2023-2024學(xué)年安徽省宣城市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年安徽省宣城市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的)

在數(shù)列｛%｝中，已知

1.q:=---當“22時，a=\—-—,則a3=：()

4%

2°4

A.-3B.-C.一D.5

35

2.己知直線/：x+2y-l=0的傾斜角為。，貝i」cos6=()

2V5dV5「2亞12A/5

A.----------------D.----C.D.±—5―

55----------------55

3.數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)品，如某大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將該

大學(xué)的校門輪廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成拋物線丁=依2(。。0)的一部分，且點

2(2,-2)在該拋物線上，則該拋物線的焦點坐標是()

A.(0,-1)B.(0,-g)C.D.

4.在平行六面體中，?為4G與月3的交點.若=AD=b,

AA,=c,則下列向量中與8。相等的向量是()

A.一。+—b+cB.—a4—b+cC.—a—b+cD.

222222

—a——b+c

22

5.已知等比數(shù)列｛4｝的各項都是正數(shù)，其公比為4,且卬％44%=41°，則。4%=()

A.44B.46C.48D.410

6.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點

的距離的比為常數(shù)左(左〉0且左/1)的點的軌跡為圓.后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在

平面直角坐標系中，設(shè)Z(-3,0),5(3,0),動點M滿足喝=2,則動點M的軌方程為

()

A.f+3-5)2=9B.+3+5)2=9c.(x+5)2+y2=16D.

(X-5)2+/=16

7.己知正四面體N8C。的棱長為a,點E,尸分別是8C,的中點，則/E?/尸的值為()

212_17^32

A.aB.-ciC.—a~D.—a~

242

22

8.已知雙曲線1-2r=l(a〉0,b>0)的左、右焦點分別為瑞，直線/經(jīng)過點月且

與該雙曲線的右支交于4,8兩點，若△ZB耳的周長為7a,則該雙曲線離心率的取值范圍

幣姮)

B.C.D.

T，M

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.)

9.己知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,，4<0,$=百2,貝U()

A.數(shù)列｛4,｝是遞減數(shù)列B.I。=0

C.S“<0時，"的最大值是18D.S2<516

10.圓C：(x+2)2+(y-3)2=16,直線/：3x+4y+19=0,點加■在圓C上，點N在直

線/上，則下列結(jié)論正確的是()

A.圓C關(guān)于直線3x—2y=0對稱

B.|M7V|的最大值是9

C.從N點向圓C引切線，切線長的最小值是3

D.直線y=4(x-l)+l被圓C截得的弦長取值范圍為[2行,8]

11.如圖，在長方體中，AB=BC=2,AA,=1,E為棱/田的中點，

A.AB{〃面8GoB.AXCA.BD

C.平面"GE截該長方體所得截面面積為九￡D.三棱錐A-B^E的體積為-

12113

12.已知。為坐標原點，片，巴分別是漸近線方程為x±2y=0的雙曲線E的左、右焦點,

M為雙曲線E上任意一點，MN平■分4F\MF1且耳N-M7V=0,|0N|=4,則（）

2

A.雙曲線E的標準方程為x-一/=1

4-

B.雙曲線E的離心率為好

2

C.點"到兩條漸近線的距離之積為3

5

D.若直線兒用與雙曲線E的另一支交于點P,。為的中點，則%。0乂七

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.若直線ax+y=0與直線4x+"+q-2=0平行，則。=.

211

14.數(shù)列《---卜是等差數(shù)列，且％=1,4=一一>那么。2。22=______.

q+U2

15.若圓f+/=1與圓X2+/—6x—8y—a=0恰有兩條公切線，則實數(shù)a的取值范圍為

16.在四棱錐Z-8CZ）E中，平面BC1CD,BE1DE,NC8E=120°,

且48=BC=8E=2,則該四棱錐的外接球的表面積為.

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文

字說明證明過程或演算步驟）

17.（本小題10分）

在等差數(shù)列｛<?“｝中，q=l,/+%=18.

（1）求數(shù)列｛a,,｝的通項公式：

（2）設(shè)“=」一，求數(shù)列也｝的前〃項和S”.

4%

18.（本小題12分）

已知在四棱錐尸-48CD中，底面□為正方形，側(cè)棱P/_L平面｛8CD,點用為

中點，PA=AD=l.

（1）求證：直線尸8〃平面M4C；

（2）求點尸到平面M4C的距離.

19.（本小題12分）

已知拋物線C/=4》的焦點為尸，直線/過點尸（2,1）,交拋物線于48兩點.

（1）若P為月B中點,求直線/的方程；

（2）求MH+忸可的最小值.

20.（本小題12分）

已知數(shù)列｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，q=1且4，%,《4成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝的前〃項和為S“，在①S"=2"—l,〃eN*；②S“=2b「l,〃eN*；

③S“+]=2S,+1,〃eN*這三個條件中任選一個，將序號補充在下面橫線處，并根據(jù)題意

解決問題.

問題：若a=1,且,求數(shù)列｛??"｝的前〃項和7；.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.

21.（本小題12分）

如圖，在正三棱柱Z8C-43cl中，AB=2,。是棱N8的中點.

（1）證明：平面4co，平面：

（2）若求平面4。。與平面的夾角余弦值的取值范圍.

22.（本小題12分）

如圖，在圓/+y2=4上任取一點P,過點尸作X軸的垂線段尸D,。為垂足，線段尸。的

中點為（當點尸經(jīng)過圓與X軸的交點時，規(guī)定點M與點尸重合.）

（1）求動點用的軌跡E的方程；

（2）已知點力（0,1）,B、C為軌跡E上異于N的兩點，且Z8_LZC,判斷直線8c是否

過定點，若過定點，求出該定點坐標.若不過定點，說明理由.

宣城市2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測試

高二數(shù)學(xué)答案

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.）

題號12345678

答案CABBCDCA

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）

題號9101112

答案BCCDABDBCD

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.-214.15.（-9,11）16.20%

10111）

四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文

字說明證明過程或演算步驟.）

17.（本小題10分）

（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為"，

,；%=1,則由%+%=18,得q+2d+q+61=18,

解得d=2,

所以a,,=1+(〃-l)x2=2〃一1.

1

(2)由題可得4=

2UM-12n+\)

+U,

2U?-l2/7+1J

18.(本小題12分)

(1)證明：連接8。交AC于點N,連接MN,因為底面ABCD為正方形，所以N為8。的

中點，在△尸80中，A/為尸。的中點，N為5。的中點，所以PB〃MN；

又因為A/Nu面M4C,所以尸6〃面M4c

(2)；J_平面Z8C。，4BCD為正方形,以力為坐標原點，以N8所在的直線為x軸，

以力。所在的直線為夕軸，以/尸所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由

已知條件可得

4(0,0,0),c(l,l,o),尸(0,0,1),

???”為尸0的中點，

所以/〃=4C=(l,l,0),

11人

設(shè)平面M4C的法向量為;=(x,y,z),則＜艾媒二°—y+—z=0

2-2

n-AC=0

x+y=0

令x=l,則y=—l,z-1,n=(1,—1,1),

尸Z=(0,0,-1),設(shè)點P到平面wc的距離為d,

V3

...點尸到平面M4c的距離為

19.(本題滿分12分)

⑴設(shè)4(再,M),B(x2,y^,則玉+z=4,yt+y2=2,

又<；'1兩式相減可得(必-%)(乂+%)=4(王一》2).

、%=鉆

???2(必_%)=4&-七).

匕二及=2,即直線/的斜率為2,

否-x2

.?.直線/的方程為y—l=2(x—2),即2x—y—3=0.

(2)設(shè)直線/的方程為x=〃?(y—1)+2,

x=m(y-l)+2〉

,得y-4叩+4加-8=0.

{y7=4x

A=(-4m)2-4(4m-8)=16(a-g)+28>0,

%+必=4加,

?；|力/^|+[5尸|=須+1+%2+1=/+%2+2=〃?(必一1)+2+7M(%—1)+2+2

,\c,，2c/J1Y23

=加(弘+^2)-2加+6=4m~-2m+o=41/n--I+—,

i

當加=；時，H月+忸月取最小值，最小值為亍.

20.(本小題12分)

(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為力

因為外，%，《4成等比數(shù)列，所以(《+4d)2=(q+d)(%+13d),

解得d=2或d=0(舍去).

故a”=1+2(n-1)=2n—1.

n

(2)選①，由S“=2"—l,〃eN*,當〃22時，bll=S?-S?_i=2-',

當〃=1時等式也成立，所以”=2"T,則可也,=(2〃-

7；=1+3x2+5x22++(2〃-l)?2"T,

27；=2+3x2?+5x23++(2n-3)-2"-1+(2M-1)-2",

兩式相減得一方=1+2?+23++2”-(2〃一1>2"

22x(l-2n-1)

=1+——-----^一(2〃-1)-2"=-(2〃—3)—3,所以7；=(2〃—3>2”+3.

選②，由S,=2b「l,〃eN*,當〃22時-，bn=Sn-Sn^2bn-2bn,,所以'=2,

b“一i

所以數(shù)列也｝為以1為首項2為公比的等比數(shù)列，所以〃=2"T,則?！耙?=(2〃—1>2修，

以下步驟同①.

選③，由S,+1=2S“+1,〃eN*,得S“+|+1=2(S,,+1),又4=1,

所以￡+1=4+1=2,所以｛S“+1｝是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以S,=2"—1.

當“22時，a=S“_S“T=2z,

當〃=1時等式也成立，所以4=2"T,則a,ja=(2〃—l>2"T,

以下步驟同①.

21.(本小題12分)

(1)證明：在正三棱柱中，?平面/8C,因為CZ)u平面/8C,所以44_1.8.

因為力C=8C,且。是棱48的中點，所以力8.

因為N4U平面48614,且N6AA^A,所以CD，平面.

又因為CZ)u平面4。。，所以平面4。。，平面

(2)解：分別取/C,4G的中點O,E,易證。8,OC,0E兩兩垂直，如圖建立空間直

角坐標系，

設(shè)44=《14區(qū)2),則40,1,0),

一T"3

4c=(0,2,-f),CD=,0

，、--"、

n-AtC=2y-tz=0

設(shè)平面4。。的法向量〃=(x,y,z),貝人XTE3

n-CD=—x--y=0

2T

令z=2,y—t,x=y/3t,得〃=,平面4CG的一個法向量加=(L°，°)，

設(shè)平面4。。與平面4CG夾角為a，貝Ucosa