點,

當(dāng)。=0時，不滿足題意；

當(dāng)α≠0時，8。)的對稱軸為1=1,

???9(1)9(3)<0,

解得〃<一g或a>?.

(2)(2021?寧波模擬)已知a,夕￡(。，2√,若e。一，=Sina—2sinβ,則下列結(jié)論一定成

立的是()

A.a+β=^B.a+β=^

C.a>βD.a<β

答案D

解析由α,4G（0,5）可知，SinQO,

所以e。-J=Sina—2sinβ<sina—sinβ,

整理可得ert-sina<e^-sinβ,

設(shè)於）=e*—sin（r∈（θ,，）），

f,（x）=ev-cosx>0,

故外）在（o,舒上單調(diào)遞增，所以“

專題強化練

一、單項選擇題

1.（2020?全國I）函數(shù)火x）=d—2√的圖象在點（1,犬1））處的切線方程為（）

A.y=~2x~?B.y=-2x+l

C.y-2tχ—3D.y=2x+l

答案B

解析ΛD=l-2=-l,切點坐標(biāo)為(1,-1),

f'（X）=4x3-6/,

所以切線的斜率為％=/，（1）=4X13—6XP=-2,

切線方程為y+1=—2（x—1）,即y=—2x+l.

2.已知函數(shù)「"),則於)()

A.是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減

B.是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增

C.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減

D.是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增

答案D

解析因為?r)=Me‘一e??,x∈R,定義域關(guān)于原點對稱,

且/(_工)=-Xe-?v-ev)=MeV—e-v)=J(x),

所以7U)是偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時，f(x)=ev—e-^v+?(e?÷e^x)>O,

所以7U)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

3.(2021?寶雞模擬)已知直線y=H(?>0)和曲線yU)=LHnx(°W0)相切，則。的取值范圍是

()

A.(一8,0)U(0,e)B.(O,e)

C.(O,1)U(1,e)D.(一8,O)U(1,e)

答案A

解析設(shè)切點是PaO,xo—Hnxo),

又/(χ)=l-p

則以P為切點的切線方程為

y-χo+a?n沏=(I-xo)?

因為該切線過原點，

所以一沏÷HnXO=(I-—Xo),

即ln%o=l,XO=e,

所以?=ι-^>0,

所以a<e且a≠0.

4.若函數(shù)火x)=e*(cosχ-α)在區(qū)間(甘，習(xí)上單調(diào)遞減，則實數(shù)α的取值范圍是()

A.(-√2,+∞)B.(1,+∞)

C.[1,+∞)D.[√2,+∞)

答案D

解析f(x)=ev(cosx-a)+et?(—sinx)

=eA(CoSχ-sin?-^),

?.%)在區(qū)間(一看m上單調(diào)遞減，

."(X)WO在區(qū)間(甘，3上恒成立，

即CoSX—sinx—恒成立，

即42COSX-SinX=也COS(X+：)恒成立，

..兀兀

?一?，

Λtz>√2,故選D.

5.(2021?黃岡模擬)已知變量即，?2≡(0,λw)(∕π>O),且Xla2,若工『<以恒成立，m的最

大值為(e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù))()

A.eB.-?∕eCrD.1

答案A

2

解析VX^<=>x2lnxι<x∣ln%2??i,X2≡(0,m)fm>0,

???哈警恒成立，

]nX

設(shè)函數(shù)Ar)=；,?."ι<T2,次羽)勺(M),

，兀0在(O,m)上單調(diào)遞增,

T~I-Inx

又f(?)=~-，

則f(x)>O=>O<x<e,

即函數(shù)段)的單調(diào)遞增區(qū)間是(O,e),

則m的最大值為已

3r

6.(2021?八省聯(lián)考)已知。<5且0e5=5e",6<4且加4=%〃，c<3.ace=3e,則(

A.c<h<aB.h<c<a

C.a<c<bD.a<b<c

答案D

解析由已知得????=?e",土e"會e"We?

設(shè)人力=5,

LlZ(K-l)e'

則/(X)=Λ2

所以7U)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以∕3)<A4)<∕(5),艮c)<j[b)<J[a),

所以a<b<c.

二、多項選擇題

7.(2021?襄陽模擬)已知函數(shù)y(x)=f+KO)?X-/(0)?cosx+2,其導(dǎo)函數(shù)為/(x),則()

A./O)=-1B./(0)=1

C../(0)=1D./(O)=-I

答案BC

解析因為J(x)-x2÷X0)?χ-/(0)?cosx+2,

所以火0)=2-/(0).

因為，(x)=2x+y(0)+/(O)?sinx,

所以，(0)=/0).

故/(O)=AO)=L

8.(2021?常德質(zhì)檢)如果定義在R上的函數(shù)y(x),對任意兩個不相等的實數(shù)即，X2,都有x√Uι)

+x√U2)>x√α2)+M∕3),則稱函數(shù)1X)為““函數(shù)”，下列函數(shù)是“”函數(shù)”的有()

A.fi?x)-xexB.y=3χ-2(SinX-cosx)

C.y=x3+3x2+3x+1D.J(x)=e'-e^x-2x

答案BCD

解析因為對于任意給定的不等實數(shù)X∣,X2,不等式無水X1)+X√(X2)>X√(X2)+XM>∣)恒成立，

所以不等式等價于(XI—X2)[/Ul)-/(X2)]>O恒成立，

即函數(shù)7U)是定義在R上的增函數(shù).

對于A,函數(shù)火X)=XeV定義域為R,f(Λ)=(x+l)e',當(dāng)x<-l時，fl(x)<0,當(dāng)人>-1時，

fω>0,所以T(X)在定義域R上不是增函數(shù)，故A不正確;

對于B,函數(shù)y=3x—2(Sinx-cosx)定義域為R,y'=3~~2(COSX+sinX)=3-2吸SinQ+；)>0,

函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件，故B正確；

對于C,函數(shù)y=x3+3jc2+3x+1定義域為R,y'=3X2+6X+3=3(Λ+l)2≥0,所以y=x5+

3∕+3x+l在定義域上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,函數(shù)火x)=e'-er-2x定義域為R,r(X)=^+屋，一222*千一2=0,當(dāng)且僅當(dāng)

F=er,即x=0時，等號成立，所以y(x)在定義域R上是增函數(shù)，故D正確.

三、填空題

9.(2021?臨沂模擬)曲線y=lnχ-1在x=l處的切線的傾斜角為α,則sin(α+號=.

較去迎

口木10

解析y'='+.，y'k=1=3,

貝Utana=3[0<α<τ),

.√,2V_?√Γo

..sin^+2J-cos?=^=-10.

10.(2021?新高考全國II)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)應(yīng)b.

②當(dāng)Xe(O,+8)時，f'(X)>0；

@f(X)是奇函數(shù).

答案,/(χ)=χ4(答案不唯一，yu)=∕"("∈N*)均滿足)

解析取凡T)=Λ4,則y(x1X2)=(x1X2)4=Λh?=y(x1y(x2),滿足①，

f(x)=4r3,x>0時有/(x)>0,滿足②，

∕'(X)=4Λ3的定義域為R,

又/(-χ)=-4x3=-/(X),故/(X)是奇函數(shù)，滿足③.

11.已知函數(shù)段)=lnx+(L力2(0∈R)在區(qū)間5，21上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)匕的取值

范圍是.

答案(—8,?

解析由題意知，在區(qū)間[；,21上存在子區(qū)間使得不等式F(x)>0成立./(x)=3+2(xi)

2xλ-2bx+?/??1

=-----------,設(shè)∕z(x)=2x2-2Ar+1,貝U力(2)>0或力團>0,即8—46+1>0或1>0,

得娼.

12.(2021?新高考全國∏)已知函數(shù)火X)=H—1∣,ΛI(xiàn)<0,x2>0,函數(shù)兀0的圖象在點A(xι,KXI))

和點B(X2,火X2))的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點，則制的取值范圍是

答案(0,1)

(?—e，，JV<0,

解析由題意得，Λx)=∣e'-l∣=/'

leA—1,x^0,

[―ex,x<0,

則/(X)=>n

Ie"v,X「0,

所以點4(孫1—ev,)和點8(X2,e^t2—1),ICAM=-ex,?ICBN=e",

所以一e$?e"2=—1,χι+χ2=0,

所以AM：y—1+e'=—e*(x—Ri),M(O,e????-ev,+1),

所以IAM=JX；+(e*x∣A=Jl+e?"?∣X]∣,

同理∣8NI=JiTe^?∣X2∣,

2tη2x,

β.?AM?λ∕l+e?'?∣x,∣_?+e2?11+e

77e(0,l).

兩=√l+e^?∣x2∣VW

四、解答題

13.(2021-滁州模擬)已知函數(shù)兀V)=/-2r+Hnx(a∈R).

(D若函數(shù)在x=l處的切線與直線x—4y—2=0垂直，求實數(shù)α的值;

(2)當(dāng)α>0時，討論函數(shù)的單調(diào)性.

解函數(shù)定義域為(O,+∞),

求導(dǎo)得/(x)=2x—2+；.

(1)由已知得r(1)=2X1—2+4=-4,得”=-4.

.,a2χ2-2x+α

(2)f(x)=2χ-2+-=-------------(QO),

記/=4—8a,

①當(dāng)/W0,即時，F(xiàn)(X)20,函數(shù),Kr)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)/乂)，即時，令F(X)=O,解得為=匕中三，X2」十千元

又α>0,故X2>Λ∣>0.

當(dāng)x∈(0,