廣東省深圳市羅湖區(qū)部分學(xué)校2024屆高三年級(jí)上冊(cè)開(kāi)學(xué)模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023—2024學(xué)年高三質(zhì)量檢測(cè)（一）

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，正確粘貼條形碼；

2.作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)答案的選項(xiàng)涂黑：

3.非選擇題的答案必須寫(xiě)在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改

液；不按以上要求作答無(wú)效；

4.考試結(jié)束后，考生上交答題卡.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,已知集合A={*"叫，B={-2,-l,0,1,2}則AF=（）

A.{θ,l,2}B.{1,2}C.{-2,—l,θ}D.{-2,—1}

【答案】C

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出指數(shù)不等式的解集，再利用集合交集的定義求解.

【詳解】由已知得A={R2'≤1}={HX≤0},

所以ACB={-2,—1,0},

故選：C.

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足zi=l+2i,則5的虛部為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得z,根據(jù)共物復(fù)數(shù)和虛部的定義可得到結(jié)果.

【詳解】由zi=l+2i得：z=1+方=0+3）i=2—i,

??z

/.z=2+i,J彳的虛部為L(zhǎng)

故選：A.

3.已知向量α,8滿足4?l(4+砌，b1(a+3b),則向量.，〃的夾角為()

【答案】D

【解析】

【分析】由向量垂直可得α?0=一37，忖=26慟，根據(jù)平面向量的夾角公式求解即可.

【詳解】因α±(a+4?),所以α?(α+4^)=0,即1+必⑦=。①.

因?yàn)閎_L(a+3b),所以Z??(a+3/?)=O,即α?)+3z∕=O②.

由①②可得—4m=∕=3z/,所以忖=2百陣

a?h-3h?/?

H=Hr時(shí)F

因?yàn)?α,"∈[0,π],所以《力)=生.

故選:D.

4.已知函數(shù)/(χ)=∣n(e“'+l)-2為奇函數(shù),則。=()

X2

A.?B.2C.-D.3

23

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得到/(-力+/(力=0,解方程，求出答案.

【詳解】由題意得尤HO,/(-χ)+∕(χ)=0,即ln(e"'+l)_*n(e“\+l)_3=0,

-X2X2

即In―—+ln(eαr+l)=3%,

e^at+l''

Qax+1

In—____=3

所以In?一r?,即InettV=3x，故OX=3x,

―；+1

解得α=3.

故選：D

5?i'o≥√5',≡l40c.:/+V=I與圓°?：(》+。)2+(y一2")2=36存在公切線”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用內(nèi)含的定義以及充分而不必要條件的定義求解.

【詳解】當(dāng)兩圓無(wú)公切線時(shí)，兩圓內(nèi)含，

圓G的圓心為（0,0）,半徑4=1,圓的圓心為（一α,2α）,半徑為4=6,

所以兩圓的圓心距為d=CC2I=yja2+4a2=√5∑7,

即Y5a2<∣6-1|>解得-舊<a<?/?，

所以當(dāng)兩圓有公切線時(shí)Q≥下或α4-右，

所以α≥&能推出圓Cl和C2有公切線，而圓C1和C2有公切線不能推出a≥8

所以“G2店”是“圓a：/+y2=］與圓C2：（χ+∕+（y-2a）2=36存在公切線”的充分而不必要條

件，

故選：A.

6.已知函數(shù)/（x）=Cos?x+o）的圖象大致如圖，則/［方工）=（）

A.IB.也C.3D,1

222

【答案】C

【解析】

2

【分析】先得到函數(shù)最小正周期，求出。=§,代入（2兀,一1）求出。，得到函數(shù)解析式，代入求解.

【詳解】由題意得LT=U兀-9兀=3π,解得丁=3兀，

2442

當(dāng)?υ>0時(shí)，—=3兀，解得ω=-,

ω3

cos∣x.

故/(X)=+

將(2π,T)代入可得，CoS(I?π+e]=-l,

41

故g?7i+°=兀+2&?；餰Z,解得0=—§兀+2E,ZEZ,

,?z?(2IC7)(2兀、

則/(x)=cos—X——π+2κπ=cos—x----,

2兀2

當(dāng)69<0時(shí)，=3兀，解得。=，

-ω3

cos[-∣x^

故/(X)=+將

COS-I-.

（2兀,一1）代入可得,

41

故一飛兀+夕=-π+2?πΛeZ,解得φ=-π+2^π,?GZ,

Z1_.I(Z兀)Z兀、

則/(x)=CoS——%+—π+2λrπ=cos——x+-=CoS(z—x----),

_71

一2

故選：C

7.數(shù)列｛4｝中，q=2,?=3,αn+l=anan+2,則小通=()

2

A.2B.3C.-D.

33

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可證得數(shù)列｛4｝是以6為周期周期數(shù)列，由/024=4可求得結(jié)果?

【詳解】由4=2,4=3,a"+[=αflαzι+2知:??≠0；

1

由％+ι=4A+2得:an+2=an+lan+3,.?anan+3=l,即

1,?

???4+6=—=%，即數(shù)列｛%｝是以6為周期的周期數(shù)列，???4θ24=。337、6+2=4=3?

%+3

故選：B.

8.已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為10,高為8,則該圓錐內(nèi)切球的表面積與圓錐的表面積之比為（）

3313

A.-B.—C.-D.—

58313

【答案】B

【解析】

【分析】先計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，從而得到圓錐的表面積，再求出內(nèi)切球的半徑和表面積，得到答案.

【詳解】由題意得∕=10M=8,設(shè)圓錐的底面圓半徑為，，則「=Ji（）2-82=6,

則圓錐的的側(cè)面積為兀/7=60兀,故圓錐的表面積為πz7+π∕=60π+36π=96π，

設(shè)圓錐的內(nèi)切球球心為〃，過(guò)點(diǎn)“作“M，AC于點(diǎn)M,設(shè)內(nèi)切球的半徑為A,

則HM="O=R,

CHRS-R

因?yàn)镃"=8-R,所以典一,即ππ一二-----

AOAC610

解得R=3,故內(nèi)切球的表面積為4πK=36兀，

則圓錐內(nèi)切球的表面積與圓錐的表面積之比為您=-.

96π8

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得O分.

9.若隨機(jī)變量XN（10,22）,則（）

A.P(X≥10)=0?5B.P(XK8)+P(XKI2)=1

C.P(8≤X≤14)=P(10≤X≤16)D.JD(2X+1)=8

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可判斷ABC的正誤；根據(jù)方差的性質(zhì)可知D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A,由正態(tài)分布曲線對(duì)稱性可知：P(X≥1O)=O.5,A正確；

對(duì)于B,P(X≥8)=P(X<12),.?.P(X≤8)+P(X≤12)=P(X≤8)+P(X≥8)=1,B正確；

對(duì)于C,P(8≤X≤14)=2P(10≤X≤14),P(Io≤X≤16)=P(10≤X≤14)+P(14≤X≤16),

又P(14≤X≤16)∕P(10<X≤14),.?.P(8≤X≤14)≠P(10≤X≤16),C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,O(X)=22=4,.?.O(2X+1)=4O(X)=I6,D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)锳,/(x+l)為偶函數(shù)，/(3x+2)為奇函數(shù)，則()

A./(x)的圖象關(guān)于X=I對(duì)稱B.7(x)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱

20

C./(x+4)=∕(x)D,￡/(/)=1

Z=O

【答案】AC

【解析】

20

【分析】根據(jù)偶函數(shù)與奇函數(shù)得到對(duì)稱，并得到周期，結(jié)合以上信息即可得到Z∕(i).

Z=O

【詳解】/(X+1)為偶函數(shù)，

.??/*+1)關(guān)于尤=0對(duì)稱，

???根據(jù)圖像變換/(X)關(guān)于X=I對(duì)稱，故A正確；

/(3x+2)為奇函數(shù)，

.?"(3x+2)關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱，

???根據(jù)圖像變換/(x)關(guān)于(2,0)中心對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

由以上分析得了(x)的周期為4x(2—1)=4,即/(x+4)=f(x),故C正確；

/(x)關(guān)于(2,0)中心對(duì)稱,

.?"(2)=0,/(l)+∕(3)=O,

“χ)關(guān)于X=I對(duì)稱，

.-./(l)?/(?)?θ,/(0)=/(2)=0,

.?./(0)+/(1)+/(2)+/(3)=0,

/（χ）是周期為4的函數(shù),

20

.?.^∕(z?)=0+0+0+0+0+∕(20),

i=0

/(20)=∕(0)=0,

20

???∑"i)=0,故D錯(cuò)誤.

/=0

故選：AC.

22

11.己知橢圓E:=+?^=l（a>0>0）的離心率為左、右焦點(diǎn)分別為士，

F2,上頂點(diǎn)為P,若過(guò)

"且傾斜角為30°的直線/交橢圓E于4,8兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8,則（）

A.直線2與的斜率為-6B.橢圓E的短軸長(zhǎng)為4

UUUlUUli48

D.四邊形APB6的面積為一

C.PFx-PF2=2

【答案】ACD

【解析】

a=2c

【分析】對(duì)于A：根據(jù)離心率可得〈，進(jìn)而可得尸（0,6c）,耳（-GO）,瑪（c,0）,結(jié)合斜率公式運(yùn)

b=?/?e

算求解；對(duì)于B:根據(jù)題意分析可得P,E關(guān)于直線/對(duì)稱，結(jié)合橢圓的定義運(yùn)算求解；對(duì)于C：根據(jù)數(shù)量

積的定義運(yùn)算求解；對(duì)于D:聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求面積即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)橢圓的半焦距為c>0,

_c_1a=2c

因?yàn)?

Q2，解得

b=VJc

a2=b2^c2

可知p(θ,6c),片(―c,0),K(C,0),

直線PF,的斜率為kPF=9C二°=-√3.故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A可知：/p鳥(niǎo)片=60。，且|尸國(guó)=|尸閭，則△「/花為等邊三角形,

由題意可知：即直線/為的角平分線，

ΛBFXF2=30°,

則點(diǎn)P,g關(guān)于直線/對(duì)稱，所以KAB的周長(zhǎng)為8,

則44=8,可得a=2,b=6,c=l,

所以橢圓E的短軸長(zhǎng)為28=26，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)镮PEl=IP閭=α=2,N耳P==60°,

uu??UUir1

所以P耳?PQ=2x2x]=2,故C正確，

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)橹本€/的方程為χ-Gy+l=0,橢圓E方程為上+匕=1,

43

設(shè)Aa,乂),8(孫必)，

X-Gy+1=O

聯(lián)立方程IX2y2,消去X得13)2一60>—9=0,

—T----=1

則A=(-6√i)2-4xl3x(-9)=576>0,可得χ+%=處,χ%=一2，

d

點(diǎn)F2(1,0)直線/的距離為=「+(可=

14848

所以四邊形APB外的面積為SAPBF=2S=2×-×-Xl=-,故D正確;

2ΔΛBF221313

故選：ACD.

12.歐拉是人類(lèi)歷史上最偉大數(shù)學(xué)家之一.在數(shù)學(xué)史上，人們稱18世紀(jì)為歐拉時(shí)代.直到今天，我們?cè)跀?shù)

學(xué)及其應(yīng)用的眾多分支中，常?？梢钥吹綒W拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)乂/cN*)的函數(shù)

值等于所有不超過(guò)正整數(shù)”且與〃互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如。(1)=1,夕(4)=2,則下列說(shuō)法正確的是

()

A.姒15)=夕⑶°(5)B.?∏1>n2,都有

C.方程夕(〃)=〃—1("∈N*)有無(wú)數(shù)個(gè)根D.9C)=6x7"τk∈N*)

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)題意得到夕(3)=2,。(5)=4,夕(15)=8,A正確；B選項(xiàng)，舉出反例；C選

項(xiàng)，當(dāng)〃為素?cái)?shù)時(shí)，滿足e(〃)=〃-l(〃eN*),C正確；D選項(xiàng)，先得到有7和7的倍數(shù)與〃=7"不互

素，利用等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算出個(gè)數(shù)，從而得到。(7).

【詳解】A選項(xiàng)，所有不超過(guò)正整數(shù)3且與3互素的正整數(shù)為1,2,個(gè)數(shù)為2,故°(3)=2,

所有不超過(guò)正整數(shù)5且與5互素的正整數(shù)為1,2,3,4,個(gè)數(shù)為4,故夕(5)=4,

所有不超過(guò)正整數(shù)15且與15互素的正整數(shù)為1,2,4,7,8,11,13,14,個(gè)數(shù)為8,故0(15)=8,

故夕(i5)=e(3)e(5),A正確；

B選項(xiàng)，不妨令4=8,%=7,滿足%>%，但0(8)=4<o(7)=6,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，當(dāng)〃為素?cái)?shù)時(shí)，^(H)=Π-1(Π∈N*),而素?cái)?shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，故方程夕(〃)=〃-l(〃eN*)有無(wú)數(shù)個(gè)

根，C正確；

D選項(xiàng)，因?yàn)?為素?cái)?shù)，所以當(dāng)“=7*時(shí)，只有7和7的倍數(shù)與〃=7"不互素,

即7,14,21,28,7,共有，一-+1=7*^,,

7

所以9（7?）=7J7*τ=6X7*τ伏∈N）

故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知α∈（θ,]],tana=2,Sina+cosα=.

【答案】!^##-75

55

【解析】

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及角所在的象限運(yùn)算求解即可.

【詳解】由1011。=2得5由。=2以）5。，又sin?α+cos?α=1,所以COS2。=（.

因?yàn)棣痢剩é?彳],所以COSa=-?,Sina=,

?2；55

所以Sina+cos0=?^^-+-=-?∕5?

555

故答案為：邁

5

14.fx2+->∣的展開(kāi)式中，V的系數(shù)為_(kāi)__.

IX）

【答案】160

【解析】

【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通式，整理之后令X的次基等于3,即可計(jì)算出產(chǎn)的系數(shù).

【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)可得，第一+1項(xiàng)為=2'C>χ26*',0≤r≤6,r∈N,

令2（6-r）一r=3,可得廠=3；

所以X，的系數(shù)為23χC:=160.

故答案為：160

15.過(guò)拋物線CV=4x焦點(diǎn)F的直線/交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，且AF=3FB,若M為A8的中點(diǎn),

則例到y(tǒng)軸的距離為.

【答案】I

3

【解析】

【分析】作出拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)A、B在/上的射影分別是C、D,連接AC、BD，過(guò)B作BE_LAC于

E.由拋物線的定義結(jié)合題中的數(shù)據(jù)，可算出RtAABE中，得到CoSNSAE,從而得到直線AB的斜率&

值、直線的方程，再與拋物線聯(lián)立，即可得出結(jié)論.

【詳解】作出拋物線的準(zhǔn)線/：》=一1,設(shè)A、8在/上的射影分別是。、D,

連接AC、BD，過(guò)B作BELAC于E

AF=3FB,設(shè)IFBl=〃?，貝IJIAFI=3〃i,

由點(diǎn)A、B分別在拋物線上，結(jié)合拋物線的定義，得

?DB?=?FB?=tn,?AC?=?AF?=3m,

.,.∣AEI=2m

因此，Rt?ABE中，cosZBAE=-,得NB4E=60°

2

所以，直線AB的傾斜角NABt=60°,

得直線AB的斜率k=tan60o=√3.

直線A3的方程為y=G(x-D，代入V=4x,可得3/-IOX+3=0，

…?

尤=3或X=-,

3

3+』e

M為A6的中點(diǎn)，.r.3_5,

???=-^-=3

???加到y(tǒng)軸的距離為

3

故答案為：一

3

16.正方體ABcD-AAGA的棱長(zhǎng)為2,底面ABC。內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)P到直線CG的距離與到平

面ADDiAi的距離相等，則三棱錐P-ABlR體積的取值范圍為.

^41

【答案】§，2

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)P的位置及滿足的條件可求得點(diǎn)p的軌跡是以C為焦點(diǎn)，Ar）為準(zhǔn)線的拋物線在底面

ABel）內(nèi)的一部分，寫(xiě)出其軌跡方程，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系再利用空間向量可求得點(diǎn)P

到平面ABtDi的距離的表達(dá)式，利用點(diǎn)P坐標(biāo)的取值范圍即可求出三棱錐P-AB1D1體積的取值范圍.

【詳解】根據(jù)題意可知，連接PC,在底面ABCD內(nèi)作PElA。于點(diǎn)E，如下圖所示:

由正方體性質(zhì)可知PC即為尸到直線CG的距離，PE為尸到平面ADDiAi的距離,

所以PC=PE；

在底面ABC。內(nèi)，由拋物線定義可知點(diǎn)P的軌跡是以。為焦點(diǎn)，AO為準(zhǔn)線的拋物線的一部分,

截取底面ABCQ，分別以向量。A,。C為乂y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示:

D

X

又正方形邊長(zhǎng)為2,易知拋物線過(guò)點(diǎn)B(2,2),F(O,1),且對(duì)稱軸為y軸,

1

_f4α+b=2Cl———

設(shè)拋物線方程為y=0√+8,代入兩點(diǎn)坐標(biāo)可得〈八，，解得，4

0+0=1

b=l

所以尸的軌跡拋物線方程為y=1χ2+l(0Wx≤2),

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,oc,f>2為％y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示:

則A(2,0,0),β,(2,2,2),D1(0,0,2),所以AB1=(0,2,2),AD1=(-2,0,2),

設(shè)p[m,}∕√+l,θ),平面A4A的一個(gè)法向量為“=(x,y,z),

AB.?n=2y+2z=0

則〈，令z=l,解得x=l,y=T,SPn=(l-1,1)；

AD1?n=-2x+2z=0

AP≡Izn-2,→n2+l,0

1212

IApJ/〃一2—nV—1—ιn~+"2—3

則點(diǎn)P到平面A4A的距離為d=”?〃〔=4='

∣∏∣?/?v?

令y=-1“72+m-3(0≤"7≤2),易得丁6卜3,-2],

--m2+m-3「

所以d=—eMf-√31，

易知在三棱錐P-A5A中，底面A6∣4是邊長(zhǎng)為2近的正三角形,

所以sm=gx2正χ2√∑x亭=2百，

所以三棱錐P—AgR的體積V=gS"4?d=2fd∈

ι—2?

3'，

4

即三棱錐P-AgB體積的取值范圍為§,2.

4

故答案為：§,2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用拋物線定義可求出點(diǎn)尸的軌跡方程，再利用空間向量求出點(diǎn)P到平面Aqq的距

離的表達(dá)式，即可得出其體積的取值范圍.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛α,,｝為正項(xiàng)等差數(shù)列，數(shù)列｛〃｝為遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列，4=1

4=a2-b2=a4-b3=0.

（1）求數(shù)列｛%｝,｛a｝的通項(xiàng)公式;

為奇數(shù),）

（2）數(shù)列｛c,,｝滿足c,=,也,〃為偶數(shù)’求數(shù)列間的前弱項(xiàng)的和?

【答案】（1）4=〃，bn=T-'

⑵3∕+22"+-2

3

【解析】

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列｛d｝的公比為q,然后根據(jù)己知條件列方程組可求出

d,q,從而可求出數(shù)列｛4｝,｛%｝的通項(xiàng)公式;

n,〃為奇數(shù)

(2)由(1)得％=<Cl生/由除，然后利用分組求和法可求得結(jié)果.

2"rtT,〃為偶數(shù)

【小問(wèn)?詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)列｛"｝的公比為q,

因?yàn)閝=l,ɑ?-bi=a2-b2=ai-bi=0,

1+d=qq=?4=2

所以得V1+3』尸叫或《

d=0d=l

因?yàn)閿?shù)列｛4｝為正項(xiàng)數(shù)列，｛a｝為正項(xiàng)遞增數(shù)列,

所以解得4=2,d=l,

n

所以為=1+(〃一I)XI=〃，bn=l×2-'=2'-'

【小問(wèn)2詳解】

〃,“為奇數(shù)

由（1）得c“=<

2"Ln為偶數(shù)

所以數(shù)列｛q,｝的前2項(xiàng)和為豈“=(4+q++。2"-1)+(”2+4+，+偽")

=(1+3++2rt-l)+(2l+23++22n^')

(l+2n-l)n2∣χ(l-4")

~2-1-4

3n2+22π+'-2

3

18.在四棱錐P-ABCf）中，底面A8CE>為正方形，ABLPD

（1）證明：平面B4D_L平面ABC3；

（2）若∕?=P0,ZPDA=GOo,求平面以。與平面PBC夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵叵

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)A3_L平面P4。，即可證出面面垂直；

（2）解法一：取4D中點(diǎn)為0,以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解；

解法二：設(shè)平面布。與平面P8C的交線為/,證明AD〃/,取AO中點(diǎn)為。，取BC中點(diǎn)為M,連結(jié)

PO,PM,OM,可證NOPM為平面心。與平面PBC的夾角，求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

???底面ABC。為正方形，

.,.ABlAD,

又，尸￡＞，ADlPD^D,AD,Pr)U平面辦。，

/.ABJ.平面PAD,

,：ABU平面A8CD,

平面Q4D，平面ABCD.

【小問(wèn)2詳解】

(法一)取4)中點(diǎn)為0,連結(jié)P0,

???在一∕?D中，PA=PD,ZPDA=60°,

：.P01AD,aPAD為等邊三角形.

；平面RLD，平面ABCQ,平面∕?Dc平面ABCZ)=AD,POU平面心。,

二POI平面ABCC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為2,

ΛP(θ,θ,√3),A(l,0,0),B(l,2,0),C(-l,2,0),D(-1,O,O),

ΛPβ=(l,2,-√3),PC=(-l,2,-√3),

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量〃?=(x,y,z),

fPBm=Ox+2y-y∕3z-O

則.，即,廣，

[PC?m=0[-x+2y-?j3z=O

令y=3,則尤=0,Z=2√3，

M=(O,3,2G),

由(1)可知平面心。的一個(gè)法向量”=(0,1,0),

設(shè)平面PAD與平面PBC的夾角為。,

mn3√21

則cosθ

∕77∣∣nV2T×l~1~,

：.平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為上.

7

ΛV

/B

（法二）設(shè)平面心￡>與平面P8C的交線為/,

VBC//AD,ADU平面以。，8C（Z平面％。，

BC〃平面PAD,

又；BCU平面PBC,

ΛBC//l,AD//1,

?.?平面PAD與平面PBC有一個(gè)交點(diǎn)P,

.?./為過(guò)點(diǎn)尸且與BC平行的一條直線，如下圖，

取AO中點(diǎn)為。，取BC中點(diǎn)為連結(jié)尸0,PM,0M,

：底面四邊形ABC。為正方形，。，M分別為A。，BC的中點(diǎn)，

OM//AB,

又：AB平面以。，OM_L平面以。，

?.?/匚平面以/）,二0"3_/,

：在二/HD中，PA=PD,。為A。的中點(diǎn)，

ΛPOLAD,POLl,

又POOM=O,PO,OMU平面以￡>,

平面POM,.?.∕J,PM,

又：AOPM為銳角，；.NOPM為平面PAD與平面PBC的夾角，

設(shè)底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,

在，PoM中，PM=4PO1+OM-=√7-CoSNPoM=爵=若=-1?，

.?.平面徹。與平面P8C夾角的余弦值為上.

19.已知α,b,C分別為三角形△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且OCoS3+3ZτcosC=α-b?

(1)求C；

13

(2)若α=5,cosB=—,。為AB邊上一點(diǎn)，且比)=5,求AAS的面積.

14

2兀

【答案】(1)C=—

3

z??15√3

?z>/------

14

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再利用兩角和的正弦公式求解即可；

(2)先利用兩角和的正弦公式求出SinA,再利用正弦定理求出邊長(zhǎng)，最后利用三角形面積公式求解.

【小問(wèn)1詳解】

由正弦定理得SinCcosB+3sinBcosC=sinA-Sin8,

因?yàn)镾inA=Sin[兀一(8+C)]=sin(8+C),

所以SinCcosB÷3sinBcosC=Sin(B+C)—sirLB,

即SinCcosB+3sinBcosC=SinBcosC+CoSBsinC—SillB,

2sinBcosC=-sinB,

而sinB≠O,所以CoSe=-,，

2

2τr

又因?yàn)镃e(O,π),所以C=

【小問(wèn)2詳解】

13

因?yàn)閏os3=，,B∈(0,π),

14

所以si∏B=Vl-cos2β=，

14

?A?/r)z????2τt∣.2τr5?/?"

sinA=sιnB÷C=SinBcos—+cosBsιn—=-----

\)3314

5bc

b

由正弦定理，得5月一3百一g，解得~=3,c=l,

SinAsinBsinC

14142

則Ar)=C-80=2,

LXAoXbXSinA」x2x3x述=

所以S“8

221414

20.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品每10件包裝成一箱，每箱含0,1,2件次品的概率分別為0.8,0.1,0.1.在出廠前需要

對(duì)每箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，質(zhì)檢員甲擬定了一種檢測(cè)方案：開(kāi)箱隨機(jī)檢測(cè)該箱中的3件產(chǎn)品，若無(wú)次品，則認(rèn)

定該箱產(chǎn)品合格，否則認(rèn)定該箱產(chǎn)品不合格.

（1）在質(zhì)檢員甲認(rèn)定一箱產(chǎn)品合格的條件下，求該箱產(chǎn)品不含次品的概率;

（2）若質(zhì)檢員甲隨機(jī)檢測(cè)一箱中的3件產(chǎn)品，抽到次品的件數(shù)為X,求X的分布列及期望.

…好,、48

【答案】（1）—

9

（2）分布列見(jiàn)解析，期望為M

100

【解析】

【分析】（1）利用條件概概率的公式即可;

（2）列出X的取值，并根據(jù)題意得到各X值的概率求出期望即可.

【小問(wèn)1詳解】

記“質(zhì)檢員甲認(rèn)定一箱產(chǎn)品合格”為事件4“該箱產(chǎn)品不含次品”為事件B,

C3C311

則P(A)=O.8χl+0.1XTL+0.1XT=

CloC]o12,

4

P(AB)=O.8=丁

4

/1、P(AB)i_48

由條件概率公式得P(BlA)=-?-?

F(A)11-55

12

48

所以在質(zhì)檢員甲認(rèn)定一箱產(chǎn)品合格的條件下，該箱產(chǎn)品不含次品的概率為五.

【小問(wèn)2詳解】

由題意可得X可以取0,1,2,

則P(X=O)=P(A)=#

W管+°?b?L蓋

C2C11

P(X=2]=0Λ×^^=-

',C'150

所以隨機(jī)變量X分布列為

XO12

11231

P

12300150

3731o

所以E(X)=Ox3+lx±+2X-?-=二.

`)25300150IOO

21.已知函數(shù)/(x)=e'-〃簧(m∈R).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時(shí)，若關(guān)于X的不等式/(x)+ln(x+l)-INO恒成立，求實(shí)數(shù),〃的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)(-∞,2]

【解析】

【分析】(1)求出了'(X),分為機(jī)≤0和加>0兩種情況分別研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可求得/(X)的單調(diào)性；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=e*—如+ln(x+l)-l(x≥0),利用二次求導(dǎo)判斷g(x)的單調(diào)性,求出，力的取值范

圍，然后利用零點(diǎn)存在定理證明機(jī)>2時(shí)，不等式恒不成立.

【小問(wèn)1詳解】

函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,

f，(x)-e`—m,

當(dāng)m≤0時(shí)，由盟x)>0,/(x)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)m>0時(shí)，令附χ)>0,可得x>ln〃?，令/'(χ)<0,可得x<ln〃z,

/(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(f。,),/(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(Inm,+8),

當(dāng)加≤0時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞增：

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，/(x)在區(qū)間(-8,IM)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(lnm,+∞)上單調(diào)遞增.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)g(x)=e*-mx+如(x+1)—l(x≥θ),則g'(x)=e*+-------m,

x+1

(i)當(dāng)m≤2時(shí)，g,(%)=ev+—-—m,

x+1

令h(χ}=e`+—----m,貝||“(X)=?'~-Ty,

'，x+1(x+1)

?2

令人(X)=e*—~-?,貝M(X)=e*+7_-τ>0,

(x+1)(x+1)

???M%)在區(qū)間［0,+巧上單調(diào)遞增，則MX)≥A(O)=O,

：./?(%)區(qū)間［0,+⑹上單調(diào)遞增,則〃(X)≥〃⑼=2-根，

.,.g,(x)=2-∕n>0,

.?.g(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，則g(x)≥g(0)=0恒成立,

(ii)若〃z>2時(shí)，貝!∣g'(0)<0,g,(lnw+l)=(e-l)∕n+——!——>0,

2+lnm

3?e(0Jιwι+l),使得g'(??)=0,

二g(x)在區(qū)間［0,Λfl)上單調(diào)遞減，則g(??)<g(0)=O,與條件矛盾，

綜上所述，實(shí)數(shù)，"的取值范圍為(-8,2］.

22

22.已知雙曲線C：［一4=l(a>0∕>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,且由段=4,若C上的點(diǎn)M

a~h~

滿足IIMMITMgIl=2恒成立.

(1)求C的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)M的直線/與C的兩條漸近線交于P,Q兩點(diǎn)，且IMH=IMQ∣.

(i)證明：/與C有且僅有一