2022-2023學(xué)年湖南省邵陽(yáng)某中學(xué)高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年湖南省邵陽(yáng)二中高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每個(gè)小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）若集合M={X|H<4},N={X|3X21},則MCIN=（）

A.{x|0WxV2}B.{x|-<X<2}C.{x|3Wx〈16}D.{x\~<x<16}

2.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足*z=3-4z,則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

3.（5分）已知向量征=(3,4),b=(1,0),c=a+仍，若<a,c>=<b,c>,則f

=()

A.-6B.-5C.5D.6

4.（5分）己知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是△48C及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)

集合T={Q6S|PQW5},則7表示的區(qū)域的面積為（）

37r

A.—B.ITC.2nD.3n

4

5.（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-481clz）1中，4為的中點(diǎn)是P,過(guò)點(diǎn)A1作

與截面PBC1平行的截面，則該截面的面積為（）

A.2V2B.2V3C.2V6D.4

6.（5分）在△ABC中，AC=3,3c=4,/C=90°.產(chǎn)為△48C所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且

PC=1,則屆?麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

C,D,E,尸為6個(gè)開(kāi)關(guān)，其閉合的概率都是右且

7.（5分）一個(gè)電路如圖所示，A,B,

是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是（)

11

C.D.

816

8.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,/(x+1)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)在口,

-19

2］時(shí)，f(x)=o?+6.若/(0)+f(3)=6,則/(一)=()

9375

----C--

A.4B.24D.2

二、多選題(4個(gè)小題每個(gè)題5分共計(jì)20分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)得5分，部分對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.)

(多選)9.(5分)已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,則下列結(jié)論正確的是

()

A.如果BUA,那么P(AUB)=0.2,P(AB)=0.5

B.如果A與8互斥，那么P(AUB)=0.7,P(AB)=0

C.如果A與B相互獨(dú)立，那么P(AUB)=0.7,P(AB)=0

D.如果A與8相互獨(dú)立，那么PCAB)=0.4,P(AB)=0.4

(多選)10.(5分)在△A8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知(b+c)：(c+a)：

Ca+b)=4：5：6,則下列結(jié)論正確的是()

A.sinA：sinB：sinC=7：5：3

B.CA-AB<0

C.若c=6,則△ABC的面積是15

D.若人+c=8,則△ABC外接圓半徑是手

11.(5分)已知函數(shù)/(x)=Asin(3x+<p)(A>0,co>O,|<p|<5)的部分圖象如圖所示，

則()

A.f（x）的圖象關(guān)于直線》=-號(hào)對(duì)稱

B./（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（一修，0）對(duì)稱

C.若方程f（x）=%在［-a0］有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（-2,

-V3J

D.將函數(shù)y=2sin⑵—Q的圖象向左平移，單位長(zhǎng)度得到函數(shù)/（x）的圖象

1

（多選）12.（5分）如圖直角梯形A8CD中，AB//CD,AB上BC,BC=CD=^AB=2,

E為A8中點(diǎn)，以DE為折痕把△ADE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PC=2遮，則

（）

B.PC.LBD

TT

C.二面角尸-OC-B的大小為一

4

D.PC與平面PED所成角的正切值為近

三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）

13.（5分）為了了解高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽

取一個(gè)容量為1200的樣本，三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比依次為&：5：3.已知高一年級(jí)共抽

取了240人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為人.

14.（5分）已知空間向量；,b,京滿足4+）+4=0,|a|=3.\b\—l,|c|=4,則+

c+的值為.

15.（5分）已知三棱錐P-ABC內(nèi)接于半徑為5的球，NAC8=90°,AC=7,BC=V15,

則三棱錐P-A8C體積的最大值為.

16.（5分）設(shè)3，02為單位向量，滿足|2瑟一02區(qū)無(wú)，a=ei+e2，b=3e^+e2,設(shè)a,b的

夾角為0,則cos20的最小值為.

四、（解答題共70分，解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）

17.（10分）已知向量之=（3,2）,b=（x,-1）.

（1）當(dāng)—時(shí),求向+2&；

(2)當(dāng)六=(一8,-1),a||(b+c),求向量1與?的夾角a.

sinA+sinB+sinCsinB

18.（12分）已知△A8C的內(nèi)角A,B,C滿足

sinCsinB+sinC-sinA

(1)求角A;

（2）若△ABC的外接圓半徑為1,求△ABC的面積S的最大值.

19.（12分）進(jìn)行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地

資源的消耗，具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事.為

了普及垃圾分類知識(shí)，某學(xué)校舉行了垃圾分類知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲

同學(xué)答對(duì)每題的概率都為p,乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為q（p>q）,且在考試中每人各

15

題答題結(jié)果互不影響.己知每題甲，乙同時(shí)答對(duì)的概率為:，恰有一人答對(duì)的概率為一:.

212

（1）求0和q的值；

（2）試求兩人共答對(duì)3道題的概率.

20.（12分）如圖，從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽取40名，將其成績(jī)（均為整數(shù)）整理

后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問(wèn)題：

（I）80至90這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？

（II）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；（不寫過(guò)程）

(Ill)從成績(jī)是80分以上(包括80分)的學(xué)生中任選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概

率.

21.(12分)如圖，直三棱柱ABC-Ai81cl的體積為4,的面積為2夜.

(1)求A到平面A1BC的距離；

(2)設(shè)。為AiC的中點(diǎn)，AAi^AB,平面Ai8C_L平面AB81A1,求二面角A-2。-C

的正弦值.

22.(12分)已知函數(shù)=2cos3x(V5sin3x—COS3X)+1(3>0),f(x)的最小正周期

為TT.

(1)求/(X)單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)是否存在實(shí)數(shù)m滿足對(duì)任意xi€[-ln2,ln2\,任意X2GR,使e?%+e~2X1+m(eX1—

e-z)+52/。2)成立.若存在，求m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

2022-2023學(xué)年湖南省邵陽(yáng)二中高二（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每個(gè)小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)若集合”={x|4V4},N={x|3x》l},則MCN=()

11

A.{x|0<x<2}B.{x|-<x<2}C.{x|3Wx<16}D.{x|~<x<16}

【解答】解：由aV4,得0WxV16,疝<4}={x|0WxV16},

11

由3x》l,得x",.,.N={x|3x》l}={小"},

11

MCN={x|0<x<16}A{x|xN4)={x|-<x<16}.

33

故選：D.

2.(5分)若復(fù)數(shù)z滿足"z=3-4i,則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【解答】解：由i?z=3-4i,得2=早，

??+?=貸=塔亙=5.

故選：B.

3.(5分)已知向量。=(3,4),b=(1,0),c=a+rh,若/，c>=Vb,c>,則，

=()

A.-6B.-5C.5D.6

【解答】解：:向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb9

c=(3+34),

V<a,c>=<b,c>,

—>—>T—>

CL'Cb,c.25+3t3+t

??T—>——?7**，,,=

|a|-|c|\b\-\c\51

解得實(shí)數(shù)r=5.

故選：C.

4.（5分）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)

集合T={Q€S|PQ<5},則7表示的區(qū)域的面積為（）

37r

A.—B.ITC.2nD.3n

4

【解答】解：設(shè)點(diǎn)P在面ABC內(nèi)的投影為點(diǎn)0,連接0A,則。4=|x3舊=2g,

所以0P=\lPA2-OA2=V36-12=2歷，

由〃Q2-op2=迎5-24=1,知7表示的區(qū)域是以0為圓心，1為半徑的圓，

所以其面積S=m

5.（5分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CO-481C1B中，4朋的中點(diǎn)是P,過(guò)點(diǎn)Ai作

與截面PBC\平行的截面，則該截面的面積為（）

A.2V2B.2V3C.2V6D.4

【解答】解：在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-AIBICIOI中，4田的中點(diǎn)是P,

過(guò)點(diǎn)4作與截面PBC\平行的截面，

則截面是一個(gè)對(duì)角線分別為正方體體對(duì)角線和面對(duì)角線的菱形，如下圖所示:

則EF=2&,AiC=2V3,EF1A1C,

則截面面積S=1EFMiC=2V6,

故選：C.

6.（5分）在△ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且

PC=\,則屆?麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5JC.[-6,4JD.[-4,6]

【解答】解：在△A8C中，AC=3,BC=4,NC=90°,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖:

設(shè)P(尤，y),

因?yàn)镻C=1,

所以/+y2=l,

—>—>

又PA=(3-x,7)，PB=(-x,4-y),

—>—>

所以PA-PB=-x(3-x)-y(4-y)-3x-4y=-3x-4y+l,

設(shè)工=85。，j=sin0,

TT,2

所以PA?PB=—(3cos0+4sinO)+1=-5sin(0+(p)+1,其中tan(p=4,

當(dāng)sin（0+（p）=1時(shí)，PA?PB有最小值為-4,

當(dāng)sin（0+<p）=-1時(shí)，PA■而有最大值為6,

所以扇?而曰-4,6],

故選：D.

7.（5分）一個(gè)電路如圖所示，A,B,C,D,E,尸為6個(gè)開(kāi)關(guān)，其閉合的概率都若且

是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是（）

【解答】解：開(kāi)關(guān)C斷開(kāi)的概率為"開(kāi)關(guān)力斷開(kāi)的概率為；，開(kāi)關(guān)A、B至少一個(gè)斷開(kāi)

22

的概率為1-

開(kāi)關(guān)E、F至少一個(gè)斷開(kāi)的概率為1一基2=尚，

/Z4

11339

故燈不鳧的概率為-X-X-><-=—，

224464

故燈亮的概率為1-言=!|,

故選：B.

8.(5分)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(x+1)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)爛口,

C9

2]時(shí)，/(x)=〃/+〃.若/(0)4/(3)=6,則/(一)=()

9375

A.-7B.C.-D.-

4242

【解答】解：??丁(x+D為奇函數(shù)，??峰(1)=0,且/(x+1)=-/(-x+1),

???/(x+2)偶函數(shù)，???/(x+2)=/(-x+2),

.*.yi(x+l)+1]=-/[-(x+l)+1]=-/(-x),即/(x+2)=-/(-x),

：.f(-x+2)=f(x+2)=-/(-x).

令t=-x,則/(什2)=-f(r),

：.f(r+4)=-/(什2)=/(r),：.f(x+4)=f(x).

當(dāng)xE［L2］時(shí),/(x)=ax1+b.

f(0)=/(-1+1)=-f(2)=-4a-b,

f(3)=/(l+2)=f(-1+2)=/(1)=a+b,

又f(0)tf(3)=6,-3a=6,解得。=-2,

?-7(1)=a+b=0,：.h=-a=2,

,當(dāng)史［1,2］時(shí),f(x)=-2?+2,

?"(：9)=/(1))=-/(：3)=-(-2x^Q+2)=15.

ZZZ乙

故選：D.

二、多選題(4個(gè)小題每個(gè)題5分共計(jì)20分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)得5分，部分對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.)

(多選)9.(5分)已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,則下列結(jié)論正確的是

()

A.如果8UA,那么P(AUB)=0.2,P(AB)=0.5

B.如果4與8互斥，那么P(4UB)=0.7,P(AB)=0

C.如果A與B相互獨(dú)立，那么P(AUB)=0.7,P(AB)=0

D.如果A與B相互獨(dú)立，那么P(而)=0.4,PCAB)=0.4

【解答】解：由事件A,8,且P(A)=0.5,P(8)=0.2,知：

對(duì)于A,如果BUA,那么P(AUB)=0.5,P(AB)=0.2,故4錯(cuò)誤；

對(duì)于8,如果A與8互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)=0.7,P(AB)=0,故8

正確；

對(duì)于C,如果4與8相互獨(dú)立，

那么P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.2-0.5X0.2=0.6,

P(AB)=P(A)P(8)=0.5X02=0.1,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡>,如果A與B相互獨(dú)立，

那么P(而)=P(1)P(B)=(1-0.5)X(1-0.2)=0.4,

P(4月)=P(A)P(B)=0.5X(1-0.2)=0.4,故。正確.

故選：BD.

(多選)10.(5分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c,已知(b+c)：(c+a)：

(a+b)=4：5：6,則下列結(jié)論正確的是()

A.sinA：sinB：sinC=7：5：3

B.CA-AB<0

C.若c=6,則△43。的面積是15

7A/3

D.若b+c=8,則△ABC外接圓半徑是亍

【解答】解：依題意，設(shè)b+c=4鼠c+a=5k,a+b=6k,則。=3.5鼠b=25k,c=1.5k,

對(duì)于A,由正弦定理得，si"：sinB：sinC=〃：b：c=7：5：3,故選項(xiàng)4正確；

內(nèi)工Dn二八.入b2+c2-a2b2+c2-a22.52+1.52-3.52.15.

對(duì)于B,ABAC=bccosA=beX——---=-------------=----------5---------k2=一丁土2

2bc2528

<0,

T—T1A

：.CAAB=-AC-AB=^-k2>0,故選項(xiàng)8錯(cuò)誤;

102+62-1421

對(duì)于C若c=6,則A=4,所以〃=14,6=10,則由余弦定理有,cosZ=

-2x10x6--2

則sinA=W故aABC的面積為jbes譏A=1x6xl0x-^=15\^,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

52+32-72

對(duì)于D,若b+c=8,則k=2,所以a=7,b=5,c=3,則由余弦定理有,cosA

2x5x3一

_1

~29

所以sma=*，由正弦定理得，XABC的外接圓半徑為三x—=—.故選項(xiàng)D正

22sinA3

確.

故選：AD.

11.（5分）已知函數(shù)/（無(wú)）=Asin（3/+<p）（A>0,o）>0,|（p|<^）的部分圖象如圖所示,

A./（x）的圖象關(guān)于直線工=-竽對(duì)稱

B.于（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（一修，0）對(duì)稱

C.若方程/(x)="在0]有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為(-2,

-V3]

D.將函數(shù)y=2sin(2r-J)的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)/(x)的圖象

06

T7171

【解答】解：由圖可知，A=2,-=即

4312

(1)=2.

7T27T

由3X可+(p=-y+(p=7l,得(p=T于C

:,于(x)=2sin(2x+,).

??，/(—冬)=2sin(-it)=0,?*?/(%)的圖象關(guān)于直線x=—對(duì)稱錯(cuò)誤；

=2sin(―5)=_2,.*./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(—0)對(duì)稱錯(cuò)誤；

由陽(yáng)一今0],得2x+翁[一箏]，則2sin(2x+引e[-2,V3],

方程/(x)=m在[一夕0]有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-2,-V3],

正確；

將函數(shù)y=2sin⑵-看)的圖象向左平移，個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=2sin[2(工+])-芻=

2sin(2%+1),故。錯(cuò)誤.

O

故選：C.

(多選)12.(5分)如圖直角梯形ABC。中，AB//CD,AB±BC,BC=CD=^AB=2,

E為A8中點(diǎn)，以O(shè)E為折痕把△ADE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且PC=26，則

A.平面PED_L平面PCD

B.PC±BD

TC

C.二面角P-OC-8的大小為二

4

D.PC與平面PEQ所成角的正切值為魚

【解答】解：對(duì)于A,?..直角梯形ABCQ中，AB//CD,ABYBC,BC=CD=^AB=2

E為AB中點(diǎn)，以。E為折痕把△ACE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸的位置，

：.DELBE,DE±PE,又BECPE=E,，。石，平面PBE,

'：DE//BC,；.BC_L平面尸3E,：.BC±PB,

,:PC=2顯,BC=2,：.PB=J(2>/3)2-22=2y/2,

：.PE^+BE2=PB2,PELBE,

；PECDE=E,，BE_L平面PQE,'：CD//BE,，CQ_L平面POE,

；CDu平面PCD,；.平面尸EZ)_L平面PCD,故A正確；

對(duì)于8,,：PELBE,PELDE,BEHDE=E,.\P￡±￥ffiBCDE,

VBDcT?BCDE,：.BD1.PE,二,四邊形BCOE是正方形，：.BDLCE,

：PECCE=E,平面PEC,丁尸Cu平面PEC,.?.8￡>_LPC,故B正確；

對(duì)于C,；CZ)_L平面PDE,：.ZPDE是二面角P-DC-B的平面角，

；PELDE,PE=DE=2,:.NPDE=%

71

，二面角P-DC-B的大小為一，故C正確；

4

對(duì)于￡>,；CZ)_L平面POE,NCPZ)是PC與平面PED所成角，

CD_2_41

VtanZCPD=~PD=I2=區(qū)'

j2'2+2，

...PC與平面PED所成角的正切值為弓，故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）

13.（5分）為了了解高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法抽

取一個(gè)容量為1200的樣本，三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比依次為七5：3.已知高一年級(jí)共抽

取了240人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為360人.

【解答】解：..?高一年級(jí)抽取的比例為科；=p

12005

又?..三個(gè)年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比依次為k5：3,

k]

―=7-解得斤=2,

Zc+5+35

故高三年級(jí)抽取的人數(shù)為1200X2+阿?=360.

故答案為：360.

14.（5分）已知空間向量聯(lián)，b,會(huì)滿足：+/?+"=0,而=3,|b|=l,|c|=4,則2?b+b?

c+”征的值為-13.

【解答】解：?.G+1+"=A,&+1+力2=不，

即Q2+力2+。2+2。.b+2b-c+2Q-c=0,

V|a|=3,|&|=1,|c|=4,

32+l2+42+2（a-b+b-c+a-c）=0,

解得+b?c+c?Q=-13.

故答案為：-13.

15.（5分）已知三棱錐P-ABC內(nèi)接于半徑為5的球，NACB=90°,AC=7,BC=V15,

則三棱錐P-A8C體積的最大值為卓老.

【解答】解：如圖，在三角形4BC中，由NACB=90°,AC=1,BC=V15,

得4B=V49+15=8,

要使三棱錐尸-48C的體積最大，則平面以8,平面ABC,且P在底面ABC上的射影為

AB中點(diǎn)O,

連接P。并延長(zhǎng)，交三棱錐P-ABC的外接球于O,則P。為球的直徑，

設(shè)尸0=〃，則〃（10-/2）=4X4=16,解得力=2（舍）或〃=8.

三棱錐的體積的最大值為:x|x7xV15X8=竺產(chǎn).

28Vl

故答案為:

3

16.（5分）設(shè)g，?為單位向量，滿足|2。1—與|三魚，a=4-e2,b=3er+e2?設(shè)Q,b的

r28

夾角為仇則cose的最小值為與

【解答】解：因?yàn)槎【訛閱挝幌蛄浚瑋2e^-e2\<V2,

所以4-4屆?屆+1W2,

所以N,,

因?yàn)檎?A+J，b=3e[+e2,a,b的夾角為仇

TT22

所以cos20==-----（-4-+-甸---力---）->_>

.2](2+2e1-e2)(10+6ere2)

4(1+%七2)

—>—>

5+3e1-e2

(12

I-->—>)

5+3e1-e2

>4（1__2_）_28

當(dāng)"5+3X『-29'

28

故cos2e的最小值為石.

OQ

故答案為：—.

29

四、（解答題共70分，解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）

17.(10分)已知向量Q=(3,2),b=(x,—1).

（1）當(dāng)（21一力）_L%時(shí),求向+2百；

(2)當(dāng)工=(-8,-1),a||(b+c),求向量2與7的夾角a.

【解答】解：(1):向量之二0，2),b=(x,-1),

TTTT

*.a4-2Z?=(3+2x,0),2a—b=—x,5),

V(2a-b)lb,

(2a-b)-b=0,即(6-x,5),(x,-1)=0,x2-6x+5=0,解得x=l或x=5,

當(dāng)x=l,則，則3+2^=(5,0),

TT

A|a4-2b|=5,

當(dāng)x=5,|a+2b|=13,

綜上所述，向+2&=5或13.

(2)c—(—8,—1),a=(3/2),b=(%,—1),

則b+c=(x—8,—2),

Va||(b+c),

???3X(-2)-2X(x-8)=0,解得x=5,

：.\a\=A/13,\b\=V26,a-fa=3x54-2x(-1)=13,

3b_13_yf2

/.cosa=

|a||fo|同x儂2

VaG[0,nJ,

n

,?a=4,

sinA+sinB+sinCsinB

18.（12分）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C滿足

sinCsinB+sinC-sinA

（1）求角A;

（2）若△ABC的外接圓半徑為1,求△ABC的面積S的最大值.

【解答】解：（D設(shè)內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

,sinA+sinB+sinCsinB

由一嬴一

sinB+sinC-sinA"

_,°a+b+c

可得------=---=>h24-c2—a2=—be,

Cb+c-a

\2+〈2日2_—be__1

所以cosA=

2bc—2bc—29

又因?yàn)镺VAVm

所以4=手.

,,,CL2TTr-

(2)因?yàn)?---=2Ra=2R-sinA=2sin—=y3

sinA3f

所以3=房+。2+稅22兒+兒=3A，即AW1,

所以S=ibc-sinA=g(當(dāng)且僅當(dāng)h=c時(shí)取等號(hào)).

ZZZ4,

所以△ABC的面積S的最大值為虛.

4

19.(12分)進(jìn)行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地

資源的消耗，具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事.為

了普及垃圾分類知識(shí)，某學(xué)校舉行了垃圾分類知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲

同學(xué)答對(duì)每題的概率都為p,乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為<7(p>q),且在考試中每人各

15

題答題結(jié)果互不影響.己知每題甲，乙同時(shí)答對(duì)的概率為一,恰有一人答對(duì)的概率為一.

212

(1)求p和4的值；

(2)試求兩人共答對(duì)3道題的概率.

【解答】解：(1)設(shè)4=｛甲同學(xué)答對(duì)第一題｝,8=｛乙同學(xué)答對(duì)第一題｝,

則P(A)=p,P(B)=q,

設(shè)C=｛甲、乙二人均答對(duì)第一題｝,。=｛甲、乙二人恰有一人答對(duì)第一題｝,

則C=A8,AB+AB,

?.?二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，

AA與B相互獨(dú)立，4后與相互互斥，

：.P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=pq,

P(D)=PCAB+AB)=P(A后)+P(IB)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B),

pq=7

2,

｛p(l-q)+q(l-p)=12

32

p?>q-=

43-

（2）設(shè)4=｛甲同學(xué)答對(duì)了i道題｝,Bi=｛乙同學(xué)答對(duì)了i道題｝,i=0,1,2,

由題意得：

n/“、13,313/,、339

P（A1）=4X4+4X4=o'Pn（A2）=4X4=訪，

n/n、21124n/n、224

P(31)=司*弓+可乂a=石，P(82)=司xa=石，

設(shè)E=｛甲乙二人共答對(duì)3道題),則E=A\B1+A1B\,

3494S

：.P(￡)=P(A1B2)+P(A2B1)=/4+日尹式，

20.,將其成績(jī)(均為整數(shù))整理

(I)80至90這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？

(II)估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(不寫過(guò)程)

(III)從成績(jī)是80分以上(包括80分)的學(xué)生中任選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概

率.

【解答】解：(I)由頻率分布直方圖得:

80至90這一組的頻率為：0.025X10=0.25,

80至90這一組的頻數(shù)為：0.25X40=10.

(II)由頻率分布直方圖得:

估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為:

x=45X0.01X10+55X0.015X10+65X0.015X10+75X0.03X10+85X0.025X10+95X

0.005X10=71,

70+80

眾數(shù)為:=75,

2

V［40,70)的頻率為：(0.01+0.015+0.015)X10=0.4,

［70,80)的頻率為：0.03X10=0.3,

.百人姑^,0.5-0.4.220

，中位數(shù)為：70+03*10=—?

(IID成績(jī)是80分以上(包括80分)的學(xué)生共有：(0.025+0.005)X10X40=12,

其中［80,90)內(nèi)有0.025X10X40=10人，［90,100］內(nèi)有：0.005X10X40=2A,

從成績(jī)是80分以上(包括80分)的學(xué)生中任選兩人，基本事件總數(shù)〃=比2=66,

他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段包含的基本事件個(gè)數(shù)m=Cfo+C2=46,

.??他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率片合器=h.

21.(12分)如圖，直三棱柱A8C-4BC1的體積為4,△A18C的面積為2夜.

(1)求A到平面48C的距離；

(2)設(shè)。為4C的中點(diǎn)，44i=AB,平面Ai8CJ_平面AB81A1,求二面角A-8。-C

的正弦值.

【解答】解：⑴由直三棱柱ABC-A\B\C\的體積為4,可得匕「.Be="出Q-ABC=

設(shè)A到平面A\BC的距離為d,由%「ABC=VA-A.BC

?',33):qx2a?d=可解得"=&?

(2)連接ABi交48于點(diǎn)E,；AAi=AB,...四邊