弗完備解悖專項方案draft

弗完備解悖方案評定王文方教授陽明大學心智哲學研究所：112臺北市北投區(qū)立農(nóng)街二段155號最近幾年間，國際哲學界里有兩種和語意悖論相關(guān)、非「正統(tǒng)路徑」（orthodoxapproach）關(guān)鍵解悖方案；它們分別是以G.Priest（1987,）和JcBeall（）為代表弗一致路徑（paraconsistentapproach）、和以S.Kripke（1975）和H.Field（,）為代表弗完備路徑（paracompleteapproach）。邏輯上，前者提倡某種弗一致邏輯〈paraconsistentlogic〉作為處理語意悖論關(guān)鍵方法，后者主張放棄古典邏輯中排中律（LawofExcludedMiddle,LEM）來作為避免悖論產(chǎn)生手段。哲學上，前者主張將悖論型語句歸類為既真且假語句，并所以主張有些矛盾為真，后者則主張全部悖論型語句和沒有依據(jù)語句全部是缺乏真假語句，并所以主張真值鴻溝（truth-valuegap）。基于篇幅考慮，本論文只討論弗完備路徑理論；在以下說明中，我將先簡單解釋「正統(tǒng)路徑」解悖方案及其問題，然后舉兩個例子說明弗完備路徑解悖方案和我所看到、有相關(guān)該路徑困難之處。正統(tǒng)解悖理論所謂「正統(tǒng)」解悖理論，我指得是那些區(qū)分真述詞階層和/或語言階層理論。有相關(guān)語意悖論正統(tǒng)解悖路徑始自A.Tarski。Tarski（1933,1944）認為，一個可被接收、有相關(guān)某個對象語言L真理理論，不僅應該在實質(zhì)上是合適（materiallyadequate），而且應該在形式上是正確（formallycorrect）。所謂「實質(zhì)上合適」，塔斯基指是，這么理論應該在邏輯上蘊涵全部含有下列形式T-雙條件句：TarskiTarski（1933）對于實質(zhì)合適性要求其實有兩項，另一項要求該理論必需在邏輯上蘊含這么結(jié)果：全部能夠說得上為真事物全部是語句。因為這個額外要求對于以下討論并非必需，所以我在這里略去它不予考慮。（T）X在L中為真，若且唯若p。其中，X是L中語句p名稱。建立語言標準名稱方法并不限于使用單引號或雙引號，其它方法還包含Tarski（1933）所謂「架構(gòu)名」（建立語言標準名稱方法并不限于使用單引號或雙引號，其它方法還包含Tarski（1933）所謂「架構(gòu)名」（structural-descriptivenames）、和哥德爾數(shù)碼（Godelnumbering）等等。所謂「形式上正確」，Tarski部分指是：盡管表示這個理論后設語言L*應該包含「在L中為真」（以下簡稱「L真」）這么述詞，但L和L*卻不能夠包含自己「真述詞」；而這也就是說：L不能夠包含任何述詞”(x)”使得全部”(X)若且唯若p”這么語句對于L中每個語句p來說全部為真（其中，X是L中語句p名稱），而L*也不能夠包含任何述詞”(x)”使得全部”(Y)若且唯若q”這么語句對于L*中每個語句q來說全部為真（其中，Y是L*中語句q名稱）；或，以Tarski自己話來說，L及L*全部不能夠是語意上封閉（semanticallyclosed）語言。因為自然語言通常被認為包含了自己真述詞（并所以是一個語意上封閉語言），Tarski（1933）認為自然語言不只是封閉，還是全般性（universalTarski（1933）認為自然語言不只是封閉，還是全般性（universal）語言—任何在其它語言中能夠被表示內(nèi)容，在自然語言中全部能夠被表示—所以不可能在這么語言中定義其真理概念而不造成矛盾。但讓我在此稍微說明一下這兩個問題。（a）：多豐富語言才算是一個「夠豐富」語言？和（b）：為何Tarski會認為：為一個夠豐富封閉語言（如自然語言）提供一個一致、滿足實質(zhì)合適性要求真理定義是不可能？第一個問題答案是這么：一個語言L只要包含了（1）L中每一個語句名稱、（2）「L真」這個述詞（或一個和「L真」有著相同外延述詞”T”）、和（3）直接或間接自我指稱（self-reference）語言設計（如指示詞”this”或其它設計有時候，量化語言設計加上部分經(jīng)驗事實就足以造成自我指稱語句。有相關(guān)這一點，詳見Kripke（1975,sec.1）。另外，透過哥德爾數(shù)碼，一個語言中語句也可能間接地指稱它自己。），我們便說它是一個夠豐富語言?，F(xiàn)在，讓我們假設L是一個夠豐富語言，而且讓我們假設，我們已經(jīng)為其中述詞「L真」（或”T”）提供了一個實質(zhì)上合適定義。因為L是一個夠豐富語言，所以，讓我們假設它有一個能夠說它自己并不是L真語句；讓我們稱之為「（說謊者）」。讓我們假設「（說謊者）」同時也是該語句在L有時候，量化語言設計加上部分經(jīng)驗事實就足以造成自我指稱語句。有相關(guān)這一點，詳見Kripke（1975,sec.1）。另外，透過哥德爾數(shù)碼，一個語言中語句也可能間接地指稱它自己。（1）（說謊者）=「（說謊者）不是L真」。因為我們假設對「L真」定義是一個實質(zhì)上合適定義，所以，該定義蘊涵了全部L中語句T-雙條件句；尤其是，該定義蘊涵了（2）「（說謊者）不是L真」是L真，若且唯若（說謊者）不是L真。但（1）和（2）和萊布尼茲定律（Leibniz’sLaw）共同蘊涵了一個在Tarski及古典邏輯學家看來是自我矛盾語句：「（說謊者）是L真，若且唯若（說謊者）不是L真」；所以，為夠豐富語言（如自然語言）所提出實質(zhì)合適真理定義，似乎一定會是一個不一致定義。但為何Tarski及古典邏輯學家會認為「（說謊者）是L真，若且唯若（說謊者）不是L真」是一個自我矛盾語句呢？Field（,p.7-8）認為，Tarski和她部分追隨者之所以認為該語句是一個自我矛盾語句，似乎是因為她們接收下面這個被Field稱為「從等值到矛盾關(guān)鍵論證」（thecentralargumentfromequivalencetocontradiction）緣故：Field（,p.7-8）論證包含四個大步驟，和每個步驟中細部證實。這些步驟和證實相當于以下我所給1-9證實。（說謊者）是L真，若且唯若（說謊者）不是L真。Premise或（說謊者）是L真，或（說謊者）不是L真。LEM（說謊者）是L真。Assumption（說謊者）不是L真。1,3,Logic（說謊者）是L真而且（說謊者）不是L真。3,4,Conj.（說謊者）不是L真。Assumption（說謊者）是L真。1,6,Logic（說謊者）是L真而且（說謊者）不是L真。6,7,Conj.（說謊者）是L真而且（說謊者）不是L真。2,3,5,6,8,CD.因為Tarski和她部分追隨者共同接收了上述「關(guān)鍵論證」，所以她們很自然地結(jié)論說：替日常語言提供一個一致、而且滿足實質(zhì)性要求真理定義是一件不可能事情。不過，讓我很快地在此指出：在上述論證中，訴諸于排中律（步驟2）是一個關(guān)鍵步驟。所以一個認為排中律并非邏輯定律哲學家（如Kripke和Field）并不會輕易地被上述「關(guān)鍵論證」所說服。盡管Tarski和她部分追隨者認為她真理理論并不適適用于自然語言，但她其它追隨者—如C.Parsons（1974）和T.Burge（1979）—卻不如此認為；后者相信，去為一個像漢字（讓我們稱之為”L”）這么自然語言提供一個一致真理定義，仍然是一件可能事情，而其中關(guān)鍵就在于：我們必需將L看作是一個由無數(shù)多個階層語言所組成語言，并將L中「為真」這個述詞看作是在該語言中系統(tǒng)性地歧義（systematicallyambiguous）述詞。在為L提出一個相關(guān)其語句真理定義時，我們能夠先將L中全部不包含「為真」這個述詞語句所形成語句集合看作是一個語言，并稱之為”L0”。我們能夠為L0這個語言依據(jù)Tarski方法而定義出「在L0中為真」（簡稱為「真1」）這個述詞，并將L1這個語言看成是這么一個語句集合：該集合包含了全部L0中語句、和由L0中語句、這些語句名稱、和「真1」所形成任何語句。在這么了解下，「真1」將適適用于L0中每一個為真語句，但不適適用于L0中任何為假語句，也不適適用于L1中任何語句。然后，我們能夠再為L1這個語言依據(jù)Tarski方法而定義出「在L1中為真」（簡稱為「真2」）這么述詞，并將L2這個語言看作是這么一個語句集合：該集合包含了全部L1中語句、和由L1中語句、這些語句名稱、和「真2」所形成任何語句。在這么了解下，「真2」將適適用于L1（及L0）中每一個為真語句，但不適適用于L1（及L0）中任何為假語句，也不適適用于L2中任何語句。然后，我們能夠再為L2依據(jù)Tarski方法而定義出「在L2中為真」（簡稱為「真3」）這個述詞，并將L3看作是這么一個語句集合：該集合包含了全部L2中語句、和由L2中語句、這些語句名稱、和「真3」所形成任何語句。在這么了解下，「真3」將適適用于L2（及L0、L1）中每一個為真語句，但不適適用于L2（及L0、L1）中任何為假語句，也不適適用于L3中任何語句。我們能夠繼續(xù)這么下去，并形成一系列語言，其中每一個語言Ln全部包含了之前語言Lm（mn）作為一部份，也全部包含了一個這么真述詞「真n」：該述詞適適用于每一個Lm（mn）中為真語句，但不適適用于任何一個Lm（mn）中為假語句，也不適適用于任何一個Lk（nk）中語句?，F(xiàn)在，我們能夠?qū)⒆匀徽Z言L看作是全部這些語言Ln聯(lián)集，而且將L中述詞「為真」看作是系統(tǒng)性地歧義述詞：它某次使用到底指稱這一系列述詞「真n」中哪一個這件事情，取決于它被使用時脈絡和使用者當初意圖；我們甚至能夠假設，每次當「為真」被使用時，說話者全部暗中給予了一個下標給該述詞。當我們這么看待L時，任何下列這種形式語句（Tn）p是真n，若且唯若p。仍然成立，但其中p必需是某個語言Lm（mn）中語句。假設S是「S不是真n」這個語句，那么，S并不屬于「真n」這個述詞外延（因為S會是某個語言Lk（nk）中語句）。以后，我們能夠結(jié)論說「S不是真n」。但從「S不是真n」和（Tn），我們卻無法推論出「S是真n」和某個矛盾，而這是因為（Tn）并不適適用于S這么語句緣故。簡單地說，對于S這么語句來說，它（Tn）個例，亦即：（3）「S不是真n」是真n，若且唯若S不是真n。并不成立。嚴格地說起來，上述（Tn）并不完全滿足Tarski實質(zhì)合適性要求；（Tn）充其量只是（T）一個限制性版本。但在1975年之前，Parsons和Burge見解被很多哲學家認為是唯一能夠有意義地談論自然語言真述詞方法；Kripke（1975）甚至稱這個見解在當初是「正統(tǒng)路徑」。Kripke對正統(tǒng)路徑提出了很多有力批評，我將這些批評簡單地列舉以下：我在上一段落中所提到那個假定—「每次當『為真』這個述詞被使用時，說話者全部暗中給予了一個下標給該述詞」—并不是一個事實。多數(shù)時候，一個自然語言用戶絲毫無法決定她所使用真述詞階層為何。舉例來說，假如John說：「Smith今天所說話全部為真」，但她卻不完全清楚Smith今天說了些甚么，在這種情況下，John便無法決定她所使用真述詞階層為何。有些時候，我們甚至不可能一致地將下標給予兩個顯然含有意義、而且在直覺上含有真假值語句。為了要說明這一點，讓我們考慮下述這么情形。A：「B所說有相關(guān)F事情全部是假。」B:「A所說有相關(guān)F事情全部是假。」顯然，這么兩個語句全部有清楚意義。假設A和B全部曾經(jīng)說過最少一件有相關(guān)F、而且為真事情，那么，上述那兩個語句在直覺上就全部為假。但問題在于，想要ㄧ致地將下標給予這兩個語句是不可能：我們必需將每個人所說「為真」全部給予一個比對方所說「為真」還要高下標，而這是一件不可能事情。正統(tǒng)路徑告訴我們怎樣去定義L1、L2、…、Ln中每一個有限階層語言，也告訴我們怎樣去定義「真1」、「真2」、…、「真n」中每一個有限階層真述詞，但正統(tǒng)路徑缺乏一個清楚理論告訴我們怎樣去定義一個超出有限（transfinite）階層語言（如L）和其中真述詞（如「真」），所以正統(tǒng)路徑缺乏了數(shù)學上可欲高度通則性和普遍性。正統(tǒng)路徑無法確保我們說：在一個階層語言里，為真語句（不管是第多個階層真）一定會是「有依據(jù)」（grounded）語句。（所謂一個「有依據(jù)語句」，我們能夠臨時將之想作是：其真假能夠由非語意事實來決定語句。相關(guān)這個概念細節(jié)，詳見下一節(jié)中說明。）事情之所以如此，那是因為在理論上我們能夠有這么一系列、無窮多個語言L0,L1,L2,…是這么：其中每一個語言Ln全部包含了「在Ln+1為真」這么述詞。這一序列語言似乎能夠產(chǎn)生在直覺上能夠被稱為「真」、但卻是沒有依據(jù)語句。我認為Kripke（1975）對于「正統(tǒng)路徑」這幾點批評是很中肯，而其中第一點和第二點尤其含有殺傷力。但更為關(guān)鍵是，正統(tǒng)路徑并不能給我們一個滿足實質(zhì)合適性要求、一致或非瑣碎（non-trivial）、有相關(guān)自然語言真理理論。部份為了提供一個這么真理理論，Kripke和以后哲學家們分別采取了兩種不一樣解悖方案：弗完備解悖方案和弗一致解悖方案。以下我先從弗完備解悖方案開始說起。弗完備解悖方案：以Kripke及Field為例在批評正統(tǒng)路徑同時，Kripke（1975）也提出了一個通常被稱作「固定點理論」（fixedpointtheory）想法。和Kripke同時提出固定點理論人還有R.L.Martin和和Kripke同時提出固定點理論人還有R.L.Martin和P.W.Woodruff（1975）。但為了簡單起見，我將省略說明她們兩人共同見解。使用固定點論證去證實：為了要能夠一致性地談論某個語言L中語句是否為真，我們并非總是（如同Tarski和正統(tǒng)理論家所認為）需要使用一個較L更為豐富、或較L在階層上來得更高后設語言不可；很多三值或多值語言本身便能夠包含自己真述詞而不需要劃分層級，替這么一個多值豐富語言提供一個一致性真理定義仍然是可能。提供了一個數(shù)學上工具，使得我們能夠更為嚴謹?shù)厝ソ缍ā赣幸罁?jù)」（groundedness）這個概念，并所以為「真理是依據(jù)在非語意事實之上」這個直覺想法提供一個為更嚴謹說明。在深入說明Kripke這兩項成就之前，讓我先引一段Kripke（1975）話來對「有依據(jù)」這個概念作一個直覺上說明：…通常而言，假如一個語句…斷說了某一集合C中語句（全部、部分或大部分…）為真，那么，一旦C中語句真假能夠被確定，該語句真假也就能夠被確定。假如有些C中語句包含到真理概念，它們真假則需深入透過確定其它語句真假來加以確定。假如這么程序最終將停留在不包含真理概念語句上，則起初那個陳說真假就能夠被確定，而我們也就稱那個起初語句為「有依據(jù)」；不然話，我們就稱它為「沒依據(jù)」。直覺上來說，一個有依據(jù)語句是能夠在最終透過非語意事實（不包含語意「指涉」、「滿足」、「真假」等概念事實）去決定其真假語句，而一個沒有依據(jù)語句則不能在最終透過非語意事實去決定該語句真假。前者例子如「『雪是白』是真」和「『「雪是白」是真』是真」這么語句，后者例子如（說謊者）和以下（老實人）（TruthTeller）這么語句： （老實人）（老實人）是真。（老實人）這個語句特征在于：沒有任何非語意事實足以決定該語句真假值；或說，不管我們假設它為真或假，這么假設全部兼容于全部非語意事實。Kripke（1975）基礎見解是：只有有依據(jù)語句才是有真假可言語句，而像（老實人）及（說謊者）這種沒有依據(jù)語句則全部沒有真假。但假如沒有依據(jù)語句并沒有真假可言，理論上我們便應該采取一個許可真值鴻溝三值語言去處理包含了（說謊者）語句語意悖論。這么語言通常許可既不為真也不為假語句，而排中律在這么語言中也并非普遍地為真。因為排中律在很多三值（及多值）語言中并不成立，所以這么三值（及多值）語言將能夠有效地阻斷前一節(jié)中所提到關(guān)鍵論證。Kripke（1975）關(guān)鍵成就之一就在于她證實了：有部分三值語言從現(xiàn)在起，我將像Gupta（）一樣將一個語言L看作是一個三位有序序列L=<L,M,v>，其中，L是L語法，從現(xiàn)在起，我將像Gupta（）一樣將一個語言L看作是一個三位有序序列L=<L,M,v>，其中，L是L語法，M是L一個模型，而v則是一個賦值架構(gòu)（valuationscheme），亦即對L中連接詞語意說明讓我們假設我們有兩個語言Ｌ和L+是這么：L是一個初階語言，其中包含了””,“”,“c1”,“c2”…”cn”、和L+中每一個語句標準名稱（我們假設L使用單括號名作為語句標準名稱在以下討論中，雙括號是后設語言中符號，而單括號則是對象語言中符號。）作為L中個體常數(shù)。另外，L也包含了”F1”,“F2”,…”Fm”這多個一位述詞將個體常數(shù)和一元述詞數(shù)量限制為有限多個，這對于以下證實來說并非必需；一樣地，將述詞限制為只有一元述詞，這對于以下證實來說也非必需。但這么限制將會使得下述說明變得輕易得多。、和左右括號、”x1”,“x2,”…這些個體變數(shù)、”~”、”&”、””、和””等等這多個邏輯符號。L+和L字匯幾乎一樣，但多了”T”這個一位述詞（我們目標是去將”T”解釋成「在L+中為真」這個述詞，并所以讓L+成為一個夠豐富語言）。L和L+文法規(guī)則以下：任何一個一位述詞以后接著一個個體變量或常數(shù)全部是一個式子（formula）；任何一個式子之前接著”~”或”xi”（對于任何iN）也全部是一個式子；而假如和是兩個式子，則(&)或()仍然是一個式子。在L和L+中，一個所謂「語句」（在以下討論中，雙括號是后設語言中符號，而單括號則是對象語言中符號。將個體常數(shù)和一元述詞數(shù)量限制為有限多個，這對于以下證實來說并非必需；一樣地，將述詞限制為只有一元述詞，這對于以下證實來說也非必需。但這么限制將會使得下述說明變得輕易得多。讓我們假設L是一個經(jīng)過解釋（interpreted）語言，而L+則是一個部份被解釋語言。一個對L或L+解釋或模型必需要指定兩件事情：D和I；其中，D是一個非空論域，而I則是對于每一個非邏輯字詞（名稱和述詞）指稱說明。我將假設L有一個特定模型M=<D,I>，其論域D里包含了L+中每一個語句和這個世界里每一個人（至于它們還包含些什么事物，則不是一件關(guān)鍵事情）。我還將假設，該模型Ｍ中說明I將每一個L+語句標準名稱”’p’”全部解釋成指稱”p”這個語句（舉例來說，在這么了解下，”’F1’”將指稱”F1”這個語句），并將“c1”解釋成指稱王文方這個人，而將””和“”這兩個個體常數(shù)解釋為分別指稱”~T”,“T”這兩個語句；直覺上，在這么解釋中，””是一個說自己不為真語句名字，所以是一個「說謊者」，而“”則是一個說自己為真語句名字，所以是一個「老實人」。（至于其它個體常數(shù)怎樣被解釋，則不是一件關(guān)鍵事情。）我還假設L中每一個述詞在I說明之下也全部得到了一個特定解釋。對于一個述詞”F”作出一個特定解釋也就是對之指定D中一對沒有交集兩個集合序?qū)?lt;S,S’>，前者被稱為是”F”這個述詞外延（extension），也就是”F”這個述詞真于（trueof）對象所形成集合，后者則被稱為是”F”這個述詞反外延（anti-extension），也就是”F”這個述詞假于（falseof）對象所形成集合。假如一個D中事物d并不落于”F”外延或反外延中，”F”便既不真于d亦不假于d。因為L中每一個非邏輯字詞在M中全部有了一個明確說明（讓我們假設I將”F1”解釋為真于全部人，而假于其它東西；其它述詞我們則不用管），所以，L是一個被M完全解釋了語言；而這個對于L完整解釋M，同時也是一個對L+部份解釋：除了”T”這個述詞以外，該解釋同時說明了L+中每一個非邏輯字詞指稱。假如，除了M解釋之外，我們還對”T”這個述詞外延和反外延作出某個特定說明，比方說，讓”T”外延和反外延分別等于D某個子集合A和B（A和B沒有交集），那么，M加上這個特定、對于”T”說明就會是對L+一個完整解釋或模型，我將稱這么解釋或模型為M+<A,B>。在一個強K3語言中，多種語句真假值是這么決定：(i)假如”F”是一個一位述詞，而”c”是一個個體常數(shù)或語句名稱，那么，”Fc”為真(假)若且唯若”c”所指稱事物屬于”F”(反)外延；不然話，”Fc”便既不為真也不為假。(ii)由真值函數(shù)連接詞連接了一或兩個語句所形成復雜語句，系以下述方法去決定其真假值（在以下有相關(guān)”&”和””兩個真值表中，左方直行代表是該復雜句左邊語句真假值，上方橫列代表是該復雜句右邊語句真假值，”t”代表真，”f”代表假，”n”則代表既不為真也不為假）： p~p &tnf tnf tf ttnf ttnf nn nnnf ntnn ft ffff fttt(iii)假如”xi”對于論域D中全部事物來說全部為真，那么，”xi”便為真；假如”xi”對于論域D中某個事物來說為假，那么，”xi”便為假；而假如”xi”對于論域D中有些（但非全部）事物來說為真，卻不對D中任何事物來說為假，那么，”xi”便既不為真也不為假。顯然，在經(jīng)過M解釋以后，L中每一個語句全部有了一定真假值（真、假、或既不為真也不為假）。但L是一個不包含自己真述詞語言：在語法上，它缺乏一個企圖去表示「在L中為真」述詞；在語意上，我們也能夠假設：在前述M解釋下，沒有任何一個L述詞外延會剛好是全部L中真語句所形成集合，也沒有任何一個L述詞反外延會剛好是全部L中假語句所形成集合；所以，L并不是一個我們真正關(guān)心語言。我們關(guān)心是像L+這么語言：它在語法上包含了一個企圖去表示「在L+中為真」述詞”T”；而我們目前問題在于：我們是否可能將之前解釋M擴展成一個完整、對于L+解釋M+<A,B>，并使得A和B（也就是”T”這個述詞外延和反外延）剛好分別是L＋中全部真語句和L+中全部假語句所形成集合？假如這件事情是可能，那么，”T”在M+<A,B>這個解釋下便會是L+這個夠豐富語言真述詞，而我們也就完成了我們使命。但問題是：這么解釋可能嗎？假如可能，它怎樣可能？Kripke（1975）論文關(guān)鍵性就在于：該論文不僅證實了，對于一個像L+這么強K3語言來說，將”T”解釋成為L+真述詞總是可能；它還額外告訴我們兩件事情：（1）這么解釋要怎樣建構(gòu)起來；相較而言，Martin和Woodruff(1975）即使也證實了這么解釋是可能，但她們卻沒有告訴我們這怎樣可能。和（2）這么結(jié)果怎樣可能推廣到其它三值或多值語言上。在說明這兩點之前，讓我們先看一下強K3語言一個特征：單調(diào)性（monotonicity）。跟隨Gupta（），讓我們先定義一個介于兩個述詞解釋之間關(guān)系以下：對于任意一個述詞F任意兩個解釋<A,B>和<C,D>來說，<A,B><C,D>若且唯若ＡＣ而且BD。（我們能夠?qū)ⅰ?lt;A,B><C,D>”讀成「<A,B>這個對于F解釋比<C,D>這個對于F解釋來得弱」。直覺上，當<A,B>這個解釋比<C,D>來得弱時，在前一解釋中為Ｆ事物在后一解釋中也是Ｆ，而且，在前一解釋中不是Ｆ事物在后一解釋中也不是Ｆ；但反之則無須定。）現(xiàn)在，我們能夠定義一個介于任意兩個含有相同論域模型M1＝<D,I1>和M2＝<D,I2>之間關(guān)系以下：M1M2若且唯若（a）M1和M2對于述詞之外其它語詞（常數(shù)、函數(shù)名等等）所作出解釋完全相同；（b）對于每一個述詞F來說，I1對于Ｆ所作出解釋全部弱于I2對于Ｆ所作出解釋；亦即，對于每一個述詞F來說，I1(Ｆ)=I2(Ｆ)。（直覺上來說，當M1M2時，前者是一個比后者來得弱解釋。）現(xiàn)在，我們能夠來說明什么是單調(diào)性了。一個語言是單調(diào)語言，若且唯若對于該語言任意兩個解釋M1和M2來說，假如M1M2，那么，任何在M1解釋下為真語句在M2解釋之下也會為真，而且任何在M1解釋下為假語句在M2解釋之下也會為假。（直覺上，當一個語言L含有單調(diào)性時，對該語言較強解釋會比較弱解釋包含更多真理和假理。）我們能夠透過數(shù)學歸納法證實，每一個強K3語言全部是一個含有單調(diào)性語言。相較而言，Martin和Woodruff(1975）即使也證實了這么解釋是可能，但她們卻沒有告訴我們這怎樣可能。我們也能夠說，三個段落以后函數(shù)是一個在下述意義下單調(diào)函數(shù)：對于任何A,B,C,D來說，假如<A,B><C,D>，那么，(<A,B>)(<C,D>)?，F(xiàn)在，我們便來看看怎樣將L+中述詞”T”解釋成為該語言真述詞。Kripke（1975）教了我們一個反復建構(gòu)方法，方便去建構(gòu)出這么一個解釋。在建構(gòu)最初階段—階段0—中，我們將L+解釋成M+<S0,S0’>=M+<,>。換句話說，我們將”T”解釋成：既不真于任何語句和事物，也不假于任何語句和事物。即使在這個階段中我們將”T”解釋為不真于任何事物，但在該解釋下，仍然有很多語句為真，舉例來說，”F1c1”和”TF1c1”便是如此，讓我們稱全部這些在M+<,>解釋下為真語句所形成集合為S1。一樣地，即使M+<,>將”T”解釋為不假于任何事物，但在該解釋下仍然有很多語句為假，舉例來說，”~F1c1”和”T&~F1c1”便是如此，讓我們稱全部這些在M+<,>解釋下為假語句所形成集合為S1’。除了上述這兩類語句之外，其它語句在M+<,>解釋下則全部是既不為真也不為假語句，比方來說，”T”、”T”、”~T”、”~T”、”T’F1c1’”、”~T’F1c1’”等等便全部是如此。顯然，S0S1，但S0S1。一樣地，S0’S1’，但S0’S1’。因為S0S1而且S0’S1’，所以，將”T”解釋成<S0,S0’>并不能使得”T”成為L+在這個解釋下真述詞；但我們卻能夠以后進行到下一個階段—階段1—解釋。在階段1中，我們將L+解釋成M+<S1,S1’>。換句話說，我們將”T”解釋成真于前一階段中真語句，而假于前一階段中假語句。即使我們將”T”作了如此解釋，不過在M+<S1,S1’>解釋下，我們將會發(fā)覺，”T”仍然不會是L+在這個解釋下真述詞。事情之所以如此，那是因為在M+<S1,S1’>解釋下，即使在前一階段中為真語句仍然會在這個新解釋下為真（而這是因為之前所提到單調(diào)性使然），但卻會有更多語句—比方來說，”T’F1c1’”和”T’TF1c1’”—在這個新解釋下成為真語句；讓我們稱全部這些在M+<S1,S1’>解釋之下為真語句所形成集合為S2。一樣地，即使在前一階段中為假語句仍然會在這個新解釋下繼續(xù)為假（而這一樣是因為之前所提到單調(diào)性使然），但卻會有更多語句—比方來說，”T’~F1c1’”和”T’T&~F1c1’”—在這個新解釋下成為假語句；讓我們稱全部這些在M+<S1,S1’>解釋下為假語句所形成集合為S2’。（而且，一如前一個階段，在M+<S1,S1’>解釋下，仍然有很多語句會繼續(xù)是既不為真也不為假語句，比方來說，”T”、”T”、”~T”、”~T”、”T’T’”等等便全部是如此。）顯然，S1S2，但S1S2。一樣地，S1’S2’，但S1’S2’。因為S1S2而且S1’S2’，所以，將”T”解釋成<S1,S1’>一樣不能將之解釋成為L+在這個解釋下真述詞；但我們還能夠由此進行到下一個階段—階段2—解釋。在階段2中，我們將L+解釋成M+<S2,S2’>…等等。我們能夠一直反復這么操作，一直到無窮階段。在一個無窮階段—比方說，在（或+等等）階段中，我們能夠?qū)+解釋成M+<S,S’>，其中，S是將全部之前各階段中Si聯(lián)集起來結(jié)果，而S’則是將全部之前各階段中Si’聯(lián)集起來結(jié)果。因為每一個階段中真理和假理全部只可能比前一個階段中真理和假理來得更多，而不可能來得更少（因為強K3語言含有單調(diào)性），所以這一序列對于”T”解釋只有可能使得”T”外延和反外延連續(xù)地增加，絕無可能使之在任一階段中變得比以前降低?，F(xiàn)在，讓我們問一下這個緊要問題：在這一序列解釋M+<S0,S0’>、M+<S1,S1’>、…、M+<S,S’>、…、M+<S+,S+’>、…當中，有沒有可能每一個對于”T”解釋<Si,Si’>全部是這么：Si并不等于在M+<Si,Si’>之下為真語句集合，而Si’也不等于在M+<Si,Si’>之下為假語句集合，所以對于”T”解釋<Si,Si’>并未能將之解釋成L+在該解釋下真述詞？假如這是可能，那么，我們?yōu)長+建構(gòu)一個真述詞期望就落空了。不過，稍微想想，我們便會知道這是不可能。這件事之所以不可能，那是因為L+語句只有可數(shù)無限多個，而我們解釋階段卻能夠有不可數(shù)無限多個階段。因為我們強K3語言L+含有單調(diào)性，所以，假如我們所設想情況是可能，那么，L＋中為真及為假語句將會有不可數(shù)無限多個，但這抵觸了L+中語句只有可數(shù)無限多個事實，所以這個設想中情況是不可能。所以，在這一序列解釋當中，一定最少有一個解釋M+<S,S’>是這么：S剛好等于在M+<S,S’>之下為真語句集合，而S’也剛好等于在M+<S,S’>之下為假語句集合。（而在該解釋以后每一個解釋M+<S,S’>也全部是這么：S剛好等于在M+<S,S’>之下為真語句集合，而S’也剛好等于在M+<S,S’>之下為假語句集合。）假如我們將Ｌ+中”T”解釋成這么<S,S’>（或任何以后<S,S’>），那么，”T”就會是L+這個語言在該解釋下真述詞。到這里為止，Kripke算是完成了她第一個目標：使用固定點論證去證實說，為了要能夠一致性地談論某個語言L中語句是否為真，我們并非總是需要使用一個較L更為豐富、或較L在階層上來得更高后設語言不可；一個像L+這么三值語言便能夠包含自己本身真述詞，而無須定造成矛盾。像前述M+<S,S’>（或以后任何M+<S,S’>）這么解釋，又叫一個固定點（fixed-point）解釋。通常性地說，對于任何論元X和任何一位函數(shù)f來說，假如f(X)=X，則X就叫做f一個固定點。有些一位函數(shù)完全沒有任何固定點可言，如x+3這個函數(shù)；有些一位函數(shù)則只有一個固定點，如x2這個函數(shù)；但也有些一位函數(shù)有不只一個固定點。我們在前三個段落中所說反復建構(gòu)方法，其實定義了一個附加于M、從”T”多種解釋到”T”多種解釋一個函數(shù)（這么函數(shù)通常被稱為”kapa-跳躍”（-jump））：對于任何一個附加于模型Ｍ、對于”T”解釋<Si,Si’>來說，(<Si,Si’>)=<Sj,Sj’>，而其中Sj是全部在Ｍ＋<Si,Si’>解釋之下為真語句集合，而Sj’則是全部在Ｍ＋<Si,Si’>解釋之下為假語句集合。Kripke上述建構(gòu)法顯示說，該函數(shù)最少有一個固定點。實際上，我們能夠深入證實說：函數(shù)有不只一個固定點，而在它全部固定點中，上述<S,S’>是其中最小一個固定點；換句話說，對于任何其它固定點<S,S’>來說，SS而且S’S’。相對地來說，馬丁及伍卓夫(1975）所證實是，在一個弱K3語言上，我們能夠定義出一個類似函數(shù)，而這個函數(shù)會有一個最大（maximal）固定點；亦即，沒有常義延伸固定點。在最小固定點解釋下，L+中很多語句為真（如”F1c1”、“T’F1c1’”、“T’T’F1c1’’”、“T’T’T’F1c1’’’”等等），很多語句則為假（如”~F1c1”、“~T’F1c1’”、“~T’T’F1c1’’”、“~T’T’T’F1c1’’’”等等），但也有很多語句是既不為真也不為假語句（如”T”、”T”、”~T”、”~T”、”T’T’”等等）。直覺上，在最小固定點解釋之下，”T”外延包含了一切描述了非語意事實語句、和由這些語句和T雙條件句能夠推論出來語句，而”T”反外延則包含了一切描述了非語意非事實語句、和由這些語句和T雙條件句能夠推論出來語句；所以，它們在直覺上全部是「有依據(jù)」語句。相對地來說，馬丁及伍卓夫(1975）所證實是，在一個弱K3語言上，我們能夠定義出一個類似函數(shù)，而這個函數(shù)會有一個最大（maximal）固定點；亦即，沒有常義延伸固定點。上述這些有相關(guān)固定點想法一個附帶好處是：我們能夠在其中嚴格地域分像（說謊者）這么語句和像（老實人）這么語句。直覺上來說，二者全部是沒有依據(jù)語句（而它們在Kripke理論中確實也全部是沒有依據(jù)語句），但（說謊者）會造成吊詭結(jié)果，而（老實人）則不會。為了區(qū)分這二者，Kripke定義「吊詭」（paradoxical）語句以下：吊詭語句在任何固定點解釋中全部是既不為真也不為假語句。因為（說謊者）”~T”在全部固定點解釋中全部既不為真也不為假，所以它是吊詭語句；但（老實人）”T”則不是，”T”在有些固定點解釋下為真，在有些固定點解釋下為假，而在有些固定點解釋（如最小固定點）下則是既不為真也不為假。我們能夠很輕易便能夠看出：怎樣去將上述這些對于L+這個特殊強K3語言研究結(jié)果加以深入地推廣。首先，除了”T”之外，這個語言里包含些什么樣述詞或個體常元這件事情，對于證實上述結(jié)果來說其實是沒差異。其次，任何一個三值或多值語言，只要它含有單調(diào)性（或說，只要我們在其上所定義-跳躍是單調(diào)，這么語言包含弱K3及LP），我們?nèi)磕軌驗橹C實出類似上述結(jié)果。最終，將這些結(jié)果限制在初階語言之上似乎也是無須要；一樣證實似乎一樣能夠用在比方說高階語言、帶有通則化量化詞語言、和模態(tài)語言之上。我說過，對于同一個語言，比方說L+，我們能夠作出好多個不一樣固定點解釋；在每一個固定點解釋下，”T”全部是該語言在該解釋之下真述詞。但在這很多不一樣解釋當中，有沒有哪一個才是「正確」解釋呢？Kripke（1975）傾向于將最小固定點解釋看成是正確解釋。但這么解釋有一個小問題：在該解釋下，像”x1(Tx1Tx1)”這種直覺上為真語句（和很多在古典邏輯中是邏輯真理語架例子語句）變成了一個既不為真也不為假語句，而這似乎違反了我們直覺。不過，這個問題或許不是一個太大問題：假如我們采取vanFraassen超評定（supervaluation）多值邏輯，那么，我們便能夠既采取最小固定點解釋，又讓”x1(Tx1Tx1)”這種直覺上為真語句（和任何在古典邏輯中是邏輯真理語架例子語句）全部變成真語句但但Kripke（1975,注30）說，假如我們認為句子之所以不真不假，那是因為它們并不表示命題緣故，那么，使用vanFraassen理論去處理這個小問題得作法就會變得不太有吸引力。Kripke構(gòu)想真正難以克服問題似乎在于（Gupta,）：K1.在一個像L+這種含有固定點解釋強K3語言中，假如我們將”pq”這么語句了解為只是在縮寫”(pq)&(qp)”這么句子，那么，我們便能夠很輕易地證實：并不是每一個含有”T’p’p”這種形式語句在最小固定點解釋下全部會為真。實際上，很多含有這種形式語句（如”T’~T’~T”）在任何一個固定點解釋下全部是既不為真也不為假語句。這個結(jié)果之所以會產(chǎn)生，關(guān)鍵是因為”pp”這種形式語句在L+中甚至不是邏輯真理緣故。實際上，強K3實際上，強K3語言中沒有任何邏輯真理可言。但假如”pp”這種形式語句在L+中全部是邏輯真理，那么，因為在固定點解釋中任何一個語句”p”和”T’p’”全部會有相同真假值，所以每一個含有”T’p’p”這種形式語句全部將會在最小固定點解釋下為真。K2.假如我們想要引介一個比較強真值函數(shù)連接詞””到前述L+中，以使得全部含有”pp”這種形式語句全部成為邏輯真理，并所以處理上述1中所提到問題，（一個能夠考慮選項是下述這一個俗稱為L3邏輯當中函數(shù)：(t,t)=(f,f)=(n,n)=t；(f,t)=(t,f)=f；在其它情況下，值為n），那么，我們便會發(fā)覺：假如這么一個強化后語言滿足一定條件這些條件包含：（1）該語言中最少有一個為假語句A；（2）該語言中有一個名字”b”指稱著”A這些條件包含：（1）該語言中最少有一個為假語句A；（2）該語言中有一個名字”b”指稱著”ATb”這個語句；和（3）該語言中有一個名字”c”指稱著”TbTc”這個語句。滿足這些條件語言將會是不一致；有相關(guān)這個證實，請參見Gupta（,p.100）。K3.有些含有固定點解釋語言不僅在邏輯資源上是很貧乏，它們在語意上資源也是很貧乏。比方來說，即使一個像L+這么強K3語言能夠擁有自己真述詞和假述詞（我們能夠這么定義一個假述詞”F”：”F’p’”=df”T’~p’”），但它卻不可能擁有「在L+中既不為真也不為假」這么述詞，不然話，該語言就會招致著名「延伸說謊者」（extendedliar）報復。K4.對于一個像L+這種擁有固定點解釋多值語言來說，一個有相關(guān)對象語言和后設語言區(qū)分似乎仍然是無法避免。舉例來說，（說謊者）在L+任何一個固定點解釋中全部是一個既不為真也不為假語句，但這個事實卻無法在對象語言中來加以斷說：在固定點解釋下，對象語言中”~T’~T’&~T’~~T’”這個語句并不是一個真語句。上述這個事實所以似乎只能在L+后設語言中才能加以斷說。但這些缺點仍然不足以讓我們立即對Kripke構(gòu)想宣判死刑。Kripe（1975）證實了，替一個多值豐富語言提供一個一致性真理定義是可能，但她構(gòu)想中強K3語言卻無法滿足Tarski實質(zhì)合適性要求。不過，F(xiàn)ield最近（,）證實說，我們其實能夠有一個一致、比L+或任何K3語言全部來得更含有表示力、滿足Tarski實質(zhì)合適性要求、同時還有著固定點解釋和真述詞三值語言。Field作法是直接替一個像L+這么強K3語言引入一個非真值函數(shù)條件句連接詞””，然后證實這么語言不僅仍然會有一個固定點解釋，而且全部T-雙條件句「T’p’p」在Field所提議語言中，”pq”縮寫了”(p在Field所提議語言中，”pq”縮寫了”(pq)&(qp)”。讓我們假設，我們已經(jīng)將一個初基連接詞””加入到前述L+中，并所以形成L這個語言。除了前述L+文法規(guī)則之外，L還有一個額外文法規(guī)則：假如和是兩個式子，則()仍然是一個式子。Field限制性語意論和前述L+語意論基礎上并無不一樣，但因為L中還有一個額外連接詞””，所以Field必需說明怎樣對一個含有()這種形式條件句來加以賦值。Field限制性語意論企圖透過一系列、無窮多個固定點PK（K是1,2,…,…中任意一個序數(shù)）而對這么條件句加以賦值，而這些固定點之間關(guān)系是這么：每一個固定點PK全部是由某個起始、對于全部條件句賦值SK所建構(gòu)起來，而每個起始點SK怎樣對條件句加以賦值這件事，則視它之前固定點怎樣對語句加以賦值而定。更詳盡地說，S0、S1、…、S…等等這些起始點對于條件句賦值方法是這么決定：基礎階段：對于全部及來說，S0()=n。后續(xù)點（successor）階段：對于任何一個后續(xù)序數(shù)K+1來說，假如PK()PK()，則SK+1()=t；不然話，SK+1()=f。極限（limit）階段：對于任何一個極限序數(shù)l來說，假如有某個jl是這么：對于任何大于j而小于li來說，Pi()Pi()，那么Sl()=t；而假如有某個jl是這么：對于任何大于j而小于li來說，Pi()Pi()，那么Sl()=f；不然話，Sl()=n。給定了一個這么起始點SK以后，我們便能夠依據(jù)之前Kripke所教導我們建構(gòu)方法，從該起始點開始逐步地建構(gòu)出一個對L固定點解釋PK來。而給定了這么一個固定點解釋PK以后，我們也能夠依據(jù)上述方法而決定出下一個起始點SK+1賦值方法來。我們能夠不停地這么繼續(xù)操作下去，以致于無窮。因為這一序列固定點解釋對于很多語句賦值并不完全相同，所以我們還得決定出一個「最終」、對于語句賦值方法來；而Field在這一點上作法是采取了以下約定：對于任何語句來說，假如有任何序數(shù)j是這么：對于任何大于j序數(shù)i來說，在其中賦值全部為t（或全部為f），那么，我們對于最終賦值就是t（或f）；不然話，最終賦值就是n。Field（,）中證實，這一個最終賦值解釋仍然是一個固定點解釋，所以在該解釋之下，L這個語言包含了自己真述詞。但愈加好事情是：在該解釋之下，全部含有「T’’」這種形式T-雙條件句全部為真，而全部””之外連接詞則仍然遵守著原來L+語意論。Field（,）所以證實了，我們其實能夠有一個一致、比L+或任何K3語言全部來得更有表示力、滿足Tarski實質(zhì)合適性要求、同時有著固定點解釋和真述詞三值語言，比如說，L就是一個這么語言。除了滿足Tarski實質(zhì)合適性要求之外，上述L還有部分額外優(yōu)點：首先，當和是任何兩個遵守排中律語句時（換句話說，當”v~”和”v~”皆為真時），””為真若且為若””為真；換句話說，在遵守排中律語言脈絡中，””能夠直接被看成是””，而””也遵守著””在古典邏輯中所遵照全部規(guī)律。其次，當和是任意兩個語句時，””仍然遵守著””在古典邏輯中所遵照很多可欲規(guī)律，如MP和Contraposition等等。第三，多種形式Contraction規(guī)則，如()|(())()(())等等，在最終解釋下全部不是一個普遍成立規(guī)則，所以這么一個解釋將能夠有效地阻擋Curry悖論產(chǎn)生。最終，我們能夠在L中定義一個連接詞”D”以下（其中，””是任意一個肯定為真語句）： D=df()而一旦我們?nèi)绱硕x”D”以后，我們將會發(fā)覺，”D”總是蘊含”T’’”，而且，即使在前述最終解釋當中，”~T’~T’&~T’~~T’”仍然不是一個為真語句，但”~DT’~T’&~DT’~~T’”卻在這么解釋中為真；我們所以能夠?qū)⒑笳呖醋魇窃跀嘌浴福ㄕf謊者）既不確定地為真也不確定地為假。」Field在提出她弗完備理論時，除了企圖用它來處理語意悖論之外，其實還有一個目標：想要為語意悖論和連鎖悖論（soritesparadox）提出一個共同處理之道。不過，在我看來，這個目標未必見得是一個可欲目標：除非我們能夠先強而有力地論證說，語意悖論和連鎖悖論產(chǎn)生病根是相同，不然話，這么目標將會有誤導哲學家之嫌。不管從哪首先來看，F(xiàn)ield（,）弗完備理論全部比Kripke弗完備理論來得更令人滿意，但問題是：Field理論在多大程度上處理了前述Kripke理論中困難呢？毫無疑問，因為全部T-雙條件句在其中均為真，F(xiàn)ield理論所以處理了前述Kripke理論中第一個問題，亦即K1，但K2-K4中所提到那些問題呢？L這個語言仍然不許可有排除性否定連接詞或L3中連接詞””，不然話，該語言就會失去固定點解釋。一樣地，L這個語言也不許可有「在L中既不為真也不為假」這么述詞，不然話，「延伸說謊者」就會再度報復該語言；所以L仍然是一個在邏輯資源和語意資源兩方面全部相對貧乏語言。至于K4，盡管我們能夠在L這個語言里定義出前述”D”，并所以能夠在對象語言中止說「（說謊者）既不確定地為真也不確定地為假」這么語句，但問題是：有些后設語言里能夠斷說事情—如「（說謊者）既不為真也不為假」—仍然不能夠在對象語言里加以斷說，Tarski理論中語言階層所以仍然如鬼魅般地糾纏著提倡弗完備理論哲學家。或許是因為上述這種種不太令人滿意原因，現(xiàn)代一部分哲學