2023-2024學年商洛市重點中學數(shù)學九年級上冊期末聯(lián)考試題(含解析)

2023-2024學年商洛市重點中學數(shù)學九上期末聯(lián)考試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題(每小題3分,共30分)

1.下列拋物線中，與拋物線y=-3χ2+l的形狀、開口方向完全相同，且頂點坐標為(-1,2)的是()

A.y=-3(x+l)2+2B.y=-3(x-2)2+2C.y=-(3x+l)2+2D,y=-(3x-l)2+2

2.某林業(yè)部門要考察某幼苗的成活率，于是進行了試驗，下表中記錄了這種幼苗在一定條件下移植的成活情況，則下

列說法不正確的是()

移植總數(shù)〃400150035007000900014000

成活數(shù)加369133532036335807312628

tn

成活的頻率一09230.89009150.9050.8970.902

n

A.由此估計這種幼苗在此條件下成活的概率約為().9

B.如果在此條件下再移植這種幼苗20000株，則必定成活18000株

C.可以用試驗次數(shù)累計最多時的頻率作為概率的估計值

D.在大量重復試驗中，隨著試驗次數(shù)的增加，幼苗成活的頻率會越來越穩(wěn)定，因此可以用頻率估計概率

3.如圖，在四邊形ABC。中，對角線AC,BO相交于點0,且OA=OC,OB=OD.若要使四邊形ABe。為菱

形，則可以添加的條件是()

A.AC^BDB.ABLBCC.ZAOB=60°D.ACLBD

4.如圖，若AbC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)50。后能與AABCi重合，則乙4耳B=().

%

A.50oB.55oC.60oD.65o

5.如圖是小明一天看到的一根電線桿的影子的俯視圖，按時間先后順序排列正確的是（）

6.如圖,從一塊直徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為90。的扇形.則此扇形的面積為（）

百，，，

C.πιrΓD?2πrn1

2

7.如圖，AB是半徑為1的。。的直徑，點C在。O上，ZCAB=30°,D為劣弧CB的中點，點P是直徑AB上一個

動點，則PC+PD的最小值為（）

A.1B.2C.√2D.√3

8.如圖，點A、B、C都在。O上，若NAOC=I40。，則NB的度數(shù)是（）

IO\

C

A

B

A.70oB.80oC.IlOoD.140o

B是。O上三點，若NAoC=40。，則NABC的度數(shù)是（）.

B.20o

10.如圖，反比例函數(shù)y的大致圖象為

二、填空題（每小題3分,共24分）

11.已知玉=-1是方程/+痛一6=0的一個根，則方程另一個根是

12.如圖，點C是以AB為直徑的半圓上一個動點（不與點A、B重合），且AC+BC=8,若AB=m（m為整數(shù)），則

整數(shù)m的值為

13.若一元二次方程f-χ-2=0的兩根為王,￡，則（1+%）+%（1一玉）=.

14.在平面直角坐標系中，AABC和AA'6'C是以坐標原點。為位似中心的位似圖形，且點3（3,1）,B'（6,2）.若

點A（2,3）,則4的坐標為.

15.某數(shù)學興趣小組利用太陽光測量一棵樹的高度（如圖），在同一時刻，測得樹的影長為6米，小明的影長為1米,

已知小明的身高為1.5米，則樹高為米.

16.如圖，半圓。的半徑為4,初始狀態(tài)下其直徑平行于直線/.現(xiàn)讓半圓。沿直線/進行無滑動滾動，直到半圓。的

直徑與直線/重合為止.在這個滾動過程中，圓心。運動路徑的長度等于.

17.把函數(shù)y=2,的圖象先向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度得到新函數(shù)的圖象，則新函數(shù)的表達式

是.

18.如圖，在平面直角坐標系中，原點O是等邊三角形ABC的重心，若點A的坐標是（0,3）,將aABC繞點。逆

時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)60。，則第2018秒時，點A的坐標為.

19.（10分）如圖，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,點。是BC邊上的動點（不與B,C重合），點E在AC邊

(1)求證：MBDADCE；

（2）若BD的長為X，請用含X的代數(shù)式表示4￡的長；

（3）當（2）中的4E最短時，求AADE的面積.

20.（6分）如圖，A（4,3）是反比例函數(shù)y=&在第一象限圖象上一點，連接OA,過A作AB〃x軸，截取AB=OA（B

X

在A右側(cè)），連接OB,交反比例函數(shù)y=^的圖象于點P.

X

（1）求反比例函數(shù)y=K的表達式；

X

（2）求點B的坐標；

（3）求AOAP的面積.

21.（6分）如圖1,在ABCD和GBEF中,頂點3是它們的公共頂點，ZABC=ZGBE=60°,

AB=BE=4,BC=BG=2#>+2.

HI圖2?∕∣∣M

（特例感悟）（1）當頂點尸與頂點。重合時（如圖1）,AQ與BG相交于點BC與ED相交于點N,求證：四

邊形BMDN是菱形；

（探索論證）（2）如圖2,當NGBC=30°時，四邊形GCFO是什么特殊四邊形？試證明你的結(jié)論；

（拓展應用）（3）試探究：當NGBC等于多少度時，以點CG尸為頂點的四邊形是矩形？請給予證明.

22.（8分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點M是BC的中點.

（1）在AM上求作一點E,使AAOESZ?MA3（尺規(guī)作圖，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，求AE的長.

23.（8分）若G的整數(shù)部分為X,小數(shù)部分為y；

（1）直接寫出X=,V=;

（2）計算（G+l）y+V的值.

24.（8分）某班“數(shù)學興趣小組”對函數(shù)y=χ2-2∣x∣的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整.（1）自變

量X的取值范圍是全體實數(shù)，X與y的幾組對應值列表如下：

55

X???-3-2-1O123???

^22

工3

y???3m-1O-1O3???

44

其中，Hl=

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部

分.

（3）觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì).

（4）進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn):

①函數(shù)圖象與X軸有一個交點，所以對應的方程X2-2∣x∣=0有個實數(shù)根;

②方程X2-2∣x∣=2有一個實數(shù)根.

③關(guān)于X的方程X2-2∣x∣=a有4個實數(shù)根時，a的取值范圍是.

（1\

25.（10分）（1）計算：（3.14-乃）°+&-4sin45+-

?3∕

(2)先化簡，再求值：1—Hl÷>T,其中m滿足一元二次方程〃/一2m—8=0.

mm^+2m

26.(10分)車輛經(jīng)過潤揚大橋收費站時，有A、B、C、D四個收費通道，假設車輛通過每個收費通道的可能性相同,

車輛可隨機選擇一個通過.

(1)一輛車經(jīng)過此收費站時，A通道通過的概率為；

(2)兩輛車經(jīng)過此收費站時，用樹狀圖或列表法求選擇不同通道通過的概率.

參考答案

一、選擇題(每小題3分,共30分)

1、A

【解析】由條件可設出拋物線的頂點式，再由已知可確定出其二次項系數(shù)，則可求得拋物線解析式.

【詳解】Y拋物線頂點坐標為(-1,1),.?.可設拋物線解析式為y=α(x+l)'+1.

Y與拋物線y=-33+l的形狀、開口方向完全相同，.?.α=-3,二所求拋物線解析式為y=-3(x+l)j+l.

故選A.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在y=α(χ-Λ)∣+A中，頂點坐標為

(A,k),對稱軸為X=/?.

2、B

【分析】大量重復試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定

性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率即可得到答案.

【詳解】解：由此估計這種幼苗在此條件下成活的概率約為0.9,故A選項正確；

如果在此條件下再移植這種幼苗20000株，則大約成活18000株，故B選項錯誤；

可以用試驗次數(shù)累計最多時的頻率作為概率的估計值，故C選項正確；

在大量重復試驗中，隨著試驗次數(shù)的增加，幼苗成活的頻率會越來越穩(wěn)定，因此可以用頻率估計概率，故D選項正確.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查的是利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率，掌握這個知識點是解題的關(guān)鍵.

3、D

【分析】根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形ABC。是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定定理和矩形

的判定定理逐一分析即可.

【詳解】解：Y在四邊形ABCD中，OA^OC,OB=OD

.?.四邊形ABCD是平行四邊形

若添加AC=BD,

則四邊形ABC。是矩形，故A不符合題意；

若添加AeJ_BC,

則四邊形ABCD是矩形，故B不符合題意；

若添加NAQB=60°,與菱形的對角線互相垂直相矛盾，故C不符合題意；

若添加AC_LBo

則四邊形ABC。是菱形，故D符合題意.

故選D.

【點睛】

此題考查的是平行四邊形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握平行四邊形的判定定理、矩形的判定定理和菱形的

判定定理是解決此題的關(guān)鍵.

4,D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知然后利用三角形內(nèi)角和定理進行求解.

AB=AB-ZBABt=50°,

【詳解】VASC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)50。后與aAB∣G重合，

.?.AB=Ag,NBAB]=50°,

.?.ZAB1B=?×(180°-50°)=65°,

故選D.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知旋轉(zhuǎn)角的定義與旋轉(zhuǎn)后對應邊相等是解題的關(guān)鍵.

5,C

【分析】太陽光線下的影子是平行投影，就北半球而言，從早到晚物體影子的指向是：西-西北-北-東北-東，于是即可

得到答案.

【詳解】根據(jù)平行投影的規(guī)律以及電線桿從早到晚影子的指向規(guī)律，可知：俯視圖的順序為：④@①②，

故選C.

【點睛】

本題主要考查平行投影的規(guī)律，掌握“就北半球而言，從早到晚物體影子的指向是：西-西北-北-東北-東”，是解題的

關(guān)鍵.

6、A

【解析】分析：連接AC,根據(jù)圓周角定理得出AC為圓的直徑，解直角三角形求出48,根據(jù)扇形面積公式求出即可.

詳解：連接AC

從一塊直徑為2膽的圓形鐵皮上剪出一個同心角為90。的扇形，即NABe=90。，.?.AC為直徑，即AC=2%,AB=BC.

222

'.?AB+BC=2,：.AB=BC=yj2m,二陰影部分的面積是些XYaI=I■萬（/）.

3602

故選A.

點睛：本題考查了圓周角定理和扇形的面積計算，能熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

7,C

【分析】作。點關(guān)于AB的對稱點E,連接OC.OE、CE,CE交AB于產(chǎn),如圖,利用對稱的性質(zhì)得到P'E=P'D,BD=BE，

再根據(jù)兩點之間線段最短判斷點尸點在尸'時，尸。+尸1）的值最小，接著根據(jù)圓周角定理得到/3。。=60°,N5OE=30°,

然后通過證明ACOE為等腰直角三角形得到CE的長即可.

【詳解】作O點關(guān)于A5的對稱點E,連接。C、OE.CE,CE交AB于P,如圖，

點。與點E關(guān)于48對稱，

；.P'E=P'D,BD=BE>

.?.PC+P,D=P,C+P'E=CE,

.?.點尸點在P時，PC+PQ的值最小，最小值為CE的長度.

VZBOC=2ZCAB=2×3Qo=60",

而D為BC的中點，

INBOE=LNBOC=30。,

2

：.ACOE=GQo+30°=90°,

.?.△COE為等腰直角三角形，

ΛCE=√2OC=√2>

.?.PC+尸。的最小值為夜.

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

8、C

【解析】分析：作AC對的圓周角NAPC,如圖，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NP=40。，然后根據(jù)圓周角定理求NAoC

的度數(shù).

詳解：作AC對的圓周角NAPC如圖，

11

?：NP=—ZAOC=-×140o=70o

22

VZP+ZB=180o,

ΛZB=180o-70o=110o,

故選：C.

點睛：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

9、B

【詳解】根據(jù)同一弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半，

所以NACB的度數(shù)等于NAOB的一半，

即ZABC=LZAOC=LX40。=20。

22

故選B

考點：同一弧所對的圓周角與它所對圓心角的關(guān)系.

10、B

【分析】比例系數(shù)k=ι>0,根據(jù)反比例函數(shù)圖像的特點可判斷出函數(shù)圖像.

【詳解】???比例系數(shù)k=l>O

.?.反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限

故選：B.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)圖像的分布，當k>0時，函數(shù)位于一、三象限.當kVO時，函數(shù)位于二、四象限.

二、填空題(每小題3分,共24分)

11、1

【分析】設方程另一個根為Xi,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到-l?xι=-l,然后解一次方程即可.

【詳解】設方程另一個根為Xi,根據(jù)題意得-l?xι=-l,

所以XI=L

故答案為L

【點睛】

be

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若Xi,X2是一元二次方程aχ2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，xι+x2=-->xι×2=-.

aa

12、6或1

【分析】因為直徑所對圓周角為直角，所以.ABC的邊長可應用勾股定理求解，其中AB2=AC2+BC2,且AC+BC=8,

即可求得AB2=(AC+BC)2-2AC?BC,列出AB?關(guān)于BC的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)

系得出AB?的范圍，再根據(jù)題意要求AB為整數(shù)，即可得出AB可能的長度.

【詳解】解：T直徑所對圓周角為直角，故ABC為直角三角形，

,根據(jù)勾股定理可得，AB2=AC2+BC2.即AB2=(AC+BC)2-2AC?BC,

又TAC+BC=8,ΛAC=8-BC

ΛAB2=64-2(8-BC)BC=2BC2-16BC+64=2(BC-4)2+32

VO<BC<8

二當BC=4時，AB?的最小值=32,,AB的最小值為4近

VAB<AC+BC=8

4√2≤AB<8

VAB=m

?4?∕2≤m<8

Tm為整數(shù)

.?.m=6或1,

故答案為：6或1.

【點睛】

本題主要考察了直徑所對圓周角為直角、勾股定理、三角形三邊關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于找出AB長

度的范圍.

13、4

【分析】利用韋達定理計算即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意可得：xi+x2=l,xi^X2=-2

(1+Λ1)+X2(I-X1)=l+xl+x2-X]?/=1+1-(-2)=4

故答案為4.

【點睛】

本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若再和％是方程OX2+法+°=O的兩個解，則

bc

Xj÷X=—，玉.％2=一.

2aa

14、(4,6)

【分析】根據(jù)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，根據(jù)相似比即可求得位似圖形對應點的坐標.

【詳解】由題意，得

A4BC和ΔA'B'C是以坐標原點。為位似中心的位似圖形，相似比為2

則4的坐標為(4,6),

故答案為：(4,6).

【點睛】

此題考查了位似圖形與坐標的關(guān)系，熟練掌握，即可解題.

15、1

【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，對應比值相等進而得出答案.

【詳解】解：根據(jù)相同時刻的物高與影長成比例.設樹的高度為x"z,

則27=9,解得：x=9.

1.5X

故答案為：1.

【點睛】

此題考查相似三角形的應用，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)定義.

16、4π

【分析】由圖可知，圓心。運動路徑的長度主要分兩部分求解，從初始狀態(tài)到垂直狀態(tài)，圓心一直在一條直線上；從

垂直狀態(tài)到重合狀態(tài)，圓心運動軌跡是L圓周，計算兩部分結(jié)果，相加即可.

4

【詳解】由題意知：半圓。的半徑為4,

???從初始狀態(tài)到垂直狀態(tài)，圓心。運動路徑的長度=，何珈4=?.

4

.?.從垂直狀態(tài)到重合狀態(tài)，圓心O運動路徑的長度=?!■倉叨24=?.

4

即圓心。運動路徑的總長度=2p+2p=4p.

故答案為4萬.

【點睛】

本題主要考查了弧長公式和圓周公式，正確掌握弧長公式和圓周公式是解題的關(guān)鍵.

17、j=l(X-3)'-1.

【分析】利用二次函數(shù)平移規(guī)律即可求出結(jié)論.

【詳解】解：由函數(shù)y=lχ∣的圖象先向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度得到新函數(shù)的圖象，得

新函數(shù)的表達式是y=l(x-3)|-1,

故答案為y=l(X-3)1.

【點睛】

本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換,熟知“上加下減,左加右減”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

【分析】AABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一周需6秒，而2018=6x336+2,所以第2018秒時，點A旋轉(zhuǎn)到點A，，ZAOA'

=120o,OA=OA'=3,作軸于〃，然后通過解直角三角形求出47/和。”即可得到4點的坐標.

【詳解】解：V360o÷60o=6,2018=6×336+2,

.?.第2018秒時，點A旋轉(zhuǎn)到點8,如圖，

ZAOA'=120°,OA=OA'=3,

作ATrLX軸于H,

YNA，OH=30。，

ΛA,H=yOA,=∣,OH=y∣3A'H=,

故答案為（一巫,-1）.

22

【點睛】

考核知識點：解直角三角形.結(jié)合旋轉(zhuǎn)和解直角三角形知識解決問題是關(guān)鍵.

三、解答題（共66分）

19-.（1）見解析；（2）AE=—X2Λ+10；（3）--

10525

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得NB=NC,然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得NBAD=NSE,進而可證得結(jié)

論；

（2）根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可得CE與X的關(guān)系，進一步即可得出結(jié)果；

（3）根據(jù)（2）題的結(jié)果，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得AE最短時X的值，即50的長，進而可得AO的長和AAOC的

面積，進一步利用所求三角形的面積與AADC的面積之比等于AE與AC之比即得答案.

【詳解】解：（1）'：AB=AC,：.NB=NC,'.'ZADE=ZC,：,ZADE=ZB,

,：ZADC=ZADE+NEDC=ZB+ZBAD,：.ΛBAD=ZCDE,

MBDADCE；

AB

(2)VΔABDMXJE,：.—.-_io

CE~DC''~EC~n-x

,.CE----X2+—X,

105

；.AE=10-f---%2+-X?I=-x2--x+lQ；

I105J105

12

(3)?.?AE=—(x-6)-+6.4,.?.χ=6時，4E的值最小為6.4,此時班＞=CO=6,

VAB=AC,：.ADLBC,?AD=√102-62=8^

SAtvAt√Q√vr=—2×AD×CD=24,

SMw?:_￡即SIME_竺_16

SMDCAC'24-10-25

S-Y=出

mde2525

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積等知識，屬于

中檔題型，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12

20、(1)反比例函數(shù)解析式為y=一；(2)點B的坐標為(9,3)；(3)AOAP的面積=L

X

【解析】(1)將點A的坐標代入解析式求解可得；

(2)利用勾股定理求得AB=OA=1,由AB〃x軸即可得點B的坐標;

(3)先根據(jù)點B坐標得出OB所在直線解析式，從而求得直線與雙曲線交點P的坐標，再利用割補法求解可得.

【詳解】(1)將點A(4,3)代入y=K,得：k=12,

X

則反比例函數(shù)解析式為y=-；

X

則OC=4、AC=3,

22

.*.OA=λ∕4+3=L

?；AB〃x軸，且AB=OA=1,

.?.點B的坐標為(9,3)；

(3)；點B坐標為(9,3),

：.OB所在直線解析式為y=∣x,

由j12可得點P坐標為（6,2）,（負值舍去），

y=一

IX

過點P作PD_LX軸，延長DP交AB于點E,

則點E坐標為（6,3）,

.?.AE=2?PE=KPD=2,

則AOAP的面積=LX（2+6）×3--×6×2--^-×2×1=1.

222

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形綜合，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

21、⑴見解析；⑵當NG8C=30。時，四邊形GCFO是正方形.證明見解析；（3）當NG8C=120。時，以點C,G,D,

尸為頂點的四邊形CGFQ是矩形.證明見解析.

【分析】（1）先證明四邊形BMDN是平行四邊形，再通過證明ΔA8M=AGDM得出BM=OM，從而證明四邊形

BMDN是菱形;

（2）證法一：如圖，連接OB交CG于K,在BK上取一點M,使得BM=GM,通過證明（9G=O尸=QD=OC,

GF=CD,GFLCD,從而證明當NGbC=30。時，四邊形GCF。是正方形；

證法二：如圖，過點G作G/LL5C于"，通過證明OZJ=OC=OG=OF,GF=CD,從而證明當NGBC=30。時，四邊形

GCFZ）是正方形；

（3）當NGBC=I20。時，點E與點A重合，通過證明FG//CO,CD=GF,NGCD=90。，從而證明四邊形。CG尸是

矩形.

【詳解】（1）BGHDE,DM//BC,

，四邊形8Λ"W是平行四邊形，

NA=NG

在MBM和ADGM中，，NAMB=ZGMD,

AB=DG,

.-.AABM=AGDM,

：.BM=DM,

二四邊形BMDN是菱形.

（2）當NGBC=30。時，四邊形GeF。是正方形.

證法一：如圖，連接QB交CG于K,在BK上取一點M,使得BM=GM,

o

ZABG=ZGBC=309BG=BC,

BGC=NBCG="。,

/BGF=/BCD=V2GP,

.?.NOGC=NOCG=45。,

:.OG=OC,FGixJD.

BG=BC9BO=BO,GO=CO9

:.ABOG^ABOCf

.?.NOBG=NOBC=15。,

BM=MG,

O

.?ZMBG=ZNGB=?59

ΛZGMZC=30°,

設GK=%,貝!18M=MG=2x,MK=瓜,

在RtZkBGK中，(2√3÷2)2=√÷(√3X+2X)2,解得X=夜，

BG=BCfOG=OC9

:.OBICG,

:.GK=KC=近，

.?.OC=OG=2=-CD=-GF

229

..CD=FG9OG=OF=OD=OC,

.??四邊形DGCF是平行四邊形，

GF=CD9

?..四邊形OGC尸是矩形，

?GFLCD9

???四邊形。GC尸是正方形.

證法二：如圖

AD

G

HC

YBG=BC,NGBC=30。，

??.ZBGC=ZBCG=75o.

又/BGF=ZBCD=12伊，

.?.ZOGC=ZOCG=120o-75o=45o,

o

:.OG=OC9ZGOC=90.

過點G作GHLBC于",

在Rt"G中,

VNGBC=30。，

ΛG∕f=→G=√3+1,BH=GGH=3+5

：.HC=BC-θH=2√3+2-(3+√3)=√3-b

???GC=y∣GH2+HC2=7(√3+l)2+(√3-D2=2√2，

：?0G=OC=牛=率=2,

√2√2

：?OD=。產(chǎn)=4-2=2,

：.OD=OC=OG=OF9

二?四邊形OGb是矩形,

VGF=CD,

???四邊形OGCF是正方形.

BC

（3）當NG8C=120。時，以點C,G,D,尸為頂點的四邊形CGfD是矩形.

當NG8C=120。時，點E與點A重合.

BG=BC,

，ZBGC=ZBCG=30°,

.?.ZGCD=120o-30°=90°.

V四邊形ABCD和四邊形GBEF是平行四邊形，

ΛABHCD,ABHFG,AB=CD,AB=GF,

：.FGHCD,CD=GF,

四邊形DCGE是平行四邊形.

?：NGCD=90。，

四邊形OCGF是矩形.

【點睛】

本題考查了幾何的綜合應用題，掌握矩形和正方形的性質(zhì)以及判定、勾股定理、全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

12

22、（1）過。作。EJ_AM于E,AAOE即為所求；見解析；（2）ae=z-?

【分析】（I）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到AO〃8C,則NZME=NAM8,又由NoEA=N8,根據(jù)有兩角對應相等的兩三角形相

似，即可證明出AZMESAAMB,根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求出OE的長，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）過。作OE_LAM于E,AAOE即為所求：

（2）V四邊形ABCZ）是矩形，

：.AD//BC,

：.NDAE=NAMB,

又TNOEA=NB=90。，

.?.ADAES∕?AMB,

：.DE：AD=AB:AM,

?.?M是邊8C的中點，BC=6,

X?.*AB=4,/5=90。，

：.AM=5,

：.DE：6=4：5,

24

：.DE=—,

212

,2

??AE=yjAD--DE=